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1 UFJF MÓDULO III DO PISM TRIÊNIO 00-0 GABARITO DA PROVA DE MATEMÁTICA Questão Uma circunferência de equação x + y 8x + 8y + 6 = 0 é tangente ao eixo das abscissas no ponto M e tangente ao eixo das ordenadas no ponto N. Sabendo que T é o centro da circunferência, determine: a) as coordenadas de M, N e T. Primeiramente determinaremos o centro T da circunferência quadrado temos, C : x + y 8x + 8y + 6 = 0. Completando ou seja, Logo T (4, 4). ( x 8x) + ( y + 8y + 6) = 0 C x y : ( 4) + ( + 4) = 6. ( x 8x + 6) 6 + ( y + 8y + 6) = 0, Como C é tangente ao eixo das abscissas no ponto M, temos M ( x,0). Substituindo y = 0 na equação de C, obtemos ( 4) (0 4) 6 x + + = Logo, M (4,0). ( x 4) = 6 6 = 0 x 4 = 0 x = 4 Como C também é tangente ao eixo das ordenadas no ponto N, temos N(0, y ). Substituindo x = 0 na equação de C, obtemos (0 4) + ( y + 4) = 6 Portanto, (0, 4). N ( y + 4) = 6 6 = 0 y + 4 = 0 y = 4 b) o comprimento do segmento MN. Como M (4, 0) e N(0, 4), temos que a distância entre esses dois pontos é d( M, N) ((4,0),(0, 4)) (4 0) (0 ( 4)) = d = + (, ) d M N = + = u.c Logo a medida do segmento MN é 4 u.c. c) a área do triângulo de vértices M, N e T. Como a tangente a um círculo é perpendicular ao raio deste, segue que os segmentos MT e NT são perpendiculares ao eixo das abscissas e ao eixo das ordenadas respectivamente. Logo o triângulo de vértices M, N e T é retângulo em T. Os segmentos MT e NT correspondem ao raio da circunferência C, logo MT = NT = 4 u.c. Assim a área do triângulo de vértices M, N e T é MT NT 4 4 A = = A = 8 u.a.

2 UFJF MÓDULO III DO PISM TRIÊNIO 00-0 GABARITO DA PROVA DE MATEMÁTICA Questão Um estudante, ao dividir corretamente o polinômio M ( x ) pelos polinômios D ( x) = ( x + ), D ( x) = ( x ) e D ( x) = ( x + ), obteve, respectivamente, os restos R ( x ) =, R ( x ) = e R ( x ) = 0. Qual o polinômio resto R( x ) da divisão de M ( x ) por D( x) = ( x + )( x )( x + )? Ao dividir um polinômio M ( x ) por um outro polinômio P( x ), sabemos pelo algoritmo da divisão que existem polinômios Q( x ) e R( x ) tais que Assim, existem Q ( x), Q ( x ) e Q ( x ) tais que M ( x) D ( x) Q ( x) R ( x) M ( x) D ( x) Q ( x) R ( x) M ( x) = P( x) Q( x) + R( x), com 0 gr( R( x)) < gr( P( x)). = + = + = + M ( x) D ( x) Q ( x) R ( x) M ( x) = ( x + ) Q ( x) + ( ) M ( ) = M ( x) = ( x ) Q ( x) + M () = M ( x) = ( x + ) Q ( x) + 0 M ( ) = 0 Como D( x) = ( x + )( x )( x + ) é um polinômio de grau, ao dividir M ( x ) por D( x ), obtemos M ( x) = ( x + )( x )( x + ) Q( x) + R( x), com 0 gr( R( x)) < gr( D( x)) =. Logo podemos escrever R( x) ax bx c = + +, onde a, b, c R. Como, R( ) = M ( ) =, R() = M () = e R( ) = M ( ) = 0 obtemos, a b + c = ( I) a + b + c = ( II ) 4a b + c = 0 ( III) Somando (I) e (II) segue que a + c = 0 c = a. Substituindo c = a em (III) obtemos 4a b a = 0 a = a e b = em (II), temos a a + a = a b = = e c = a =. Substituindo c logo, b = a a =. Portanto = +. R( x) x x

3 UFJF MÓDULO III DO PISM TRIÊNIO 00-0 GABARITO DA PROVA DE MATEMÁTICA Questão Após pesquisas na internet, um internauta construiu a seguinte tabela, com produtos de seu interesse: P R O D U T O S CUSTO UNITÁRIO PENDRIVE LIVRO DVD R$ 0,00 (8GB) R$ 40,00 (Infantil) R$ 50,00 (Filme) R$ 60,00 (6GB) R$ 70,00 (Técnico) R$ 55,00 (Musical) Esse internauta efetuou compras, adquirindo um total de 0 objetos. Os produtos comprados foram: pendrives, livros e DVDs. Sabe-se que as quantidades adquiridas de pendrives de 8GB e 6GB foram iguais, e que valem afirmações análogas com relação aos tipos de livros e também aos tipos de DVDs. Além disso, sabe-se que o internauta gastou R$.600,00, ao adquirir pendrives de 8GB, livros infantis e DVDs de música, e gastou R$.700,00, ao adquirir pendrives de 6GB, livros técnicos e DVD s de filme. Determine a quantidade de pendrives comprada por esse internauta. Sejam x, y e z as quantidades de pendrives, livros e DVDs adquiridas pelo internauta. Logo temos o seguinte sistema. x + y + z = 0 0x + 40y + 55z = x + 70y + 50z = 700 x + y + z = 60 (E ) 6x + 8y + z = 50 (E ) 6x + 7y + 5z = 70 (E ) Escalonando o sistema: fazendo E = E, E = E 6E e E = E 6E, obtemos o sistema equivalente Fazendo Logo z = 0. E = E E obtemos x + y + z = 60 (E ) y + 5z = 60 (E ) y z = 0 (E ) x + y + z = 60 (E ) y + 5z = 60 (E ) 7z = 40 (E ) Substituindo z = 0 em Substituindo z = 0 e y = 0 em E, obtemos y = 0. E, obtemos x = 0. Portanto, o internauta comprou 0 pendrives de cada tipo.

4 UFJF MÓDULO III DO PISM TRIÊNIO 00-0 GABARITO DA PROVA DE MATEMÁTICA Questão 4 Uma loja, no ano de seu centenário, lançou um cartão de crédito para seus clientes vips (especiais). Para a codificação destes cartões foram utilizadas sequências de 5 algarismos, sem repetição, dentre os algarismos 0,,,,9. Para fins de propaganda, determinou-se que o último algarismo, em cada código, deve ser ímpar, pois a loja considera seus clientes vips ímpares. Sabendo-se que um cartão se diferencia de outro cartão pela disposição de seus algarismos, na sua respectiva codificação, determine: a) quantos cartões de crédito para clientes vips foram fabricados. Como o ultimo algarismo deve ser impar, temos 5 possibilidades para o mesmo. Pelo principio multiplicativo temos ímpar = 50. Ou seja, foram fabricados 50 cartões de crédito para os clientes vips. b) entre os cartões de crédito fabricados, quantos possuem a soma de seus dois últimos algarismos igual a 0. Como o ultimo algarismo deve ser impar e a soma de seus dois últimos algarismos deve ser igual a 0, temos as seguintes possibilidades: = Pelo principio multiplicativo temos 4 (8 7 6 ) = = cartões de crédito fabricados, cuja a soma de seus dois últimos algarismos é igual a 0. 4

5 UFJF MÓDULO III DO PISM TRIÊNIO 00-0 GABARITO DA PROVA DE MATEMÁTICA Questão 5 Nas Olimpíadas de Londres (0), verificou-se que, em uma partida de basquete entre EUA e Nigéria, 70% dos lances livres marcados a favor do time norte-americano foram cobrados por jogadores com mais de metros de altura. Sabe-se que, de acordo com estatísticas desse jogo, a probabilidade de um lance livre a favor do time dos EUA ter sido convertido é 8%, se o jogador tivesse mais de metros de altura e 75% em caso contrário. Usando essas informações, responda com argumentos matemáticos os itens a e b. a) Sabendo que no terceiro quarto da partida uma falta foi marcada a favor do time dos EUA e foi cobrado um lance livre, qual a probabilidade de o lance livre ter sido cobrado por um jogador com altura superior a metros e ter sido convertido? Seja X o jogador do time dos EUA que cobrou o lance livre. Sabemos que 70% dos lances livres marcados a favor do time norte-americano foram cobrados por jogadores com mais de metros de altura. Logo 70 P( X > metros) = 7 =. 0 Como a probabilidade de um lance livre a favor do time dos EUA ter sido convertido é 8%, se o jogador tivesse mais de metros de altura temos que a probabilidade pedida é: P = = P = 0, Cobrador do lance livre a favor do time dos EUA Altura superior a metros Altura inferior ou igual a metros

6 UFJF MÓDULO III DO PISM TRIÊNIO 00-0 GABARITO DA PROVA DE MATEMÁTICA b) Sabendo que uma falta foi marcada a favor da equipe dos EUA no último minuto da partida e o lance livre foi desperdiçado, qual a probabilidade de o cobrador desse lance livre ter sido um jogador com altura superior a metros? Suponha que foram marcados lances livres a favor do time dos EUA. Pelas informações da questão, temos que 7 8 0, ou seja, 0,6 foram desperdiçados por jogadores norte americanos com altura superior a metros e 5 0, ou seja, 0,075 foram desperdiçados por jogadores norte americanos com altura inferior ou igual a metros. Logo, a probabilidade pedida é: 0,6 P = 0,6 + 0, 075 0,6 P = 0,0 6 P = 0 4 P = 67 8 Cobrador do lance livre a favor do time dos EUA Altura superior a metros Altura inferior ou igual a metros

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