Questão 1. Questão 2. Resposta

Transcrição

1 Instruções: Indique claramente as respostas dos itens de cada questão, fornecendo as unidades, se for o caso. Apresente de forma clara e ordenada os passos utilizados na resolução das questões. Expressões incompreensíveis, bem como respostas não fundamentadas, não serão aceitas. Ao apresentar a resolução das questões, evite textos longos e dê preferência às fórmulas e expressões matemáticas. Não use aproximações para os valores de π ou e. Toda a resolução das questões deve ser a caneta, não apenas as respostas numéricas. Questão Em uma estrada de ferro, os dormentes e os trilhos são assentados sobre uma base composta basicamente por brita. Essa base (ou lastro) tem uma seção trapezoidal, conforme representado na figura abaixo. A base menor do trapézio, que é isósceles, tem m, a base maior tem,8 m e as arestas laterais têm 50 cm de comprimento. Supondo que um trecho de 0 km de estrada deva ser construído, responda às seguintes questões. a) O lastro do trecho de ferrovia descrito é um prisma reto de altura 0 km m cuja base é um trapézio isósceles ABCD, conforme figura a seguir: A,0 m B 0,5 m 0,5 m D E,8 m Como os triângulos BFC e AED são congruentes, FC DE,8 0,4 m. Assim, pelo Teorema de Pitágoras, no triângulo BFC, (BF) + (0,4) (0,5) BF 0, m, altura do trapézio. Sua,8 +,0 área, então, é 0, 0,7 m. O volume de brita pedido corresponde ao volume do prisma reto, ou seja,0, m. b) Considerando a parte interna da caçamba de um caminhão um paralelepípedo reto-retângulo, seu volume é 6,5 0,6 9 m. Como temos 7 00 m de brita, e supondo que em todas as viagens o volume total da caçamba seja ocupado por brita, serão necessárias viagens 9 de caminhão para transportar toda a brita. F C Questão a) Que volume de brita será gasto com o lastro nesse trecho de ferrovia? b) Se a parte interna da caçamba de um caminhão basculante tem 6 m de comprimento,,5 m de largura e 0,6 m de altura, quantas viagens de caminhão serão necessárias para transportar toda a brita? Uma passagem de ônibus de Campinas a São Paulo custa R$ 7,50. O preço da passagem é composto por R$,57 de tarifa, R$ 0,94 de pedágio, R$,0 de taxa de embarque e R$ 0,69 de seguro. Uma empresa realiza viagens a cada 5 minutos, sendo que o primeiro ônibus sai às 5 horas da manhã e o último, à meia-noite. No período entre o meio-dia e as duas horas da tarde, o intervalo entre viagens sucessivas é de 0 minutos. a) Suponha que a empresa realiza todas as viagens previstas no enunciado e que os ônibus transportam, em média, 6 passageiros por viagem. Qual o valor arrecadado pela em-

2 matemática presa, por dia, nas viagens entre Campinas e São Paulo, desconsiderando as viagens de volta? b) Se a taxa de embarque aumentar,% e esse aumento for integralmente repassado ao preço da passagem, qual será o aumento percentual total do preço da passagem? a) Após a primeira viagem, às 5 h, há 4 viagens por hora, com exceção dos períodos das h às h e das h às 4 h, em que há viagens por hora.entreas5heameia-noitehá4 5 9 horas, de modo que o total de viagens é + (9 ) Logo, a empresa arrecada, em média, por dia, 7 6 7, reais. b) O aumento na taxa de embarque, que é também o aumento no preço da passagem, é de 0,,0,0 real. Assim, o aumento percentual total do preço da passagem é,0 7,50 Questão 6,8%. Considere a sucessão de figuras apresentada a seguir. Observe que cada figura é formada por um conjunto de palitos de fósforo. a) Suponha que essas figuras representam os três primeiros termos de uma sucessão de figuras que seguem a mesma lei de formação. Suponha também que F,F ef indiquem, respectivamente, o número de palitos usados para produzir as figuras, e, e que o número de fósforos utilizados para formar a figura n seja F n. Calcule F 0 e escreva a expressão geral de F n. b) Determine o número de fósforos necessários para que seja possível exibir concomitantemente todas as primeiras 50 figuras. a) De acordo com a lei de formação apresentada, as figuras são compostas por quadrados cujos lados têm a medida de palito e, a partir da figura, a figura n é obtida acrescentando-se (n ) quadrados à figura. Portanto uma expressão geral que apresenta o número de palitos utilizados para formar a figura n é Fn 4 [ + (n ) ] 8n 4 para n e, sendo assim, F b) Ao exibir concomitantemente todas as primeiras 50 figuras, são necessários (8 4) + + (8 4) + (8 4) (8 50 4) palitos de fósforo. Observando que, anteriormente, temos a soma de uma PA com a 4 e a 50 96, o número de (4 + 96) 50 palitos de fósforos é Figura Figura Figura Questão 4 Dois atletas largaram lado a lado em uma corrida disputada em uma pista de atletismo com 400 m de comprimento. Os dois atletas correram a velocidades constantes, porém diferentes. O atleta mais rápido completou cada volta em exatos 66 segundos. Depois de correr 7 voltas e meia, o atleta mais rápido ultrapassou o atleta mais lento pela primeira vez. Com base nesses dados, pergunta-se: a) Quanto tempo gastou o atleta mais lento para percorrer cada volta? b) Em quanto tempo o atleta mais rápido completou a prova, que era de metros? No momento em que o atleta mais rápido cruzou a linha de chegada, que distância o atleta mais lento havia percorrido?

3 matemática a) Como o atleta mais rápido ultrapassou o mais lento após 7 voltas e meia, o mais lento havia percorrido 6 voltas e meia até esse instante. Já que o atleta mais rápido completou cada volta em 66 segundos, o atleta mais lento completou cada 7,5 66 volta em 70 segundos. 6, b) A prova era composta por 5 voltas. 400 Assim, o atleta mais rápido demorou segundos 7 minutos e 0 segundos. Além disso, até esse instante, o atleta mais lento havia dado distância de Questão 5 voltas, o que equivale a uma ,6 metros. Durante um torneio paraolímpico de arremesso de peso, um atleta teve seu arremesso filmado. Com base na gravação, descobriu-se aaltura(y) do peso em função de sua distância horizontal (x), medida em relação ao ponto de lançamento. Alguns valores da distância e da altura são fornecidos na tabela abaixo. Seja yx ( ) ax + bx+ ca função que des- creve a trajetória (parabólica) do peso. Distância (m) Altura (m),0,7, a) Determine os valores de a, b e c. b) Calcule a distância total alcançada pelo peso nesse arremesso. a) Temos: a + b + c 4a + b + c,7 9a + b + c, a + b + c b + c 5, 6b + 8c 4,8 a + b + c b + c 5, c, a 0, b c, b) A distância total alcançada pelo peso nesse arremesso é o valor de x > 0 tal que y(x) 0. Assim, 4 ( 0,),, x ± ± ( 0,) 0, x ou x. Logo a distância total é de metros. Questão 6 Seja C o conjunto dos números (no sistema decimal) formados usando-se apenas o algarismo, ou seja, C {,,,,,,... }. a) Verifique se o conjunto C contém números que são divisíveis por 9 e se contém números divisíveis por 6. Exiba o menor número divisível por 9, se houver. Repita o procedimento em relação ao 6. b) Escolhendo ao acaso um número m de C, e sabendo que esse número tem, no máximo, 000 algarismos, qual a probabilidade de m ser divisível por 9? a) Um número é divisível por 9 se, e somente se, a soma de seus algarismos, no sistema decimal, é divisível por 9. Logo, um elemento de C, formado por k algarismos iguais a, k inteiro positivo, é divisível por 9 se, e somente se, k é divisível por 9, ou seja, devemos ter k 9t, t inteiro positivo. Assim, C contém números divisíveis por 9, sendo que o menor deles é. 9 uns Um número é divisível por 6 se, e somente se, ele é par e divisível por. Como todos os números do conjunto C têm o algarismo das unidades igual a, todos são ímpares e, portanto, nenhum é divisível por 6. b) Considerando as observações feitas no 000 item a e que 9t 000 t 9 9 t, para t inteiro positivo, há múltiplos de 9 entre os números de C com, no máximo, 000 algarismos. Conseqüentemente, a probabilidade pedida é 000,%.

4 matemática 4 Questão 7 A escala de um aparelho de medir ruídos é definida como Rβ + log0 I,emqueR β é a medida do ruído, em bels, e I é a intensidade sonora, em W/m. No Brasil, a unidade mais usada para medir ruídos é o decibel, que equivale a um décimo do bel. O ruído dos motores de um avião a jato equivale a 60 decibels, enquanto o tráfego em uma esquina movimentada de uma grande cidade atinge 80 decibels, que é o limite a partir do qual o ruído passa a ser nocivo ao ouvido humano. a) Escreva uma fórmula que relacione a medida do ruído R dβ, em decibels, com a intensidade sonora I, emw/m. Empregue essa fórmula para determinar a intensidade sonora máxima que o ouvido humano suporta sem sofrer qualquer dano. b) Usando a fórmula dada no enunciado ou aquela que você obteve no item (a), calcule a razão entre as intensidades sonoras do motor de um avião a jato e do tráfego em uma esquina movimentada de uma grande cidade. a) Como decibel 0 bel, temos: Rd β 0Rβ 0 ( + log0 I) R d β log0 I A intensidade sonora máxima que o ouvido humano suporta, sem sofrer qualquer dano, é tal que log0 I 4 log0 I I 0 4 W/m. b) A intensidade sonora do motor de um avião a jato é tal que log0 I 4 log0 I I 0 4 W/m. Portanto a razão entre as intensidades sonoras do motor de um avião a jato e do tráfego em uma esquina movimentada de uma grande cidade é Questão 8 Sejam dadas as funções f(x) px e g(x) x + 5, em que p é um parâmetro real. a) Supondo que p, 5 determine para quais valores reais de x tem-se f(x) g(x) < 0. b) Determine para quais valores de p temos g(x) f(x) para todo x [ 8, ]. a) f(x) g(x) < 0 5x(x + 5) < x x + > 0 x < ou x > 0 b) Seja h(x) g(x) f(x) ( p)x + 5. Para que g(x) f(x) h(x) 0 no intervalo [ 8; ], basta que h(x) 0, nos extremos do intervalo, já que o gráfico de h é uma reta. Portanto: h( 8) 0 ( p)( 8) h( ) 0 ( p)( ) p 8 p p Questão 9 Uma matriz real quadrada P é dita ortogonal T se P P, ou seja, se sua transposta é igual a sua inversa. a) Considere a matriz P abaixo. Determine os valores de a e b para que P seja ortogonal. Dica: você pode usar o fato de que P P I, em que I é a matriz identidade. / / / P / a / / b / b) Uma certa matriz A pode ser escrita na forma A QR, sendo Q e R as matrizes abaixo. Sabendo que Q é ortogonal, determine a solução do sistema Ax b, para o vetor b dado, sem obter explicitamente a matriz A. Dica: lembre-se de que x A b. / / / 0 0 Q / / /, R 0 0, / / b. 0 T Note que P é a matriz ortogonal P P T T P P P P P P I.

5 matemática 5 a) A matriz P dada é ortogonal se, e somente se, T P P I A AB B a b a b rio a b a b 4 4 a b 9 9 a b a b a b 0 a a + b b a b 0 b) Sendo Q ortogonal, a solução do sistema é: T x A b (QR) b R Q b R Q b Questão 0 Uma ponte levadiça, com 50 metros de comprimento, estende-se sobre um rio. Para dar passagem a algumas embarcações, pode-se abrir a ponte a partir de seu centro, criando um vão AB, conforme mostra a figura abaixo. 50 Considerando que os pontos A e B têm alturas iguais, não importando a posição da ponte, responda às questões abaixo. a) Se o tempo gasto para girar a ponte em o equivale a 0 segundos, qual será o tempo necessário para elevar os pontos A e B a uma altura de,5 m, com relação à posição destes quando a ponte está abaixada? b) Se α 75 o, quanto mede AB? a) Quando os pontos A e B estão a uma altura de,5 m, α é a medida de um ângulo num triângulo retângulo oposto ao cateto de medida,5 m.,5 Como a hipotenusa mede 5 m, senα 5 α 0 o. O tempo gasto para girar a ponte em o é 0 s, logo, para girá-la 0 o serão necessários s 5 min b) Considere a figura a seguir, em que CD 50 m representa o comprimento da ponte e α75 o. A B 5 m 5 m D E F C 50 m Sendo AB x, como ABCD é um trapézio isósceles, CF DE 50 x. Do triângulo retângulo AED, 50 x DE o cosα cos75 AD 5 o o 50 x cos( ) 50 o o o o cos0 cos 45 sen 0 sen x 6 50 x x 5(4 6 + ) m

6 matemática 6 Questão Suponha que um livro de 0 cm de largura esteja aberto conforme a figura abaixo, sendo DAC 0 o e DBC 60 o. y Q R B 0 cm D 60 A 0 a) Calcule a altura AB do livro. b) Calcule o volume do tetraedro de vértices A, B, C e D. a) Como m (DBC ) 60 o ebd BC, o triângulo DBC é eqüilátero. Seja BD BC DC. Aplicando a lei dos co-senos no triângulo DAC, o DC AD + AC AD AC cos cm. Pelo Teorema de Pitágoras no triângulo BAD, AB + 0 AB (0 ) 0 AB 0 cm. b) Sejam DAC a base e AB a altura do tetraedro ABCD. Seu volume é dado por área DAC AB o 0 0 sen cm. Questão As retas de equações y ax + bey cx são ilustradas na figura a seguir. Sabendo que o coeficiente b é igual à média aritmética dos coeficientes a e c, a) expresse as coordenadas dos pontos P, Q e R em termos dos coeficientes a e b; b) determine a, b e c sabendo que a área do triângulo OPR é o dobro da área do triângulo ORQ e que o triângulo OPQ tem área. C O a) Considerando a figura dada, uma equação da reta PQ é y ax + b,coma<0eb>0;euma equação da reta OR é y cx, com c > 0. b Assim, em PQ, x 0 y b e y 0 x, a b ou seja, Q (0; b) e P a ;0. Finalmente, R ( x; y)éaintersecçãodepqeor, ou seja: b x y ax + b c a y cx bc y c a E, sendo b a média aritmética dos coeficientes a e b, temos b c b a e a + c b R (b a) ; b(b a). (b a) b) y b(b _ (b _ a) a) b Q O b (b _ a) Como a área do triângulo OPQ éeaárea do triângulo OPR é o dobro da área do triângulo OQR, as áreas dos triângulos OPR e OQR são, respectivamente, e. Portanto, lembrando que a < 0 e b > 0: R P P x b a x

7 matemática 7 b b a b b (b a) b a b 4( b a) b a a 8 a b b 4 Ou seja, a 8, b 4 e c b a 6.