Matemática. Resolução das atividades complementares. M20 Geometria Analítica: Circunferência

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1 Resolução das atividades complementares Matemática M Geometria Analítica: ircunferência p. (Uneb-A) A condição para que a equação 6 m 9 represente uma circunferência é: a), m, ou, m, c) < m < e), m, ou, m, b) < m < d) m, ou m. 6 m m 9 9 ( ) ( ) m 6 m 6. m, ou m. (FEI-S) Determine a equação da circunferência com centro no ponto (, ) e que passa pelo ponto A(, ). ( ) ( ) r A(, ) (, ) r d(, A) álculo do raio: r d(, A) r ( ) ( ) r Equação da circunferência: ( ) ( ) (UERN) A circunferência de equação limita um círculo cuja área é igual a: a) 6p c) 9p e) 6p b) 8p d) p ( ) ( ) 9 ( ) ( ) Daí, temos que: r Então: S πr π? S 9π

2 (UFV-MG) A distância do centro da circunferência, de equação 8, ao ponto (, ) é: a) c) e) 7 b) d) ) ( ( ) 9 (, ) e r ; (, ) d(, ) ( ) ( ) d(, ) ( ) ( ) (UEE) Sejam M(7, ) e N(, ). Se é uma circunferência que tem o segmento MN como um diâmetro, então a equação de é: a) 7 c) 7 e) 7 b) 7 d) 7 d(m, N) ( 7) ( ) 6 r 7 a 6 b (6, ) ( 6) ( ) 7 6 (Fuvest-S) Uma circunferência passa pelos pontos (, ), (, ) e (, ). Logo, a distância do centro dessa circunferência à origem é: a) c) e) 6 b) d) A partir do enunciado, temos: (, ) M (, ) O centro da circunferência é o ponto M médio de A, isto é, M(, ). A distância do ponto M(, ) a origem é: d A(, )

3 7 (Vunesp-S) onsidere o quadrado de lados paralelos aos eios coordenados e circunscrito à circunferência de equação 6. Determine as equações das retas que contêm as diagonais desse quadrado. e A equação reduzida da circunferência é: ( ) ( ) Assim, o centro é (, ) e o raio é r. Da figura, temos: A(, ) e (, ) A oeficiente angular de A: m Equação da reta A: A? ( ) oeficiente angular de : m Equação da reta : ( ) 8 (MAK-S) A e são pontos da reta e também vértices de um triângulo isósceles inscrito na curva. A soma das coordenadas do terceiro vértice do triângulo é: a) c) e) b) d) r A A curva é uma circunferência de centro (, ) e raio. Os vértices A e estão na reta, ou seja, na reta suporte das bissetrizes do primeiro e terceiro quadrantes. A reta r é a reta suporte das bissetrizes do segundo e quarto quadrantes, e sua equação é. O terceiro vértice do triângulo isósceles é a intersecção da reta r, mediatriz do segmento A com a circunferência. ortanto, sendo (, ) as coordenadas do terceiro vértice, temos que.

4 9 (Fuvest-S) Sendo a circunferência e s a reta 8. a) Determine uma equação da reta perpendicular a s e que passa pelo centro de. b) Dentre os pontos eqüidistantes de e s, determine aquele que está mais próimo de s. ms 8 8 s a) omo t s, temos: m r ms (, 8) mt t Se (, ) t, temos: ( ) (equação da reta t) M b) ela definição de distância, devemos ter. Então, (, ) t. omo d(, s) (, ) ponto médio de MN é N A(8, ) {N} t Logo,,? m? pertencente a t d(, ), então é o. M ponto médio de A M(, )., N, (Unicamp-S) Os ciclistas A e partem do ponto (, ) no mesmo instante e com velocidades de módulos constantes. O ciclista A segue a trajetória descrita pela equação 7 e o ciclista, a trajetória descrita pela equação 6 8. As trajetórias estão no mesmo plano e a unidade de medida de comprimento é o quilômetro. ergunta-se: a) Quais as coordenadas do ponto Q, distinto de, onde haverá cruzamento das duas trajetórias? (7, 7) b) Se a velocidade do ciclista A for km/h, qual deverá ser a velocidade do ciclista para que cheguem no mesmo instante ao ponto Q? p km/h A: 7 7 (reta s ) b) d(, Q) ( 7) ( 7) : 6 8 (, ) e s a) A em 7 7 ( ) 6 8( ) Q(7, 7) ou Q (, ). omo Q é ponto de partida, então Q(7, 7). 6 6 A: v s t t t : r, pois r Q d distânci a percorrida por d? pr d p km v d p p km/h t h

5 (UFel-RS) Uma porta giratória de uma joalheria nos dá a idéia de dois planos, perpendiculares entre si, girando em torno da reta de intersecção desses planos, a qual coincide com o eio do cilindro de revolução. A figura abaio é uma adaptação da área do piso ocupada pela referida porta ao sistema ortogonal cartesiano. Determine a área (colorida na figura) destinada ao acesso a essa joalheria, sendo r: a reta suporte do segmento AE; s: 8 a reta suporte do segmento D e o centro da circunferência que contém os pontos A,, D e E. 9 p dm (dm) D E O A (dm) (dm) D O A 8 E (dm) O ponto é a intersecção das retas: 8 8 Se, então. Logo, (, ). Os pontos A e são as intersecções das retas com o eio ( ). Logo: A(, ) (8, ) A distância entre e A é o raio da circunferência: d(, A) ( ) ( ) 8 r dm A área colorida vale: S pr p 9p S? S dm

6 (UFF-RJ) Determine a equação da circunferência inscrita no triângulo eqüilátero da figura. ( ; ) Vamos calcular o lado do triângulo eqüilátero: O(, ), ( ) O ponto Q, Vamos achar o ponto médio de OQ:, M, Seja h a altura do triângulo OQ: d(, ) h M O O raio da circunferência inscrita é h. h? r r (, ) ( ) p. 7 (MAK-S) Se (a, b) é ponto da reta e é interno à curva ( ) ( ), então, necessariamente: a), a, c), a, e), a, b), a, d), a, A curva ( ) ( ) é uma circunferência de centro (, ) e raio. Se (a, b) é ponto da reta, então b a. Logo, o ponto é da forma (a, a ). Se é interno à circunferência, a distância de até o centro da circunferência é menor que o raio., (a ) (a ), a 8a, Resolvendo-se essa inequação, resulta:, a,

7 (Unicamp-S) Uma reta intersecciona nos pontos A(, ) e (, ) uma circunferência centrada na origem. a) Qual é o raio dessa circunferência? b) alcule a área do quadrilátero cujos vértices são os pontos A e e seus simétricos em relação à origem. a) Uma equação para essa circunferência é r, onde r é o raio. omo o ponto A(, ) pertence a essa circunferência, temos que: r r. b) Sendo e D os pontos simétricos de A e em relação à origem, respectivamente, temos: A e A (, ) D e D D(, ) (, ) (, ) A(, ) D(, ) m A ( ) md ( ) omo m A? m D, os diâmetros A e D são perpendiculares entre si. A área S do quadrilátero AD é a soma das áreas dos triângulos AD e D. Logo: S???? S p. 8 (FGV-S) a) No plano cartesiano, considere a circunferência de equação e o ponto (, ). Verificar se é interior, eterior ou pertencente à circunferência. pertencente b) Dada a circunferência de equação 9 e o ponto (, ), obtenha as equações das retas tangentes à circunferência, passando por. e 8 a) Substituindo as coordenadas de na equação da circunferência, obtemos ( )?, que é uma sentença verdadeira. Logo, o ponto pertence à circunferência. b) A circunferência de equação 9 tem centro (, ) e raio. Do enunciado, temos a figura na qual t e t são as retas tangentes. Uma equação da reta (t ) é. Sendo m o coeficiente angular da reta (t ), sua equação é da forma m( ), ou seja, m m. A distância do centro (, ) da circunferência à reta (t ) m m é igual a. Logo: m? m m Elevan do ao quadrado ambos os membros dessa equação, temos: t 8 m 9m 9m 9 m t 8 ortanto, uma equação da reta (t ) é ( ), ou seja, 8.

8 6 (UEM-R) A equação da reta tangente à circunferência ( ) ( ) no ponto (6, 6) é: a) 6 c) 6 e) b) d) 6 6 m m m m E t E t? 6 6 ( 6) 8 E t 7 (Fuvest-S) A reta é tangente a uma circunferência de centro (, ). alcule o raio da circunferência. r d(, r) 9 9 r 8 (UFO-MG) Determine a equação da circunferência tangente ao eio O, cujo centro é a intersecção das retas: r: e t: 8. ( ) ( 6) 6 r t: 8?? 6 (, 6) d(, O) 6 6 omo a circunferência é tangente ao eio O: r 6 e a equação da circunferência pode d(, O) r ser escrita como: ( ) ( 6) 6. a Equação de reta do eio : b c 9 (U-S) São dados os pontos A(, ), (, ) e (m, ). a) Determine o número real m, não-nulo, de modo que a circunferência de centro e raio seja tangente à reta determinada pelos pontos A e. 8 b) Qual a equação da mediatriz do segmento A? a) A Distância do ponto (m, ) à reta: é m m ( m ) m m 8 m m (não serve) b) médio ( A) ; Equação da mediatriz: m m

9 (UFR) onsiderando, no sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, a circunferência de equação 6 e a reta de equação 8 : a) obtenha a equação da reta que contém o centro da circunferência e é paralela à reta dada; b) calcule as coordenadas do ponto de intersecção da reta dada com a reta tangente à circunferência no ponto (, ). ( ), l: 6 s: 8 m (, 6) e r a) 6 ( ) 6 6 b) (, ) l: 6 l, pois 6??. m u mt, pois t u. t: ( ), ou seja,. Substitui ndo na equação de s: ( ) 8 e Q (, ) s Q 6 8 t u (UFE) A reta r de equação 7 é tangente à circunferência l de centro no ponto (, ). A reta r determina, na circunferência l concêntrica com l, uma corda de 8 cm de comprimento. odemos afirmar que o raio de l mede: a) cm c) cm e) 8 cm b) cm d) cm Dos dados do eercício, temos: R (, ) λ λ A r álculo do raio da circunferência l :?? R d(, r) Se A 8 e é ponto médio de A, temos: A 8 9 Logo, no triângulo retângulo, temos: r 9 Aplicando itágoras, temos: r 9 r 8 r cm

10 (UFMG) Observe a figura: r A Nessa figura, a reta r determina uma corda A, de comprimento 6, na circunferência de equação Além disso, a reta r faz com o eio um ângulo tal que tg e intercepta o eio em um ponto de ordenada positiva. Determine a equação da reta r. Reescrevendo a equação da circunferência, temos: ( 9) ( 8) 9 O centro é (9, 8) e o raio é r 7. r E A A 6 AE A 6; A r 7 Aplican do o teorema de itágoras no AE, temos: E A AE ( 6 ) d(, r) 7 d(, r) (I) Equação da reta r: m( ). Lembrando que m tg, e tomando o ponto X(, ), temos: (II) a ; b e c d(, r) a c d(, r) (III) (I) (III): bc c? 9? 8 a b Não serve, pois.. Substituindo em (II), temos:? ( )

11 (UF) A reta 6 tangencia a circunferência de centro no ponto (, ). Encontre o ponto de tangência., ( ) Seja s: a b c Se s tangencia a circunferência l, então: d(, s) r d(, s)?? 9 A equação de l é, portanto: ( ) (I) r (, ) O ponto de tangência obedece a ambas as equações, a de s e a de l. Logo: ( ) ( ) ( ) (II) em (I): ( ) (II) (, ) (Fuvest-S) onsidere as circunferências que passam pelos pontos (, ) e (, ) e que são tangentes à reta. a) Determine as coordenadas dos centros dessas circunferências. (, ) e (, 7) b) Determine os raios dessas circunferências. e r A(, ) (, ) b) Sendo A o raio de uma circunferência, temos: (, ) d(a, ) ( ) ( ) (, 7) d(a, ) ( ) ( 7) Logo, os raios são e. a) Os centros de tais circunferências pertencem à reta r, mediatriz de A, cujos pontos têm abscissa igual a e são, portanto, da forma (, a). Sendo eqüidistante do ponto A e da reta r, tem-se a equação: a ( ) (a ) cujas raízes são e 7. Logo, os centros são (, ) e (, 7).

12 (Esam-RN) A equação da circunferência com centro no ponto (8, ), tangente eternamente à circunferência ( ) ( ) 6, é: a) ( 8) ( ) c) ( 8) ( ) e) ( 8) ( ) b) ( 8) ( ) d) ( 8) ( ) (, ); r 8 l : ( ) ( ) 6 d(, ) ( 8) ( ) r 8 l : ( 8) ( ) ( 8, ) dado 6 (Unicamp-S) a) Identifique as circunferências de equações e, calculando o raio e o centro delas. Esboce seus gráficos. b) Determine os pontos de intersecção dessas circunferências e mostre que as retas a elas tangentes em cada um desses pontos são perpendiculares entre si. A(, );, ( ) a) l: l : ( ) ( ), r, r λ b) (I) (II) A De (I) e (II), vem: Substituind o em (I), temos: A(, );, ( ) Retas tangentes Em A(, ): eios e. Em, ( : reta (horizontal) ) e (vertical). Nesses pontos, as retas tangentes são perpendiculares entre si. λ

13 7 (UFel-RS) Determinar a equação geral da circunferência concêntrica à circunferência 6 8 e tangente ao eio das ordenadas. ( ) ( ) ( ) ( ) (, ) r (, ) r d(, ) (, ) r ( ) ( ) 9 8 (UFS) Determine o raio da circunferência, cujo centro é o ponto de intersecção da reta r de equação com a reta s de equação, sabendo que é tangente eteriormente à circunferência de equação 6. Dados: r: e s: e (, ) l: r? (6, ) l : 6 7 r d(, ) ( 8) ( 6) r r r 9 (UFSM-RS) Dada a circunferência b:, então a circunferência a, que é concêntrica à circunferência b e tangente à reta r:, é: a) ( ) c) e) ( ) b) d) (, ) r: b: ( ) ( ) Logo, (, ) e r. b O raio da circunferência a é a distância de à reta r. r d(, r)?? a ortanto, a equação da circunferência a é: ( ) ( ) ( )

14 Em questões como a, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas. (UFE) As circunferências a: ( ) ( ) e b se interceptam somente no ponto A(, ). Sabendo que A é um diâmetro de a e que b passa pelo ponto médio de, em que é o centro de a, então: () o eio dos é tangente a b. (8) b intercepta o eio dos. b p. () o centro de b é o ponto,. (6) assa pelo ponto, () o raio de b é. De acordo com os dados, temos: a: ( ) ( ) (, ) e r A é um diâmetro de a, logo, (, ). M é ponto médio de. e M(, ) m m Seja Q o centro de b: ; Q, e r Q Q b: ( ) 6 () orreta. A distânc ia do centro de b ao eio é igual ao raio de b. Daí, concluímos que b é tangente ao eio. () orreta. O centro de b é o ponto Q, ( ). () orreta. O raio de b é. ( 8) Falsa. I) ( ) ( (II) Substituindo (II) em (I), vem: 9 A equação não tem solução em IR e b não intercepta o eio dos. (6) orreta. 9 9 Logo, b passa por, ( ). São corretas as afirmativas,, e 6, somando. (, ) M (, ) Q A(, )

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