PROVA DE MATEMÁTICA DA UEFS VESTIBULAR RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

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1 PROVA DE MATEMÁTICA DA UEFS VESTIBULAR 0 Profa. Maria Antônia Gouveia. Questão Em um grupo de 0 casas, sabe-se que 8 são brancas, 9 possuem jardim e possuem piscina. Considerando-se essa infomação e as proposições I. Há, pelo menos, 7 casas brancas com jardim; II. Não há nenhuma casa com jardim e piscina; III. Há, pelo menos, 9 casas sem jardim nem piscina; pode-se afirmar, com certeza, que A) a proposição II é verdadeira. B) as proposições I e II são verdadeiras. C) as proposições II e III são verdadeiras. D) as proposições I e III são verdadeiras. E) as proposições I, II e III são verdadeiras. a+b+c ++y+w+z = 9 (a+b+c++y+z+w)+(a+b+c+) = (a+b+c+) = 9 a+b+c+ = 9. Se b+c+ =, a+ = 7 a afirmativa I é verdadeira. Nada se pode concluir da afirmativa II, logo é falsa. Se a+b+ = 9, y = 9 a afirmativa III é verdadeira. RESPOSTA: Alternativa D. Questão O número de elementos do conjunto { Z; < 0000 } é A) 00 B) 99 C) 98 D) 00 E) 99

2 As raízes da função y = < 0000 são 00 e 00. Analisando o esboço do gráfico da função y = 0000, conclui-se que assume valores negativos no intervalo ] 00, 00[ ao qual pertencem [00 ( 00)] = 99 números inteiros. RESPOSTA: Alternativa B. Questão Dados os números reais a, b, c e d, tais que c < a < b e (a b) (b c) (c d) < 0, sobre o conjunto X = { R; ( d) < d a }, pode-se afirmar: A) a X e b X B) b X e c X C) a X e c X D) [a, b] X E) X [a, b] = ]a, b] Sendo c < a < b e (a b) (b c) (c d) < 0, (a b) < 0 e (b c) > 0, então (c d) > 0. Logo c > d d < c < a < b d a < 0. ( d) < d a d a < d < a d d a < < a a X. Questão No plano de Argand-Gauss, um número compleo z = + iy, com > 0 e y > 0, o seu conjugado e a origem dos eios coordenados são os vértices de um triângulo equilátero. Se z z =, então z + 6z é igual a A) i B) 6( + i) C) ( + i) D) 8 E) 0 z z = + iy ( iy) = iy = y = y = = z = z = z + i e z = + ( cos0 + isen0 ) = ( cos0 + isen0 ) = (cos0 + isen0 ) = 6z = 6 6i z i = + 6z = 0 + y = i = 6 + 6i

3 Questão Um atleta deverá treinar durante dias para uma competição, sendo que, no primeiro dia, ele fará um treino de hora e irá, a cada dia, aumentar a duração do treino em minutos. Se ele pretende treinar um total de 00 horas, então deve ser igual a A) 0 B) C) 0 D) E) 0 A série que representa as condições da questão é: (, +, +,...,+). Se ele pretende treinar um total de 00 horas, então ( + + ) = 00 + = 00 + = = h = RESPOSTA: Alternativa B ( ) min. Questão 6 Sendo k um número real, a equação ( + k + 9) ( + k) = 0 não terá solução real se A) < k < 6 B) k > C) k < ou k > 6 D) k < 6 E) 6 < k < 6 A equação ( + k + 9) ( + k) = 0 não terá solução real se As raízes da primeira função do sistema são 6 e 6; a da segunda é. Na figura ao lado está representado o estudo da variação dos sinais das duas funções. k 6 < 0 6 8k < 0 A solução do sistema k 6 < 0 6 8k < 0 ], [ ],6[ S S = ] 6,6[ =. é RESPOSTA: Alternativa A.

4 Questão 7 O crescimento de uma cultura bacteriana segue uma progressão geométrica. Se, às 7:00h, havia 00 bactérias e, às 9:00h, há 9600, espera-se que, às :00h, o número de bactérias seja cerca de A) 600 B) 00 C) 000 D) 7800 E) 900 A série que representa o crescimento da cultura bacteriana é: (00, 00q, 00q,..., 9600,..., 00q 6 ) = 00q q = 8 q = q = q 6 = 00q 6 = 00 6 = 900 Questão 8 Os números reais positivos a, b e c formam, nessa ordem, uma progressão geométrica. Se o produto das raízes do polinômio p() = a + b + c é igual a 6, então a soma dessas raízes é A) 8 B) C) 0 D) 8 E) Se o produto das raízes do polinômio p() = a c + b + c é igual a 6, então: = 6 c = 6a. a Como os números reais positivos a, b e c formam, nessa ordem, uma progressão geométrica: podem ser representados da seguinte forma: a, aq e aq. Logo aq a = 6a q = b = a que a soma das raízes é =. a Questão 9 Sabendo-se que o polinômio P() = tem a soma de duas de suas raízes igual a, pode-se afirmar que o valor absoluto do produto das duas menores raízes é A) 8 B) C) D) E) 0 ' + ' ' + ' ' + ' ' = '' = ' '' = P() é divisível por +. Dividindo P() por + :

5 Logo, P() = = ( + )( + ) que =, = e = o produto das duas menores raízes é, que tem como valor absoluto. Questão 0 Em uma promoção, ao comprar um computador, o consumidor leva um pacote no qual ele deve escolher periféricos distintos, dentre opções, sendo que o primeiro terá 0% de desconto e o segundo %; jogos distintos, dentre 7 títulos disponíveis. Nessas condições, o número de pacotes diferentes à disposição dos consumidores é A) B) C) D) 0 E) 700 A quantidade de maneiras diferentes de escolher os dois periféricos entre as cinco opções é: A, = 0. A quantidade de maneiras diferentes de escolher três, dentre os 7 títulos disponíveis, é: 7 6 C 7, = =. Nessas condições, o número de pacotes diferentes à disposição dos consumidores é: 0 = 700. Questão Uma academia cobra taa de inscrição, mais mensalidades, cujo valor é fio e não depende do tempo de permanência. Uma pessoa que frequentar essa academia por três meses gastará em média, mensalmente R$9,00. Se ela ficar durante o ano inteiro, essa média cairá para R$80,00. Nessas condições, pode-se concluir que a taa de inscrição é de A) R$,00 B) R$60,00 C) R$7,00 D) R$87,0 E) R$,00 y + = 8 + y = 0 + y = 0 9 = 0 + y = y = 880 = 60 + y = 960 RESPOSTA: Alternativa B.

6 Questão O conjunto-solução da inequação é A) R; B) R; ou C) R; D) R; ou E) R Raízes da equação + 6 = 0: ± = + 8 = ou = RESPOSTA: Alternativa A. Questão As senhas do website L são formadas por uma sequência de símbolos, que podem ser uma das 6 letras ou um dos 0 dígitos numéricos. O website M usa sequências de n símbolos, mas permite apenas números. Supondo-se que a segurança de cada um seja dada pelo número de senhas possíveis e considerando-se log 6 = 0,78, para que a segurança de M seja maior ou igual a de L, o valor de n deve ser, pelo menos, A) B) 6 C) 8 D) E) 8 Número de senhas do website L: 6 Número de senhas do website M:0 n n 0 6 n.log0 log6 n 0log6 n 7,8 n 8 6

7 Questão Um fio fino de 0cm é completamente enrolado, de maneira bem justa, em um círculo de raio cm. Se M e N forem as duas etremidades do fio e S, o centro do círculo, então, considerando-se π,, pode-se afirmar que a medida, em radianos, do ângulo M ŜN, está no intervalo A) [ 0, [ B) [, [ C) [, [ D) [, [ E) [, [ Comprimento do círculo é, =,6cm. Com o fio serão dadas voltas e mais (0cm,cm) = =,88cm,88,6 0,6,7 = = α =, radianos α [, [ α π α 6,8 Questão Em um triângulo retângulo, sejam S a soma das medidas dos comprimentos dos catetos; T, a diferença entre eles e H, a medida do comprimento da hipotenusa. Se for a medida do menor ângulo interno desse triângulo, então cos é igual a A) S + T B) S + T H S.T C) S. T D) H S T B = S B B = T B = S T S T S S T S T S B sen = = cos = = H H e H H S + T = H cos = cos sen S + T S T ST ST = = = H H H H RESPOSTA: Alternativa D. S T E) H Questão 6 O número de soluções da equação cos = + sen, no intervalo [0, π], é A) 0 B) C) D) E) 7

8 cos = + sen ( sen ) = + sen sen + sen = 0 ± + sen = sen = ou 6 [0, π]. RESPOSTA: Alternativa D. Questão 7 Na figura, os segmentos MN e ST são diâmetros do círculo. Se o ângulo STN mede 7 o e o raio do círculo, 6cm, então a distância do ponto S ao segmento MN mede, em cm, sen = = π ou = arcsen soluções no intervalo A) B) C) D) E) 6 Sendo o triângulo NOT isósceles, o ângulo NÔT mede 0, bem como, o ângulo MÔS. d d No triângulo retângulo OPS, = sen0 = d =. 6 6 RESPOSTA: Alternativa B. Questão 8 O volume da menor caia cúbica que pode ser usada para guardar uma esfera de aço com 8cm de volume, considerando-se π, é de, aproimadamente, A) 8cm B) cm C) 6cm D) 0cm E) cm A menor caia cúbica que pode ser usada para guardar uma esfera de raio R tem aresta igual a R. Sendo o volume da esfera igual a 8cm : πr πr 6 V = = 8 R =. π O volume do cubo é V = 8R 6 8 = 8 = =,86.. π, 8

9 Questão 9 Se r é a reta descrita pela equação + y = e s é a reta perpendicular a r que passa pela origem do eios coordenados, então r e s se interceptam no ponto 9 A) (, ) B), C) 0, D) (, ) E), Da equação + y = tem-se: y = +. Sendo s uma reta perpendicular a r e que passa pela origem do eios coordenados, sua equação é: y =. y = + Resolvendo-se o sistema tem-se a intercessão das duas retas: y = y = + y = = = RESPOSTA: Alternativa A. Questão 60 + = y = Seja r a reta que passa pelo ponto (, ) e intercepta o eio das abscissas em =, e seja λ a circunferência de centro C(, ) e raio u.c. Nessas condições, é correto afirmar: A) λ intercepta o eio das ordenadas. B) r passa pelo centro de λ. C) λ e tangente ao eio das abscissas. D) r é secante a λ. E) r é tangente a λ. A circunferência tem equação: ( + ) + ( y ) =. A reta passa pelos pontos (, ) e (, 0) e sua equação é da forma: y = a( + ) 0 = a( + ) a = a equação da reta é y = +. Substituindo este valor de y na equação da circunferência: ( + ) + + = = = = 0 = 0 a reta r e a circunferência λ são tangentes. 9

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