NÚMEROS COMPLEXOS AULAS 01 e

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1 NÚMEROS COMPLEXOS AULAS 01 e )Sendo z 1 = + i e z = -1 + i, calcule: a) z 1 + z -01) Resolver em IR a equação x +1 = 0 b) z 1 - z 00) Resolver a equação x +1 = 0 c) z 1. z z1 d) z i: a unidade imaginária. O fantasma tal que i = ) Resolver a equação x -x +5 = 0 Igualdade em Sendo {a, b, c, d} IR, z = x + yi e w = a + bi, x = a z = w y = b 03)(UNESP)Seja z = x + yi um número complexo, com x e y números reais e i a unidade imaginária. a) Determine, em função de x e y, a parte real e a parte imaginária de z - i + z, com z indicando o conjugado de z. b)determine z que seja solução da equação zi+ z =0. O número complexo costuma ser representado pela letra z. Sua forma mais usual é a algébrica. Nela, z = x + yi, com x e y reais. A parte real x pode ser simbolizada por Re(z) e a parte imaginária y (coeficiente da unidade imaginária) por Im(z). E um nome freqüente no estudo dos imaginários é o conjugado de z, complexo representado por z, tal que z = x yi. Observe o que ocorre ao somar ou multiplicar dois complexos conjugados.

2 04)(FUVEST) Sabendo que α é um número real e + i que a parte imaginária do número complexo α + i é zero, então α é: a) -4. b) -. c) 1. d). e) 4. TAREFA 01)(UNESP)Se z = ( + i).(1 + i).i, então z, o conjugado de z, será dado por a) i. b) 1-3i. c) 3 - i. d) i. e) 3 + i. 0) (UFSCAR) Sejam x, y IR e z = x + yi um número complexo. a) Calcule o produto (x + yi).(1 + i). b)determine x e y para que se tenha (x +yi).(1+i)=. 03) (UNESP) Considere os números complexos z 1 = ( + i) e z = (x + i), onde i é a unidade imaginária e x é um número real. Determine: a) o número complexo z 1.z em função de x; b) os valores de x tais que Re (z 1.z ) Im (z 1.z ), onde Re denota a parte real e Im denota a parte imaginária do número complexo. 04) (UEL) A forma algébrica do número complexo 1 + 3i z = é: i a) 1-3i Potências de i i 0 = 1, i 1 = i, i = -1 e i 3 = i. i = -1. i = -i ( ) ( ) i = i = 1 = 1, i = i i = 1 i = i, i = i i = 1 i = 1 e i = i i = 1 i = i De modo geral, n r i = i, onde r é resto da divisão de n por 4. 05)(UFC) Se i representa o número complexo cujo quadrado é igual a -1, determine o valor numérico da soma 1 + i + i + i i 7. b) i 3 c) i 5 d) i e) i 5 05) (FEI)Se i = 1+i, então o número complexo z é: z a) 1 - i b) -1 + i c) 1 - i d) 1 + i e) -1 + i 06) (FGV)No conjunto dos números complexos: a) Resolva a equação z 4 = 1 b) Obtenha o número z, tal que z. (1 + i) = 3 - i, onde i é a unidade imaginária. 07) (UNESP) Se a, b, c são números inteiros positivos tais que c = (a + bi) - 14i, em que i = -1, o valor de c é a) 48. b) 36. c) 4. d) 14. e) 7.

3 08)(FUVEST)Sendo i a unidade imaginária (i = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a+i) 4 é um número real? a) 1 b) c) 3 d) 4 e) infinitos 14)(UNESP)Considere o número complexo z = i, onde i é a unidade imaginária. O valor de z 4 + z 3 + z + z + 1/z é: a) -1. b) 0. c) 1. d) i. e) -i. 09)(UFMG)Seja z = (a + i) 3 um número complexo, sendo a um número real. a) Escreva z na forma x + iy, sendo x e y números reais. b) Determine os valores de a para que z seja um número imaginário puro. 10)(AFA) Os valores reais de x, para os quais a parte x real do número complexo z = i x + i pertencem ao conjunto (intervalo) a) { }. b) { 0 }. c) ( 1,1 ). d) (, ). é negativa, 11)(UEL/009) Qual é a parte real do número complexo z = a + bi, com a e b reais e a > 0 e b > 0 cujo quadrado é i? a) 1/3 b) 1/ c) 1 d) e) 3 1) (UFTM)Sendo p e q números reais tais que π < p+q < π, e i a unidade imaginária, se os números complexos z 1 = sen (p + q) + [log (p - q)]i e z = 1 a) b) c) d) e) 5π 3 6 9π 6 1 5π 6 6 5π 6 1 5π 6 15 são iguais, então q é igual a 13) (UNEB)Se i é a unidade imaginária, então i 5 + i 39 - i i.i 50 é igual a: a) -1 - i b) -1 + i c) 1 - i d) 1 + i e) 0 15)(UFSCAR)Sejam i a unidade imaginária e a n o n- ésimo termo de uma progressão geométrica com a = a 1. Se a 1 é um número ímpar, então a 1 a + a + 3 a i i i i 10 é igual a a) 9i ou - 9i. b) i ou i. c) 9 + i ou 9 - i. d) 8 + i ou 8 - i. e) 7 + i ou 7 - i. 16)(IBMEC) Sendo n, quais valores f(n) = i n + i -n assume, sendo i a unidade imaginária? a) 0 ou 1 b) 0 ou i c) 0 ou i d) 0, ou - e) 0, 1 ou -1 17) (UFRS)(1 + i) 15 é igual a a) 64 (1 + i). b) 18 (1 - i). c) 18 (-1 -i). d) 56 (-1 + i). e) 56 (1 + i). Sugestão: Calcule (1 + i) RESPOSTAS 01) a 0) a) (x-y) + (x+y)i b) x = 1 e y = -1 03) a) (x - ) + (x + 4)i b) x 6 04) c 05) d 06) a) S = { 1, -1, i, - i } b) 1 - i 07) a 08) c 09) a) z = (a 3-3a) + (3a - 1)i b)a {± 3,0} 10) d 11) d 1) d 13) c 14) e 15) e 16) d 17) b Um abraço! Grego

4 NÚMEROS COMPLEXOS AULAS 03 e O plano de Argand-Gauss O número complexo z = x + yi pode ser associado ao par ordenado (x, y) e representado num plano cartesiano. O ponto é denominado afixo do complexo e sua distância até a origem do sistema cartesiano é o módulo do complexo. 0)(UNIRIO) Considere um número complexo z, tal que o seu módulo é 10, e a soma dele com o seu conjugado é 16. Sabendo que o afixo de z pertence ao 4º quadrante, pode-se afirmar que z é igual a: a) 6 + 8i b) 8 + 6i c) 10 d) 8-6i e) 6-8i 01)(UNIRIO) Sejam z 1 e z números complexos representados pelos seus afixos na figura acima. Então, o produto de z 1 pelo conjugado de z é: Coordenadas polares A localização de um ponto no plano pode ser estabelecida através de um comprimento ρ e de um ângulo θ. Ao invés de (x, y), consideremos (ρ, θ). Não é difícil associar ρ ao módulo de um complexo e, doravante, o ângulo θ será denominado argumento. a) i b) i c) 10 d) i e) i 03)(UFRS) O polígono ABCDE da figura é um pentágono regular inscrito no círculo unitário de centro na origem. As coordenadas polares ρ e θ do vértice A são, respectivamente, a) 1 e π/5 b) 1 e π/6 c) 1 e π/8 d) 1 e π/10 e) 1 e π/1

5 04)(FATEC)Na figura a seguir, o ponto P é o afixo do número complexo z = x + yi no plano de Argand- Gauss. Forma trigonométrica O número complexo z = x + yi = (x, y), de módulo ρ = z = x + y e cujo argumento é θ, pode também ser expresso por z = ρ (cos θ + isen θ), a famigerada forma trigonométrica. Parece inacreditável, mas algumas operações com complexos são simplificadas por intermédio da forma trigonométrica. É verdade que: a) o argumento principal de z é 5 π 6 b) a parte imaginária de z é i. c) o conjugado de z é 3 + i. d) a parte real de z é 1. e) o módulo de z é 4. 06)(UNESP) Seja o número complexo z = i, no qual i = 1 A forma trigonométrica que representa este número é a) 10 π π cos isen + b) 10 π π cos isen c) π π cos isen d) 10 π π cos isen + e) 10 π π cos isen ) (UFG)O número complexo z = x + yi pode ser representado no plano, como abaixo: Considere ρ = x + y, o módulo de z O número complexo z pode ser escrito como: a) z = ρ (cos α + isen α) b) z =ρ (cos α - isen α) c) z = ρ (sen θ + icos θ) d) z = ρ (sen α - icos α) e) z = ρ (cos θ + isen θ) 07)(FUVEST)Dentre os números complexos z = a + bi, não nulos, que têm argumento igual a π/4, aquele cuja representação geométrica está sobre a parábola y = x é a) 1 + i b) 1 - i c) i d) + i e) - + i

6 TAREFA 01) (UNIFESP) Considere, no plano complexo, conforme a figura, o triângulo de vértices z 1 =, z = 5 e z 3 = 6 + i. A área do triângulo de vértices w 1 = iz 1, w = iz e w 3 = iz 3 é: a) 8 b) 6 c) 4 d) 3 e) 0)(FGV/008)Os quatro vértices de um quadrado no plano Argand-Gauss são números complexos, sendo três deles 1 + i, - + i e -1 - i. O quarto vértice do quadrado é o número complexo a) + i. b) - i. c) 1 - i. d) -1 + i. e) - - i. 03)(UNESP) Considere os números complexos w = i e z = (1 + i). Determine: a) z e (w. z + w), onde z indica o conjugado de z. b) z e w. Mostre que a seqüência (1, z, w, zw, w ) é uma progressão geométrica, determinando todos os seus termos e a sua razão. 04)(UNESP) A figura representa, no plano complexo, um semicírculo de centro na origem e raio 1. 05)(UNIFESP) Quatro números complexos representam, no plano complexo, vértices de um paralelogramo. Três dos números são z 1 = -3-3i, z = 1 e z 3 = -1 + (5/)i. O quarto número tem as partes real e imaginária positivas. Esse número é a) + 3i b) 3 + (11/)i. c) 3 + 5i. d) + (11/)i. e) 4 + 5i. 06)(MACK) A solução da equação z + z i=0 é um complexo z de módulo: a) 6 b) 8 c) 18 d) 1 e) 10 Sugestão: suponha z = x + yi, x e y reais. 07)(UEL)Sobre as sentenças: I. Se z = i 93, então Re(z) = 0. II. O complexo conjugado de (1 + i) 3 é 1 - i. III. O lugar geométrico dos afixos (x; y) dos números complexos z = x + yi de módulo 4 é uma circunferência de centro no ponto (0; 0) e raio. é correto afirmar que a) somente I é verdadeira. b) somente II é verdadeira. c) somente III é verdadeira. d) I, II e III são verdadeiras. e) I, II e III são falsas. 08)(FGV) A figura indica a representação dos números Z 1 e Z no plano complexo. Se Z 1. Z = a + bi, então a + b é igual a a) 4 (1-3 ). Indique por Re(z), Im(z) e z a parte real, a parte imaginária e o módulo de um número complexo z = x + yi, respectivamente, onde i indica a unidade imaginária. A única alternativa que contém as condições que descrevem totalmente o subconjunto do plano que representa a região sombreada, incluindo sua fronteira, é a) Re(z) 0, Im(z) 0 e z 1. b) Re(z) 0, Im(z) 0 e z 1. c) Re(z) 0 e z 1. d) Im(z) 0 e z 1. e) Re(z) 0 e z 1. b) ( 3-1). c) (1 + 3 ). d) 8 ( 3 1). e) 4 ( 3 + 1). 09) (UNESP) Considere os números complexos w = 4 + i e z = 3a + 4ai, onde a é um número real positivo e i indica a unidade imaginária. Se, em centímetros, a altura de um triângulo é z e a base é a parte real de z. w, determine a de modo que a área do triângulo seja 90 cm.

7 10)(PUC-SP)Geometricamente, o módulo de um número complexo z é dado pela distância da origem O do plano complexo ao ponto imagem de z. Assim, dado o complexo z = 3 + i, considere o triângulo ABO, cujos vértices A e B são os respectivos pontos imagem de z e z.i. É verdade que esse triângulo é a) eqüilátero. b) escaleno. c) retângulo e isósceles. d) retângulo e não isósceles. e) isósceles e não retângulo. 11)(UFRRJ) Sendo a = + 4i e b = 1-3i, o valor de a/b é a) 3. b). c) 5. d). e) 1 +. Obs. O módulo de um complexo é um número real. Sendo assim, valem as seguintes propriedades: = z1 z z1 z z1 z 1 =,z 0 z z 1)(ITA) Assinale a opção que indica o módulo do número complexo 1/(1 + i cotg x), x kπ, k Z. a) cos x b) (1 + sen x)/ c) cos x d) cossec x e) sen x 13)(FGV)Admita que o centro do plano complexo Argand-Gauss coincida com o centro de um relógio de ponteiros, como indica a figura: Se o ponteiro dos minutos tem unidades de comprimento, às 11h55 sua ponta estará sobre o número complexo a) i b) i c) 1-3 i d) 3 - i e) 3 + i 14)(UEL) Seja z um número complexo de módulo e argumento principal 10 o. O conjugado de z é: a) - i 3 b) + i 3 c) -1 - i 3 d) -1 + i 3 e) 1 + i 3 MÓDULO É DISTÂNCIA! 15) (UFSM)Dado z = x + yi um número complexo, as soluções da equação z - i = 5 são representadas graficamente por a) uma reta que passa pela origem. b) uma circunferência com centro (0, ) e raio 5. c) uma reta que passa por (0, ). d) uma circunferência com centro (, 0) e raio 5. e) uma reta que passa por (, 0). 16)(UNIFESP) Os números complexos z 1, z = i e z 3 = a 3 + ai, onde a é um número real positivo, representam no plano complexo vértices de um triângulo eqüilátero. Dado que z z 1 =, o valor de a é: a). b) 1. c) 3. d) RESPOSTAS 01) b 0) b 03) a) z = i; w. z + w = i b) z = e w =. A seqüência 3. e) 1. (1; ; ; ; 4) é uma PG de razão q =. 04) e 05) b 06) e 07) a 08) a 09) a = 3 cm 10) c 11) b 1) e 13) a 14) c 15) b 16) b Um abraço! Grego

8 NÚMEROS COMPLEXOS AULAS 05 e π 01)(FUVEST) Os números complexos z e w têm 1 e 3 π como argumentos, respectivamente. Ache u e v reais tais que zw = u + iv, sabendo que zw = 10. Operações na forma trigonométrica 00) (UFSM)Dados dois números complexos na forma z = r(cos α + i sen α) w = s(cos β + i sen β), pode-se afirmar que z.w é igual a a) rs [cos (αβ) - sen (αβ)] b) rs [cos (α +β) + i sen (α +β)] c) rs [cos (α - β) - i sen (α - β)] d) (r + s) (cos α. cos β - i sen α. sen β) e) (r + s) [cos (α + β) + i sen (α + β)] 0)(UFPR) Considere os numeros complexos z = cos (π/18) + i sen (π/18) w = [cos (π/9) + i sen (π/9)]. e a) Mostre que o produto z. w é igual a 3 + i. b) Mostre que z 18 é igual a -1. De modo geral, sendo z 1 = ρ 1 (cos α + i sen α) e z = ρ (cos β + i sen β): z1 z = ρ1ρ cos( α + β ) + isen ( α + β), z1 ρ = 1 cos( α β ) + isen( α β) e, z ρ conseqüentemente, sendo z = ρ(cos θ + i sen θ), n z = ρ ρ ρ ρ cos θ + θ + θ + θ + isen θ + θ + θ + θ n fatores n parcelas n parcelas n z = ρ n ( cos( nθ ) + isen( nθ )). Lindo, não? As operações na forma trigonométrica geram OUTRO complexo na forma trigonométrica!

9 03)(UFSM)O ângulo formado pelas representações geométrica dos números complexos z = 3 + i e z 4 é a) π/6. b) π/4. c) π/3. d) π/. e) π. 05)(UNICAMP)Um triângulo eqüilátero, inscrito em uma circunferência de centro na origem, tem como um de seus vértices o ponto do plano associado ao número complexo 3 + i. a) Que números complexos estão associados aos outros dois vértices do mesmo triângulo? Faça a figura desse triângulo. b) Qual a medida do lado desse triângulo? 06)Radiciação em C 04)(FUVEST) Dado o número complexo z = 3 +i qual é o menor valor do inteiro n 1 para o qual z n é um número real? a) b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 As raízes n-ésimas de um complexo z são as raízes da equação x n = z. a)determine as raízes quadradas de 9. b)determine as raízes quadradas de -1. c)determine as raízes quartas de 16.

10 07)(ITA) Considere, no plano complexo, um polígono regular cujos vértices são as soluções da equação z 6 = 1. A área deste polígono, em unidades de área, é igual a: a) 3 b) 5 c) π d) e) π 3 3 TAREFA 01)(FUVEST) a) Se z 1 =cosθ 1 +isenθ 1 e z =cosθ +isenθ, mostre que o produto z 1 z é igual a cos (θ 1 +θ )+isen(θ 1 +θ ). b) Mostre que o número complexo z=cos48 +isen48 é raiz da equação z 10 +z 5 +1=0. 0)(CESGRANRIO) O menor inteiro n > 0, de modo n 3 1 que + i seja real positivo, é: a) b) 3 c) 4 d) 8 e) 1 03)(UFC) Considere o número complexo z = (1+i).( 3 -i). Assinale a opção na qual consta o menor inteiro positivo n, tal que z n seja um número real positivo. a) 6. b) 1. c) 18. d) 4. e) )(UNIRIO) 08)(MACK) As representações gráficas dos complexos z tais que z 3 = -8 são os vértices de um triângulo: a) inscrito numa circunferência de raio 1. b) que tem somente dois lados iguais. c) eqüilátero de lado. d) eqüilátero de altura 3. e) de área 3 3. Se z 1 e z são números complexos representados pelos seus afixos no Plano de Argand-Gauss acima, então z 3 = z 1. z escrito na forma trigonométrica é: a) (cis 5 ) b) (cis 315 ) c) (cis 45 ) d) (cis 135 ) e) (cis 5 ) Obs: ρ(cisθ) = ρ(cosθ + isenθ) 05)(UECE) O valor de a, no intervalo 0, π, para o qual o número complexo x = cosa + i.sena é tal 1 3 que x = + i, satisfaz: π π a) < a < 3 π π b) < a < 6 3 π π c) < a < 6 4 π π d) < a < 10 5

11 06)(AFA) A representação trigonométrica do conjugado do número complexo z = (1 + 3 i) 5, sendo i a unidade imaginária e k Z, é a) 3cos(π/3 + kπ) - 3i.sen(π/3 + kπ). b) 3cos(5π/4 + 10kπ) - 3i.sen(5π/4 + 10kπ). c) 3cos(5π/6 + 10kπ) - 3i.sen(5π/6 + 10kπ). d) 3cos(5π/3 + 10kπ) - 3i.sen(5π/3 + 10kπ). 10)(UNESP) O diagrama que melhor representa as raízes cúbicas de -i é: a) b) 07)(UNICAMP) Um número complexo z = x + iy, z 0, pode ser escrito na forma trigonométrica: z = z (cosθ+ isenθ), onde z = x + y, cosθ = x/ z e senθ = y/ z. Essa forma de representar os números complexos não-nulos é muito conveniente, especialmente para o cálculo de potências inteiras de números complexos, em virtude da fórmula de De Moivre: [ z (cosθ+ isenθ)] k = z k (coskθ+ isenkθ) que é válida para todo k Z. Use essas informações para: a) Calcular ( 3 + i) 1 c) d) e) b) Sendo z = + i, calcular o valor de 1 + z + z + z z )(UERJ)João desenhou um mapa do quintal de sua casa, onde enterrou um cofre. Para isso, usou um sistema de coordenadas retangulares, colocando a origem O na base de uma mangueira, e os eixos O x e O y com sentidos oeste-leste e sul-norte, respectivamente. Cada ponto (x, y), nesse sistema, é a representação de um número complexo z = x + iy, x IR, y IR e i = -1. Para indicar a posição (x 1, y 1 ) e a distância d do cofre à origem, João escreveu a seguinte observação no canto do mapa: Calcule: a) as coordenadas (x 1, y 1 ); b) o valor de d. x 1 + iy 1 = (1+i) 9 09) (UFRJ)Um jantar secreto é marcado para a hora em que as extremidades dos ponteiros do relógio foremrepresentadas pelos números complexos z e w a seguir: z = α π π cos + isen, w = z, sendo α um número real fixo, 0 < α < 1. 11)(UFAL) Na figura a seguir, os pontos P 1 e P são as respectivas imagens de dois números complexos z 1 e z, ambos de módulo r, representados no plano de Argand-Gauss. Se θ é o argumento de z 1, analise as afirmações seguintes. ( ) z 1. z tem módulo r e argumento θ. ( ) z 1 /z tem módulo unitário e argumento -π/. ( ) z é conjugado de 1/z 1. ( ) z = i. z 1. ( ) z 1 = z. 1)(UFAL)Considere os números complexos z 1 = i, z = 1 - i e z 3 = - i. ( ) O módulo do número complexo z 1. z é. ( ) O número complexo z /z 3 é um imaginário puro. Determine a hora do jantar. ( ) O conjugado de z 1 é -. (1 + 3 i). ( ) z 3 é raiz cúbica de - 10i. ( ) A forma trigonométrica de z 1 + z z 3 é 3. [cos (π/) + i. sen (π/)].

12 13)(FGV) Seja o número complexo z = (x - i), no qual x é um número real. Se o argumento principal de z é 90, então 1/z é igual a a) -i/8 b) -8i c) 4i d) i e) 4 i 14)(FUVEST/008) A figura representa o número 1 + i 3 ω = no plano complexo, sendo i = 1 a unidade imaginária. Nessas condições, a) determine as partes real e imaginária de 1/ω e de ω 3. b) represente 1/ω e ω 3 na figura a seguir. c) determine as raízes complexas da equação z 3-1= 0. raízes, as demais serão ρ[cos (θ + 10º) + i sen (θ + 10º)] e... EXERCÍCIO DIFERENTE 18)(IME) Determine as raízes quadradas de 15 8i. Sugestão: z = 15 8i, onde z = x + yi, x e y reais. RESPOSTAS 01) - 0) e 03) d 04) e 05) d 06) d 07) a) 4096 b) 0 08) a) (1+i) 9 = 16+16i = (16, 16) b) d = 16 09) 1 horas (supondo que o jantar seja à noite) 10) b 11) F V F V F 1) V F V F V 13) a 14) -1-1 a) Re( ω ) = - 1/ e Im( ω ) = - 3/ ; 3 3 Re( ω ) = 1 e Im( ω ) = 0. b) QUESTÕES TRIGONOMÉTRICAS 15)(UFMG) Sejam n um número inteiro positivo e z um número complexo tal que z = 1 e 1 + z n 0. CALCULE a parte imaginária de n z. n 1 + z Sugestão: inverta, separe e desinverta. 16)(UFRJ) A representação trigonométrica de um número complexo z é dada por z = ρ(cos θ + i sen θ ). Se z é um número complexo e z' seu conjugado, resolva a equação: z 3 = z' 17)(MACK) Se 3 + 4i é raiz cúbica de um complexo z, então o produto das outras raízes cúbicas de z é: a) 4 + 7i b) -4-7i c) - 7-4i d) i e) 7-4i Sugestão: as raízes cúbicas de um complexo têm mesmo módulo e dividem a circunferência em 3 partes iguais. Supondo z = ρ(cos θ + i sen θ) uma das 1 ± 3 c) 1 e. 15) ZERO 16) S = {0, ± 1, ±i} 17) d 18) ± (4 i ) Para quem quiser, a ª fórmula de De Moivre possibilita a obtenção das raízes n-ésimas do complexo z = ρ(cos θ + i sen θ). São da forma, n θ + kπ θ + kπ zk = ρ cos + isen n n onde k { 0,1,,3,,n 1} Um abraço! Grego. (Eleve z k a n pra ver!) Creio, entretanto, que a bola dividida em n partes iguais ameniza um desnecessário sofrimento.