z = a bi é o conjugado do complexo z = a + bi. O conjugado de um complexo é

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1 SINTESE DOS CONTEÚDOS DE ºANO COMPLEXOS = i i = Forma algébrica de um n.º complexo = a+bi, com a, b R. a é a parte real de e escreve-se: Re() = a; b é o coeficiente da parte imaginária e escreve-se Im() = b; Se b = 0 então = a, ou seja, é um número real (IR C); Se b 0 e a = 0, então = bi, ou seja, é um número imaginário; = a bi é o conjugado do complexo = a + bi. O conjugado de um complexo é trocar o sinal da parte imaginária Divisão: Quando (complexo do denominador) não é um número real é necessário multiplicar os dois termos da fracção pelo conjugado de. (a + bi)(a - bi) = a (bi) = a + b Potenciação i 0 = i = i i = - i 3 = -i i 0 = i = -porque 0:=,5 depois 0,5x= i n = i r sendo r o resto da divisão de n por. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA dos números complexos no plano Eixo Imaginário A cada complexo = a+bi corresponde um e só um par ordenado (a, b), no plano complexo (a, b) é o afixo ou imagem do complexo. Exemplo: Do complexo =+3i a imagem geométrica/afixo é (, 3) ºQ. Eixo Real Forma ou representação trigonométrica de um complexo = ρcosθ + isenθ = ρcisθ = cisθ Para colocar um complexo da forma algébrica para a forma trigonométrica é necessário: º Indicar a imagem e o quadrante do complexo º Calcular o módulo de : = ρ = a + b b b 3º Calcular o argumento (θ): tgθ = θ = tg,a 0 a a Professora Cláudia Jorge 7 Ano Lectivo /

2 SINTESE DOS CONTEÚDOS DE ºANO NOTA: arg = θ + k, com k Z Argumento principal ]-, [. Argumento positivo mínimo ]0, [. -α +α α -α O ângulo de um polígono regular é dado por: α =. nº de lados do polígono = i = cis =- =cis = =cis0 = i = cis Z = 3 = 3 cis0 Z = -3 = 3 cis Z = 3i = 3 cis Z = -3i = 3 cis n.º real positvo n.º real negativo n.º imaginário puro positivo n.º imaginário puro negativo Bissectri dos quadrantes y = -x y = x = -a - ai = -a + ai Exemplo Pares: y = -x (os valores real e o valor imaginário são iguais) Impares: y = x (valores iguais e sinais simétricos) = + i = cis = + i = cis Relação entre os módulos e os argumentos de alguns complexos Considera o complexo = a+bi em que o seu afixo = (a, b) ºQ: (-,+) (+,+) (-,-) (+,-) (a, b) - (SIMÉTRICO DO COMPLEXO) Imagem/afixo Quadrante Expressão Algébrica Trigonométrica - = (-a, -b) 3ºQ - = -a bi - = ρcis(+θ) (-a, -b) Gráfico (CONJUGADO DO COMPLEXO) = (a, -b) ºQ = a bi = ρcis(-θ) (a, -b) i. i. = (-b, a) ºQ i. = -b + ai i. = ρcis(-θ) (-a, b) Conclusões Números complexos conjugados têm imagens simétricas em relação ao eixo abcissas. Números complexos simétricos têm imagens simétricas em relação à origem. A multiplicação de um número complexo por i tradu-se por uma rotação de 90º com a origem. Professora Cláudia Jorge 8 Ano Lectivo /

3 SINTESE DOS CONTEÚDOS DE ºANO Relação de igualdade entre complexos na forma trigonométrica = ρcis θ = ρ cis θ = ρ = ρ θ = θ + k,k Ζ OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA Não se pode somar nem subtrair complexos na forma trigonométrica Operação Expressão Multiplicação. = ρ ρ cis( θ + ) θ Exemplo: Considera = cis e 7 = 3cis 3. = = cis.3cis = cis 3 ρ Divisão = cis( θ θ ) ρ = cis 7 9 = = cis = cis cis 3 Potenciação n Seja n IN então: n n = ρcisθ = ρ.cis(nθ ( ) ) ( ) = cis = cis = cis = cis Radicação Seja n IN então: n k n cis n θ + = ρ θ = ρ.cis, n k = 0,,,...,n, Z k 3 + = cis cis sek = 0,,,3 k = 0 : = cis + k = : = cis = cis + 9 k = = cis = cis + 7 k = 3 = cis = cis Caso particular: cis0 O inverso de um número complexo, não nulo, é o complexo: = = cis( θ) ρcisθ ρ Notas importantes: k = se k for um número ímpar. k = 0 ou se k for um número par Uma solução de um complexo é igual ao complexo inicial quando elevado ao índice indicado. Quando se pretende calcular as raíes de um complexo utilia-se a radicação. Quando se pretende calcular a expressão de um complexo a partir de uma das suas raíes utilia-se a potenciação (elevando a rai ao índice dado no enunciado). Professora Cláudia Jorge 9 Ano Lectivo /

4 SINTESE DOS CONTEÚDOS DE ºANO Conjunto de pontos definidos por condições na variável complexa. Lugares geométricos Para este item considera sempre o complexo =a+bi. Re() = k Exe: Re() = 3 Define uma recta paralela ao eixo imaginário. Im() = k Exe: Im() = Define uma recta paralela ao eixo real = k Define uma circunferência de centro na origem e raio k. Nota : O valor do representa o raio da circunferência. Exe: = - = k Considera (+i) = c(, ) r= Define uma circunferência de centro e raio k - = - Define uma mediatri de segmento nos afixos e. Considera =+i e =--i =(,) =(-,-) Z Z Arg =θ Exe: arg = Define uma semi-recta de centro na origem e ângulo θ. Arg (- )=θ =-i Define uma semi-recta de centro e ângulo θ. 5 arg( ( i)) = C(,-) 5 θ = 5 Z Professora Cláudia Jorge 0 Ano Lectivo /

5 Z=a+bi Exe: =3+i SINTESE DOS CONTEÚDOS DE ºANO Define um ponto de coordenadas (a, b). =(3,) SEMI PLANOS Para representar geometricamente considera: =+i =--i - > - Z Z Re( ) a Im( ) b Ângulo θ arg(- ) < θ +θ θ = θ = θ + θ = Coroa circular r - < r r = e r =3 Círculo - < r r= Professora Cláudia Jorge Ano Lectivo /