Matemática Abaixo temos um extrato bancário simplificado do mês de novembro.

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1 Matemática Uma revista semanal de larga circulação apresentou matéria contendo o seguinte texto: O governo destinou reais para a vacinação de 25 milhões de cabeças de gado, ou seja, um centavo de real para cada cabeça. De qual percentual a revista errou, acerca do valor que o governo destinou a cada cabeça de gado? Resposta: 60 O governo destinou / = 160/100 = 1,60 centavos para cada cabeça de gado e o valor da revista estava errado em (1,6 1,0).100%/1,0 = 60%. 18. Uma mistura A, de gasolina e álcool, contém 30% de álcool, enquanto uma mistura B, também de gasolina e álcool, contém 80% de álcool. Usando as misturas A e B, pretende-se obter 150 litros de uma terceira mistura de álcool e gasolina com 60% de gasolina. Quantos litros da mistura B serão utilizados? Resposta: 30 Seja x o número de litros utilizados de B para compor a terceira mistura. Temos que serão utilizados 150 x litros de A. Além disso, a terceira mistura terá 0,4.150 = 60 litros de álcool. Portanto, 0,3(150 x) + 0,8 x = 60, que se simplifica como 0,5x = = 15 e x = 30 litros. 19. O gráfico abaixo ilustra o percentual de compradores via Internet, por região, em Assuma que esta distribuição se manterá em % 12% 7% 4% 67% Sudeste Norte Centro-Oeste Nordeste Sul Em 2004, o número de compradores foi de 3,2 milhões, e espera-se para 2005 um aumento de 30%. De quantos milhares, o número de compradores via Internet, irá aumentar na região Nordeste? Resposta: 96 O aumento total no país será de 0,3.3,2 = 0,96 milhões de compradores, e, na região Nordeste, o aumento será de 0,1.0, = 96 milhares de compradores. 20. Abaixo temos um extrato bancário simplificado do mês de novembro. Data Transação Débito (R$) Crédito (R$) Saldo (R$) 1/11 Saldo anterior 600,00 12/11 Cheque 800,00-200,00 18/11 Depósito em dinheiro 600,00 400,00 25/11 Cheque 500,00-100,00 27/11 Cheque 200,00-300,00

2 30/11 Saldo -300,00 O banco cobra juros mensais de 9%, e o cálculo dos juros sobre o saldo devedor é feito segundo o número de dias correspondentes, a juros diários simples. Calcule o juro devido ao banco, em reais, no mês de novembro, na conta do extrato acima, e assinale dez vezes o valor obtido. Resposta: 69 Os saldos negativos de R$ 200,00, R$ 100,00 e R$ 300,00 permaneceram durante 6 dias, 2 dias e 3 dias, respectivamente, a uma taxa diária de 9/30 = 0,3%. O juro devido é de 200.0, , ,003.3 = ,003 = 6,9 reais. 21. Indique a área do conjunto dos pontos do plano cartesiano com coordenadas (x, y) tais que x 0, y 0 e 9x + 10y 90. Resposta: 45 A reta 9x + 10y = 90 intercepta o eixo das abscissas em (10, 0) e o das ordenadas em (0, 9). O conjunto mencionado corresponde à região limitada pelo triângulo com vértices nos pontos (0, 0), (0, 9) e (10, 0), que é retângulo com catetos medindo 9 e 10 e tem área 9.10/2 = Júnior investiu um total de R$ 1200,00; parte na poupança e parte em um fundo de investimentos. A poupança rendeu 0,5% ao mês, o fundo de investimentos rendeu 0,6% ao mês, e os dois têm capitalização mensal. Se, passado um ano, o montante obtido da poupança e do fundo de investimentos foi de R$ 1279,00, calcule quanto foi investido na poupança, em reais, e indique um décimo do valor obtido. (Dados: use as aproximações 1, ,06 e 1, ,07). Resposta: 50 Seja x o valor investido na poupança. Temos que, após 12 meses, o montante acumulado na poupança foi de x(1 + 0,005) 12 e, no fundo de investimentos, foi de ( x)(1 + 0,006) 12 e daí x.1,06+(1200 x)1.07 = Segue desta igualdade que 0,01x = = 5 e x = 500 reais. 23. O preço de mercado de um produto se desvaloriza anualmente de certo valor constante. O produto foi comprado em 1995 e, em 2010, seu valor será nulo. Se, em 1999, o valor do produto era de R$ 2046,00, calcule qual é seu valor em 2005, em reais, e indique a soma dos dígitos do número obtido. Resposta: 12 Se x é quanto o preço do produto se desvaloriza a cada ano, temos que o valor do produto em 1995 era de ( )x = 15x, e seu valor em 1999 era de 15x ( )x = 11x, logo, x = 2046/11 = 186 reais, e o valor do produto em 2005 é de 5x = 930 reais. As informações abaixo referem-se às duas questões a seguir. O faturamento de uma pequena empresa nos meses de janeiro, fevereiro e março é dado, em centenas de reais, pelos valores da tabela abaixo. Mês Janeiro Fevereiro Março Faturamento

3 Suponha que o faturamento (F) seja uma função quadrática do número x associado ao mês do ano (x = 1 para janeiro, x = 2 para fevereiro,..., x = 12 para dezembro). Os dados da tabela se expressam como F(1) = 56, F(2) = 63 e F(3) = Se F(x) = ax 2 + bx + c, com a, b e c sendo números reais, indique o valor de c. Resposta: 47 Temos a + b + c = 56, 4a + 2b + c = 63 e 9a + 3b + c = 68. Subtraindo a segunda igualdade da primeira e a terceira da segunda, obtemos, respectivamente, 3a + b = 7 e 5a + b = 5; subtraindo a segunda destas igualdades da primeira, obtemos 2a = - 2 e a = -1. Segue que b = 10 e c = 47 e F(x) = -x x Assinale o maior faturamento mensal da empresa, em centenas de reais. Resposta: 72 O faturamento será máximo quando x = -10/-2 = 5, ou seja, em maio, e seu valor será F(5) = = 72 centenas de reais. 26. O retângulo ABCD ilustrado a seguir está dividido em seis quadrados e tem perímetro 21. Qual a sua área? D C Resposta: 26 A B Se x é a medida do lado do menor quadrado que aparece na dissecção do retângulo, temos que os lados dos outros quadrados medem 2x, 3x, 5x e 8x. O perímetro do retângulo ABCD é 2(x + x + 3x + 8x + 8x) = 21, e daí x = ½. A área do retângulo mede (13x).(8x) = 13.8/4 = Júnior comprou um apartamento em 2005, pelo preço de R$ ,00. O plano de Júnior é vender o apartamento por um preço de R$ ,00. Se o valor do apartamento aumenta, de maneira cumulativa, a uma taxa anual de 4%, em quantos anos Júnior venderá o apartamento? (Dados: use as aproximações ln(5/3) 0,51 e ln(1,04) 0,04.). Aproxime sua resposta para o inteiro mais próximo do valor obtido. Resposta: 13 Em t anos, o valor do apartamento será 120(1+0,04) t, em milhares de reais, e este valor será igual a 200, quando 120(1+0,04) t = 200, ou, 1,04 t = 5/3 e daí t = ln(5/3)/ln(1,04) 0,51/0,04 = 12,75 anos. 28. A média das notas da prova de matemática de uma turma foi 3,0. O professor decidiu adicionar 2,0 pontos às notas superiores a 5,0, que representavam 10% do total, e 3,0 pontos às notas iguais ou inferiores a 5,0. Calcule a nova média m da turma e assinale 10m. (Observação: admita que o número de notas é divisível por 10 e que a maior nota foi 8.)

4 Resposta: 59 Seja x o número de alunos da turma. Depois da mudança das notas, a soma de todas as notas será 3x + 0,1x.2 + 0,9x.3 = 5,9x, e a nova média será m = 5,9x/x = 5, Ricardo e Júnior constituíram uma empresa, investindo juntos um capital inicial total de R$ 7.000,00. Ricardo trabalha dois dias por semana na empresa enquanto Júnior trabalha três dias por semana. Passado certo período, a empresa foi desfeita, e coube a Júnior o dobro do valor que coube a Ricardo. Se o valor recebido por cada um foi diretamente proporcional ao valor investido inicialmente na empresa e ao número de dias trabalhados por semana, quantas centenas de reais Ricardo investiu, ao formarem a empresa? Resposta: 30 Seja x a quantia que Ricardo investiu ao formarem a empresa; então, a quantia que Júnior investiu foi de (7000 x) reais. Os valores recebidos por Ricardo e Júnior, quando a empresa foi desfeita, são proporcionais a 2x e 3(7000 x), e, como Júnior recebeu o dobro do que coube a Ricardo, temos 1/(2x) = 2/[3( x)] e, portanto, x = 4x e x = 3000 reais, que é o valor investido inicialmente por Ricardo. 30. A quantia que Júnior possui lhe permite comprar, sem que nada lhe reste, um certo número de picolés de cajá a R$ 0,47 a unidade, ou, um certo número de picolés de goiaba a R$ 0,25 a unidade, com uma sobra de R$ 0,01. Se a quantia que Júnior possui é um valor entre R$ 3,00 e R$ 4,00, indique o número de centavos desta quantia, que excede R$ 3,00. Resposta: 76 Se j é o número de picolés de cajá que se pode comprar com a quantia, e g é o número de picolés de goiaba que se pode comprar, com troco de R$ 0,01, temos 0,47j = 0,25g + 0,01. Como 300 < 47j < 400, temos 6 < j < 9, logo j = 7 ou j = 8. Se j = 7, temos que g = 328/5 não é inteiro. Para j = 8 temos g = 375/25 = 15. Portanto, a quantia que Júnior possui é de 0,47.8 = 3,76 reais. 31. Uma pesquisa concluiu que: 10% dos pais duvidam que são os pais biológicos de um filho; 30% dos pais que duvidam da paternidade de um filho não são pais biológicos; 4% dos pais que não duvidam da paternidade de um filho não são pais biológicos. Se um pai é o pai biológico de um filho, qual a probabilidade percentual p% de ele duvidar de sê-lo? Indique o inteiro mais próximo de 10p. Resposta: 75 Dos 10% que duvidam da paternidade temos que 0,3.10% = 3% não são pais biológicos e (10-3)% = 7% o são. Dos (100 10) = 90% que não duvidam da paternidade temos que 0,04.90% = 3,6% não são pais biológicos e (90 3,6)% = 86,4%, que o são. Portanto, do total de pais, (7 + 86,4)% = 93,4% são pais biológicos e 7% duvidam de sê-lo. Segue que a probabilidade procurada é p = 7/93,4.100 = 7,49 e 10p = 74, As medidas do comprimento, da largura e da altura de um paralelepípedo retângulo estão em progressão geométrica e têm soma 78 cm. Se o volume do paralelepípedo é 18 3 cm 3, determine sua área total, em cm 2, e indique a soma de seus dígitos. Resposta: 18 Desde que o comprimento, largura e altura estão em progressão geométrica, eles podem se expressar como a/q, a e aq. O volume do paralelepípedo será a/q.a.aq = 18 3, que se simplifica como a 3 = 18 3 e daí a = 18cm. A área total do paralelepípedo 2

5 é dada por 2(a/q.a + a/q.aq + a.aq) = 2 a(a/q + a + aq) = = 2808 cm 2.

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