INSTITUTO DE MATEMÁTICA DA UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CÁLCULO A

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1 INSTITUTO DE MATEMÁTICA DA UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CÁLCULO A A LISTA DE EXERCÍCIOS a Questão:. Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas: a) f(u) = u, u() =, (f o u) () e (f o u) () ; b) = u sen(u), u =, c) d d d e d o ( = π ) + f(u) = u, u ()=, (f o u) () e (f o u) (); + d) f() = +, f '() e f (); ; π e) ( ). ( ) cos π f = sen + + ( + ), f) f ( t) = t + t, f (t) e f (0) ; f () e f (0); g) ( ) ln + sen π f =, f () e f ; sen e e h) f ( ) =, f () e f (0); e + e i) f ( ) = ln tg + e, f () e f (0); a Questão: Encontre a epressão da segunda derivada das funções dos seguintes itens da primeira questão e o seu valor nos pontos indicados: a) No ponto de abscissa 0 =, no item a) b) No ponto de abscissa 0 = π, no item b) c) No ponto de abscissa 0 = 0, no item g) d) No ponto de abscissa 0 = 0, no item h) a Questão: Para cada um dos itens a seguir determinar: a) f (), sendo f( + ) + f( + ) = + + ; π π b) f (0), sendo f ( sen ) = f ( π ) + π,, ; c) (g o f o h) (), sabendo que f(0) =, h() = 0, g () =, f (0) = h () = ; d) a função g sabendo que ( f o g) () = +, f() = + e g () =.

2 a Questão: Determine a epressão de ( f ) ( f ( ) ), lembrando-se que ( f ) f ( ) ( ) = : f ( ) a) f() = + ; ; b) f( ) = ; -; + c) f() = + cos(), 0 < < π/; d) f() = sen(ln), e π / < < e π / ; e) f() = + e. f a Questão: Calcule ( )'( a), a partir das epressões calculadas na questão anterior. a) a = f() b) a = f() c) a = d) a = e) a = f(0) a Questão: Ache a epressão da derivada de cada uma das seguintes funções: a) f() = arctg( + ) b) f() = arcsen( ) c) f ( ) = + arctg( ) d) f() = ln(arccos( + ) e) f ) = log [arccotg( )] ( f) f() = ( + π ) 7 a Questão:. Determinar a derivada da função g sabendo que g é a inversa da função f, isto é, g = f --. a) f '( ) = f ( ) ; b) f () + f() = ; c) ln(f ()) + f() =, para f() 0 e f(). 8 a Questão:. Calcule a epressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaio: d d a) + =,, no ponto P(, ), e, no ponto Q(,); d d b) + d = +, d no ponto P(0, -);

3 d π c) sen() = 0,, no ponto de ordenada ; d d) e + = e,, no ponto de ordenada ; e) + = +,, no ponto de abscissa e ordenada possuem o mesmo valor. 9 a Questão: Calcule a segunda derivada e o seu valor nos pontos indicados das letras a, c e d da questão anterior. 0 a Questão: Determinar uma equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaio, nos pontos indicados: a) = arctg (), no ponto de abscissa ; b) = 8 + d 8, nos pontos em que = 0 ; d c) = +, no ponto de abscissa 0 = ; d) + = 9, nos pontos onde a normal é paralela à reta 7 = 0; e) de f) de f no ponto P(,), sabendo que f() = +, > ; f no ponto P(,) sabendo-se que = f() está definida implicitamente por + =. a Questão: Calcular os seguintes limites, usando as regras de L Hospital: sen( π ) a) lim b) lim c) lim 0 π / e) lim f) ( / ln ) π lim g) lim ln 0 + ( ). tg( ) sen i) ( ) n) lim π / lim tg ( ) ln tg( π / ) / j) lim ( + sen ) o) + 0 ( ) l) + sen lim p) 0 ln + a a + Questão: Se lim = 9, determinar a. + a e / (sec tg) d) lim [ ( e ) ] lim + m) lim h) lim ( ln) + 0 ( ) ( ) sen / lim + arctg / / q) lim ( e + ) + a Questão: Sabe-se que f é definida e contínua em R, g é definida e contínua em R-{-,},e que os gráficos a seguir representam, respectivamente, as derivadas de f e g. Determine, para as funções f e g, a) as abscissas dos pontos críticos; b) as abscissas dos pontos de máimo e de mínimo; c) os intervalos de crescimento e decrescimento;

4 d) os intervalos onde a concavidade é voltada para cima e onde a concavidade é voltada para baio; e) as abscissas dos pontos de infleão; g) esboce o gráfico da função g no intervalo [-,], considerando g (-) = 0, g (0) =, g () = a, para um a conveniente, g (/) =, g () = e g () =. Gráfico de f Gráfico de g 7 a Questão: Use o teorema de Rolle para provar que entre duas raízes consecutivas de uma função polinomial f eiste pelo menos uma raiz de f. a Questão:. Determine as constantes nas funções abaio, de modo que: a) f ( ) = a e ; a 0 tenha um máimo em = ;

5 a b) f ( ) = +, > 0, tenha um mínimo em = ; c) f() = + a + b + c tenha pontos críticos em = e =. Qual é o de máimo e qual é o de mínimo? d) f() = a + b + c tenha um máimo relativo no ponto P (, 7) e o gráfico de = f() passe pelo ponto Q (,-); e) f() = + a + b + c tenha um etremo em = e o gráfico de f tem um ponto de infleão em = ; f) f() = a + b + c tenha um ponto de infleão P (, ) e a inclinação da reta tangente nesse ponto seja. a Questão: Determine os etremos absolutos das funções: a) = ln, e e ; (e,788) b) = sen() + cos(), π 7 a Questão: Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eios, as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máimos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é conveo, os pontos de infleão, o esboço gráfico. a) f() = 0 + b) f ( ) = c) + + f ( ) = d) f ( ) = e) f ( ) = f) ( + ) f ( ) = e g) e f ( ) = h) f ( ) = ln ( + ) i) f ( ) = j) f ( ) = + + k) f ( ) = ( ) l) f ( ) = + ( ) ln m) f ( ) = 9 n) f ( ) = ( + ) 8 a Questão:. PROBLEMAS DE MÁXIMOS E MÍNIMOS a) Prove que se o produto de dois números positivos é constante, a soma é mínima quando os dois números são iguais. b) Molde um fio de arame de comprimento L em forma de um retângulo cuja área seja a maior possível. c) Uma reta variável passando por P (,) intersecta o eio O em A (a,0) e o eio O em B (0,b). Determine o triângulo OAB de área mínima para a e b positivos. d) Faz-se girar um triângulo retângulo de hipotenusa dada H em torno de um de seus catetos, gerando um cone circular reto. Determine o cone de volume máimo.

6 e) Dentre os retângulos com base no eio O e vértices superiores sobre a parábola determine o de área máima. =, f) Considere uma barraca na forma de um cone. Encontre a razão entre a medida do raio e a medida da altura para que uma tal barraca de volume dado V eija a menor quantidade de material. (Não considere o piso da barraca). g) Um caia com fundo quadrado e sem tampa deve ser forrada com couro. Quais devem ser as dimensões da caia que requerem a quantidade mínima de couro, sabendo que a sua capacidade é litros? h) Um cartaz deve conter 0cm de matéria impressa com duas margens de cm em cima e embaio e duas margens laterais de cm cada. Determine as dimensões eternas do cartaz de modo que a sua área total seja mínima. i) Corta-se um pedaço de arame de comprimento L em duas partes; com uma das partes faz-se uma circunferência e com a outra um quadrado. Em que ponto deve-se cortar o arame para que a soma das áreas compreendidas pelas duas figuras seja mínima? j) Um fazendeiro deve construir dois currais lado a lado, com uma cerca comum. Se cada curral deve possuir uma certa área A, qual o comprimento da menor cerca necessária? b b b a a k) Um tanque de base quadrada, sem tampa, deve conter cm. O custo, por metro quadrado, para a base é de R$8,00 e para os lados R$,00. Encontre as dimensões do tanque para que o custo seja mínimo. l) Um cocho de fundo plano e lados igualmente inclinados deve ser construído dobrando-se um pedaço comprido de metal com largura a. Se os lados e o fundo têm largura a/, qual a inclinação dos lados que fornecerá a maior seção reta? m) Uma ilha situada a 0km de uma costa relativamente reta deve organizar um serviço de barcas para uma cidade que dista 0km, contados como na figura abaio. Se a barca tem uma velocidade de km/h e os carros têm uma velocidade média de km/h, onde deverá estar situada a estação das barcas, ao longo da costa, a fim de tornar a viagem mais rápida possível? Cidade 0 km 0 km Ilha n) Desejamos fazer uma caia retangular aberta com um pedaço de papelão de 8cm de largura e cm de comprimento, cortando um pequeno quadrado em cada canto e dobrando os lados para cima. Determine as dimensões da caia de volume máimo. o) Considere dois pontos A e B, diametralmente opostos, situados na margem de um lago circular. Um homem vai do ponto A a um ponto C, também situado na margem do lago entre os pontos A e B,

7 nadando em linha reta com a velocidade de / m/s. Do ponto C até o ponto B ele vai correndo pela margem, com a velocidade de 0/ m/s. Determine o ângulo θ, igual ao ângulo BÂC, que corresponde π ao menor tempo de percurso, considerando o círculo de raio r constante, θ [0, ], e sabendo que o comprimento do arco CB é igual a θ. AB. p) Qual o triângulo isósceles de maior área que se pode inscrever num círculo dado? 9 a Questão: Determinar o polinômio de Talor de ordem n, no ponto c dado, das seguintes funções: a) f() = / e ; c = 0 ; n = b) f() = ln(-); c = 0 e c = ½; n = c) f() = cos ; c = 0 e π /; n = 0 a Questão: Encontrar o polinômio de Talor de grau n no ponto c e escrever a função que define o resto da forma de Lagrange, das seguintes funções: a) = tg ; n = e c = π b) = ; n = e c = c) = e ; n = e c = 0 a Questão: Usando o resultado encontrado no eercício 9b),com c = 0, determine um valor aproimado para ln 0,. Fazer uma estimativa para o erro. a Questão: Determinar o polinômio de Talor de grau da função f() = + cos no ponto c = π. Usar este polinômio para determinar um valor aproimado para cos(π / ). Fazer uma estimativa do erro. a Questão: Determine os máimos e mínimos das seguintes funções: a) f() = ( ) 0 b) f() = ( + ) 7 c) f() = d) f() = - RESPOSTAS a Questão a) (f o u) () = ( ) (f o u) () 8 d b) = (sen( ) + cos( d )), π π d d ( = π ) o 7

8 c) + ( f o u) ( ) =., (f o u) () = + ( + ) d) f ( ) =, f ( ) = + π π π π π e) f ( ) = sen( + ) +.cos( + ) sen( + ), f (0) = sen( ) sen( ) t t f) f ( t) = ln().( ), f (0) = 0 π g) f () = sec, f ( ) h) f ( ) =, f (0) = ( e + e ) i) f ( ) =.( + e ).cos sec[.( + e )], f (0) = 0 a Questão: a) (f o u) () = 0 8, (f o u) () = - 8 d b) =.sen( )( ) + 0 cos( ), d 0π d d ( 0 = π ) c) (f ) () = sec tg d) 8.( e e ) f ( ), (f ) (0) = 0 ( e + e ) a Questão: a) f () = ; b) a Questão: f ( 0) ; c) (g o f o h) () = 0; d) g ( ) = + a) ( ) ( + ) f ( f ( )) = ; b) ( f ) ( f ( )) = ; c) ( f ) ( f ( )).cos sec() + 8 d) ( f ) ( f ( )) = ; e) f ( ) ( f ( )) = ; cos(ln ) + e a Questão: 8 a) /8; b) 8; c) -/; d) ( / ) e π ; e) ½; a Questão: a) f ( ) = + + b) f ( ) 8

9 arctan( ).ln(). c) f ( ) = + + d) f ( ) ( + ).arccos( + ) e) f ( ).ln()..( + ).arccotg( ) f) (f ) () = ( + π ) [ ln( + π ))] 7 a Questão: a) g ( ) = ; b) ( + ) g ( ) = ; c).( + ) g ( ) = 8 a Questão: a) p q d 8 + b) = d + p c) = cos p = d) e p + e e) = + p = a Questão: + a) sen( ) b) ( cos ) p 9 p e + e c) = p = ( e + ) e 0 a Questão π π π a) Reta Tangente: = ( ) Reta Normal: ( ) 9 9 π b) Reta Tangente: = ( ) Reta Normal: ( ) c) Reta Tangente: 9 = 8( ) Reta Normal: 9 ( ) 8 9

10 d) Para =, reta tangente ( ) Reta Normal: = ( ) Para =, Reta Tangente: + ( + ) Reta Normal: + = ( + ) e) Reta Tangente: = ( ) 8 Reta Normal: = 8( ) f) Reta Tangente: = ( ) Reta Normal: ( ) a Questão: a) ln( ) b) π c) 0 d) e) f) e g) π h) 0 i) j) e l) e m) n) 0 o) p) 9 q) e a Questão: ln a Questão: Para f : a) -, -, 0,,,, b) ma = e ; min = - e c) crescente em [-, ] ; [, ] ; [, ]; decrescente em ]-, -]; [, ]; [,+ [ d) concavidade para cima em ]-,, -[ ; ]0, [ ; ], [; concavidade para baio em ]-,- [; ]-,0[; ], [; ], + [ e) -, 0,,, Para g: a) -, -, -, 0,, b) ma =, min = -, min = c) crescente em ]-, -[ ; [-, ] ; [, [; decrescente em ]-, -] ; [, ] ; ], + [. d) concavidade para cima em ]-, -[ ; ]-,-[ ; ]-, 0[ ; ]/, [; concavidade para baio em ]-,-[ ; ]-, -[ ; ]0, /[ ; ], [ ; ], + [. e) -, -, -, 0, /, f) gráfico da g em [-, ]: / 0

11 a Questão: a) a R * + b) a = c) a = -/, b= -8 e c R, ma = -, min = ; d) a = -9, b = 8, c=- e) a = -, b = -, c R; f) a =, b = -, c = 0. a Questão:.a) má. (-e) em = e; mín. (-e ) em = e b) má. (,) em = π/ e = π/; mín. (-) em = - π/ 7 a Questão: a) D(f)=IR; interseção com O: P(0, 0); não tem assíntotas; crescente em [-, ]; decrescente em ]-, -] e em [, + [; má. em Q(, 7); mín. em R(-, -0); concavidade para cima em ]-, -/[; concavidade para baio em ]-/, + [; ponto de infleão M(-/, 7/). b) D ( f ) = IR ; intersecta os eios na origem; assíntota: = 0; interseção com a assíntota em (0,0); crescente em [-, ]; decrescente em (-, -] e em [,+ ); má. em Q (,) ; mín. em P (, ) ; concavidade para baio em ], [ e em ] 0, [ ; concavidade para cima em ],0[ e em ], + [ ; pontos de infleão: (, ) 0, 0 N, /. M, ( ) O e ( ) c) D(f)=IR *; interseção com O: P(,0) e Q(,0); assíntotas: = 0 e = ; interseção com a assíntota horizontal: R(/,); f é crescente em ]-,0[ e em [/,+ [ e f é decrescente em ]0,/]; mín =/ e mín = -/, não tem máimo; concavidade para cima em ]-,0[ e em ]0,9/[ e concavidade para baio em ]9/,+ [; ponto de infleão S(9/, -/7). d) D ( f ) = IR { ± } ; interseção com os eios na origem; assíntotas: = -, = e = ; tem interseção com a assíntota = na origem, O(0,0); crescente se ], ] e em [, + [ ; decrescente [, ];],[;], ] ; má. em (, / ) Q, / ; concavidade para baio P ; mín. em ( ) em ]-, -[ e em ]0, [; concavidade para cima em ]-,0[ e em ],+ [; ponto de infleão O(0,0). e) D(f)=IR-{-}; interseção com os eios: O(0,0); assíntotas: = - e = 0; interseção com as assíntotas: O(0,0); f é crescente em ]-,] e decrescente em ]-,-[ e em [,+ [; má em R(, ¼), não tem mínimo; concavidade para cima em ],+ [ e concavidade para baio em ]-,-[ e em ]-,[; ponto de infleão: P(,/9). f ) D(f)=IR; interseção com O: N(0, ); asssíntota: = 0; não tem interseção com a assíntota; crescente em ]-,0]; decrescente em [0, + [; má. em N(0, ); não tem mín.; concavidade para cima em

12 ], / [ e em ] /, + [ ; concavidade para baio se ] /, / [ ; pontos de infleão P /, e / e Q /, e /. g) D ( f ) = IR {} 0 ; não tem interseção com os eios; assíntotas: = 0 e = 0: não tem interseção com as assíntotas; crescente em [, + [; decrescente em ]-, 0[ e em ]0, ]; mín. em P(, e) ; não tem má.; concavidade para cima em ]0, + [; concavidade para baio em ]-, 0[ ; não tem ponto de infleão. h) D ( f ) = IR ; interseção com os eios na origem; não tem assíntotas; crescente em [0,+ [; decrescente em ]-, 0]; mín. em M(0, 0); não tem má.; concavidade para cima em ]-,[; concavidade para baio em ],[ e em ],+ [; ponto de infleão em P (, ln ) e Q (, ln ). i) D ( f ) = (0,) (,+ ) ; não tem interseção com os eios; assíntota: = ; não tem interseção com a assíntota; crescente em [e, + ); decrescente em (0, ) e em (, e]; mín. em N(e, e/); não tem má.; concavidade para cima em (, e ); concavidade para baio em (0, ) e em (e, + ); ponto de infleão em M(e, e /). j) D(f)=IR; interseção com O: P(0, ); assíntotas: = + e ; não tem interseção com as assíntotas; crescente em [,+ ); decrescente em (-, -]; mín. em Q(-, ); não tem ponto de má.; concavidade para cima em IR; não tem ponto de infleão. ( ; interseção com O: ( 0,) k) D f ) = IR R ; interseção com O em M (, 0) e N(, 0) ; não tem assíntotas; crescente em [,0] e em[, + ) ; decrescente em (, ] e em[0,] ; má. em R(0, ); mín. em M(-, 0) e N(, 0); concavidade para cima em (-, - ) e em (, + ); concavidade para baio em P. (-, -), (-, ) e em (, ); pontos de infleão (, ) e Q(, ) ( ; interseção com O: S ( 0, + ) l) D f ) = IR ; não tem assíntotas; crescente em [, + [; decrescente em ]-, [; mín. em Q (,) ; não tem má.; concavidade para baio em ]-, [ e em ], + [; não tem ponto de infleão. m) ( f ) = [,] D ; interseção com eios em O (0, 0), P (, 0), Q (, 0) ; não tem assíntotas; crescente em [ /, / ] ; decrescente em [, / ] e em /, ] [ ; má. em R (,9 ) ; min em

13 P (, 9 ) concavidade para cima em ]-, 0[; concavidade para baio em ]0, [; ponto de infleão O(0, 0). + 8 ( ) n) f '( ) = e f ''( ) = ; D ( f ) = IR; interseções com o eio O: P(-, 0) e O( 0, 0); 9 interseção com eio O: O( 0, 0 ); não tem assíntotas; f é crescente nos intervalos ],8 / ] e [0, + [ ; 8 f é decrescente no intervalo [- 8/, 0] ; o gráfico de f tem máimo no ponto Q (, ), onde a reta tangente é horizontal ( f '( 8 / ) = 0); o gráfico de f tem mínimo no ponto O( 0, 0 ), onde a reta tangente é vertical; o gráfico de f tem concavidade voltada para baio no intervalo ], / [ ; o gráfico de f tem concavidade voltada para cima no intervalo ] /, + [ ; ponto de infleão R (, ). GRÁFICOS DA 7ª QUESTÃO a) b) c) d) e) f)

14 g) 7 h) i) 7 8 j) l) k) m) n) a Questão: b) área = L / c) base =, altura = ; d) raio = H /, altura = H / e) base =, altura = 8 f) r / h = / ; g) dm h) 9 8 i) área mínima se raio = L ( + 8) π, lado do quadrado = L( + π ) - ; j) A ; k) base: cm e altura: cm.

15 l) θ = π / rd m) 0 Km n) /cm, /cm, /cm π o) θ = rd, isto é, o homem deve apenas caminhar sobre a margem. p) lado = R, altura R/ (triângulo eqüilátero) 9 a Questão: a) c = 0, P () = c =, P () = b) c = 0, P () = c =, P () = !!!! / e + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( )!!!!!!!. ln!!! c) c = 0, P () = +!!! c = π /, P () = π π π + +!!! 0 a Questão: ( π ) (sec z. tgz + 8sec z. tg z)( π ) a) P () = π + ; R () =! b) P () = + ( ) + ( ) + ( ) ; R () =. ( ) 8 z z e z c) P () + ; R () = (0z 0z z ) 0 a Questão: 0,78; R (0,) < 0,

16 a Questão: P () = π R 0,0000 π ( π ) ( π ) + ( π ) ; cos -0,80; 70 a Questão: a) min em = b) / c) ma em = 0; min em = d) ma em = -; min em =. ±