UFRJ- VESTIBULAR 2004 PROVA DE MATEMÁTICA.

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1 UFRJ- VESTIBULAR 00 ROVA DE MATEMÁTICA Resolução e comentário pela rofessora Maria Antônia Conceição Gouveia Apresente suas soluções de forma clara, indicando, em cada caso, o raciocínio que conduziu à resposta: QUESTÃO I Manuel e Joaquim resolveram disputar o seguinte jogo: uma bola será retirada ao acaso de uma urna que contém 999 bolas idênticas, numeradas de 1 a 999Se o número sorteado for par, ganha Manuel; se for ímpar, Joaquim ganha Isto foi resolvido após muita discussão, pois ambos queriam as pares Se todas as bolas têm a mesma probabilidade de serem retiradas, identifique quem tem mais chance de ganhar o jogo Justifique sua resposta Considerando a seqüência de números ímpares: 1, 3, 5, 7,, 999, temos: 1+n-1) =999 n- = 998 n = 1000 n = até 999 existem 500 números ímpares e = 99 números pares Quem tem maior chance de ganhar é Joaquim porque o número de bolas ímpares é maior que a de bolas pares QUESTÃO II ara lotar o estádio no final do campeonato, planejou-se inicialmente, distribuir os ingressos em três grupos da seguinte forma: 30% seriam vendidos para a torcida organizada local; 10% seriam vendidos para a torcida organizada do time rival e os restantes para espectadores não filiados às torcidas osteriormente, por motivos de segurança, os organizadores resolveram que destes ingressos não seriam mais postos à venda, cancelando-se então ingressos destinados a cada um dos três grupos Determine o percentual dos ingressos destinados a torcedores não filiados às torcidas após o cancelamento dos 3000 ingressos lano inicial: Ingressos para a torcida organizada local: 0, = Ingressos para a torcida organizada do time rival: 0, = 300 Ingressos para espectadores não filiados às torcidas: 0, = lano final: Total de ingressos a serem vendidos: = Ingressos para espectadores não filiados às torcidas: cujo percentual em relação ao total de ingressos é: = =, = %

2 QUESTÃO III Uma esfera de vidro, de diâmetro interno 10cm, está cheia de bolas de gude perfeitamente esféricas de raio 1 cm Se n é o número de bolas de gude dentro da esfera, indique qual das opções a seguir é verdadeira: OÇÃO I: n > 15 OÇÃO II: n = 15 OÇÃO III: n < 15 Justifique sua resposta O volume interno do recipiente é maior que o volume total das n bolas de gude: π π n < ) n < 15 OÇÃO III: n < 15 QUESTÃO IV n e m são números naturais, n = 1 000! + 18 e m = 50! + 37 a) Calcule o resto da divisão de n por 18; b) m é um número primo? Justifique a resposta n 1000! )899! + 18 a) = = 18 n = ! + 1) n é múltiplo de 18 e assim o resto da sua divisão por 18 é zero c) m = 50! + 37 m = portanto não é primo 509! + 37 = ! + 37 = m é um múltiplo de 37, ! + 1) QUESTÃO V A equação x - x cos + sen = 0 possui raízes reais iguais Determine θ, 0 θ π De x - x cos + sen = 0 e da informação que esta equação possui raízes reais iguais, temos: = cos - sen = cos = 0

3 Resolvendo a equação resultante cos = 0 π = + kπ π = + kπ k π = + kπ 0 π = [0,π ] 1 π 5π = + π = [0,π ] π 9π = + π = [0,π ] π 5π Logo = ou = QUESTÃO VI Felipe começa a escrever números naturais em uma folha de papel muito grande, uma linha após a outra, como mostrado a seguir: Considerando que Felipe mantenha o padrão adotado em todas as linhas: a) determine quantos números naturais ele escreverá na 50ª linha? b) Determine a soma de todos os números escritos na 50ª linha? c) rove que a soma de todos os elementos de uma linha é sempre o quadrado de um número ímpar Como a linha 1 tem 1-1) = 1 termo; Como a linha tem -1) = 3 termos; Como a linha 3 tem 3-1) = 5 termos; Como a linha tem -1) = 7 termos; A linha n terá n-1) termos a) a linha 50 tem portanto 50-1)=99 termos; b) como o primeiro termo da linha 50 é 50, e como ela forma uma progressão aritmética de razão 1 e tem 99 termos, o seu último termo é )1 = 18Logo a linha 50 é a seqüência 50, 51, 5, 53,, 18 A soma dos seus termos é: S = + ) = = = c) Vemos que a linha n tem sempre n-1) termos O primeiro termo da linha n é n; a razão da A é 1; o último termo será n + n-1-1)1 = 3n-

4 Assim a soma dos seus elementos será: n + 3n - )n -1) n - )n -1) = = n -1)n -1) = n -1) QUESTÃO VII Determine o comprimento do segmento cujas extremidades são os pontos de interseção da reta y = x+1 com a parábola y = x² y = x² 3 d B y = x+1 A y = x ± 5 1 ± 5 Resolvendo o sistema: x x -1= 0 x = y = + 1 y = x Os pontos de interseção são A =, e B, =, logo a distância entre eles é : d = + = = = QUESTÃO VIII A figura a seguir representa a planta de um terreno plano, em forma de pentágono convexo, de lados 0m, 50m, 35m, 5m e 0m, em toda a volta deste terreno foi construída uma calçada de m de largura ou seja: a distância de qualquer ponto da borda desta calçada ao terreno é de exatamente m) Determine a área da calçada

5 Como a distância de qualquer ponto da borda da calçada ao terreno é de exatamente m, notamos que ela é formada de 5 retângulos e 5 setores circulares que juntos formam um círculo de raio os setores são congruentes aos ângulos externos do pentágono, somando então 360 ) A área da calçada é então: S = ) + π = 0 + π S = 0 + π )ua QUESTÃO IX z é um número tal que z 7 = 1, z 1 Calcule 1+z+z²+z 3 +z +z 5 +z 6 z 7 = 1 z 7 1 = 0 Como 1 é raiz da equação z 7 1 = 0, dividamos o polinômio z 7 1 por z 1 pelo método de Ruffini: Vemos que o quociente da divisão é z 6 + z 5 + z +z 3 + z² + z +1, logo: De z 7 1 = 0 z-1)1+z+z²+z 3 +z +z 5 +z 6 ) = 0, como z 1 1+z+z²+z 3 +z +z 5 +z 6 = 0 QUESTÃO X Uma piscina de borda retangular e paredes laterais verticais está completamente vazia ara enchêla será usada uma mangueira que despeja água a uma vazão constante A piscina ficará cheia até a borda 30 minutos após o início do processo A figura a seguir mostra uma seção transversal da piscina por um plano vertical paralelo a um par de lados da borda São idênticas todas as seções transversais do interior da piscina paralelas à seção mostrada na figura, onde também estão assinalados os ângulos retos

6 a) Determine o tempo necessário para o nível h de água na piscina atinja 1 metro de profundidade b) Se t representa o tempo contado a partir do momento em que se começa a encher a piscina, 0 t 30, expresse t como função da altura h da água na piscina * ) ' 6 6 & $ % a) Sendo a vazão da água e a largura da piscina constantes, para a determinação do tempo podemos trabalhar apenas com as áreas das seções transversais consideradas Considerando como S a área do retângulo CEFG: S = 5m² Considerando como S 1 a área do trapézio ABCD: S 1 = +31 ) =,5m² S 1 Vemos que 1 = S = S 1 S S + S 1 = S 1 + S 1 = 3 S 1 Se o tempo para 3 S 1 é de 30 minutos e sendo a vazão constante, então o tempo para S 1 é de 10 minutos b) * ) ' 6 ƒ $ & % Considerando como v a vazão constante da água, b a largura constante da piscina e V o volume de água na piscina em função da altura h, temos: V = vt + h)h I- 0 h 1 + h + )h vt = b b Como b e v são constantes: V = b + h) h b th) = v e t1) = ) b b = 10 v = 10 = v 5 v + h) h Assim th) = th) = hh+8)

7 II- 1< h : ) * ' & ƒ $ % + h)h + 1)1 5b ara h = 1, V = b b = = 5b 5 5 ara 1< h, V = + h-1)5b = b + 5h - 5 = b 5h - 5 b 5 b Como V = vt vt = b 5h - th) = 5h - e sendo =, temos: v v 5 th) = 5h - = h-10 h8 + h), se 0 h 1 Conclusão: th) = 0h -10, se1< h

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