1 C. Logo, A B = {c} e P(A B) = {Ø, {c}}

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1 MATEMÁTICA NOTAÇÕES = {,,,,...} : conjunto dos números reais : conjunto dos números compleos [a, b] = { ; a b} (a, + ) = ]a, + [ = { ; a < < + } A\B = { A; B} A C : complementar do conjunto A i: unidade imaginária; i = z: módulo do número z Re z: parte real do z Im z : parte imaginária do número z M m n (): conjunto das matrizes reais m n A t : transposta da matriz A det A: determinante da matriz A P(A): conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A n(a): número de elementos do conjunto finito A AB: segmento de reta unindo os pontos A e B tr A : soma dos elementos da diagonal principal da matriz quadrada A Obs.: Os sistemas de coordenadas considerados são car - tesianos retangulares. C Sejam A e B subconjuntos do conjunto universo U = {a, b, c, d, e, f, g, h}. Sabendo que (B C A) C = = {f, g, h}, B C A = {a,b} e A C \B = {d,e}, então, n(p(a B)) é igual a a). b). c). d) 4. e) 8. ) (B C A) C = {f; g; h} (B C ) C A C = {f; g; h} B A C = {f; g; h} B\A = {f; g; h} ) B C A = {a; b} A\B = {a; b} ) A C \B = {d; e} U\(A B) = {d; e} De (), () e (), temos o diagrama Logo, A B = {c} e P(A B) = {Ø, {c}} ITA (º DIA) - DEZEMBRO/8

2 B Uma empresa possui carros, sendo uma parte com motor a gasolina e o restante com motor fle (que funciona com álcool e com gasolina). Numa determinada época, neste conjunto de carros, 6% dos carros com motor a gasolina e 6% dos carros com motor fle sofrem conversão para também funcionar com gás GNV. Sabendo-se que, após esta conversão, 6 dos carros desta empresa são bicombustíveis, pode-se afirmar que o número de carros tricombustíveis é igual a a) 46. b). c) 6. d) 68. e) 84. Se, entre os carros da empresa, têm motor a gasolina e possuem motor fle, temos: ( 6)%. ( ) + 6% = 6 64, 64 +,6 = 6,8 = 84 = Portanto, o número de carros tricombustíveis é 6 6%. ( ) =. 7 = ITA (º DIA) - DEZEMBRO/8

3 E Seja f : \ {} uma função satisfazendo às con - dições: f( + y) = f()f(y), para todo, y e f(), para todo \ {}. Das afirmações: I. f pode ser ímpar. II. f() =. III. f é injetiva. IV. f não é sobrejetiva, pois f() > para todo. é (são) falsa( s) apenas a) I e III. b) II e III. c) I e IV. d) IV. e) I. Se f: \ {}, f( + y) = f(). f(y) para todo ; y R e f(), para todo \ {}, então: ) f() CD (f) = \ {} f(),. ) f( + ) = f(). f() f() = [f(] f() =, pois f(). ) Para qualquer a, tem-se: f( a + a) = f( a). f(a) = f() = e, portanto f(a) e f( a) tem o mesmo sinal. Assim, f não pode ser ímpar. 4) = + k, com k f( ) = f( + k) = f( ). f(k) f( ), pois f(k). Assim, f é injetiva. ) f() = f + = f. f = = f >, pois f. Desta forma, Im(f) + e Im(f) CD(f), então a função não é sobrejetiva. Assim, apenas a afirmação (I) é falsa. ITA (º DIA) - DEZEMBRO/8

4 4 B π π Se a = cos e b = sen, então, o número com pleo π π cos + i sen 4 é igual a a) a + bi. b) a + bi. c) ( a b ) + ab ( + b )i. d) a bi. e) 4a b + ab( b )i. π π Se a = cos e b = sen então: π π ) cos + i. sen 4 4π 4π = cos + i. sen = 4π 4π = cos π + + i. sen π + = 4π 4π = cos + i. sen = 4π π ) cos = cos = a 4π π ) sen = sen = b Assim sendo: cos π + i. sen π 4 4π 4π cos + i. sen = a + bi = = ITA (º DIA) - DEZEMBRO/8

5 E O polinômio de grau 4 (a + b + c) 4 + (a + b + c) (a b) + + (a b + c) + (a + c), com a, b, c, é uma função par. Então, a soma dos módulos de suas raízes é igual a a) +. b) +. c) +. d) +. e) +. ) P() = (a + b + c). 4 + (a + b + c). (a b) + + (a b + c) + (a + c) é de grau 4 e é uma função par. Asim sendo: a + b + c a + b + c = a + b + c + b a + b + c = a b + c = a b = ) Se b, a + c = b e a = b, então P() = b 4 (b b) + ( b) P() = b 4 b b ) Resolvendo a equação P() =, temos: b 4 b b = 4 = = ou = = i ou = i ou = ou = 4) O conjunto-verdade da equação P() = é V = {i; i; ; } ) A soma dos módulos das raízes é = + 6 C Considere as funções a + c = b b a = b f () = 4 + e g() = +. A multiplicidade das raízes não reais da função composta f o g é igual a a). b). c). d) 4. e). Sendo f() = 4 + = = ( + ). ( ) +. ( ) = = ( ). ( + + ) = = ( ). ( + ) e g() = + = ( ), temos: (fog) () = [( ) 4 ]. [( ) + ] = = [( ) ]. [( ) + ] = = ( ). ( + ), cujas raízes são (raiz simples), (raiz simples), + i (raiz tripla) e i (raiz tripla). Logo, a multiplicidade de cada raiz não-real da função composta fog é igual a. ITA (º DIA) - DEZEMBRO/8

6 7 A Suponha que os coeficientes reais a e b da equação 4 + a + b + a + = são tais que a equação admite solução não real r com r. Das seguintes afirmações: I. A equação admite quatro raízes distintas, sendo todas não reais. II. As raízes podem ser duplas. III. Das quatro raízes, duas podem ser reais. é (são) verdadeira( s ) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas II e III e) nenhuma. ) Seja r = p + qi, com p + q e q, a raiz não real da equação 4 + a + b + a + =, de coeficientes reais. ) Se r for raiz, então também o será, pois r r 4 a b a = r r r + ar + br = + ar + r 4 = = r 4 r 4 p qi ) = = p qi, pois p + q r p + qi p + q 4) Já que a equação tem coeficientes reais, se r = p + qi e = são raízes, então, p qi e r p + qi também serão raízes. p qi ) A equação admite, portanto, quatro raízes dis - tintas, sendo todas não-reais. ITA (º DIA) - DEZEMBRO/8

7 8 B Se as soluções da equação algébrica a + b + 4 =, com coeficientes a, b, b, formam, numa determinada ordem, uma progressão geométrica, então, a b é igual a a). b). c). d). e). Sejam α q, α e α. q as raízes da equação em pro gressão geométrica de razão q (q *). De acordo com as relações de Girard, temos: α 4. α. αq = α = 7 q Logo, a = é uma das raízes e, conseqüentemente,. ( ) a. ( ) + b. ( ) + 4 = 4 9a b + 4 = 9a = b a = b ITA (º DIA) - DEZEMBRO/8

8 9 E Dados A M () e b M (), dizemos que X M () é a melhor aproimação quadrática do sistema AX = b quando (AX b) t (AX b) assume o menor valor possível. Então, dado o sistema y =, a sua melhor aproimação quadrática é a). b). c). d). e). Sendo A =, b = e =, y Temos: I) (A. X b) =. = y = y = II) (A. X b) t = [ y ] III) (A. X b) t. (A. X b)= [ y ]. y = = [( ) + (y ) + ( ) ] = = [. ( + ) + (y ) ]. y Interpretando C (C M ()) como sendo a raiz quadrada do elemento desta matriz, (A X b) t. (A X b) = [.( + ) + (y ) ], que assume o menor valor possível para = e y =, pois e (y ). Logo, a melhor aproimação quadrática do siste - ma ITA (º DIA) - DEZEMBRO/8

9 y = é =. D O sistema a + b y = c a + b y = c, a, a, b, b, c, c, com (c, c ) (, ), a c + a c = b c + b c =, é a) determinado. b) determinado somente quando c e c. c) determinado somente quando c e c = ou c = e c. d) impossível. e) indeterminado. ) Se c = e c, então: a. + a. c = b. + b c = a = b = e a equação. +. y = c não tem solução. ) Se c e c =, então: a. c + a. = b. c + b. = a = b = e a equação. + y = c não tem solução ) Se c e c, então: a + b y = c a + b y = c a c + b c y = c a c + b c y = c (a c + a c ) + (b c + b c )y = c + c. +. y = c + c e, portanto, o sistema é impossível. ITA (º DIA) - DEZEMBRO/8

10 A Seja A M () uma matriz simétrica e não nula, cujos elementos são tais que a, a e a formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão q e tr A = a. Sabendo-se que o sistema AX = X admite solução não nula X M (), pode-se afirmar que a + q é igual a 49 a). b). c). d). e). 9 4 Sejam A = e X = a a a a y I) Sendo A uma matriz simétrica e não-nula e (a, a, a ) uma progressão geométrica de razão q, A = a a. q a. q a. q Como tr A =. a a + a. q =. a a. q = 4. a q = 4, pois a II) A. X = X. = a a. q a. q a. q y y = a. + a. q. y a. q. + a. q. y y a. + a. q. y = a. q. + a. q. y = y (a ). + a. q. y = a. q. + (a. q ). y = Para que o sistema linear homogêneo acima admita solução não-nula, devemos ter: a a. q = a. q a. q a a. q = a 4. a = a = Logo, a + q = + 4 = ITA (º DIA) - DEZEMBRO/8

11 B Uma amostra de estrangeiros, em que 8% são profi - cientes em inglês, realizou um eame para classificar a sua proficiência nesta língua. Dos estrangeiros que são proficientes em inglês, 7% foram classificados como proficientes. Entre os não proficientes em inglês, 7% foram classificados como proficientes. Um estrangeiro desta amostra, escolhido ao acaso, foi classificado como proficiente em inglês. A probabilidade deste estrangeiro ser efetivamente proficiente nesta língua é de aproima - damente a) 7%. b) 7%. c) 68%. d) 6%. e) 64%. Dos 8% de estrangeiros proficientes em inglês, 7%, isto é, 7% de 8% =,% foram classificados como proficientes. Dos 8% de estrangeiros não-proficientes em inglês, 7%, isto é, 7% de 8% =,74% foram classificados como proficientes. Se o estrangeiro escolhido ao acaso foi classificado como proficiente em inglês, então a probabilidade de ele ser efetivamente proficiente em inglês é,, p = =,7 = 7%, +,74 9,4 E Considere o triângulo ABC de lados a = BC, b = AC e c = AB e ângulos internos α = C ^AB, β = A^BC e γ = B ^CA. Sabendo-se que a equação b cos α + b a = ad mite c como raiz dupla, pode-se afirmar que a) α = 9. b) β = 6. c) γ = 9. d) O triângulo é retângulo apenas se α = 4. e) O triângulo é retângulo e b é hipotenusa. Se a equação em : bcos α. + b a = ad - mite c como raiz dupla, então tem-se a seguinte identidade de polinômios: bcos α. + (b a ) ( c) bcos α. + (b a ) c + c c bcos α = c cos α = b b a = c b = a + c Pode-se concluir então que o triângulo de lados a, b e c é sempre retângulo e b é a hipotenusa. ITA (º DIA) - DEZEMBRO/8

12 4 D No plano, considere S o lugar geométrico dos pontos cuja soma dos quadrados de suas distâncias à reta t : = e ao ponto A = (, ) é igual a 4. Então, S é a) uma circunferência de raio e centro (, ). b) uma circunferência de raio e centro (, ). c) uma hipérbole. d) uma elipse de eios de comprimento e. e) uma elipse de eios de comprimento e. Se a reta (t) tem equação =, o ponto A = (, ) e sendo P(, y) um ponto genérico do L.G., temos: d P,t + d P, A = 4 ( ) + ( ) + (y ) = y 4y + 4 =. ( ) + (y ) = ( ) (y ) + = A equação representa uma elipse, de centro (; ), tal que: I) a = a = a = é o comprimento do eio maior. II) b = b =. b = é o com primento do eio menor. Os eios da elipse têm comprimentos e. ITA (º DIA) - DEZEMBRO/8

13 D Do triângulo de vértices A, B e C, inscrito em uma circunferência de raio R = cm, sabe-se que o lado BC mede cm e o ângulo interno A ^BC mede. Então, o raio da circunferência inscrita neste triângulo tem o comprimento, em cm, igual a a). b). c) 4 d). e). De acordo com o enunciado, podemos montar as se - guintes figuras: Assim, sendo S a área do triângulo ABC, em centí - metros quadrados, p o semiperímetro desse triân - gulo, em centímetros, e r o raio, em centímetros, da circunferência inscrita nesse triângulo, tem-se: AB.. º) S = = = º) S = p. r Logo: = 4 +. r = ( + ). r r = r = ( ) r = + ITA (º DIA) - DEZEMBRO/8

14 6 E A distância entre o vértice e o foco da parábola de equa - ção 4 4y + = é igual a a). b). c). d). e) y + = 4 + = 4y + = y + + = y + = y ( ) =. y 4 Sendo ( g) = 4. f. (y h) a equação reduzida da parábola, comparando-a com a equação obtida, conclui-se que: º) o vértice da parábola é o ponto ; 4 º) A distância entre o vértice e o foco da parábola é a medida f, tal que 4. f =, e portanto f =. ITA (º DIA) - DEZEMBRO/8

15 7 A A epressão sen + π + cotg tg - + tg é equivalente a a) [cos sen ] cotg. b) [sen + cos ] tg. c) [cos sen ] cotg. d) [l cotg ] sen. e) [ + cotg ] [sen + cos ]. sen + π + cotg. tg + tg π. sen + + cotg. tg = = sec sen. [ cos + cotg ] = = cos =. sen. cos. [cotg cos ] = cos = sen. cos = sen sen. [cos cos. sen ] = = sen cos cos =. [cos sen ] = cotg. [cos sen ] sen = ITA (º DIA) - DEZEMBRO/8

16 8 B Sejam C uma circunferência de raio R > 4 e centro (,) e AB uma corda de C. Sabendo que (,) é ponto médio de AB, então uma equação da reta que contém AB é a) y + 6 =. b) y + =. c) y + 7 =. d) y + 4 =. e) y + 9 =. Sejam t e s, respectivamente, as retas que contêm AB e CP, sendo P(;), ponto médio de AB. O coeficiente angular da reta s é tal que, m s = =. O ponto P(;) pertence à reta t cujo coeficiente angular é m t =, pois t s. Dessa forma, a equação da reta t é y = ( ) y + = ITA (º DIA) - DEZEMBRO/8

17 9 A Uma esfera é colocada no interior de um cone circular reto de 8 cm de altura e de 6 de ângulo de vértice. Os pontos de contato da esfera com a superfície lateral do cone definem uma circunferência e distam cm do vértice do cone. O volume do cone não ocupado pela esfera, em cm, é igual a a) π. b) π. c) π d) π. e) π. 9 9 Sendo R o raio da base do cone e r o raio da esfera, ambos, em centímetros, tem-se: r r º) tg = = r = R R º) tg = = R = Assim, o volume V da região interna ao cone, nãoocupada pela esfera, em centímetros cúbicos, é dado por: V =. π. R π. r = 64 4 =. π.. 8. π. = π π 46π = = 9 9 ITA (º DIA) - DEZEMBRO/8

18 C (com ressalvas) Os pontos A = (,4) e B = (4,) são vértices de um cubo, em que AB é uma das arestas. A área lateral do octaedro cujos vértices são os pontos médios da face do cubo é igual a a) 8. b). c). d) 4 e) 8. º) A medida a da aresta do cubo é dada por a = AB = ( 4) + (4 ) = º) Entendendo que os vértices do octaedro são os centros das faces do cubo, então a medida da aresta do octaedro regular é tal que: = + = assim: = = º) Entendendo que o eaminador queira que seja calculada a área S da superfície total do octaedro, já que este não possui área lateral, então, como tal superfície é composta por oito triângulos eqüilá teros de lado, tem-se: S = 8. a 4 a S = Assim: S =. S = a ITA (º DIA) - DEZEMBRO/8

19 AS QUESTÕES DISSERTATIVAS, NUMERADAS DE A, DEVEM SER RESOLVIDAS E RESPON - DIDAS NO CADERNO DE SOLUÇÕES. Seja S o conjunto solução da inequação ( 9) log +4 ( 6). Determine o conjunto S C. Como o gráfico da função f() = 6 é do tipo temos: ) Eiste o log + 4 ( 6) se, e somente se, 4 < < ou < < ou > 6 ) Dentro das condições de eistência do logaritmo, ( 9). log +4 ( 6) 9 9, para log + 4 ( 6) e = b ou = c (do gráfico acima) para log + 4 ( 6) = ) Como b < 9 e c < 9, S = { 4 < < ou < < ou 6 < 9} e S C = { 4 ou = ou 6 ou > 9} Resposta: S C = { 4 ou = ou 6 ou > 9} ITA (º DIA) - DEZEMBRO/8

20 Sejam, y e w = ( + i) + y (4 i) ( + 6i) + + y( 6 + 4i). Identifique e esboce o conjunto Ω = {(, y) ; Re w e Im w 4}. w = ( + i) + y (4 i) ( + 6i) + y ( 6 + 4i) w = + i + 4y y i 6i 6y + 4yi w = ( + 4y 6y) + ( y 6 + 4y)i Desta forma: ) Re w + 4y 6y ( ) + 4(y ) 4 ( ) (y ) + que é a equação de 4 uma região elíptica de centro (; ), semi-eio maior paralelo ao eio das abscissas e medindo e semi-eio menor medindo. ) Im w 4 y 6 + 4y 4 ( ) (y ) ( ) (y ) que é a equação de uma região determinada por uma hipérbole de centro (; ), eio transverso pa - ralelo ao eio das abscissas e medindo e eio conjugado medindo.. ) A representação no plano compleo dessas regiões é a seguinte: Resposta: O conjunto pedido está representado pelos pontos que formam a figura destacada aci - ma. ITA (º DIA) - DEZEMBRO/8

21 + Seja f: \{ l} definida por f() =. + a) Mostre que f é injetora. b) Determine D = {f(); \ { } } e f : D \{ }. Sendo: f: \ { } definida por + f() = = conclui-se: a), \ { }, temos: f( ) f( ) e, portanto, f é injetora. b) Sendo f a função inversa de f, temos: f(f ()) = + f () + = f () + = f () + = f () = O conjunto D = {f(); \ { }} e f : D \ { } é o conjunto-domínio da função f e, portanto, D = \ {}. Respostas: a) demonstração b) D = \ {} ITA (º DIA) - DEZEMBRO/8

22 4 Suponha que a equação algébrica + a n n + a = n = tenha coeficientes reais a, a,..., a tais que as suas onze raízes sejam todas simples e da forma β + iγ n, em que β, γ n e os γ n, n =,,,, formam uma progressão aritmética de razão real γ. Considere as três afirmações abaio e responda se cada uma delas é, respectivamente, verdadeira ou falsa, justificando sua resposta: I. Se β =, então a =. II. Se a =, então β =. III. Se β =, então a =. A equação + a n n + a = n = + a. + a a a + a = é de grau e tem pelo menos uma raiz real. I) Verdadeira, pois se β = as onze raízes são do tipo iγ n. Esse número somente será real se γ n = para algum valor de n. Desta forma, zero é raiz da equação e + a. + a a. + a = a =. II) Verdadeira, pois as onze raízes são da forma (β + γ i; β + γ i; β + γ i; β + γ 4 i; β + γ i; β; β + γ 7 i; β + γ 8 i; β + γ 9 i; β + γ i; β + γ i) e tais que (γ ; γ ; ; γ ; ; γ 7 ; ; γ ) formam uma progressão artitmética de soma zero. Desta forma, a a soma das onze raízes será β = =, portanto β =. III) Falsa, pois, como visto no item (I) se β = então zero é raiz da equação dada. A equação dada é fatorável em ( + a 9 + a a a + a ) = O produto das outras dez raízes é a e elas podem não ser nulas. Poderiam ser, por eemplo, i; 4i; i; i; i; i; i; i; 4i e i. Observe que, neste caso, ( ; 4; ; ; ; ; ; ) formam uma progressão aritmética, de ra zão não-nula. ITA (º DIA) - DEZEMBRO/8

23 Um determinado concurso é realizado em duas etapas. Ao longo dos últimos anos, % dos candidatos do concurso têm conseguido na primeira etapa nota superior ou igual à nota mínima necessária para poder participar da segunda etapa. Se tomarmos 6 candidatos dentre os muitos inscritos, qual é a probabilidade de no mínimo 4 deles conseguirem nota para participar da segunda etapa? A probabilidade de um candidato conseguir nota pa - ra participar da segunda etapa é % = e a de não 4 conseguir nota é 8% =. Dos 6 candidatos, a probabilidade de pelo menos qua tro deles conseguirem nota para participar da segun da etapa é: C 6, C 6,.. +C 6,6.. = 4 4 = = 6 =. = 6 Resposta: ITA (º DIA) - DEZEMBRO/8

24 6 Sejam A, B M (). Mostre as propriedades abaio: a) Se AX é a matriz coluna nula, para todo X M (), então A é a matriz nula. b) Se A e B são não nulas e tais que AB é a matriz nula, então det A = det B =. Se A M (), então A = a) Se AX é a matriz coluna nula, para todo X M (), então a.) para X =, temos: A. X = a a a. = a = a = a = a = a = a a.) para X =, temos: A. X = a a a. = = a = a = a = a = a.) para X = a a, temos: A. X = a a a. = a a a = a = a = a = a = a a a a a Desta forma, A = a a a a a a a a a a a a = O a a a b) ) Se det A, eiste A e A. B = O A. A. B = A. O I. B = O B = O Contrariando a hipótese de que B é não-nula. a a a a a a ITA (º DIA) - DEZEMBRO/8

25 ) Se det B, eiste B e A. B = O A. B. B = O. B A. I = O A = O Contrariando a hipótese de que A é não-nula. Dos itens () e (), temos det A = det B =. Respostas: a) demonstração b) demonstração ITA (º DIA) - DEZEMBRO/8

26 7 + π Sabendo que tg =, para algum 6, π, determine sen. ) tg π π + = tg + =, pois: 6 6 π π π Assim: π tg + tg tg + 6 = = π tg tg 6. tg 6 tg + = tg 6 tg + = 6 tg (6 + 6 ) tg = tg = tg = π ) Como < <, podemos então montar o seguinte triângulo retângulo: do qual podemos concluir que: sen = sen = Resposta: ITA (º DIA) - DEZEMBRO/8

27 8 Dadas a circunferência C: ( ) + (y ) = e a reta r: y + =, considere a reta t que tangencia C, for - ma um ângulo de 4 com r e cuja distância à origem é. Determine uma equação a reta t. A circunferência C: ( ) + (y ) = tem centro A (; ) e raio igual a. A reta r: y + = tem coeficiente angular m r = Sendo m t, o coeficiente angular da reta t que forma um ângulo de 4 com r, temos m r m m t tg 4 = t = + m r. m t + m t m m t t = ou = + m t + m t m t = ou m t = Dessa forma, sendo h, a equação da reta t é tal que: y = + h ou y = + h y + h = ou + y h = Sabendo que a distância entre a reta t e a origem é, temos: Para y + h =. + h + ( ) = h = ± Para + y h =. + h + ( ) = h = ± Assim, as equações das retas que formam um ân - gulo de 4 com r e distam da origem são: y + =, y =, + y = ou + y + = Dentre estas retas, a única que tangencia a circun - ITA (º DIA) - DEZEMBRO/8

28 ferência C é a de equação (t) + y + =, cuja distância ao centro de C, A(; ), é igual ao raio ( ). Com efeito,. + + d A,t = = = + Resposta: uma equação da reta t é + y + = 9 Considere as n retas r i : y = m i +, i =,,..., n; n, em que os coeficientes m i, em ordem crescente de i, formam uma progressão aritmética de razão q >. Se m l = e a reta r tangencia a circunferência de equação + y =, determine o valor de q. Sendo m i, i =,,, n, n, termos de uma progressão aritmética de razão q > e m =, temos: (m ; m ; m ; m 4 ; m ; ) = (; q; q; p; 4q; ) = Assim, a equação da reta r é da forma y = m + y = 4q + 4q y + = Sabendo que a reta r tangencia a circunferência de equação + y =, com centro C(;) e raio r =, resulta 4q. + (4q) + ( ) = = 6q + 4 = 6q + q =, pois q > 4 Resposta: q = 4 ITA (º DIA) - DEZEMBRO/8

29 A razão entre a área lateral e a área da base octogonal de uma pirâmide regular é igual a. Eprima o volume desta pirâmide em termos da medida a do apótema da base. Sendo, h e g, respectivamente, as medidas da aresta da base, da altura, e do apótema da pirâmide regular octogonal, tem-se: º) + + = a + = a = 4g 4a º) = g = a º) g = h +a = ( ) a Assim: ( a) = h + a h = a 4º) O volume V dessa pirâmide é igual a um terço do produto da área de sua base pela sua altura. Assim: 4 V =. 4. a. h V =. ( )a. a. a V = a + 6 ( )a Resposta: 6 ( )a ITA (º DIA) - DEZEMBRO/8

30 Comentário Com 8 questões de álgebra, de trigonometria, 4 de geometria e de geometria analítica, algumas muito mal enunciadas e outras apresentando alto grau de compleidade, com enunciados rebuscados e notações não muito usuais, a banca eaminadora elaborou uma prova de matemática bastante traba - lhosa, que certamente eigiu um grande empenho por parte dos candidatos mais bem preparados, os quais devem ter ficado etremamente etenuados por conta da prova. ITA (º DIA) - DEZEMBRO/8

{ } Questão 1. Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Questão 2. Seja o conjunto = { : 0 e 2 2

{ } Questão 1. Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Questão 2. Seja o conjunto = { : 0 e 2 2 NOTAÇÕES : conjunto dos números complexos. : conjunto dos números racionais. : conjunto dos números reais. : conjunto dos números inteiros. = 0,,,,.... { } { } * =,,,.... i : unidade imaginária; i =. z=x+iy,

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