Taxas Trigonométricas

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1 Taas Trigonométricas Obs.: Com é mais difícil (confere a resolução). 1) A intensidade da componente F é p% da intensidade da força F. Então, p vale (a) sen(α) (b) 1sen(α) (c) cos(α) (d) 1cos(α) (e) cos(α)/1 ) α F F ) Considere as afirmações: (I) Um plano com inclinação de 3% possui um ângulo de 3º. (II) Se ao subir um plano inclinado, a distância percorrida a partir da base é sempre o dobro da altura adquirida, então o ângulo é de 3º. (III) Um triângulo retângulo com um ângulo agudo e ipotenusa 1, tem catetos medindo sen() e cos(). (a) Todas são verdadeiras. (b) Todas são falsas. (c) Apenas I é II. (d) Apenas II é III. (e) Apenas I é III. 3) Um móvel sobe um plano inclinado, conforme a figura.. y m Com base nos vetores, y, m, considere as taas: - distância em metros percorridos no sentido de y para cada metro percorrido no sentido. - distância em metros percorridos no sentido de m para cada metro percorrido no sentido. - distância em metros percorridos no sentido de y para cada metro percorrido no sentido m. Estas taas são, respectivamente, 1

2 (a) tan( ), sec( ), sen( ). (b) tan( ), cos( ), sec( ). (c) cos( ), sen( ), tan ( ). (d) cos( ), sec( ), sen( ). (e) sec( ), tan( ), sen( ). ) Uma móvel parte de um ponto de uma circunferência e percorre radianos. O número de voltas completadas é (a) (b) 31 (c) 3 (d) 55 (e) 6 5) (UFRGS) Sabendo-se que a = 1 e b = 3, na figura, então c é igual a b ) ) (a) / (b) 3/ (c) 1/ (d) 1 (e) 3 a c 6) (UCP) Se tan = /3, então sen vale (a) 13 /15 (b) 1/13 (c) 6/13 (d) 13/15 (e) 13 /13

3 7) (FUVEST) A tangente do ângulo é dada em função da tangente de pela seguinte fórmula: tan() tan() = 1- tan () (a), (b),1 (c),5 (d),7 (e) 1, Calcule um valor aproimado da tangente do ângulo 3. 8) (FUVEST) O dobro do seno de um ângulo, < < /, é igual ao triplo do quadrado de sua tangente. Logo, o valor do seu cosseno é (a) /3 (b) 3/ (c) / (d) 1/ (e) 3/3 9) Se a e b são lados de um triângulo qualquer e a ângulo entre eles, então a área do triângulo pode ser calculada por ab (a) sen( ) (b) ab sen( ) a (c) ab sen( ) ) (d) ab cos( ) b ab (e) cos( ) 3

4 1) Um foguete decola com velocidade constante de 1 Km/ na direção de uma lina reta que forma um ângulo de 15 com a pista. A altura atingida pelo avião após 15 min é de? (a) (b) (c) (d) (e) 5( ( 6 5( 6 ) km km km ) km ) km 11) (FAAP-SP) A soma dos comprimentos das bases de um trapézio retângulo vale 3 m. A base maior mede o dobro da menor e um dos ângulos mede 3º. A altura do trapézio, em metros, vale (a) 5 3 / 3 (b) 5 / 3 (c) 1 / 3 (d) 1 3 / 3 (e) 1 3 / 1) (UCMG) Em um triângulo retângulo ABC, reto em A, o cateto AB mede 5m e cos(b) =,. A ipotenusa, em metros, mede (a) 5,5 (b) 9,5 (c) 11,5 (d) 1,5 (e) 13,5

5 13) (PUC) A solução da equação cos(3- /)=, quando /, é (a) / (b) - / (c) 7 /1 (d) / (e) 1) (UFRGS) Dentre os desenos abaio, aquele que representa o ângulo que tem medida mais próima de 1 radiano é (a) (b) (c) (d) (e) 15) Uma força F é aplicada a 6 da direção do movimento. Quanto por cento é reduzida? F )6 F X X (a) % (b) 3% (c) % (d) 5% (e) 6% 5

6 RESOLUÇÃO 1) A intensidade da componente F é p% da intensidade da força F. F ) α F F = p% de F F p F 1 F p 1 p=1 cos( ) F ) (I) é F: Um plano com inclinação de 3% é tal que se sobe 3 para cada 1 que se avança na orizontal. ) 3 tan( ) = 3/1 = 3/1 =,3. Logo 3, pois tan(3 ) = 3/3 1,73/3 =,57. 1 (II) é V: Se a distância percorrida a partir da base é sempre o dobro da altura adquirida, então sen( )=/=1/. ) Logo =3, pois sen(3 )=1/. (III) é V: ) 1 cos( ) sen( ) sen( ) = (cateto oposto)/1 = cateto oposto. cos( ) = (cateto adjacente)/1 = cateto adjacente. 6

7 y 3) m ) - A distância em metros percorridos no sentido de y para cada metro percorrido no sentido é a razão entre o cateto oposto à e o cateto adjacente à, ou seja, a tan( ). - A distância em metros percorridos no sentido de m para cada metro percorrido no sentido é a razão entre a ipotenusa e o cateto adjacente à, ou seja, a taa inverso do cos( ), ou seja, é a sec( ). - distância em metros percorridos no sentido de y para cada metro percorrido no sentido m é a razão entre o cateto oposto à e a ipotenusa, ou seja, a taa sen( ). ) 1 volta rad ( ) 1/ volta rad ( 1) 1/ voltas rad 1/ voltas 31,8 voltas. Logo, são 31 voltas completadas. 5) 3 d ) 1 c Por Pitágoras nos triângulos retângulos: ( 3) = (1+c) + 3 = 1 + c + c + 1 = c + 1 = c + +β+ =18. Como =18 -, substituindo, temos: +(18 - )+ = = = Logo, =. Se e são iguais, os lados opostos são iguais, ou seja, d=1 = 1 + c 1 = c c=1/ 6) tan() = /3 Por Pitágoras, a = + 3 a = 13 a = 13 3 a sen()=sen()cos()+sen()cos() = sen()cos(). 3 1 sen( )

8 7) Vamos substituir na fórmula dada por 3 =,5 : tan(,5 ) tan(,5 ) 1 tan (,5 ) tan(,5 ) tan( 5 ) 1 tan (,5 ) tan(,5 ) 1 tan (,5 ) 1 1 tan (,5 ) tan(,5 ) tan (,5 ) tan(,5 ) 1 Vamos representar tan(,5 ) por t: t +t 1 = 8 Resolvendo: t 1 1 1, 1 t =-1+1,1=,1 t =-1-1,1=-,1 Como,5 está no primeiro quadrante, a tangente é positiva. Logo, a resposta é,1. 8) sen( )=3tan ( ) 1 ( y 1 3 ( ) y 3 y Por Pitágoras, temos: + y = 1. 3 y + y = = 3 y 3 9 ( ) =- e =1/. Como está no primeiro quadrante, não pode ser negativo. Logo, =1/. Se =sen( )=1/, então =3. Logo, cos( )= 3/. 8

9 9) b A sen( ) =a sen( ) a a b a sen( ) ab ) Logo, A sen( ) b ab (a) sen( ) (b) ab sen( ) (c) ab sen( ) (d) ab cos( ) ab (e) cos( ) 1) 5 km )15 1km 1km 5km. Logo, em lina reta, percorrerá 5 km em 15 min. 1 6min 15min sen(15 ) = 5sen(15 ). 5 sen(15 ) = sen(5-3 ) = sen(5 + (-3 )) = sen(5 )cos(-3 ) + sen(-3 )cos(5 ) = sen(5 )cos(3 )-sen(3 )cos(5 ) = ( 6 ) 11) b 1 b + B = 3 b + b = 3 3b = 3 B = b b = 1 e B = ( B No triângulo retângulo, tan(3 )

10 1) cos( B), 1, 5, C A 5 B ( 13) cos(3- /)= e / cos( /)= Assim, quando 3- / = /, teremos o cosseno nulo. 3 = /+ / 3 = 3 / = / cos(3 /)= Assim, quando 3- / =3 /, teremos o cosseno nulo. 3 = 3 /+ / 3 = 7 / =7 /1 Mas 7 /1 não está entre e /. O único possível valor para entre e / é /. 1) (a) (b) (c) (d) (e) 1 radiano equivale aproimadamente 56 graus. A alternativa que apresenta o ângulo mais próimo de 56 graus é a (b) 15) F = F cos(6 ) = F,5 Ao multiplicar por,5, á uma redução de 5%. 1

11 RESPOSTAS 1) D ) D 3) A ) B 5) C 6) B 7) B 8) B 9) A 1) E 11) D 1) D 13) A 1) B 15) D 11

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