Introdução: A necessidade de ampliação dos conjuntos Numéricos. Considere incialmente o conjunto dos números naturais :
|
|
- Luiz Henrique Affonso Fortunato
- 7 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Introdução: A necessidade de ampliação dos conjuntos Numéricos Considere incialmente o conjunto dos números naturais : Neste conjunto podemos resolver uma infinidade de equações do tipo A solução pertence ao conjunto dos naturais. Porém se nos propusermos a resolver a equação, não encontraremos nenhum número natural que satisfaça a igualdade, pois qualquer natural que escolhamos para ocupar o lugar de de x teremos. Há a necessidade de ampliação do conjunto dos números naturais para resolver tal equação (equação (1)). Para isso, criamos o conjunto dos números inteiros : Neste conjunto podemos resolver qualquer equação do tipo, porém nem toda equação do tipo terá solução. De fato, estas equações somente são solúveis em se é múltiplo de. Se a não for divisor de b, não encontraremos que satisfaça a equação (2). Para estas situações criamos o conjunto dos números racionais: No conjunto que qualquer equação do tipo Porém, nem toda equação do tipo, será solúvel. terá solução. De fato, estas equações somente são solúveis se for um quadrado perfeito. Se a não for um quadrado perfeito não encontraremos que satisfaça a equação (3). Para estas situações criamos o conjunto dos 1
2 números irracionais. Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais surge o conjunto dos números Reais: Note que Porém, mesmo em, equações do tipo podem ainda não ser solúveis. Basta tomarmos, por exemplo. Não há solução pois sabemos que, em, qualquer número elevado ao quadrado é sempre um número positivo. Se faz necessária uma nova ampliação nos conjuntos numéricos. Para isso, precisamos de um conjunto que contenha o conjunto dos números Reais e que continue satisfazendo as propriedades algébricas deste conjunto em relação às operações de adição e multiplicação. A criação do conjunto dos Números Complexos Imaginemos um conjunto, que indicaremos por, como um conjunto de pares ordenados de números reais: Neste conjunto, vamos definir operações de adição e de multiplicação, da seguinte forma: Adição Multiplicação As operações de adição e multiplicação assim definidas satisfazem todas as propriedades algébricas do conjunto dos números reais, que são: i) Comutatividade da adição Se então ii) Associatividade da adição Se então 2
3 iii) Neutro aditivo Existe, tal que iv) Oposto aditivo Dado, existe, tal que v) Comutatividade da multiplicação Se então vi) vii) viii) Associatividade da multiplicação Se então Neutro Multiplicativo Existe, tal que Inverso multiplicativo Dado, existe, tal que ix) Multiplicação distributiva em relação a adição Se então Números Reais são um sub conjunto de Ainda, se tomarmos o sub-conjunto de : Teremos que, em : A adição definida para será dada por, isto é,. A multiplicação definida para será dada por, isto é,. 3
4 Então se, denotarmos um elemento de de S, simplesmente por, termos que, as operações de adição e multiplicação em S se comportam exatamente como as operações de adição e multiplicação em, preservando todas as suas propriedades,e, além além disso, podemos estabelecer uma correspondência biunívoca entre os elementos de S e. Então, assumindo as operações definidas em, o sub-conjunto S se comporta exatamente como o conjunto dos números reais (com suas operações de adição e multiplicação).ou seja. Concluímos então que O conjunto permitindo soluções para Voltemos ao nosso problema de resolver, agora no conjunto dos números complexos, a equação Consideremos a equação.. Esta equação tem solução real dada por Consideremos também o número complexo. Temos E, Como, e Portanto, no conjunto dos números complexos o número solução da equação. é Portanto o conjunto, da forma como concebemos é uma ampliação do conjunto dos números Reais que nos permire resolver equações do tipo 4
5 A unidade imaginária Como vimos, para solucionar equações do tipo, usamos um número real que obtemos em função de (o módulo de ), e um número complexo. Este número é o que nos permite solucionar em, as equações do tipo. Por isso criamos um símbolo especial para o número complexo, denotando-o por : O número é chamado de unidade imaginári Note que característica fundamental da unidade imaginári. Esta é uma A forma algébrica Qual quer número complexo pode ser escrito como: Ainda, Então, Note que é o número Real, e é o número real. Então podemos escrever: Ou seja, dado um número complexo única como:, ele pode ser escrito de forma Esta é a chamada forma algébrica, ou forma binomial de um número complexo. Ao escrevermos um número complexo na forma algébrica, nós o estamos dividindo em duas partes que chamaremos de parte real, denotada por de parte imaginária, denotada por :, e 5
6 Note que, no formato acima: se teremos que será um número Real; se teremos, que será classificado como um número Imaginário Puro. A subtração e a divisão no conjunto dos números complexos Já definimos a soma e o produto de complexos para definir este conjunto. As operações de subtração e divisão decorrem destas duas operações já definidas. Subtração: Se e Então Então, Divisão: Se e, com Então, Então se Então, Ainda, Então, 6
7 A equivalência entre o produto definido em e a aplicação da propriedade distributiva para multiplicar dois complexos na for algébrica Sejam dois complexos e. Se multiplicarmos estes dois números utilizando a propriedade distributiva teremos: como E, na forma de par ordenado temos Representação Geométrica dos números Complexos Vimos que um número complexo está associado a um par ordenado de números reais. Também sabemos que cada par ordenado de números reais está associado de forma única a um ponto do plano cartesiano. Sendo assim, podemos representar cada número complexo como um ponto do plano cartesiano: O plano cartesiano onde são representados os números complexos é chamado de Plano Complexo ou Plano de Argand-Gauss. O ponto é chamado de afixo do número complexo. 7
8 Por exemplo, os pontos,,,, e podem ser representados no plano complexo conforme abaixo: No plano complexo, o eixo das abscissas é chamado de eixo real, e nele está representada a parte real de cada número complexo. Note que o eixo x se torna assim a representação de todo o conjunto dos números reais dentro do plano complexo. O eixo y é chamado de eixo imaginário, e os pontos sobre este eixo são números imaginários puros. No plano complexo, podemos pensar cada número complexo como um vetor com origem no ponto (0,0) cuja extremidade final é o ponto P(a,b). Desta forma, a soma de números complexos também pode ser pensada como uma soma de vetores no plano cartesiano, onde, dados os complexos e, o número complexo é o vetor representado pelo segmento que coincide com a diagonal do paralelogramo formado pelos vetores representados por e, conforme abaixo. 8
9 Módulo de um número complexo A partir da representação geométrica de um número complexo, definimos o módulo de um número complexo, como a medida do comprimeto do vetor que representa no plano complexo, ou seja, é a distância entre a origem (0,0) e o ponto. Representando o módulo de por, temos: Então, Note que, como o módulo representa um comprimento, ele será sempre um número positivo. Complexos Conjugados Dado um número complexo, definimos como o conjugado de z, e representamos por, o número complexo dado por: Geometricamente, o conjugado de em relação ao eixo x: é representado pelo ponto simétrico a 9
10 Propriedades do conjugado I) De fato, se, então, II) De fato, se, então, III) De fato, se IV) De fato, se V) De fato, se Divisão de números complexos usando o complexo conjugado Vimos anteriormente que se e, com então a divisão de por será dada por Porém, o conjugado nos fornece uma forma mais simples de efetuar a divisão: Efetuar a divisão desta forma é mais simples pois é um número real. Por exemplo, vamos calcular o inverso de : Temos 10
11 A forma trigonométrica dos números complexos Qualquer número complexo está unicamente associado, no plano complexo, a um ponto P de coordenadas cartesianas (x,y) que pode ser pode ser localizado também em função de suas coordenadas polares, que são: A distância do ponto P até a origem (0,0), que coincide com. Esta distância também é representada pela letra grega. O ângulo, situado no intervalo, que o vetor que representa o número complexo forma com o eixo x. Este ângulo denomina-se argumento de e é denotado por. Graficamente temos: Observando a representação acima, concluímos que: e com Assim, um número complexo pode ser expresso, na chamada forma trigonométrica ou polar,em função de suas coordenadas polares como: Quando o argumento de z é chamado de argumento principal. Por exemplo, vamos representar o complexo trigonométrica: na sua forma Temos, 11
12 E, De (A) e (B) temos que Geometricamente temos: E, na forma trigonométrica, z é dado por Multiplicação de números complexos na forma trigonométrica Sejam e dados nas suas formar trigonométricas: Calculando utilizando suas formas trigonométricas temos 12
13 Das identidades e Concluímos que, Assim, quando escritos na forma trigonométrica, o produto de dois números complexos resulta em um número cujo módulo é o produto dos módulos dos números que estão sendo multiplicados, e cujo argumento é a soma dos argumentos dos números que estão sendo multiplicados (soma esta reduzida à primeira volta, ou seja ). Por exemplo, o produto de e é dado por Divisão de números complexos na forma trigonométrica Sejam e dados nas suas formar trigonométricas: Calculando utilizando suas formas trigonométricas temos Como e, podemos escrever 13
14 Assim, quando escritos na forma trigonométrica, o quociente de dois números complexos resulta em um número cujo módulo é o quociente dos módulos dos números que estão sendo divididos, e cujo argumento é a diferença dos argumentos dos números que estão sendo divididos (diferença esta reduzida à primeira volta, ou seja ). Por exemplo, se queremos dividir o complexo pelo complexo, teremos Tomando o argumento do resultado entre e temos Potenciação de números complexos na forma trigonométrica Temos que, Utilizando a multiplicação de complexos na forma polar, se Então 14
15 A fórmula acima é conhecida como fórmula de De Moivr Portanto, ao elevarmos um número complexo na forma trigonométrica a uma potência n, obteremos como resultado um complexo cujo módulo é igual ao módulo do número original elevado à n-ésima potência, e cujo argumento é igual ao argumento do número original multiplicado por n, reduzido à primeira volta. Por exemplo, se queremos calcular a sétima potência do complexo teremos, Na forma algébrica, Radiciação de números complexos Queremos agora obter a raiz n-ésima do número complexo Se, então Então, da igualdade acime resulta que E, que 15
16 Portanto Note que se, assumirá valores distintos. Após, os valores da medida de são iguais a algum valor já obtido quando. Assim, sempre teremos n raízes n-ésimas distintas para o complexo e, estas raízes serão obtidas pela expressão Por exemplo, vamos determinar a 3 raízes cúbicas do complexo. Temos Então, Se, temos Se, temos Se, temos 16
17 Interpretando geometricamente, as três raízes cúbicas estão sobre uma circunferência de raio 1 e dividem a circunferência em três arcos congruentes de radianos cada um, formando um triângulo eqüilátero de vértices, conforme a figura abaixo. Se calculássemos, encontraríamos, estando estes dois números complexos sobre o ponto (ver figura abaixo). Equações binômias e trinômias Equação binômia Chamamos de equação binômia toda equação redutível á forma com,, e. Para resolver uma equação binômia basta isolar radiciação em : e aplicar o processo de Sendo assim uma equação binômia de ordem terá raízes complexas. 17
18 Por exemplo, vamos resolver a equação Temos. Vamos encontra então as raízes cúbicas do complexo. Na forma polar temos Então suas raízes cúbicas serão dadas por Se, temos Se, temos Se, temos Então, o conjunto solução da equação será dado por Equação trinômia Chamamos de equação trinômia toda equação redutível á forma com,, e. Para resolver uma equação trinômia fazemos a substituição, obtemos as raízes e da equação, e resolvemos as equações determinando as raízes complexas da equação original. 18
19 Por exemplo, vamos determinar as soluções da equação. Fazendo a substituição teremos a equação De onde concluímos que Temos agora que resolver as equações, e Para temos Se, temos Se, temos Se, temos Para temos Se, temos Se, temos 19
20 Se, temos Portanto, as seis raízes cúbicas da equação pelo conjunto serão dadas 20
21 Exercícios 1) Determine x e y para que se verifiquem as igualdades: Resposta: x=3; y=3 Resposta: x=3; y=4 Resposta: x= ; y= Resposta: x= ; y= 2) Coloque na forma algébrica os seguintes números complexos: ) Respostas 3) Dados os números complexos,, calcule: Respostas 21
22 4) Determine o valor real de x para que o número complexo seja um número imaginário puro seja um número imaginário puro seja um número imaginário puro seja um número imaginário puro Respostas 5) Efetue as operações indicadas f. g. h. Respostas: f. g. h. 6) Calcule o valor das potências de :. Resposta: 7) Calcule o valor de Respostas 22
23 8) Resolva a equação, no conjunto dos números complexos. Resposta:. 9) Resolva a equação, no conjunto dos números complexos. Resposta: e 10) Determine uma equação do segundo grau que, em, tenha como raízes e. Resposta: 11) Encontre o número complexo z tal que: Respostas 12) Mostre que os números complexos e são as soluções da equação. 13) Mostre que e coloque na forma algébrica o número Resposta: 14) Mostre que e calcule Resposta: 23
24 15) Dados os números complexos,,, localize no plano complexo os pontos correspondentes a cada número. Resposta: 16) Determine os números complexos correspondentes aos pontos A,B,C,D e E na figura abaixo: Resposta: ; ; ; ; ; 17) Localize os pontos do plano correspondentes aos números complexos, nos seguintes casos: 24
25 Respostas 18) Efetue algébrica e geometricamente a adição dos números complexos e. Resposta: 19) Mostre que o módulo do produto de dois números complexos é igual ao produto dos módulos destes números, ou seja Sugestão: use que ( 20) Determine o módulo dos seguintes números complexos f. Respostas 25
26 f. 21) Se e, determine f. g. h. i. Respostas: f. g. h. i. 22) Determine o número complexo tal que. Resposta: 23) Mostre que o conjugado do conjugado de é o próprio. 24) Encontre tal que Resposta: 25) Escreva na forma os números complexos: 26
27 f. g. h. i. Respostas: f. g. h. i. 26) Localize geometricamente os números complexos z tais que: é um número imaginário puro e é um número imaginário puro e 27) Dado,, determine. Resposta: 27
28 28) Mostre que se são dois números complexos quaisquer, e, então 29) Determine, tal que. Resposta: 30) Determine, tal que. Resposta:, ou 31) Determine, tal que. Resposta:, ou 32) Determine o módulo de cada um dos números complexos: f. g. h. f. g. h. Respostas 28
29 33) Determine o módulo de cada um dos números complexos: Respostas 34) Qual é o módulo do número complexo que é solução da equação? Resposta 35) Determine a representação geométrica e a forma trigonométrica dos complexos abaixo: Respostas 36) Escreva na forma algébrica os seguintes números complexos: 29
30 Respostas: 37) Determine o valor do arg(z) dos números complexos: Respostas: 38) Dados os números complexos e Respostas, calcule : 39) Determine o numero complexo, sabendo que sen 9 e 1 2=203cos sen17 18 Resposta: 30
31 40) Determine o produto e o quociente para: e e Respostas: e e 41) Calcule os valores das potências, sabendo que Resposta:,, e. 42) Calcule as potências f. g. h. f. Respostas g. h. 31
32 43) Determine o menor valor de natural para que seja um número real e positivo. Resposta: 44) Escreva na forma o número complexo Resposta: 45) Encontre as raízes quartas do complexo Resposta:, sen17 16, 82cos9 16+ sen9 16, 82cos sen ) Determine as raízes enésimas do número complexo 1. Resposta: 47) Determine as raízes quadradas dos seguintes números complexos e dê sua representação geométrica: Respostas: 48) Determine as raízes cúbicas dos seguintes números complexos e dê sua representação geométrica: Respostas, 32
33 ,,,,, 49) Resolva as equações em. Respostas 50) Resolva as equações em. f. Respostas f. 33
34 Referências Dante, L. Roberto. Matemática: Contexto e aplicações. Volume 3. E 1. Impressão 3. Editora Átic São Paulo Iezzi, Gelson (e outros). Fundamentos de Matemática Elementar. Volume 6. Ed Atual. São Paulo
A origem de i ao quadrado igual a -1
A origem de i ao quadrado igual a -1 No estudo dos números complexos deparamo-nos com a seguinte igualdade: i 2 = 1. A justificativa para essa igualdade está geralmente associada à resolução de equações
Leia maisIntrodução: Um pouco de História
Números Complexos Introdução: Um pouco de História Houve um momento na História da Matemática em que a necessidade de expressar a raiz de um número negativo se tornou fundamental. Em equações quadráticas
Leia maisNúmeros Complexos - Forma Algébrica
Matemática - 3ª série Roteiro 07 Caderno do Aluno Números Complexos - Forma Algébrica I - Introdução ao Estudo dos Números Complexos Desafio: 1) Um cubo tem volume equivalente à soma dos volumes de dois
Leia maisConjunto dos Números Complexos
Conjunto dos Unidade Imaginária Seja a equação: x + 0 Como sabemos, no domínio dos números reais, esta equação não possui solução, criou-se então um número cujo quadrado é. Esse número, representado pela
Leia maisMATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Potências e raízes Propostas de resolução
MATEMÁTICA A - 1o Ano N o s Complexos - Potências e raízes Propostas de resolução Exercícios de exames e testes intermédios 1. Escrevendo 1 + i na f.t. temos 1 + i ρ cis θ, onde: ρ 1 + i 1 + 1 1 + 1 tg
Leia mais1 Números Complexos. Seja R o conjunto dos Reais. Consideremos o produto cartesiano R R = R 2 tal que:
Números Complexos e Polinômios Prof. Gustavo Sarturi [!] Esse documento está sob constantes atualizações, qualquer erro de ortografia, cálculo, favor comunicar. Última atualização: 01/11/2018. 1 Números
Leia maisFORMAÇÃO CONTINUADA EM MATEMÁTICA. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ. Matemática do 3º Ano 3º Bimestre Plano de Trabalho 1
FORMAÇÃO CONTINUADA EM MATEMÁTICA Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Matemática do 3º Ano 3º Bimestre 2014 Plano de Trabalho 1 Conjunto dos Números Complexos Tarefa: 001 PLANO DE TRABALHO 1 Cursista: CLÁUDIO
Leia maisTrabalho feito e apresentado para a disciplina de matemática em: Instituto Estadual de Educação - 3º ano(306)
Trabalho feito e apresentado para a disciplina de matemática em: Instituto Estadual de Educação - 3º ano(306) Colocado na internet Estude e se baseie nesse trabalho para os seus, mas não copie. Plágio
Leia maisREVISÃO DE ÁLGEBRA. Apareceu historicamente em processos de contagem. Obs.: dependendo da conveniência, o zero pode pertencer aos naturais.
REVISÃO DE ÁLGEBRA 1ª. AULA CONJUNTOS BÁSICOS: Conjuntos dos números naturais: * + Apareceu historicamente em processos de contagem. Obs.: dependendo da conveniência, o zero pode pertencer aos naturais.
Leia maisComplementos sobre Números Complexos
Complementos sobre Números Complexos Ementa 1 Introdução Estrutura Algébrica e Completude 1 O Corpo dos números complexos Notações 3 Interpretação Geométrica e Completude de C 4 Forma Polar de um Número
Leia maisCÁLCULO I. 1 Número Reais. Objetivos da Aula
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida EMENTA: Conceitos introdutórios de limite, limites trigonométricos, funções contínuas, derivada e aplicações. Noções introdutórias sobre a integral
Leia maisMATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Equações e problemas Propostas de resolução
MATEMÁTICA A - 1o Ano N o s Complexos - Equações e problemas Propostas de resolução Exercícios de exames e testes intermédios 1. Simplificando as expressões de z 1 e z, temos que: Como i 19 i + i i, vem
Leia maisFormação continuada em Matemática Fundação CECIERJ/Consórcio CEDERJ Matemática 3º ano Números Complexos
Formação continuada em Matemática Fundação CECIERJ/Consórcio CEDERJ Matemática 3º ano Números Complexos Tarefa 01 Cursista: Maria Amelia de Moraes Corrêa Tutora: Maria Cláudia Padilha Tostes 1 S u m á
Leia maisTURMA:12.ºA/12.ºB. O que é o i? Resposta: A raiz imaginária da unidade negativa. (Leibniz)
GUIA DE ESTUDO NÚMEROS COMPLEXOS TURMA:12.ºA/12.ºB 2017/2018 (ABRIL/MAIO) Números Complexos O que é o i? Resposta: A raiz imaginária da unidade negativa. (Leibniz) A famosa igualdade de Euler i e 10 A
Leia maisPET FÍSICA NÚMEROS COMPLEXOS DIEGO SANTOS CAMPOS KARINE GOMES DOS ANJOS GAGNO SARAH DE OLIVEIRA FREDERICO ALAN DE OLIVEIRA CRUZ
PET FÍSICA NÚMEROS COMPLEXOS Aula 10 DIEGO SANTOS CAMPOS KARINE GOMES DOS ANJOS GAGNO SARAH DE OLIVEIRA FREDERICO ALAN DE OLIVEIRA CRUZ AGRADECIMENTOS Esse material foi produzido com apoio do Fundo Nacional
Leia maisCálculo Diferencial e Integral Química Notas de Aula
Cálculo Diferencial e Integral Química Notas de Aula João Roberto Gerônimo 1 1 Professor Associado do Departamento de Matemática da UEM. E-mail: jrgeronimo@uem.br. ÍNDICE 1. INTRODUÇÃO Esta notas de aula
Leia maisESCOLA BÁSICA DE MAFRA 2016/2017 MATEMÁTICA (2º ciclo)
(2º ciclo) 5º ano Operações e Medida Tratamento de Dados Efetuar com números racionais não negativos. Resolver problemas de vários passos envolvendo com números racionais representados por frações, dízimas,
Leia maisMATEMÁTICA I. Ana Paula Figueiredo
I Ana Paula Figueiredo Números Reais IR O conjunto dos números Irracionais reunido com o conjunto dos números Racionais (Q), formam o conjunto dos números Reais (IR ). Assim, os principais conjuntos numéricos
Leia maisararibá matemática Quadro de conteúdos e objetivos Quadro de conteúdos e objetivos Unidade 1 Números inteiros adição e subtração
Unidade 1 Números inteiros adição e subtração 1. Números positivos e números negativos Reconhecer o uso de números negativos e positivos no dia a dia. 2. Conjunto dos números inteiros 3. Módulo ou valor
Leia maisInstituto de Física Universidade Federal do Rio de Janeiro. Cap. 1 - Vetores. Prof. Elvis Soares - Física I
Instituto de Física Universidade Federal do Rio de Janeiro Cap. 1 - Vetores Prof. Elvis Soares - Física I 2014.1 Vetores são descrições matemáticas de quantidades que possuem intensidade, direção e sentido.
Leia maisCapítulo 1-Sistemas de Coordenadas, Intervalos e Inequações
Capítulo 1-Sistemas de Coordenadas, Intervalos e Inequações 1 Sistema Unidimensional de Coordenadas Cartesianas Conceito: Neste sistema, também chamado de Sistema Linear, um ponto pode se mover livremente
Leia maisQuadro de conteúdos MATEMÁTICA
Quadro de conteúdos MATEMÁTICA 1 Apresentamos a seguir um resumo dos conteúdos trabalhados ao longo dos quatro volumes do Ensino Fundamental II, ou seja, um panorama dos temas abordados na disciplina de
Leia maisConjuntos. Notações e Símbolos
Conjuntos A linguagem de conjuntos é interessante para designar uma coleção de objetos. Quando os estatísticos selecionam indivíduos de uma população eles usam a palavra amostra, frequentemente. Todas
Leia mais4 ÁLGEBRA ELEMENTAR. 4.1 Monômios e polinômios: valor numérico e operações.
4 ÁLGEBRA ELEMENTAR 4.1 Monômios e polinômios: valor numérico e operações. 4.1.1 - Introdução: As expressões algébricas que equacionam os problemas conduzem logicamente à sua solução são denominados polinômios
Leia mais7.º Ano. Planificação Matemática 2016/2017. Escola Básica Integrada de Fragoso 7.º Ano
7.º Ano Planificação Matemática 201/2017 Escola Básica Integrada de Fragoso 7.º Ano Geometria e medida Números e Operações Domínio Subdomínio Conteúdos Objetivos gerais / Metas Números racionais - Simétrico
Leia maisESCOLA E B 2,3/S MIGUEL LEITÃO DE ANDRADA - AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DE PEDRÓGÃO GRANDE DEPARTAMENTO DAS CIÊNCIAS EXATAS 2015/2016
ESCOLA E B 2,3/S MIGUEL LEITÃO DE ANDRADA - AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DE PEDRÓGÃO GRANDE DEPARTAMENTO DAS CIÊNCIAS EXATAS 2015/2016 PLANIFICAÇÃO DE MATEMÁTICA 7ºANO 1º Período 2º Período 3º Período Apresentação,
Leia maisNÚMEROS COMPLEXOS CAPÍTULO
NÚMEROS COMPLEXOS CAPÍTULO 1 Neste capítulo, exploramos as estruturas algébrica e geométrica do sistema dos números complexos, para o que supomos conhecidas várias propriedades correspondentes dos números
Leia maisMATEMÁTICA 1ºANO Ementa Objetivos Geral Específicos
DADOS DA COMPONENTE CURRICULAR Nome da Disciplina: MATEMÁTICA Curso: Ensino Técnico Integrado Controle Ambiental Série: 1ºANO Carga Horária: 100h Docente Responsável: GILBERTO BESERRA Ementa Conjuntos
Leia maisSlides de apoio: Fundamentos
Pré-Cálculo ECT2101 Slides de apoio: Fundamentos Prof. Ronaldo Carlotto Batista 23 de fevereiro de 2017 Conjuntos Um conjunto é coleção de objetos, chamados de elememtos do conjunto. Nomeraremos conjuntos
Leia mais7º Ano. Planificação Matemática 2014/2015. Escola Básica Integrada de Fragoso 7º Ano
7º Ano Planificação Matemática 2014/2015 Escola Básica Integrada de Fragoso 7º Ano Domínio Subdomínio Conteúdos Objetivos gerais / Metas Números e Operações Números racionais - Simétrico da soma e da diferença
Leia maisGeometria Analítica. Números Reais. Faremos, neste capítulo, uma rápida apresentação dos números reais e suas propriedades, mas no sentido
Módulo 2 Geometria Analítica Números Reais Conjuntos Numéricos Números naturais O conjunto 1,2,3,... é denominado conjunto dos números naturais. Números inteiros O conjunto...,3,2,1,0,1, 2,3,... é denominado
Leia maisPara simplificar a notação, também usamos denotar uma sequência usando apenas a imagem de :
Sequências Uma sequência é uma função f de em, ou seja. Para todo número natural i associamos um número real por meio de uma determinada regra de formação. A sequencia pode ser denotada por: Ou, por meio
Leia maisDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INFORMÁTICA DISCIPLINA:
ANO LETIVO 2015/2016 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática (7º Ano) METAS CURRICULARES/CONTEÚDOS... 1º Período Metas / Objetivos Conceitos / Conteúdos Aulas Previstas Números e
Leia maisTodos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 3. MATEMÁTICA III 1 ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
DEFINIÇÃO... EQUAÇÃO REDUZIDA... EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA... 3 RECONHECIMENTO... 3 POSIÇÃO RELATIVA ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA... 1 POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA... 17 PROBLEMAS
Leia maisMATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Conjuntos e condições Propostas de resolução
MATEMÁTICA A - o Ano N o s Complexos - Conjuntos e condições Propostas de resolução Exercícios de exames e testes intermédios. Escrevendo i na f.t. temos i i = ρ cis α, onde: ρ = i i = + ) = tg α = = ;
Leia maisUniversidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física. Física I IGM1 2014/1. Cap. 1 - Vetores. Prof. Elvis Soares
Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física Física I IGM1 2014/1 Cap. 1 - Vetores Prof. Elvis Soares Vetores são descrições matemáticas de quantidades que possuem intensidade, direção e
Leia maisdia 10/08/2010
Número complexo Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. http://pt.wikipedia.org/wiki/n%c3%bamero_complexo dia 10/08/2010 Em matemática, os números complexos são os elementos do conjunto, uma extensão
Leia maisEletrotécnica II Números complexos
Eletrotécnica II Números complexos Prof. Danilo Z. Figueiredo Curso Superior de Tecnologia em Instalações Elétricas Faculdade de Tecnologia de São Paulo Tópicos Aspectos históricos: a solução da equação
Leia maisDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática (7º Ano) METAS CURRICULARES/CONTEÚDOS... 1º Período
ANO LETIVO 2015/2016 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática (7º Ano) METAS CURRICULARES/CONTEÚDOS... 1º Período Metas / Objetivos Conceitos / Conteúdos Aulas Previstas Números e
Leia maisComo a PA é decrescente, a razão é negativa. Então a PA é dada por
Detalhamento das Soluções dos Exercícios de Revisão do mestre 1) A PA será dada por Temos Então a PA será dada por:, e como o produto é 440: Como a PA é decrescente, a razão é negativa. Então a PA é dada
Leia mais2 Igualdade e Operações com pares ordenados. 1 Conjunto R 2. 3 Vetores. 2.1 Igualdade. 1.2 Coordenadas Cartesianas no Plano
1 Conjunto R 1.1 Definição VETORES NO PLANO Representamos por R o conjunto de todos os pares ordenados de números reais, ou seja: R = {(x, y) x R y R} 1. Coordenadas Cartesianas no Plano Em um plano α,
Leia maisPLANIFICAÇÃO ANUAL DE MATEMÁTICA
1.º Período Agrupamento de Escolas António Correia de Oliveira PLANIFICAÇÃO ANUAL DE MATEMÁTICA 7.º ANO ANO LETIVO 2016/17 Números Racionais Números e operações NO7 Números racionais - Simétrico da soma
Leia maisDatas de Avaliações 2016
ROTEIRO DE ESTUDOS MATEMÁTICA (6ºB, 7ºA, 8ºA e 9ºA) SÉRIE 6º ANO B Conteúdo - Sucessor e Antecessor; - Representação de Conjuntos e as relações entre eles: pertinência e inclusão ( ). - Estudo da Geometria:
Leia maisDepartamento de Matemática e Ciências Experimentais PROJECTO CURRICULAR DE MATEMÁTICA - 8º ANO /2015
ESCOLA EB 23 LUÍS DE CAMÕES Departamento de Matemática e Ciências Experimentais PROJECTO CURRICULAR DE MATEMÁTICA - 8º ANO - 2014/2015 Domínio: Números e operações Subdomínio 1. Relacionar números racionais
Leia maisMaterial Teórico - Módulo de Potenciação e Dízimas Periódicas. Números Irracionais e Reais. Oitavo Ano. Prof. Ulisses Lima Parente
Material Teórico - Módulo de Potenciação e Dízimas Periódicas Números Irracionais e Reais Oitavo Ano Prof. Ulisses Lima Parente 1 Os números irracionais Ao longo deste módulo, vimos que a representação
Leia maisESCOLA TÉCNICA ESTADUAL FREDERICO GUILHERME SCHMIDT
PRODUTOS NOTÁVEIS Quadrado da soma de dois termos (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 quadrado do segundo termo primeiro termo 2 x (primeiro termo) x (segundo termo) quadrado do primeiro termo segundo termo Quadrado
Leia maisMÉTODOS MATEMÁTICOS. Claudia Mazza Dias Sandra Mara C. Malta
MÉTODOS MATEMÁTICOS Claudia Mazza Dias Sandra Mara C. Malta 1 Métodos Matemáticos Aulas: De 03/11 a 08/11-8:30 as 11:00h Ementa: 1. Funções 2. Eq. Diferenciais Ordinárias de 1 a ordem 3. Sistemas de Equações
Leia maisMaterial Teórico - Módulo de Potenciação e Dízimas Periódicas. Números Irracionais e Reais. Oitavo Ano
Material Teórico - Módulo de Potenciação e Dízimas Periódicas Números Irracionais e Reais Oitavo Ano Autor: Prof. Angelo Papa Neto Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto 1 Os números irracionais Ao longo
Leia maisMATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Operações e simplificação de expressões Propostas de resolução
MATEMÁTICA A - 1o Ano N o s Complexos - Operações e simplificação de expressões Propostas de resolução Exercícios de exames e testes intermédios 1. A operação multiplicar por i corresponde a fazer uma
Leia maisMATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Conjuntos e condições Propostas de resolução
MATEMÁTICA A - o Ano N o s Complexos - Conjuntos e condições Propostas de resolução Exercícios de exames e testes intermédios. Analisando cada uma das afirmações temos (A) z z = z z é uma afirmação verdadeira
Leia maisMATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Operações e simplificação de expressões Propostas de resolução
MATEMÁTICA A - 1o Ano N o s Complexos - Operações e simplificação de expressões Propostas de resolução Exercícios de exames e testes intermédios 1. Como a multiplicação de um número complexo por i corresponde
Leia maisMATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Conjuntos e condições Propostas de resolução
MATEMÁTICA A - o Ano N o s Complexos - Conjuntos e condições Propostas de resolução Exercícios de exames e testes intermédios. Escrevendo i na f.t. temos i i = ρe iα, onde: ρ = i i = + ) = tg α = = ; como
Leia maisUnidade I MATEMÁTICA. Prof. Celso Ribeiro Campos
Unidade I MATEMÁTICA Prof. Celso Ribeiro Campos Números reais Três noções básicas são consideradas primitivas, isto é, são aceitas sem a necessidade de definição. São elas: a) Conjunto. b) Elemento. c)
Leia maisCapítulo 2- Funções. Dado dois conjuntos não vazios e e uma lei que associa a cada elemento de um único elemento de, dizemos que é uma função de em.
Conceitos Capítulo 2- Funções O termo função foi primeiramente usado para denotar a dependência entre uma quantidade e outra. A função é usualmente denotada por uma única letra,,,... Definição: Dado dois
Leia maisHewlett-Packard CONJUNTOS NUMÉRICOS. Aulas 01 a 08. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos
Hewlett-Packard CONJUNTOS NUMÉRICOS Aulas 01 a 08 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Ano: 2019 Sumário CONJUNTOS NUMÉRICOS... 2 Conjunto dos números Naturais... 2 Conjunto dos números
Leia maisAGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO
AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS MATEMÁTICA 7.º ANO PLANIFICAÇÃO GLOBAL Múltiplos e divisores. Critérios de divisibilidade. - Escrever múltiplos
Leia maisProgramação anual. 6 º.a n o. Sistemas de numeração Sequência dos números naturais Ideias associadas às operações fundamentais Expressões numéricas
Programação anual 6 º.a n o 1. Números naturais 2. Do espaço para o plano Sistemas de numeração Sequência dos números naturais Ideias associadas às operações fundamentais Expressões numéricas Formas geométricas
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Lino Marcos da Silva Atividade 1 - Números Reais Objetivos De um modo geral, o objetivo dessa atividade é fomentar o estudo de conceitos relacionados aos números
Leia maisPLANO DE ESTUDOS DE MATEMÁTICA - 7.º ANO
DE MATEMÁTICA - 7.º ANO Ano Letivo 2014 2015 PERFIL DO ALUNO No domínio dos Números e Operações, o aluno deve ser capaz de multiplicar e dividir números racionais relativos. No domínio da Geometria e Medida,
Leia maisPLANO DE ESTUDOS DE MATEMÁTICA 7.º ANO
DE MATEMÁTICA 7.º ANO Ano Letivo 2015 2016 PERFIL DO ALUNO No domínio dos Números e Operações, o aluno deve ser capaz de multiplicar e dividir números racionais relativos. No domínio da Geometria e Medida,
Leia maisDOMÍNIO/SUBDOMÍNIO OBJETIVOS GERAIS DESCRITORES DE DESEMPENHO CONTEÚDOS
DISCIPLINA: Matemática ANO DE ESCOLARIDADE: 8º Ano 2016/2017 METAS CURRICULARES PROGRAMA DOMÍNIO/SUBDOMÍNIO OBJETIVOS GERAIS DESCRITORES DE DESEMPENHO CONTEÚDOS 1º Período Geometria e medidas: Teorema
Leia maisMATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Operações e simplificação de expressões Propostas de resolução
MATEMÁTICA A - 1o Ano N o s Complexos - Operações e simplificação de expressões Propostas de resolução Exercícios de exames e testes intermédios 1. A operação multiplicar por i corresponde a fazer uma
Leia maisAGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO
AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS MATEMÁTICA 8º ANO PLANIFICAÇÃO GLOBAL Planificação 8º ano 2014/2015 Página 1 AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR.
Leia maisCapítulo Propriedades das operações com vetores
Capítulo 6 1. Propriedades das operações com vetores Propriedades da adição de vetores Sejam u, v e w vetores no plano. Valem as seguintes propriedades. Comutatividade: u + v = v + u. Associatividade:
Leia maisAGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO
AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS MATEMÁTICA 7.º ANO PLANIFICAÇÃO ANUAL Planificação 7º ano 2010/2011 Página 1 DOMÍNIO TEMÁTICO: NÚMEROS
Leia maisCapítulo 1 Como motivação para a construção dos números complexos aconselha-se o visionamento do quinto do capítulo do documentário Dimensions, disponível em http://www.dimensions-math.org/ Slides de apoio
Leia mais7. Subtração de números inteiros Adição algébrica de números inteiros 31 Expressões numéricas com adição algébrica 33
Sumário CAPÍTULO 1 Os números inteiros 1. A necessidade de outros números 11 2. Representação dos números inteiros na reta numérica 14 3. Valor absoluto ou módulo de um número inteiro 15 4. Números inteiros
Leia maisFundamentos Tecnológicos
Fundamentos Tecnológicos Equações Algébricas e Equação de 1º Grau Início da aula 06 Equações Algébricas Expressões Algébricas - Definição Expressões algébricas são expressões matemáticas que apresentam
Leia maisFunções do Plano Complexo(MAT162) Notas de Aulas Prof Carlos Alberto S Soares
Funções do Plano Complexo(MAT62) Notas de Aulas 2-209 Prof Carlos Alberto S Soares O Plano Complexo Considerando a nossa definição de número complexo, é claro que existe uma correspondênca biunívoca entre
Leia mais1 TEOREMA DE PITÁGORAS
AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DE MARTIM DE FREITAS ESCOLA BÁSICA 2/3 MARTIM DE FREITAS 8ºano-Ano letivo 2017/2018 PLANIFICAÇÃO DA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA Conteúdos Objetivo geral Metas/ descritores Nº de 1 TEOREMA
Leia maisNúmeros Reais. Jairo Menezes e Souza 19/09/2013 UFG/CAC
UFG/CAC 19/09/2013 Iniciamos com o conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} Iniciamos com o conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} Chamamos de Z o conjunto dos números
Leia maisAGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO
AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS MATEMÁTICA 8º ANO PLANIFICAÇÃO GLOBAL Planificação 8º ano 2015/2016 Página 1 AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR.
Leia maisANÁLISE MATEMÁTICA 3 NÚMEROS COMPLEXOS
ANÁLISE MATEMÁTICA 3 NÚMEROS COMPLEXOS APÊNDICE Maria do Rosário de Pinho e Maria Margarida Ferreira Setembro 1998 Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Licenciatura em Engenharia Electrotécnica
Leia maisGeometria Analítica. Geometria Analítica 28/08/2012
Prof. Luiz Antonio do Nascimento luiz.anascimento@sp.senac.br www.lnascimento.com.br Conjuntos Propriedades das operações de adição e multiplicação: Propriedade comutativa: Adição a + b = b + a Multiplicação
Leia maisMATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Equações e problemas Propostas de resolução
MATEMÁTICA A - 1o Ano N o s Complexos - Equações e problemas Propostas de resolução Exercícios de exames e testes intermédios 1. Simplificando as expressões de z 1 e z, temos que: Como i 19 i + i i, vem
Leia maisMATEMÁTICA II. Aula 14. 4º Bimestre. Números Complexos Professor Luciano Nóbrega
1 MATEMÁTICA II Aula 14 Números Complexos Professor Luciano Nóbrega 4º Bimestre www.professorlucianonobrega.wordpress.com 2 INTRODUÇÃO Vamos relembrar os Conjuntos Numéricos: N: conjunto dos números naturais:
Leia maisCapítulo 1: Fração e Potenciação
1 Capítulo 1: Fração e Potenciação 1.1. Fração Fração é uma forma de expressar uma quantidade sobre o todo. De início, dividimos o todo em n partes iguais e, em seguida, reunimos um número m dessas partes.
Leia maisNotas breves sobre números complexos e aplicações
Notas breves sobre números complexos e aplicações Complementos de Análise Matemática - ESI DMat - Universidade do Minho Dezembro de 2005 1 Definição O conjunto dos números complexos, denotado por C, pode-se
Leia maisNúmeros Complexos. é igual a a) 2 3 b) 3. d) 2 2 2
Números Complexos 1. (Epcar (Afa) 01) Considerando os números complexos z 1 e z, tais que: z 1 é a raiz cúbica de 8i que tem afixo no segundo quadrante z é raiz da equação x x 1 0 Pode-se afirmar que z1
Leia maisTodos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS... 2 RETA NUMERADA... 2 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS... 4 SUBCONJUNTOS DE Z... 5 NÚMEROS OPOSTOS... 5 VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO INTEIRO... 6 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS...
Leia maisDIREÇÃO DE ENSINO EMENTA DE DISCIPLINA - MATEMÁTICA AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL ELETRÔNICA ELETROMECÂNICA MEIO AMBIENTE
Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia Fluminense Campus Macaé DIREÇÃO DE ENSINO EMENTA DE DISCIPLINA - MATEMÁTICA Nível Curso Série CH Semanal CH Anual Ensino Médio Integrado AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Leia maisPLANO DE ENSINO E APRENDIZAGEM
SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA PARFOR PLANO DE ENSINO E APRENDIZAGEM I IDENTIFICAÇÃO: PROFESSOR (A)
Leia maisMA23 - Geometria Anaĺıtica
MA23 - Geometria Anaĺıtica Unidade 1 - Coordenadas e vetores no plano João Xavier PROFMAT - SBM 8 de agosto de 2013 Coordenadas René Descartes, matemático e filósofo, nasceu em La Have, França, em 31 de
Leia maisPlanificação anual- 8.º ano 2014/2015
Agrupamento de Escolas de Moura Escola Básica nº 1 de Moura (EB23) Planificação anual- 8.º ano 2014/2015 12 blocos Tópico: Números Números e operações/ Álgebra Dízimas finitas e infinitas periódicas Caracterização
Leia maisBases Matemáticas. Aula 4 Conjuntos Numéricos. Rodrigo Hausen. v /9
Bases Matemáticas Aula 4 Conjuntos Numéricos Rodrigo Hausen v. 2016-6-10 1/9 Números Naturais, Inteiros e Racionais naturais: inteiros: racionais: N = {0, 1, 2,...} Z = {... 2, 1, 0, 1, 2,...} { } p Q
Leia maisAv. João Pessoa, 100 Magalhães Laguna / Santa Catarina CEP
Disciplina: Matemática Curso: Ensino Médio Professor(a): Flávio Calônico Júnior Turma: 3ª Série E M E N T A II Trimestre 2013 Conteúdos Programáticos Data 21/maio 28/maio Conteúdo FUNÇÃO MODULAR Interpretação
Leia mais1 Vetores no Plano e no Espaço
1 Vetores no Plano e no Espaço Definimos as componentes de um vetor no espaço de forma análoga a que fizemos com vetores no plano. Vamos inicialmente introduzir um sistema de coordenadas retangulares no
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA Números Complexos: uma proposta geométrica PRODUTO DA DISSERTAÇÃO SEQUÊNCIA DIDÁTICA
Leia maisAgrupamento de Escolas de Águeda Escola Básica Fernando Caldeira
Agrupamento de Escolas de Águeda Escola Básica Fernando Caldeira Currículo da disciplina de Matemática - 7ºano Unidade 1 Números inteiros Propriedades da adição de números racionais Multiplicação de números
Leia maisLISTA DE REVISÃO PROVA MENSAL MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS 2º TRIMESTRE
LISTA DE REVISÃO PROVA MENSAL MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS º TRIMESTRE ÁLGEBRA 1) O valor de z sabendo que 64 z é: z A) 64 B) 64 C) 8 + i D) 8 i E) 8 ) Considere as raízes complexas w 0, w, 1 w, w 3 e
Leia maisPreparar o Exame Matemática A
07. { {. 07. Como o polinómio tem coeficientes reais e é uma das suas raízes, então também é raiz de. Recorrendo à regra de Ruffini vem,. Utilizando a fórmula resolvente na equação, vem: ssim, as restantes
Leia maisPrograma Anual MATEMÁTICA EXTENSIVO
Programa Anual MATEMÁTICA EXTENSIVO Os conteúdos conceituais de Matemática estão distribuídos em 5 frentes. A) Equações do 1º e 2º graus; Estudo das funções; Polinômios; Números complexos; Equações algébricas.
Leia maisConjunto dos números complexos
NÚMEROS COMPLEXOS Conjunto dos números complexos I C R Q Z N Número imaginário x² + 1 = 0 x² = 1 x = ± 1 Número imaginário i x = ± i x² + 4 = 0 x² = 4 x = ± 4 x = ± 1 4 x = ± 2i Número imaginário i = 1
Leia maisEscola Secundária de Francisco Franco Matemática 12.º ano Números Complexos - Exercícios saídos em (Exames Nacionais 2000)
Mais exercícios de.º ano: www.prof000.pt/users/roliveira0/ano.htm Escola Secundária de Francisco Franco Matemática.º ano Números Complexos - Exercícios saídos em (Exames Nacionais 000). Seja C o conjunto
Leia maisNúmeros complexos na forma algébrica
Números complexos na forma algébrica A gênese do complexos Durante dois mil anos a matemática cresceu sem se importar com o fato de que as raízes quadradas dos negativos não podiam ser calculadas. Os gregos,
Leia maisExercícios de exames e provas oficiais
mata Exercícios de exames e provas oficiais. Na figura, está representado, no plano complexo, um quadrado cujo centro coincide com a origem e em que cada lado é paralelo a um eixo. Os vértices deste quadrado
Leia maisMATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Equações e problemas
MATEMÁTICA A - 1o Ano N o s Complexos - Equações e problemas Exercícios de exames e testes intermédios 1. Em C, conjunto dos números complexos, sejam z 1 = 1 3i19 1 + i e z = 3k cis ( 3π, com k R + Sabe-se
Leia maisDisciplinas de 60 horas : 19:00 às 21:50 horas
PLANO DE ENSINO E APRENDIZAGEM!"#" $%" & ''( '' )$ ''"$ OBJETIVOS - Compreender o funcionamento de dispositivos e equipamentos Xeletromecânicos - Projetar transformadores e calcular seu rendimentos e perdas.
Leia maisCurso Satélite de. Matemática. Sessão n.º 1. Universidade Portucalense
Curso Satélite de Matemática Sessão n.º 1 Universidade Portucalense Conceitos Algébricos Propriedades das operações de números reais Considerem-se três números reais quaisquer, a, b e c. 1. A adição de
Leia maisCalendarização da Componente Letiva
Calendarização da Componente Letiva 2015/2016 7º Ano Matemática s 1º 2º 3º Número de aulas previstas (45 minutos) 61 50 48 Apresentação e Diagnóstico 2 Avaliação (preparação, fichas de avaliação e correção)
Leia mais