ACADEMIA DA FORÇA AÉREA PROVA DE MATEMÁTICA 2001

Transcrição

1 PROV E MTEMÁTI ssinale a alternativa que contém a afirmação correta., y, e y, ( + y) = + y b), y, e y *, se y é inteiro, então y é inteiro, y, e y,, y, e y, + y + é um número racional + y + é um número racional cos cos 06 - Se o polinômio P () = m b n mn + b m é divisível por + b, sendo n < m, n, m γ * e b 0, então, ocorrerá necessariamente m par e n ímpar. b) m ímpar e n par. m ímpar e n ímpar. m par e n par. 0 - onsidere no campo compleo uma curva tal que Im k, onde z é um compleo não nulo. Se k =, z tem-se sua representação gráfica dada pelo círculo de raio e tangente ao eio real. b) círculo de raio e tangente ao eio imaginário. conjunto de pontos do plano compleo eterior ao círculo de raio e centro, 0 círculo de raio e tangente ao eio real. 0 - Os pontos, e são afios das raízes cúbicas do número compleo z. Se n é o menor natural não nulo para o qual z n é um real positivo, então n é igual a Im 8 b) 6 0 O 0 - cada ano que passa, o valor de uma máquina diminui 0% em relação ao do valor do ano anterior. Se V for o valor da máquina no ano da compra, após 0 anos será (0,9) 0 V b) (0,) 9 V (0,) 9 V (0,) 0 V 0 - Sendo S π π π π π π π π = n + n +..., o valor do cos (S ) é igual a sen b) sen O = Re 07 - s equações ) y y + ayb = 0, onde a e b IR, ) y y + = 0 apresentam, respectivamente, as soluções: S = { γ, α, β} e S = { α, β} sendo γ < α < β. É correto afirmar que a b 0 b) γ = a β γ = 0 β + γ = a + b 08 - palavra que não muda o seu sentido, quer se leia da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda, é chamada palíndromo (E., ovo, asa, acaiaca, serres, etc.). onsiderando-se as letras do nosso alfabeto, quantos anagramas de 6 letras com características de um palíndromo, pode-se formar? 6 b) Sendo p() = 6 p. p, a soma das raízes de p p= 0 p() é um número do intervalo ],0 [ b) ], [ ] 60,70 [ ], [ 0 - Numa demonstração de paraquedismo, durante a queda livre, participam 0 paraquedistas. Em um certo momento, 7 deles devem dar as mãos e formar um círculo. e quantas formas distintas eles poderão ser escolhidos e dispostos nesse círculo? 0 b) Na cademia da Força érea, eistem 8 professores de matemática e 6 de física. Para participar de um congresso no Rio de Janeiro, deverá ser formada uma comissão de professores. probabilidade de F PROV E MTEMÁTI 00...

2 PROV E MTEMÁTI 00 participarem dessa comissão professores de matemática e de física é de s figuras I e III representam um sistema de três equações com soluções iguais. b) s matrizes, e são do tipo m, n p e r, respectivamente. Se a matriz transposta de () é do tipo, então m = p b) mp = nr n + p = m + r r = n a b - É dada a matriz =, onde a e b são números b a 0 a reais. Se. =, então o determinante de b vale a b) a zero a + b - O conjunto de soluções de uma única equação linear + a y + a z b é representado por um plano a = no sistema de coordenadas retangulares yz (quando a, a, a não são todos iguais a zero). nalise as figuras a seguir. (I) Três planos se cortando numa reta (II) ssinale a opção verdadeira. Três planos se cortando num ponto figura I representa um sistema de três equações com uma única solução. b) figura III representa um sistema de três equações cujo conjunto solução é vazio. figura II representa um sistema de três equações com uma infinidade de soluções. = sen t - s equações paramétricas representam y = cos t um segmento de reta de etremos (0, ) e (, 0) b) uma elipse de eio maior igual a uma hipérbole de eio real horizontal uma circunferência de centro (0, 0) e raio igual a 6 - s diagonais de um losango estão contidas nas retas (r) (m ) + (m )y = 0 e (t) + (m + )y + m + = 0. É correto afirmar que os possíveis valores de m têm soma igual a b) têm produto igual a pertencem ao intervalo ], ] têm sinais opostos. 7 - equação y = + ( ) representa: elipse de eio maior igual a b) parábola de vértice V (, ) e parâmetro p = hipérbole de eio real vertical e centro (, ) semicircunferência de centro (, ) e raio r = 8 - ada a equação a + by = c, onde a, b e c são reais NÃO nulos, é correto afirmar que, necessariamente, sua representação gráfica é uma circunferência, se a = b b) hipérbole, se a = b e c = b elipse de centro na origem, se a b e c = circunferência, se a = b e c > 0 (III) Três planos sem interseção 9 - O rasil tem um encontro marcado com o caos. No dia o de junho começa o plano de racionamento de energia. O modelo energético brasileiro é baseado quase que eclusivamente em hidrelétricas, que produzem 97% da energia consumida no país. Sem chuva, entra em colapso. Revista Veja 6/0/0 No gráfico abaio, tem-se o nível da água armazenada em uma barragem ao longo dos últimos anos, que foi construída para represar água a fim de mover as turbinas de uma usina hidrelétrica. F PROV E MTEMÁTI 00...

3 PROV E MTEMÁTI nível (m) o nível máimo b) se Ρ 0, então (gof)() = se, então (gof)() = se Ρ e Σ 0, então (gof)() = tempo o nível mínimo para gerar energia - Um veículo de transporte de passageiro tem seu valor comercial depreciado linearmente, isto é, seu valor comercial sofre desvalorização constante por ano. Veja a figura seguinte. valor (R$) nalise as alternativas e marque a opção correta. O nível da água permaneceu constante num período de 8 anos. b) O nível de 80 metros foi atingido eatamente duas vezes até o ano 000. pós o ano de 000, o nível da água da barragem foi insuficiente para gerar energia. No período de 99 a 000, o nível da água só diminuiu. 0 - onsidere a função f: definida por + +, se 0 f() =, se 0 < <. Então, pode-se afirmar que +, se o conjunto imagem dessa função é {y σ y Ρ 0} b) {y σ y Ρ 0 ou y = ou y Σ } 7 {y σ y Ρ 0 ou y = ou y } 7 {y σ y = ou y } - nalise e classifique as sentenças como V (verdadeiras) ou F (falsas). ( ) f: definida por f() = cos é par. ( ) f: definida por f() = sen é sobrejetora. ( ) f: [0, π] [, ] definida por y = cos é inversível. π π ( ) f:, definida por y = sen é inversível, se, e somente se, = [0, ]. alternativa que corresponde à seqüência correta é V F V F b) F F V F V F V V F V F V - Sejam as funções g e f definidas por g: tal que, se > g() = e f: tal que f() =., se Sobre a composta (gof)(), é correto afirmar que Esse veículo foi vendido pelo seu primeiro dono, após anos de uso, por R$.000,00. Sabendo-se que o valor comercial do veículo atinge seu valor mínimo após 0 anos de uso, e que esse valor mínimo corresponde a 0% do valor que tinha quando era novo, então esse valor mínimo é, em reais, menor que 00 b) maior que 00 e menor que 7000 múltiplo de 700 um número que NÃO divide Uma malharia familiar fabrica camisetas a um custo de R$,00 cada uma e tem uma despesa fia semanal de R$ 0,00. Se são vendidas camisetas por semana, ao preço de reais a unidade, então, o número 0 de camisetas que deve ser vendido por semana para se obter o maior lucro possível é 60 b) O domínio da função real epressa pela lei f () = ( + ) ( ) é γ, tal que < ou 0 Ρ < b) < Ρ 0 ou > < ou 0 < < < < 0 ou > 0 0 tempo (anos) 6 - curva abaio representa o gráfico da função f definida por f() = log. Se e têm coordenadas a respectivamente iguais a (, 0) e (8, 0), e se a área do trapézio E é igual a 6, então, pode-se dizer que a área do triângulo E é se, então (gof)() = F PROV E MTEMÁTI

4 PROV E MTEMÁTI 00 y E altura f um número irracional. b) um número primo. um número quadrado perfeito. uma dízima periódica. 7 - Sejam f e g funções definidas por f () = + e g() = log+. O domínio de (gof)() é o conjunto dos números reais, tais que 0 < < ou > b) < ou > < < e 0 > 8 - Todo número real positivo pode ser descrito na forma 0. Tendo em vista que = 0 0,0, então o epoente, tal que = 0 vale, aproimadamente, 0, b) 0, 0,0 0, Um aro circular de arame tem cm de raio. Esse aro é cortado e o arame é estendido ao longo de uma polia circular de raio cm. O valor do seno do ângulo central (agudo), que o arco formado pelo arame determina na polia é 6 b) Em uma apresentação da esquadrilha da fumaça, dois pilotos fizeram manobras em momentos diferentes deiando rastros de fumaça, conforme mostra a figura abaio. 0 π π 9π π π 9π π distância s funções f e f que correspondem às manobras eecutadas pelos pilotos são f () = sen e f () = sen b) f () = + sen e f () = sen π π f () = + sen e f () = sen + π f () = + sen e f () = sen - nalise as alternativas seguintes e classifique-as como verdadeiras (V) ou falsas (F). I - O período e o conjunto-imagem da função f: definida por f () =.sen.cos são, respectivamente, π e, II - função y = arc cos tem por domínio o conjunto de todos os valores de pertencentes a 0, III - Para todo π π,, o valor de (tg + ). (sen ) é opção que corresponde à classificação acima é F V F b) V V F F F V V F V - o saltar do avião que sobrevoa o ponto (veja figur, um paraquedista cai e toca o solo no ponto V. Um observador que está em R contacta a equipe de resgate localizada em O. distância, em km, entre o ponto em que o paraquedista tocou o solo e a equipe de resgate é igual a f, b),, F PROV E MTEMÁTI 00...

5 PROV E MTEMÁTI 00,7 - Uma das raízes da equação (I) + m = 0 π (m IR) é a solução da equação (II) tg = no intervalo [0,π]. Então, pode-se afirmar que o produto das raízes da equação (I) vale b) V O km - O conjunto dos valores reais de que tornam verdadeira a desigualdade cos ( π) π é { IR π ou π } b) { IR π π } - No desenho abaio, estão representados os terrenos I, II e III. Quantos metros de comprimento deverá ter o muro que o proprietário do terreno II construirá para fechar o lado que faz frente com a rua? 8 b) 9 RU I III α α R km RU m m RU II 0 m 6 - Na figura abaio, os pontos, e pertencem à circunferência de centro O e raio r. Se β = 0 e γ = 0, então, a área do triângulo O é b) r r r 9 r 7 - Na figura abaio, os triângulos e E são equiláteros. Se a razão entre as áreas desses triângulos é 9 e o perímetro do menor é, então, a área do quadrilátero E é + b) onsidere as proposições a seguir: I - Se dois planos são paralelos, então toda reta que é paralela a um deles é paralela ou está contida no outro. II - Se uma reta é paralela a um plano, então é paralela a todas as retas do plano. III - Se uma reta possui dois pontos distintos num plano, então ela está contida no plano. IV - Se dois planos são secantes, toda reta de um, sempre intercepta o outro plano. Pode-se afirmar que as proposições verdadeiras são I e IV b) II e III I e III II e IV 9 - área total do sólido gerado pela rotação do polígono E em torno do eio y, que contém o lado E, é, em m, igual a y π b) 0π 68π 70π E β γ O E ados: E = m = 6m = 6m = m F PROV E MTEMÁTI 00...

6 PROV E MTEMÁTI figura seguinte representa uma pirâmide regular de base quadrada, onde M é o ponto médio de E e M pertence ao plano da base. Se E = 00m, = 0m, = m e M = 8m, então, o volume (em m ) de uma esfera cujo raio é da altura dessa pirâmide é igual a 00π b) 7π 00π π M E F PROV E MTEMÁTI