Sistema Internacional de unidades (SI). 22/06/1799 sistema métrico na França

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1 CURSO DE ENGENHARIA CARTOGRÁFICA Carlos Aurélio Nadal Doutor em Ciências Geodésicas Professor Titular do Departamento de Geomática - Setor de Ciências da Terra Sistema Internacional de unidades (SI). 22/06/1799 sistema métrico na França. Metro é a unidade fundamental, duas marcas em uma barra de platina com uma distância equivalente a 1/ do quadrante de meridiano da Terra (distância do equador ao pólo norte medida no meridiano de Paris) metro é definido como o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo 1/ do segundo (INMETRO- 1982)

2 segundo metro quilograma hora Grandeza comprimento área volume ângulo plano tempo freqüência velocidade certo errado s s.; seg m m.; mts kg Kg. ;kgr h h.; hr Nome metros metro quadrado metro cúbico radiano segundo hertz metro por segundo valor numérico prefixo da unidade 250,8 cm Espaço de até unidade de comprimento um caractere Plural Símbolo metros m metros quadrados m² metros cúbicos m³ radianos rad segundos s hertz Hz metros por segundo m/s aceleração metro por segundo por segundo metros por segundo por segundo m/s² massa quilograma quilogramas kg Submúltiplos Prefixo Kilo Hecto Deca Deci Centi Mili micro nano fator multiplicativo ,1 = ,01 = ,001 = , = , = 10-9 unidade derivada quilometro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro micrometro nanômetro unidade SI km hm dam m dm cm mm µm nm pico 0, =10-12 picômetro pm

3 Outras unidades de área que podem ser usadas: Are: 10m x 10m = 100 m 2 Hectare: 100 x 100m = m 2 Alqueire Paulista = m 2 Alqueire mineiro = m 2 ESFERA E CÍRCULO Esfera: lugar geométrico dos pontos do espaço igualmente distanciados de um ponto denominado de centro. Raio (r): distância constante do centro a qualquer ponto da esfera. Superfície esférica: é a superfície que envolve uma esfera. Circulo: é o lugar geométrico dos pontos de um plano igualmente distanciados de um ponto denominado centro. Circunferência: é a linha envoltória de um círculo. Circunferência máxima: é toda a circunferência da superfície esférica que contem o centro desta.

4 r esfera Área da esfera: A e = 4 π r 2 centro o círculo máximo Volume da esfera 4 V = π r 3 3 Área do círculo A = π r 2 Medidas de arcos e ângulos raio (r) a arco (L) b L = α x r α = L / r o Ângulo central (α) Ângulo periférico (α/2) Comprimento da circunferência = 2 x π x r π =3,

5 Unidades de medidas angulares Grau: corresponde a 1/360 da circunferência 1 = 60 1 = 1/60 1 = = 1/60 1 = 60 1 = 1/3600 ex.: 25 o 26' 54,27" 1 m.a.s.: arco de um milisegundo 10-3 Grado: corresponde a 1/400 da circunferência ex.: 245,67gr Radiano: é o arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência ex. 1,56789 rad A 25 o o B Medida de um ângulo com transferidor

6 90 = π/2 Quadrantes trigonométricos II Q I Q 180 = π 0 =360 =0rad III Q IV Q 270 =3π/2 Transformações de unidades 360 = 2π rad 180 = π rad Transformação de graus e fração para radianos π x a a rad = 180 Transformação de radianos para graus e fração 180 x a rad a = π

7 360 = 400gr 180 = 200gr Transformação de graus e fração para grados 200 x a a gr = 180 Transformação de grados para graus e fração 180 x a gr a = 200 Transformar 25 o 38' 50,2" em radianos Transformando graus, minutos e segundos em graus 60' = 1 o 38 38' = x x = ,2 25 o 38' 50,2" = = 25, o

8 Transformar 25 o 38' 50,2" em radianos b) Transformando de graus para radianos 180 o = 3, (π ) rad 25, o = x 3, x 25, x = 180 x = 0, rad Transformar 1, radianos em graus, minutos e segundos a) Transformando de radianos para graus 3, (π ) rad = 180 o 1, rad = x x 180 x = = 72, o 3,

9 Transformar 1, radianos em graus, minutos e segundos b) Transformando de graus para graus, minutos e segundos 72, o = 72 o + 0, o 0, o x 60 = 07, ' = 07' + 0, , ' x 60 = 04,6453 1, rad = 72 o 07' 04,6453 Valores importantes π 1 o = = 0, rad 180 o π 1' = = 0, rad π 1" = = 0, = sen 1" " 180 o 1 rad = = 57, o = 57 o 17' 44,81", π 1 rad = 3437,7468' = ,81" 1 m.a.s. = mili arc second = 10-3 "

10 Soma Subtração de ângulos 30 o 21' + 20 o 52' = 51 o 13' 30 o 21' + 20 o 52' 50 o 73' 51 o 13' / /60 = 51, o = 51 o + 0, o 0, o x 60 = 13' Soma Subtração de ângulos 30 o 21' - 20 o 52' = 09 o 29' 30 o 21' 29 o 81' o 52' 20 o 52' 09 o 29' ' / /60 = 9, o = 09 o + 0, o 0, o x 60 = 29'

11 Funções trigonométricas t E C M OM=raio=1 C M T B O F A B O A D D t' Seno (MF) e cosseno (ME) do arco AM tangente (AT) do arco AM Funções trigonométricas S C M M' S' OM=raio=1 C W M B O A B O A Z D cotangente (CM') do arco AM D secante (OZ) cossecante (OW) do arco AM

12 Sinais das funções trigonométricas Função 1 o Q 2 o Q 3 o Q 4 o Q Seno Co-seno Tangente Cotangente Secante Cossecante Valores das funções trigonométricas Ângulo em graus Ângulo em radianos seno Co-seno tangente 0 0 0, , , π /12 0, , , π /6 0, , , π /4 0, , , π /3 0, , , π /12 0, , , π /2 1, ,

13 Extração de funções trigonométricas sen 25 o 38' 50,2 " = sen 25, o = 0, cos 25 o 38' 50,2 " = cos 25, o = 0, tg 25 o 38' 50,2 " = tg 25, o = 0, sen 192 o 45' 31,4 " = sen 192, o = -0, cos 97 o 11' 29,6 " = cos 97, o = -0, tg 97 o 11' 29,6 " = tg 97, o = -7, Funções trigonométricas inversas arc sen, arc cos, arc tg, arc cotg, arc sec e arc cossec. sen a = y 1) localiza-se os quadrantes da solução pelo sinal de y; 2) obtém-se da calculadora o valor do arco correspondente no 1 o quadrante; 3) aplica-se a fórmula de redução ao 1 o quadrante, para o 2 o quadrante a' = a para o 3 o quadrante a' = a para o 4 o quadrante a' = a

14 Exemplo de função trigonométrica inversa Pede-se o valor do ângulo a sendo sen a = 0, a= arcsen 0, (sin -1 ) 1) O sinal de y é positivo portanto tem-se soluções no 1 o e 2 o Quadrantes 2) Valor de a no 1 o quadrante [a] = 16 o 28' 51,22 " 3) soluções: No 1 o Q a = 16 o 28' 51,22 " 2 o Q a = 180 o -16 o 28' 51,22 " = 163 o 31' 08,78 " Exemplo de função trigonométrica inversa Pede-se o valor do ângulo a sendo tg a = -2, a= arctg 2, (tan -1 ) 1) O sinal de y é negativo portanto tem-se soluções no 2 o e 4 o Quadrantes 2) Valor de a no 1 o quadrante a= arctg 2, [a] = 68 o 50' 09,51 " 3) soluções: No 2 o Q a = 180 o -68 o 50' 09,51" = 111 o 09' 50,48 " 4 o Q a = 360 o -68 o 50' 09,51" = 291 o 09' 50,48 "

15 Relações fundamentais no triângulo retângulo b A c 1 cosec A = sen A 1 sec A = cos A C B a a sen A = b c cos A = b a 1 tg A = = c cotg A Teorema de Pitágoras b 2 = a 2 + c 2 Relações fundamentais num triângulo qualquer C agudo C obtuso b a b a A c Lei dos senos a b c = = sen A sen B sen C Lei dos co-senos B A a² = b² + c² - 2 b c cos A Obtuso: cos A = - cos (180 - A) c B

16 Cálculo da área de um triângulo qualquer S = (p)(p-a)(p-b)(p-c) p = 0,5* (a + b + c) S = (base x altura) /2 b a altura A c base B α 0 Polígonos 1 β Somatório dos ângulos externos Σα = (n-2)x180 o Somatório dos ângulos internos Σβ = (n+2)x180 o.

17 Fórmula dos trapézios S é a área da poligonal; Área de um polígono 1 n S = Σ [(Y i+1 + Y i ) (X i+1 -X i )] 2 i=1 n é o número total de pontos da poligonal menos um; X i e Y i coordenadas do ponto genérico i da poligonal. Calcular a área da poligonal pela fórmula dos trapézios. Ponto X (m) Y (m) 1 0,00 0, ,00 39, ,99 49, ,03-9, ,02 10,03 Solução: 1 n S = Σ [(Y i+1 + Y i ) (X i+1 -X i )] 2 i=1

18 desenvolvida para n=4 S=0,5 x [(Y 2 + Y 1 ) (X 2 X 1 ) + (Y 3 + Y 2 ) (X 3 X 2 ) + + (Y 4 + Y 3 ) (X 4 X 3 ) + (Y 5 + Y 4 ) (X 5 X 4 ) + + (Y 1 + Y 5 ) (X 1 X 5 ) S=0,5 x [(0,00+39,99)(40,00-0,00) + + (49, ,99) x (99,99 40,00) + + ( -9, ,98) x (90,03 99,99) + + (10,02 9,96) x (50,02 90,03) + + ( 0, ,02) x (0,00 50,02)] S = 3047,35 m 2 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Qual a diferença em se escrever? 1m 1,0m 1,00m 1,000m O último é expresso na casa do milímetro. 1,05 + 1,166 = 1,216 em significativos 1, ,55

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