Números Complexos 2017

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1 Números Complexos 07. (Eear 07) Se i é a unidade imaginária, então i i i é um número complexo que pode ser representado no plano de Argand-Gauss no quadrante. a) primeiro b) segundo c) terceiro d) quarto. (Ufsc 07) Em circuitos elétricos como, por exemplo, o das instalações residenciais, as grandezas elétricas são analisadas com o auxílio dos números complexos. A relação U Z j fornece a tensão U em função da impedância Z e da corrente elétrica j. Nesses termos, essas variáveis são expressas através de números complexos a bi. Considere agora U 0(cos 0 isen 0 ) e Z 5 5i. Determine o valor da expressão a b, sendo j a bi.. (Uem 06) Considere os números complexos z 5i e z 4i. Assinale o que for correto. 0) zz 6. 0) z z z z. 04) z z 0i. z 08) i. z 5 5 6) zz (Uem-pas 06) Considere o número complexo z,. Assinale o que for correto. π π 0) A forma polar de z é dada por z sen icos ) A forma algébrica de z é dada por z i. 04) Sua representação geométrica está sobre a reta x y 0. 08) Se este número complexo é raiz de um polinômio de grau, então i também é raiz deste polinômio. 6) Se multiplicarmos este número complexo por seu conjugado, então o resultado será, que é sua norma. Página de 0

2 5. (Pucrs 06) Uma cancha de futsal está situada sobre um sistema de coordenadas do plano complexo (Argand-Gauss), com unidades marcadas em metros e com centro sobre o ponto (0, 0), como na figura abaixo. Se a circunferência central possui uma área de esta circunferência central, em z, é a) z 9 b) z c) z 9 d) z e) z 9 9π m, a expressão que melhor representa 6. (Uece 06) No sistema de coordenadas cartesianas usual com origem no ponto O, considere os números complexos, na forma trigonométrica, dados por z (cos60 isen60 ) e w (cos0 isen0 ). Os pontos do plano que representam estes números e a origem O são vértices de um triângulo cuja medida da área é a),0 u.a. b) 0,5 u.a. c),0 u.a. d),5 u.a. 7. (G - ifce 06) Sendo i a unidade imaginária tal que i, são dados os números complexos z 9 i e z i. Ao calcular corretamente o produto z z, obtemos o número a) 6i. b) 8 6i. c) 8 i. d) 8 i. e) i. ai 8. (Unicamp 06) Considere o número complexo z, onde a é um número real e i é a a i unidade imaginária, isto é, i 06. O valor de z é igual a 06 a) a. b). c) 06i. d) i. Página de 0

3 9. (Efomm 06) Seja o número complexo z i, onde i é a unidade imaginária. O valor 8 de z é: 4π 4π a) z 56cos isen π π b) z 56cos isen 5π 5π c) z 56cos isen π π d) z 56cos isen z 56 cosπ isenπ e) 0. (G - ifal 06) O número complexo Z i representado na forma trigonométrica é a) (cos 45 isen 45 ). b) (cos 90 isen 90 ). c) 4(cos 60 isen 60 ). d) 4(cos 60 isen 60 ). e) (cos 90 isen 90 ).. (Uepa 05) Um dos resultados importantes da produção de conhecimentos reside na possibilidade que temos de fazer a interação de múltiplos saberes. O conceito de número complexo é um bom exemplo dessa possibilidade exploratória da produção científica, ao permitir relações com álgebra, geometria plana, geometria analítica, trigonometria, séries e aritmética. Neste sentido, considere os números complexos z i, z 5 6 i, z 4 8 i e os números reais k e k tais que a soma dos números complexos kz e k kz resulta o complexo z. Nestas condições, o valor de k é: a) 9 b) 8 c) d) 8 e) 9. (Uece 05) Se os números complexos z e w estão relacionados pela equação z wi i e se z então w é igual a i O número complexo i é tal que i. a) i. b) i. c) i. d) i. Página de 0

4 . (Uel 05) Leia o texto a seguir. Na virada do século XVIII para o século XIX, um agrimensor norueguês, Wessel (798), e um desconhecido matemático suíço, Argand (806), foram, aparentemente, os primeiros a compreender que os números complexos não têm nada de irreal. São apenas os pontos (ou vetores) do plano que se somam através da composição de translações e que se multiplicam através da composição de rotações e dilatações (na nomenclatura atual). Mas essas iniciativas não tiveram repercussão enquanto não foram redescobertas e apadrinhadas, quase simultaneamente, por Gauss, grande autoridade daquele tempo que, já em vida, era reconhecido como um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Adaptado de: CARNEIRO, J. P. A Geometria e o Ensino dos Números Complexos. Revista do Professor de Matemática v.55. p.8. Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, uma composição de rotação dos pontos P(, 4) e Q(, ) representados pelos números complexos z 4i e w i. a) 8 7i b) 6 i c) i d) 5 7i e) 6 7i 4. (Cefet MG 05) Considere as raízes complexas w 0, w, w, w e w 4 da equação 5 w z, onde z representadas graficamente por O número complexo z é a) 6i. b) i. c) 6 6i. d) 6 6 i. e) i. 5. (Unicamp 05) Sejam x e y números reais tais que x yi 4i, onde i é a unidade imaginária. O valor de xy é igual a a). b). c). d). Página 4 de 0

5 6. (Unicamp 04) O módulo do número complexo a). b) 0. c). d) z i i é igual a 7. (Fgv 04) Seja f uma função que, a cada número complexo z, associa f(z) iz, onde i é a unidade imaginária. Determine os complexos z de módulo igual a 4 e tais que f(z) z, onde z é o conjugado de z. 8. (Unicamp 04) O polinômio a) Determine os valores de r e s. b) Calcule p(z) para z = +i, onde i é a unidade imaginária. p(x) x x 9x 8 tem três raízes: r, r e s (Pucsp 07) Em relação ao número complexo z i i a) sua imagem pertence ao º quadrante do plano complexo. b) é imaginário puro. c) o módulo de z é igual a 4. d) seu argumento é igual ao argumento do número complexo é correto afirmar que v i. 0. (Uece 07) Se i é o número complexo cujo quadrado é igual a, então, o valor de i i i é igual a a) i. b) 4i. c) 6i. d) 6i. Página 5 de 0

6 Gabarito: Resposta da questão : [B] Sendo i i i i i i (, ), podemos concluir que a imagem do complexo quadrante. Resposta da questão :. Sendo U 0, temos: (5 5i)(a bi) 0 5(a b) 5(a b)i 0 (a b) (a b)i 0i a b a b 0 a. b Portanto, vem a b ( ). i i i está situada no segundo Resposta da questão : = 09. [0] Verdadeiro. Calculando: z z 5i 5i 5i 5i 5i 5 6 [0] Falso. Calculando: z z 5i 4i 4 9i z z 5i 4i 4 9i 4 9i 4 9i [04] Falso. Calculando: z z 5i 4i 4i 5i 0i 7 9i 0i [08] Verdadeiro. Calculando: 5i 4i z 5i 4i 5i 0i i i z 4i 4i 4i 9 6i [6] Falso. Calculando: z z 5i 5i 0 Página 6 de 0

7 Resposta da questão 4: = 06. Tem-se que z, (, ) i. π [0] Falsa. Seja θ o argumento principal de z. Logo, como tgθ, segue que θ rad. [0] Verdadeira. Conforme escrevemos acima. [04] Verdadeira. De fato, pois 0. [08] Falsa. Se z é raiz de um polinômio de grau, então z i também é raiz desse polinômio. [6] Falsa. Basta lembrar que Resposta da questão 5: [D] z z z. Seja r o raio da circunferência central. Logo, tem-se que πr 9π r m. A equação dessa circunferência é x y 9. Portanto, se z x yi, com x, y e i é um número complexo de módulo, segue o resultado. Resposta da questão 6: [A] Sejam P e Q, respectivamente, as imagens de z e w. Tem-se que (OPQ) OP OQ sen(argz arg w) sen0 u.a. Resposta da questão 7: [E] 9 i i 8 9i 6i i 8 i ( ) i Página 7 de 0

8 Resposta da questão 8: [B] Tem-se que ai ai a i a i a i a z i. a i a i a i a Portanto, o valor de 06 z é 06 0 i i. Resposta da questão 9: [D] O módulo de z é ρ ( ) ( ). Logo, se θ é o argumento de z, então 4π sen θ. Em consequência, temos θ rad. Daí, a forma trigonométrica de z é 4π 4π z cos isen. Portanto, pela Primeira Fórmula de Moivre, segue que 8 8 4π 4π z cos8 isen8 π π 56cos isen. Resposta da questão 0: [A] ρ ρ a cosθ cosθ θ 45 ρ b sen θ sen θ θ 45 ρ Z cos45 i sen 45 cos 45 isen 45 Resposta da questão : [E] Tem-se que kz kz z k ( i) k (5 6 i) 4 8 i (k 5k ) (k 6k ) i 4 8 i k 5k 4 k6k 8 k. k k Portanto, a resposta é k. 9 cosθ e Página 8 de 0

9 Resposta da questão : [A] Substituindo o valor de z na equação dada e resolvendo: z wi i wi i i i wi i i w ( ) ( ) i w w i Resposta da questão : [E] Queremos calcular o produto z w, ou seja, z w ( 4i)( i) 6 9i 8i i 6 7i. Resposta da questão 4: [D] 5 Tem-se que w0 (cos i sen ). Logo, sabendo que w z, pela Primeira Fórmula de Moivre, vem 5 z (cos 60 i sen60 ) i 6 6 i. Resposta da questão 5: [D] Elevando os dois membros da igualdade ao quadrado, vem (x yi) ( 4i) (x y ) xyi 4i. Portanto, temos xy 4 se, e somente se, xy. Resposta da questão 6: [A] Como i 4 (i ) ( ), vem z i i i i (i ) i (i ) i i. Portanto, z i ( ). Página 9 de 0

10 Resposta da questão 7: Seja z a bi, com a, b, tal que a b 4. Logo, vem f(z) z iz z i (a bi) a bi b ai a bi a b. Desse modo, ( b) b 6 b 8 b. Portanto, os complexos que satisfazem as condições são i e i. Resposta da questão 8: a) Fatorando p(x), obtemos p(x) x x 9x 8 x (x ) 9(x ) (x )(x 9). Portanto, r e s. b) Se z i, então p(z) ( i )(i 9) i 9i i 9 7 i. Resposta da questão 9: [D] z ( i) i. Logo, Simplificando: z i i i i z i Analisando as alternativas uma a uma: [A] FALSA. Seu afixo está no 4º quadrante. [B] FALSA. Não é imaginário puro. [C] FALSA. Seu módulo é igual a. [D] VERDADEIRA. Ambos tem o mesmo argumento: v z. Resposta da questão 0: [C] Sabemos que: Portanto, 7 6 5i i i 5i i i 5i i 6i Página 0 de 0