Obs.: São cartesianos ortogonais os sistemas de coordenadas

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1 MATEMÁTICA NOTAÇÕES : conjunto dos números complexos : conjunto dos números racionais : conjunto dos números reais : conjunto dos números inteiros = {0,,, 3,...} * = {,, 3,...} Ø: conjunto vazio A\B = {x A : x B} deta : determinante da matriz A A : inversa da matriz A ( a b) : combinação de a elementos, b a b, onde a e b são inteiros maiores ou iguais a zero AB: segmento de reta unindo os pontos A e B P(X) : conjunto de todos os subconjuntos de X n(x) : número de elementos do conjunto X (X finito) i: unidade imaginária; i = z = x + iy, x, y z : conjugado do número z Izl : módulo do número z Rez : parte real de z Imz: parte imaginária de z [a,b] = {x : a x b} (a,b) = {x : a < x < b} [a,b) = {x : a x < b} (a,b] = {x : a < x b} Obs.: São cartesianos ortogonais os sistemas de coordenadas considerados. D Seja E um ponto externo a uma circunferência. Os segmentos EA e ED interceptam essa circunferência nos pontos B e A, e, C e D, respectivamente. A corda AF da circunferência intercepta o segmento ED no ponto G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, GD = 3 e AG = 6, então GF vale a) b) c) 3 d) 4 e) 5 ) Pela potência do ponto E tem-se: EA. EB = EC. ED. 5 = 4. ( GC) GC = 8 ) Pela potência do ponto G tem-se: GA. GF = GC. GD 6. GF = 8. 3 GF = 4 ITA - (3º Dia) Dezembro/005

2 C Seja U um conjunto não vazio com n elementos, n. Seja S um subconjunto de P(U) com a seguinte propriedade: Se A, B S, então A B ou B A. Então, o número máximo de elementos que S pode ter é a) n b) n/, se n for par, e (n + )/ se n for ímpar c) n + d) n e) n + ) Se S P(U), qualquer elemento X i S é subconjunto de U. ) Se X i Ø for o elemento de S com menor número de elementos, qualquer outro elemento de S deverá conter X i. 3) Assim, o conjunto S terá o maior número de elementos quando for do tipo S = {Ø, {a }, {a ; a }, {a ; a ; a 3 },,{a ; a ; a 3 ; ;a n }} em que {a ; a ; ; a n } = U Desta forma, S possui um máximo de n + elementos. 3 B Sejam A e B subconjuntos finitos de um mesmo conjunto X, tais que n(b\a), n(a\b) e n(a B) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão r > 0. Sabendo que n(b\a) = 4 e n(a U B) + r = 64, então, n(a\b) é igual a a) b) 7 c) 0 d) e) 4 De acordo com os dados, tem-se o seguinte diagrama de Venn-Euler: pois n(b\a), n(a\b) e n(a B) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de primeiro termo 4 e razão r > 0. Assim, tem-se que: n(a B) + r = 64 [(4 + r) + (4 + r) + 4] + r = r = 64 r = 3 e n(a\b) = n(a B) = 4 + r = = 7 ITA - (3º Dia) Dezembro/005

3 4 E Seja f : definida por f(x) = 77sen[5(x + π/6)] e seja B o conjunto dado por B = {x : f(x) = 0}. Se m é o maior elemento de B (,0) e n é o menor elemento de B (0, + ), então m + n é igual a a) π/5 b) π/5 c) π/30 d) π/5 e) π/5 ) Com k temos: π f(x) = 77. sen 5 x + = 0 6 π sen 5 x + = 0 6 π π kπ 5 x + = k π x + = π kπ π kπ x = + 5 e B = {x : x = + 5 ; k } 6 6 π π 7π 3π ) B (,0) = ; ; ; ; π cujo maior elemento é m = 6 π 7π 3π 9π 3) B (0, + ) = ; ; ; ;, π cujo menor elemento é n =. 30 4) Dos itens () e (3) conclui-se π π π m + n = + = C Considere a equação (a x a x )/(a x + a x ) = m, na variável real x, com 0 < a. O conjunto de todos os valores de m para os quais esta equação admite solução real é a) (-,0) (0,) b) (, ) (,+ ) c) (,) d) (0, ) e) (,+ ) a ) x a x = m a x a x = m a x + m a x a x + a x (m ). a x + (m+)a x = 0 (m ). a x + (m+) = 0 a x m = a x + m = m m Para 0 < a, a x > 0 + m m ( + m) ( m) > 0 < m < > 0 ITA - (3º Dia) Dezembro/005

4 6 A Considere uma prova com 0 questões de múltipla escolha, cada questão com 5 alternativas. Sabendo que cada questão admite uma única alternativa correta, então o número de formas possíveis para que um candidato acerte somente 7 das 0 questões é a) b) c) d).4 3 e) 3 Interpretando o número de formas possíveis para que o candidato acerte somente 7 questões como sendo o número de maneiras de escolher uma alternativa para cada um dos 0 testes de modo que apenas 7 deles estejam corretos, então: ) O número de possibilidades de acertar exatamente 7 testes é C 0,7. ) Para cada uma das possibilidades anteriores, as 3 questões erradas podem ser escolhidas de = 4 3 maneiras. 3) O número total de possibilidades será, então, C 0, =. 4 3 = = ITA - (3º Dia) Dezembro/005

5 7 B Considere as seguintes afirmações sobre a expressão S = 0 k=0 log 8 (4k ): I. S é a soma dos termos de uma progressão geométrica finita ll. S é a soma dos termos de uma progressão aritmética finita de razão /3 II. S = 345 IV. S log 8 Então, pode-se afirmar que é (são) verdadeira(s) apenas a) I e Ill b) ll e Ill c) ll e lv d) ll e) Ill S = log 8 (4 k. ) S = log 8 (4 0. ) + log 8 (4. ) + + log 8 (4. ) + + log 8 (4 0. ) 4 S = k = Assim sendo ) S é a soma dos termos de uma progressão aritmética finita de razão. 3 ) O valor de S é: S =. 0 =.0 = ) S = 345 > log 8 As afirmações verdadeiras são, apenas, II e III. Obs.: A rigor sempre é possível obter uma progressão geométrica cuja soma S = 345 o que tornaria a afirmação (I) verdadeira. ITA - (3º Dia) Dezembro/005

6 8 C Se para todo z, f(z) = Izl e f(z) f() = Iz, então, para todo z, f() f(z) + f()f(z) é igual a a) b) z c) Rez d) Imz e) z f(z) f(z) ) f(z) = z = = cos θ + i. sen θ z z f(z) = z (cos θ + i. sen θ), z * ) f(z) = z. (cos θ + i. sen θ) também é verdadeira para z = 0, pois f(0) = 0. (cos θ + i. sen θ) = 0 3) A função f(z) = z (cos θ + i. sen θ) satisfaz a condição f(z) f() = z, pois f(z) f() = z (cos θ + i. sen θ). (cos θ + i. sen θ) = = z. cos θ + i. sen θ = z 4) f(z) = z (cos θ i. sen θ) 5) f() =. (cos θ + i. sen θ) e f() = (cos θ i. sen θ) 6) f(). f(z) = (cos θ i. sen θ). z (cos θ + i. sen θ) 7) f(). f(z) =. (cos θ + i. sen θ). z (cos θ i. sen θ) 8) f(). f(z) + f(). f(z) = (z + z ) (cos θ + sen θ) = = z + z = Re(z) 9 D O conjunto solução de (tg x )( cotg x) = 4, x kπ/, k, é a) {π/3 + kπ/4, k } b) {π/4 + kπ/4, k } c) {π/6 + kπ/4, k } d) {π/8 + kπ/4, k } e) {π/ + kπ/4, k } π Para x k, k, temos: (tg x ) ( cotg x) = 4 (sen x cos x) (sen x cos x). = 4 cos x sen x (sen x cos x) = 4 sen x cos x cos (x) = sen (x) tg (x) = π π tg (x) = ± x = + k., (k ) 4 π π x = + k., (k ) 8 4 O conjunto-solução da equação é: π 8 π 4 + k., k ITA - (3º Dia) Dezembro/005

7 0 B Se α [0,π) é o argumento de um número complexo z 0 e n é um número natural tal que (z/z) n = isen(nα), então, é verdade que a) nα é múltiplo de π b) nα π é múltiplo de π c) nα π/4 é múltiplo de π/ d) nα π é múltiplo não nulo de e) nα π é múltiplo de π ) Lembrando que z = z. [cos α + i sen α], tem-se que: z z = [cos α + i sen α] z z z z n n = [cos α + i sen α] n = cos (n α) + i sen (n α) = i sen (n α) π cos (n α) = 0 n α = + kπ, com k (I) ) Da relação (I), conclui-se: A é falsa, pois n α = π + kπ = π ( + k), que não é múltiplo de π. B é verdadeira, pois n α π = kπ, que é múltiplo de π. C é falsa, pois π π π n α = +kπ, que não é múltiplo de. 4 4 D é falsa, pois n α π = kπ, que só seria múltiplo de se kπ, o que só ocorre para k = 0. E é falsa, pois 3π n α π = +kπ, que não é múltiplo de π. ITA - (3º Dia) Dezembro/005

8 A A condição para que as constantes reais a e b tornem incompatível o sistema linear x + y + 3z = x + y + 5z = x + y + az = b é a) a b b) a + b = 0 c) 4a 6b= O d) a/b = 3/ e) a. b = 4 Sendo p a característica da matriz incompleta e q a característica da matriz completa, associadas ao sistema, temos: 5 3 ) MI = p = para a = 6 e a p = 3 para a 6 ) O sistema é incompatível quando p q e, portanto, devemos ter: p = e q = 3. Assim, para a = 6, teremos: 3 MC = 5 e q = 3 para b 4 6 b Logo, a b. D a b c Se det p q r x y z det =, então o valor do a b c p + x q + y r + z 3x 3y 3z é igual a a) 0 b) 4 c) 8 d) e) 6 a b c p+x q+y r+z = 3x 3y 3z a b c =. 3 p+x q+y r+z = x y z a b c a b c = 6 p q r + x y z = x y z x y z a b c = 6. p q r =. ( ) = x y z ITA - (3º Dia) Dezembro/005

9 3 E Seja p um polinômio com coeficientes reais, de grau 7, que admite i como raiz de multiplicidade. Sabe-se que a soma e o produto de todas as raízes de p são, respectivamente, 0 e 40. Sendo afirmado que três raízes de p são reais e distintas e formam uma progressão aritmética, então, tais raízes são a) 3/ 93/6, 3, 3/ + 93/6 b) 4 3,, c) 4,, 8 d), 3, 8 e),, 5 Se um polinômio p de grau 7 com coeficientes reais, admite ( i) como raiz de multiplicidade, então, também admite ( + i) como raiz de multiplicidade. Sendo α r, α, α + r, com α e r números reais, as outras três raízes de p, temos ( i) + ( i) + ( + i) + ( + i) + (α r) + α + (α + r)= 0 ( i) ( i) ( + i) ( + i) (α r) α(α + r) = 40 α = 4. (α r ). α = 40 Dessa forma as três raízes reais de p são, e 5. α = r = ± 3 ITA - (3º Dia) Dezembro/005

10 4 E Sobre o polinômio p(x) = x 5 5x 3 + 4x 3x podemos afirmar que a) x = não é raiz de p b) p só admite raízes reais, sendo uma delas inteira, duas racionais e duas irracionais c) p admite uma única raiz real, sendo ela uma raiz inteira d) p só admite raízes reais, sendo duas delas inteiras e) p admite somente 3 raízes reais, sendo uma delas inteira e duas irracionais ) p(x) = x 5 5x 3 + 4x 3x p() = p() = 0 é raiz de p p(x) é divisível por x ) p(x) x 0 x 4 + x 3 x + x + p(x) = (x ) (x 4 + x 3 x + x + ) 3) p(x) = 0 x = 0 ou x 4 + x 3 x + x + = 0 4) x = 0 x = 5) x 4 + x 3 x + x + = 0 x + x + + = 0 x x x + + = 0 x x 6) Se x + = y, então x + + = y x x x + = y x 7) Substituindo x + por y, temos: x (y ) + y = 0 y + y 3 = 0 y = 3 ou y = x + 8) Se y = 3, então x + = 3 x x + 3x + = 0 x = 3 ± 5 ITA - (3º Dia) Dezembro/005

11 9) Se y =, então x + = x x + = 0 x x = ± 3 i 0) O conjunto-verdade da equação p(x) = 0 é ; ; 3 5 ; + 3 i ; 3 i ITA - (3º Dia) Dezembro/005

12 5 E Seja o sistema linear nas incógnitas x e y, com a e b reais, dado por Considere as seguintes afirmações: I. O sistema é possível e indeterminado se a = b = 0 ll. O sistema é possível e determinado se a e b não são simultaneamente nulos III. x +y = (a +b ), se a +b 0 Então, pode-se afirmar que é (são) verdadeira(s) apenas a) I b) II c) III d) I e II e) ll e III (a b) x (a + b) y = (a + b) x + (a b) y = (a b) (a + b) ) A matriz incompleta MI = (a + b) (a b) não tem característica definida, se a = b = 0 e tem característica, se a 0 ou b 0, pois = (a + b ) 0 = (a b) + (a + b) = (a b) (a + b) ) A matriz completa MC = (a + b) (a b) tem característica se a = b = 0 e tem característica, se a 0 ou b 0. 3) Dos itens () e (), pelo Teorema de Rouché-Capelli, conclui-se que: se a = b = 0, o sistema é impossível e se a 0 ou b 0, o sistema é possível e determinado. Neste caso, tem-se: (a b)x (a + b)y = (a + b)x + (a b)y = (a b) (a + b) (a + b) (a b) (a b) x (a + b) y = (a + b) x + (a b) y = (a b) x (a b) (a + b) xy + (a + b) y = (a + b) x + (a + b) (a b) xy + (a b) y = (a + b ) x + (a + b ) y = (a + b ) (x + y ) = x + y = x + y = (a + b ) a + b Desta forma, (I) é falsa, (II) e (III) são verdadeiras. ITA - (3º Dia) Dezembro/005

13 6 D Considere o polinômio p(x) = x 3 (a + )x + a, onde a. O conjunto de todos os valores de a, para os quais o polinômio p(x) só admite raízes inteiras, é a) {n, n } b) {4n, n } c) {6n 4n, n } d) {n(n + ), n } e) ) p(x) = x 3 (a + ) x + a p(x) = x 3 x + x ax x + a = 0 p(x) = x (x ) + x (x ) a (x ) p(x) = (x ) (x + x a) ) p(x) = 0 x = 0 ou x + x a = 0 3) As raízes da equação x + x a = 0 serão reais se, e somente se, = + 4 a 0 4) + 4 a 0 e a a 5) Para a, se as raízes inteiras forem m e n então m + n = m = n m = n m. n = a ( n). n = a a = n(n + ) { { 6) As raízes inteiras serão, portanto,, n e n desde que a = n(n + ), n. { ITA - (3º Dia) Dezembro/005

14 7 B Numa circunferência C de raio r = 3 cm está inscrito um hexágono regular H ; em H está inscrita uma circunferência C ; em C está inscrito um hexágono regular H e, assim, sucessivamente. Se A n (em cm ) é a área do hexágono H n, então n= A n (em cm ) é igual a a) 54 b) 54 3 c) 36( + 3 ) d) 7 / ( 3 ) e) 30 ( + 3 ) De acordo com o enunciado e a figura acima tem-se: r = 3 cm r r = = cm r 3 r 3 = = 3. r 3 3 r 4 = = cm cm conclui-se assim que os raios r, r, r 3,, r n, formam nessa ordem uma progressão geométrica estritamente 3 decrescente de º termo r = 3 cm e razão q = e que as áreas A, A, A 3,, A n, formam nessa ordem uma progressão geométrica estritamente decrescente de º termo A = 6. 3 Q = cm e razão ITA - (3º Dia) Dezembro/005

15 A Logo: A n = = n = Q = = = sem resposta Sejam a reta s: x 5y + 7 = 0 e a circunferência C: x + y + 4x + y =. A reta p, que é perpendicular a s e é secante a C, corta o eixo Oy num ponto cuja ordenada pertence ao seguinte intervalo a) 9, 8 b) 8, c), d), 75 e), 9 A circunferência x + y + 4x + y = 0 tem centro C( ; ) e raio r = 4. A reta p, perpendicular a s, tem equação 5x + y + k = 0 e será secante à circunferência quando d p,c < 4, isto é: 5. ( ) +. ( ) + k k < 4 < 4 3 k < 5 5 < k < 5 30 < k < A reta p intercepta o eixo Oy num ponto cuja ordenada k é. Assim, se 30 < k < 74, então 74 < k < 30 e 74 k 30 < < A ordenada do ponto em que a reta p corta o eixo Oy pertence ao intervalo ;. ITA - (3º Dia) Dezembro/005

16 9 D Os focos de uma elipse são F (0, 6) e F (0,6). Os pontos A(0,9) e B(x, 3), x > 0, estão na elipse. A área do triângulo com vértices em B, F e F é igual a a) 0 b) 8 0 c) 5 0 d) 0 e) 6 0 A partir do enunciado, temos uma elipse com centro na origem e com os pontos indicados na figura a seguir. F F Como f = = 6, a = CA = 9 e a = b + f, temos: 9 = b + 6 b = 45 A equação da elipse é: + = 45 8 Se B(x; 3), com x > 0, pertence à elipse, então: x 3 x + = x = 40 x = 0 (pois x > 0) 45 8 y Finalmente, a área do triângulo é: F A = F. x B. 0 = = 0 ITA - (3º Dia) Dezembro/005

17 0 A Uma pirâmide regular tem por base um hexágono cuja diagonal menor mede 33 cm. As faces laterais desta pirâmide formam diedros de 60 com o plano da base. A área total da pirâmide, em cm, é a) 8 3 / b) 8 / c) 8/ d) 7 3 e) 7 Sejam a medida do lado da base, g a medida do apótema da pirâmide, a a medida do apótema da base, em centímetros. 3 º). = 3 3 = º) a = = 3 3 a 3º) cos 60 = = g = 3 3 g g 4º)A área, em centímetros quadrados, da superfície lateral da pirâmide é dada por: A = 6..g = = 7 3 5º)A área, em centímetros quadrados, da base da pirâmide é dada por: A b = 6. = 6. = 4 4 6º)A área total, em centímetros quadrados, dessa pirâmide é A t = A + A b = = ITA - (3º Dia) Dezembro/005

18 As questões dissertativas, numeradas de a 30, devem ser resolvidas e respondidas no caderno de soluções. Considere A um conjunto não vazio com um número finito de elementos. Dizemos que F = {A,..., A m } P(A) é uma partição de A se as seguintes condições são satisfeitas: I. A i Ø, i =,..., m II. A i A j = Ø, se i j, para i,j =,..., m III.A = A A... A m Dizemos ainda que F é uma partição de ordem k se n(a i ) = k, i =,..., m. Supondo que n(a) = 8, determine: a) As ordens possíveis para uma partição de A b) O número de partições de A que têm ordem a) Dizer que F é uma partição de ordem k significa dizer que todos os conjuntos A i que compõem a partição possuem k elementos distintos. Como, de A i A j = ø, se i j e A = A A A m, para i,j =,, n, resulta em n(a) = n(a ) + n(a ) + + n(a m ), tem-se 8 = k + k + + k 8 = m. k m parcelas k e m são divisores naturais de 8. Assim, podemos ter (k = e m = 8) ou (k = e m = 4) ou (k = 4 e m = ) ou (k = 8 e m = ). Desta forma, as possíveis ordens para uma partição de A são,, 4 e 8. b) Determinar o número de partições de A que têm ordem equivale a determinar de quantas maneiras se podem distribuir os 8 elementos de A em 4 grupos de elementos cada um. O número de formas de se efetuar estas partições é C 8;. C 6;. C 4;. C ;!!! = = P = = 05 4 Respostas: a) ordens,, 4 e 8 b) 05 partições ITA - (3º Dia) Dezembro/005

19 Seja f: [0, ) definida por f(x) = x, 0 x < /. x, / x < Seja g: ( /; /) dada g(x) = f(x + /), / < x < 0 f(x + /), 0 x < /, com f definida acima. Justificando a resposta, determine se g é par, ímpar ou nem par nem ímpar. { ) f(x) = x, se 0 x < e f(x) = x, se x < ) < x < 0 0 < x + < e 0 x < x + < { 3) g(x) = f(x + ), se < x < 0 e g(x) = f(x + ), se 0 x < { g(x) = (x + ), se < x < 0 e g(x) = [ (x + ) ], se 0 x < { g(x) = x +, se < x < 0 e g(x) = x +, se 0 x < g( x) = g(x), x ( ; ) g é par Resposta: g(x) é par ITA - (3º Dia) Dezembro/005

20 3 Determine o coeficiente de x 4 no desenvolvimento de ( + x + x ) 9. ( + x + x ) 9 = [( + x) + x ] 9 9 = 0. ( + x) 9. (x ) ( + x) 8. (x ) 9 +. ( + x) 7. (x ) ( + x) 6. (x ) ( + x) 0. (x ) 9 Podemos notar que termos em x 4 só ocorrerão nos primeiros três termos do desenvolvimento acima. 9 9 Em. ( + x) 9, temos 9 k. x k 0 k, com k = 4 Em. ( + x) 8. x, temos k.x k. x, com k + = 4 k = Em 9 k 9. ( + x) 7. x 4, temos k3. x k 3 x 4, com k 3 = 0 k 3 Assim, resulta a soma: k +. k +. k = = = = = 44 Resposta: O coeficiente de x 4 é 44. ITA - (3º Dia) Dezembro/005

21 4 Determine para quais valores de x ( π/, π/) vale a desigualdade log cosx (4sen x ) log cosx (4 sec x) >. As condições de existência π π dos logaritmos, para x ;, resultam: π π I) 0 < cos x < < x < e x 0 II) 4. sen x > 0 sen x < / ou sen x > / π π π π < x < ou < x < 6 6 III)4 sec x > 0 sec x < 4 < sec x < < < cos x > / (pois cos x > 0) cos x π π < x < 3 3 Nas condições acima, temos: log cosx (4. sen x ) log cosx (4 sec x) > log cosx 4. sen x 4 sec x > 4. sen x < cos x 4 cos x 4. sen x. cos x < cos x 4. cos x 4. sen x 4. cos x < 4. sen x < 4.cos x sen x < cos x tg x < < tg x < π π < x < 4 4 Impondo-se as condições de existência na solução obtida, resulta: π π π π < x < ou < x < π π π π Resposta: < x < ou < x < ITA - (3º Dia) Dezembro/005

22 5 Considere o polinômio p(x) = x 3 + ax + x +, com raízes reais. O coeficiente a é racional e a diferença entre duas de suas raízes também é racional. Nestas condições, analise se a seguinte afirmação é verdadeira: Se uma das raízes de p(x) é racional, então todas as suas raízes são racionais. Sejam α, β e γ as raízes da equação e, sem perda de generalidade, admitamos que α é racional. ) Se β α = r, então β = r + α é racional e γ também é racional, pois α + β + γ = a. Se γ α = r, então γ = r + α é racional e β também é racional, pois α + β + γ = a. ) Se β γ = r 3, como α + β + γ = a, tem-se β γ = r 3 β + γ = α a r 3 α a β = r 3 + α + a γ = e ambas são racionais. Desta forma, se uma raiz de p(x) é racional, então todas as suas raízes são racionais e a frase apresentada é verdadeira. Resposta: verdadeira 6 As medidas, em metros, do raio da base, da altura e da geratriz de um cone circular reto formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão metros. Calcule a área total deste cone em m. Sendo x a medida, em metros, da altura do cone, temos: h = x, R = x, g = x + e (x + ) = x + (x ) x 8x = 0 x = 8, pois x > 0 Assim, h = 8m, R = 6m e g = 0m A área total A T do cone, em metros quadrados, é: A T = π R + π Rg = π. 6 + π = 96π Resposta: A T = 96π m ITA - (3º Dia) Dezembro/005

23 7 Sejam as matrizes 0 / 3 / A = e B = 5 3/ 0 5 / 5 Determine o elemento c 34 da matriz C = (A + B). 0 / 3 / ) A + B = / 0 5 / 5 3 A + B = ) det (A + B) = = = = 3. ( ). 0 3 = = ) Sendo A 43 o cofator do elemento da 4ª linha e da 3ª coluna da matriz (A + B), temos: 3 0 A 43 = ( ) = 8 4) O elemento c 34 da matriz C = (A + B) é tal que: A 8 c 34 = 43 = = det (A + B) 99 Resposta: O elemento c 34 é igual a ITA - (3º Dia) Dezembro/005

24 8 Seja (a,a,a 3,...,a n,...) uma progressão geométrica infinita de razão positiva r, em que a = a é um número real não nulo. Sabendo que a soma de todos os termos de índices pares desta progressão geométrica é igual a 4 e que a soma de todos os termos de índices múltiplos de 3 é 6/3, determine o valor de a + r. Sendo (a, a, a 3,..., a n,...) uma progressão geométrica infinita de razão positiva r e a = a um número real nãonulo, de acordo com o enunciado, temos: ) a + a 4 + a = 4 a. r + a. r 3 + a. r = 4 a. r = 4 a. r = 4. ( r ) (I) r 6 ) a 3 + a 6 + a = 3 a. r + a. r 5 + a. r = 6 3 a. r 6 6 = a. r =. ( r 3 ) (II) r ) Dividindo membro a membro (II) por (I), vem: 6. ( r 3 ) a. r 3 4 ( + r + r ) = r =. a. r 4. ( r ) 3 ( + r) 9r + 9r 4 = 0 r =, pois r > 0 3 4) Substituindo r = em (I), temos: 3 3 a. = 4. a = Logo, a + r = + = 3 3 Resposta: a + r = ITA - (3º Dia) Dezembro/005

25 9 Sabendo que 9y 6x 44y + 4x 35 = 0 é a equação de uma hipérbole, calcule sua distância focal. 9y 6x 44y + 4x 35 = 0 9y 44y x + 4x = 0 9(y 8) 6(x 7) = 44 (y 8) (x 7) (y 8) = (x 7) =, que é uma equação da hipérbole de centro (7; 8), eixos paralelos aos eixos coordenados e semi-eixos transverso e conjugado, respectivamente, iguais a a = 4 e b = 3 Assim, a semidistância focal f é tal que: f = f = 5 Logo, a distância focal desta hipérbole é f = 0 Resposta: 0 ITA - (3º Dia) Dezembro/005

26 30 Considere um losango ABCD cujo perímetro mede 00 cm e cuja maior diagonal mede 40 cm. Calcule a área, em cm, do círculo inscrito neste losango. º) No losango ABCD, tem-se: AB = BC = CD = DA = 5cm, BD AC, OA = OC = 0cm e OB = OD º) No triângulo retângulo OBC, tem-se: (OB) + (OC) = (BC) (OB) = 5 0 OB = 5 cm 3º) No triângulo retângulo OBC, tem-se ainda OB. OC = BC. OT Assim, sendo R a medida, em centímetros, do raio do círculo inscrito no losango ABCD, tem-se: 5. 0 = 5. R R = 4º) A área S, em centímetros quadrados, desse círculo é tal que: S = π R = π. = 44π Resposta: S =44π cm ITA - (3º Dia) Dezembro/005

27 Comentário de Matemática Com 9 questões de álgebra, 5 de geometria, 3 de trigonometria e 3 de geometria analítica, a banca examinadora do ITA conseguiu elaborar uma excelente prova de Matemática, na qual podemos destacar o alto grau de dificuldade da maioria das questões e a ausência de alternativa correta para o teste número 8, de geometria analítica, causada certamente por um infeliz erro de digitação. ITA - (3º Dia) Dezembro/005

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