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1 O cursinho que mais aprova na fgv FGV economia a Fase 0/novembro/008 MTEMÁTI 0. umentando a base de um triângulo em 0% e reduzindo a altura relativa a essa base em 0%, a área do triângulo aumenta em %. aumenta em 0,%. diminui em 0,%. diminui em %. não se altera. Sendo b e h as medidas da base e altura, respectivamente, do triângulo original e S a área do triângulo após as mudanças, temos: b. ( + 0,). h. ( 0,) S = S = b.,. h. 0, S = 0, b. h, o que corresponde a uma redução de %. lternativa 0. Se a média aritmética entre dois números é e sua média geométrica é, então, uma equação cujas duas raízes reais sejam esses dois números é = = = = 0. + = 0. Sejam r e s os dois números em questão: r + s M (r, s) = = r + s = 0 MG (r, s) = r. s = r. s = asta montar uma equação de o grau onde as raízes tenham soma 0 e produto. (r + s) + r. s = = 0 fgv0fnoveco lternativa 0. Se a soma e o produto de dois números são iguais a, a soma dos cubos desses números é igual a. 0.. i. i. Sejam a e b os números em questão: a + b = a + b = a + b = (a + = a + ab + b = a + b = a. b = a. b = a. b = a + b = (a +. (a ab + b ) a + b = (a +. (a + b a a + b = (). ( ) a + b = 0. Sendo e números reais tais que + = 8 e + =, então. é igual a lternativa = = = = = 6 (I) + + = = = = (II) e (I) (II), vem: = e = Logo:. =. = lternativa

2 fgv 0//008 o cursinho que mais aprova na fgv 0. Seja S a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética (8,,...), e S a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética (7,,...). Sabendo-se que n 0 e S = S, o único valor que n poderá assumir é múltiplo de. múltiplo de. múltiplo de 7. divisor de 6. primo. a = 8 P (8,, 6,... a n ) r = an = 8 + (n ) [ (n ) ]n ( + n) n S = = a = 7 P (7,,,... a n ) r = an = 7 + (n ). [ (n ) ]n ( + n) n S = = ( + n) n ( + n) n omo S = S, temos: = omo n 0, vem: + n = + n n = 0 e, portanto, n é múltiplo de. lternativa 06. Seja f uma função de IN* I tal que f(n + ) =. f(n) + e f() =. Nessas condições, f(0) é igual a o enunciado, f (n + ) = f (n) + f (n + ) = f (n) + f (n + ) f (n) = Portanto, a sequência (f (), f (), f (),..., f (n)) forma uma P de razão. Logo, f (n) = f () + (n ). omo f () =, temos: f (0) = f (0) = lternativa 07. Na cantina de um colégio, o preço de chicletes, 7 balas e refrigerante é $,. Mudando-se as quantidades para chicletes, 0 balas e refrigerante, o preço, nessa cantina, passa para $,0. O preço, em reais, de chiclete, bala e refrigerante nessa mesma cantina, é igual a,70.,6.,0.,0. 0,. c, b e r representam as quantidades de chicletes, balas e refrigerantes, respectivamente. o enunciado obtemos as equações: c + 7b + r =, ( E ) c + b + r =, (I) c 0b r,0 ( E ) + + = 8c + 0b + r = 8,0 (II) Fazendo (I) (II), resulta: c + b + r =,0 lternativa 08. ois veículos partem simultaneamente de um ponto P de uma pista circular, porém em direções opostas. Um deles corre ao ritmo de metros por segundo, e o outro, ao ritmo de metros por segundo. Se os veículos param quando se encontrarem pela primeira vez no ponto P, o número de vezes que eles terão se encontrado durante o percurso, sem contar os encontros da partida e da chegada, é igual a O primeiro encontro ocorre na a ΔS volta, de modo que =, ΔS onde ΔS e ΔS são os espaços percorridos pelo veículo mais rápido e pelo mais lento, respectivamente: E 0 E = ponto de encontro Em outras palavras, o veículo mais rápido percorre da circunferência, e o mais lento,. ssim, dividimos a circunferência em partes e continuamos a simulação, sempre avançando da circunferência (ou recuando, tanto faz): E 0 E 0 E 0 E E E E E E 0 E E 7 Note que o o encontro ocorrerá no mesmo ponto do início do problema. Logo, ocorrerão encontros antes do último. lternativa E E E E E 8 E E 6 E E E fgv0fnoveco

3 ( o cursinho que mais aprova na fgv Fgv 0// Seja (,) um par ordenado de números reais que satisfaz a equação ( ) + ( ) = 6. O maior valor possível de é Seja K o maior valor de, onde (; ) é um ponto pertencente à circunferência : ( ) + ( ) = 6. ssim, = K = K., que é a equação de uma reta que passa pela origem. omo (; ) e K deve ser máimo, a reta = K. deve tocar a circunferência conforme a figura a seguir: Logo, a reta deve tangenciar a circunferência com inclinação máima e, desta forma, temos: K. d P,r = = 6 K = + lternativa K + 0. Uma reta vertical divide o triângulo de vértices (0,0), (,) e (,), definido no plano ortogonal (, ), em duas regiões de mesma área. equação dessa reta é = 0. = 0. 7 = 0. = 0. + = 0. (; ) 6 K = 0 (; ) Temos que: S = 8. = Então a reta vertical deve dividir o triângulo inicial em dois triângulos de área. Se FE = α então F = α, pois ΔEF ~ Δ. Então S FE = α. α = α = e a equação da reta vertical é a = α a =. a = omo a equação da reta vertical s é = a, temos: = lternativa. Em um círculo de centro O, é um diâmetro, pertence a, que é uma corda do círculo, O = e m(o) = = 60º Nas condições dadas, é igual a º 60º 60º 60º Temos que OÂ = 0º Ô = 0º omo é diâmetro então é ângulo reto ( ( O ( 0º s O ΔO ΔO pois O é comum Ô Ô (retos) OΔ O F α α E a O ΔO Δ pois é comum O ˆ ˆ (retos) O ˆ ˆ (60º) Portanto, =. lternativa fgv0fnoveco

4 fgv 0//008 o cursinho que mais aprova na fgv. No triângulo, =, =, =, M é ponto médio de, e H é o pé da altura do triângulo do vértice até a base. Se sen α = cos α sen α + cos α = α ) 0 0 temos que sen α = área do triângulo é S = 0. 0sen α. = 0 S = 0 cm lternativa Nas condições dadas, o perímetro do triângulo MH é igual a Seja P() = + b + c, com b e c inteiros. Se P() é fator de T()= e de S() = , então, P() é igual a M h H Fatorando T(), temos: T() = T() = T() = ( + ) T() = ( + ) ( + + ) Ou seja, P() = + ou P() = + + Verificamos qual deles é fator de S(), fazendo as divisões: Se o Δ H é retângulo então HM é mediana e HM =. Temos que S = p( p ( p ( p onde p = a + b + c p = e S = 8 mas S = 8 =. h h = plicando Teorema de Pitágoras, temos: = + H H = Logo, o perímetro do Δ MH é p = + + p = 8 lternativa. ada lado congruente de um triângulo isósceles mede 0 cm, e o ângulo agudo definido por esses lados mede α graus. Se sen α = cos α, a área desse triângulo, em cm, é igual a ssim, P() = + Portanto: P() = () () + = lternativa E. Se probabilidade de ocorrência de um evento é igual a log (+) log, então, é um valor qualquer do conjunto,., +. 0, 0., 0., 0. fgv0fnoveco

5 o cursinho que mais aprova na fgv Fgv 0//008 + Primeiramente, log ( + ) log = log, + > 0 Para > 0 (E) > 0 7. Seja um quadrado, e P e Q pontos médios de e, respectivamente. Então, sen β é igual a. + omo log é a probabilidade de ocorrência de um evento, vem que: + 0 log log log + log omo > 0, podemos escrever: + 0. esta forma, como + para todo real, devemos ter + 0, isto é, ; +. lternativa a P a 6. figura representa a planificação de um poliedro. Sabe-se que, e são quadrados de lado cm;, E e F são triângulos retângulos isósceles; e G é um triângulo eqüilátero. O volume do poliedro obtido a partir da planificação, em cm, é igual a a a Q. ) β a plicando Teorema de Pitágoras nos ΔPQ, ΔP e ΔQ. Temos que PQ = a, P = a e = a Pela Lei dos ossenos, temos (a ) = (a ) + (a ) a. a cos β cos β =, então sen β =. lternativa 8. Um plano intersecta um cilindro circular reto de raio formando uma elipse. Se o eio maior dessa elipse é 0% maior que o seu eio menor, o comprimento do eio maior é igual a a F E... O volume é V = V cubo V pirâmide = a. a. a =.. V = 6 lternativa... fgv0fnoveco

6 6 fgv 0//008 o cursinho que mais aprova na fgv 0. Seja um inteiro positivo menor que. Se a mediana dos números 0,,,,, e é igual a, então, o número de possibilidades para é ,, Temos que = e =,. = omo = = lternativa E. s seis faces do dado estão marcadas com,,,,, 6; e as seis faces do dado estão marcadas com,,,, e 6. onsidere que os dados e são honestos no sentido de que a chance de ocorrência de cada uma de suas faces é a mesma. Se os dados e forem lançados simultaneamente, a probabilidade de que a soma dos números obtidos seja ímpar é igual a..... Montamos a tabela com os possíveis resultados dos dados: Ordenando os temos em sequência crescente e indicando a mediana (ou seja, o termo central da amostr em destaque:,,,,, 0 Note que, para a mediana valer, o termo a ser inserido () deve entrar à sua direita, ou seja,. omo <, devemos ter: =,, 6, 7, 8,..., 0, o que corresponde a 7 possibilidades. lternativa E. Usando régua e compasso, procedemos à seguinte construção: I. segmento de reta de comprimento cm (com a régu; II. circunferência λ de centro e raio cm (com o compasso); III. circunferência λ de centro e raio cm (com o compasso); IV. reta r ligando os pontos e de intersecção de λ e λ, e intersectando o segmento em E (com a régu. Na construção realizada, a medida do segmento E, em cm, é igual a,.,.,6.,8.,. construção descrita no enunciado permite desenharmos o triângulo, como na figura a seguir: ontamos 0 eventos favoráreis num espaço amostral de 6 resultados possíveis. P(E) = 0 6 = lternativa as relações métricas no triângulo retângulo, vem: a. h = b. c. E =.. E =. E =, lternativa E fgv0fnoveco

7 ) o cursinho que mais aprova na fgv Fgv 0// O total de maneiras de distribuirmos n objetos diferentes em duas caias diferentes de forma que nenhuma delas fique vazia é igual a n. n. n. n. n. asta escolhermos objetos para a a caia, e os restantes colocamos na a caia. o Triângulo de Pascal, vem: n n n n n = 0 n total de combinações n omo 0 e n não convêm, n a caia a caia n n n então = n n lternativa. circunferência λ, de centro, é tangente aos eios cartesianos coordenados e à hipotenusa do triângulo PQT. Se m(p T Q) = 60º e QT =, como indica a figura, o raio da circunferência λ é igual a O ΔT ΔST pois Então T é comum S ST ˆ TÂ (retos) TS ˆ T ˆ e medem α = 60º No Δ T temos tg 60º = = = = + lternativa. o investir todo mês o montante de $.00,00 em uma aplicação financeira, o investidor notou que imediatamente após o terceiro depósito, seu montante total era de $.00,00. taa mensal de juros dessa aplicação, em regime de juros compostos, é.. S α ) α a aplicação a aplicação a aplicação ssim, M T = 00( + i) + 00( + i) = 00( + i) + 00( + i) + 00 i + i = 0 i = i = 0 0 (não convém) lternativa fgv0fnoveco

8 8 fgv 0//008 o cursinho que mais aprova na fgv. s medianas e E do triângulo indicado na figura são perpendiculares, = 8 e E =. ssim, a área do triângulo é Sendo k uma constante real, o sistema de equações = admite solução (,) no primeiro quadrante k + = do plano cartesiano se, e somente se k =. k >. k <. 0 < k <. < k <. Se E e são medianas então G é baricentro, portanto G = 6, e G é altura do ΔE 6. então S E = S E =. omo a área S Α = S E S Α = 6 lternativa 6. O volume de um cubo, em m, é numericamente igual a sua área total, em cm. ssim, a aresta desse cubo, em cm, é igual a Seja a aresta do cubo cm = 0. m ssim o volume, em m, será: (0. ) = 0 6. área total em cm será: = 0 6. = G lternativa E Incialmente, resolvemos o sistema em função de k: = k + = e = k + = k + k + seguir, para que essa solução corresponda a um ponto do o quadrante, fazemos: k + > 0 k > k + k + > 0 < k < Interseccionando ambas as condições, temos: < k < lternativa E 8. Na epansão de ( + ) com epoentes decrescentes de, o segundo e o terceiro termos são iguais quando substituímos e por p e q, respectivamente. Se p e q são inteiros positivos tais que p + q =, p é igual a... Lembrando que o termo geral da epansão de ( + ) é dado por T p+ = p p p, temos. T =.. T =.. Para = p e = q, com T = T, temos:. p 8. q = 6. p 7. q p =. q q = p + q = e p = omo o enunciado impõe que p e q sejam inteiros, não há uma alternativa que contenha resposta satisfatória para a questão. Sem esposta 8. fgv0fnoveco

9 o cursinho que mais aprova na fgv Fgv 0//008. Sendo p e q as raízes irracionais da equação = 0, p. q é igual a s possíveis raízes racionais são dadas por div div : ±, ±, ±, ±. Testando esses valores, descobrimos que e são raízes, assim: Portanto p e q serão as raízes da equação: = 0 = = ± p = e q = p. q = lternativa OMENTIO POV E MTEMÁTI Mais uma vez, foram apresentadas questões de alta qualidade, com enunciados claros e solicitações coerentes com o programa e com os propósitos do vestibular. maioria das questões remeteu a situações tradicionais, já apresentadas em vestibulares passados de outras instituições. Em nenhum momento, entretanto, essa opção por modelos tradicionais, em detrimento da criatividade, comprometeu a qualidade técnica ou a adequação da prova ao processo seletivo. s 0 questões cobriram de modo bastante satisfatório o programa proposto e o histórico de provas passadas, enfatizando os tópicos fundamentais do ensino médio e oferecendo uma porção bem dosada de testes que demandavam ferramentas e conceitos específicos, como inômio de Newton e Estatística. Salientamos apenas que, na questão 8, a resposta obtida pelo desenvolvimento algébrico (q = e p = ) não satisfaz a restrição imposta pelo enunciado, que pressupunha soluções inteiras e positivas, o que não chegou a prejudicar a qualidade da prova. Em suma, o eame consistiu numa avaliação muito bem formulada e apresentada. 0. Sendo p e q constantes reais positivas, a representação gráfica do sistema de equações nas variáveis e dado p q por. = q será um par de retas paralelas se, e somente se q for igual a p. p p. p. p. p p. Se a representação gráfica desse sistema é um par de retas paralelas, então ele é um sistema impossível. ssim: p q q = 0 p + q = 0 q = p (lembrando que q > 0) lternativa fgv0fnoveco

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