Prof. Jorge. Estudo de Polígonos

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1 Estudo de Polígonos

2 Enchendo a piscina A piscina de um clube de minha cidade, vista de cima, tem formato retangular. O comprimento dela é de 18 m. o fundo é uma rampa reta. Vista lateralmente, ela tem o formato apresentado na figura. 18 m x Outro dia, a piscina estava vazia. O funcionário do clube abriu o registro e começou a enchê-la. A água jorrava a uma vazão de 4 litros por segundo.

3 Enchendo a piscina O gráfico a seguir mostra o nível x da água, em metros, na parte mais funda, em função do volume V de água despejada, em litros. 1,8 x (m) Qual é a profundidade da piscina na parte mais rasa? E na parte mais funda? 0,8 Qual é a capacidade da piscina, em litros? 0 C V ( L) Em quanto tempo a piscina ficará cheia?

4 Polígonos convexos

5 Definição A figura a seguir mostra um conjunto de segmentos consecutivos e não-colineares AB, BC, CD, DE, EF, FA, contidos num mesmo plano. Chama-se polígono união de todos esses segmentos e dos pontos da região interior. B C A D F E

6 Elementos A figura abaixo, temos o polígono ABCDEF. Nele, destacamos: Os vértices A, B, C, D, E e F. A B C D Os ângulos internos A, B, C, D, E e F. Os lados AB, AC, CD, DE, EF e FA. F E A diagonal BD. é ângulo externo relativo ao vértice A.

7 Nomenclatura Os polígonos recebem nomes especiais, de acordo com o numero n de seus lados. n Polígono n Polígono 3 triângulo 9 eneágono 4 quadrilátero 10 decágono 5 pentágono 11 undecágono 6 hexágono 12 dodecágono 7 heptágono 15 pentadecágono 8 octógono 20 icoságono

8 Polígono regular Chama-se polígono regular qualquer polígono que tem todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes. B C A D F E Os ângulos A = B = C = D = E = F. Os lados AB = AC = CD = DE = EF = FA.

9 Ângulos internos no polígono regular.

10 Soma dos ângulos internos A soma dos ângulos internos de um polígono convexo com n lados é dado por Si = (n 2).180º. A 3 A 4 Si = (n 2).180º A 2 A 5 A 1 A n

11 Ângulo interno do polígono regular No polígono regular, os n ângulos são congruentes. Chamando de i a medida de cada um deles, temos B i i C A i i D i = (n 2).180º n i i F E

12 Ângulo interno e externo Medidas dos ângulos internos e externos de alguns polígonos regulares. polígono Triângulo Quadrilátero Pentágono Hexágono Decágono Icoságono 100 lados ângulo interno 60º 90º 108º 120º 144º 162º 176,4º ângulo externo 120º 90º 72º 60º 36º 18º 3,6º

13 Exemplo Num decágono regular, cada lado mede 3 cm, Calcular seu perímetro e a medida de cada um de seus ângulos internos. Decágono regular tem 10 lados (n = 10). P = cm = 30 cm S = (n 2).180 o = (10 2).180º = = 1440º i = 1440º 10 = 144º

14 Área de polígonos

15 Definição de área A área de um figura plana fechada é a medida da extensão de sua superfície. A unidade fundamental de medida de áreas é o metro quadrado (m 2 ). A área de 1 m 2 é a área de um quadrado cujo lado mede 1 m. Quantos m 2 tem 1 km 2 1 m 2 1 m 1 m

16 Área do quadrado L A = L 2 L

17 Exemplo Calcular a medida de cada lado e de cada uma das diagonais de um quadrado, cuja área mede 18 cm 2. D L A = L 2 L 2 = 18 L = 3 2 D 2 = L 2 + L 2 D = L 2 L D = D = 6 cm

18 Área do retângulo Altura (h) Base (b) A = b. h

19 Exemplo Calcular o perímetro de um retângulo de 18 m 2 de área, sabendo que um de seus lados é o dobro do outro. A = 18 x.2x = 18 x 2x 2 = 18 x 2 = 9 2x x = 3 Os lados medem 3 m e 6 m. P = = 18 m

20 Área do Paralelogramo h base (b) A = b. h

21 Exemplo Os lados de um paralelogramo medem 4 cm e 6 cm e formam, entre si, ângulo de 60º. Obter a sua área. 4 60º h 6 sen 60º = h 4 h = 4. sen 60º = h = 2 3 A = b. h = A = 12 3

22 Área do Losango L L d 2 A = d 1. d 2 2 L L d 1

23 Exemplo O perímetro de um losango é 52 cm e a menor de suas diagonais mede 10 cm. Achar sua área. x 5 P = 4.x 4.x = 52 y x = 13 x 2 = y = 25 + y 2 y 2 = y 2 = 144 y = 12 A = d 1. d 2 2 = A = 120 cm 2

24 Área do Trapézio base (b 1 ) h base (b 2 ) A = (b 1 + b 2 ).h 2

25 Exemplo Uma caixa de papelão tem altura constante, e as duas bases têm forma de trapézios isósceles congruentes. As medidas, em centímetros, são as da figura. Obter a área total externa da caixa

26 Exemplo Uma caixa de papelão tem altura constante, e as duas bases têm forma de trapézios isósceles congruentes. As medidas, em centímetros, são as da figura. Obter a área total externa da caixa. Cálculo da altura do trapézio h h h = 10 2 h = 100 h 2 = h 2 = 64 h = 8

27 Exemplo Uma caixa de papelão tem altura constante, e as duas bases têm forma de trapézios isósceles congruentes. As medidas, em centímetros, são as da figura. Obter a área total externa da caixa. Área do trapézio A = A = 168 ( ).8 2

28 Exemplo Uma caixa de papelão tem altura constante, e as duas bases têm forma de trapézios isósceles congruentes. As medidas, em centímetros, são as da figura. Obter a área total externa da caixa Área da face da frente: A = = 90 Área da face de trás: A = = 162 Área das faces laterais: A = = 120

29 Exemplo Uma caixa de papelão tem altura constante, e as duas bases têm forma de trapézios isósceles congruentes. As medidas, em centímetros, são as da figura. Obter a área total externa da caixa Área total da superfície da caixa: A = = 708 cm 2.

30 Área do Triângulo h base (b) A = b. h 2

31 Exemplo Calcular a área de um triângulo cujos lados medem 10 cm, 10 cm e 16 cm h 8 8 h = 10 2 h = 100 h 2 = 36 h = 6 A = b. h 2 = = 48 cm 2.

32 Área do Triângulo Eqüilátero L h L h = L 3 2 L A = L2 3 4

33 Exemplo Calcular a área de um triângulo eqüilátero cujo perímetro é 18 cm. P = 18 3L = 18 L = 6 cm A = L2 3 4 = A = 9 3 cm 2

34 Área do Hexágono regular L L L L L L A = 3L2 3 2

35 Exemplo Achar a área do hexágono regular em que cada apótema mede 6 cm. x 6 O θ tg 30º = x/ = x 12 x = 4 3 x/2 θ = 30º A = 3x2 3 2 A = 72 3 cm 2 =

36 Área do triângulo em função da medida de dois de seus lados e do ângulo compreendido por esses lados c α h sen α = h c h = c. sen α b A = b. h 2 A = b. c. sen α 2

37 Exemplo Num hexágono regular ABCDEF, a diagonal AC mede 6 cm. Calcular a área do hexágono. B C 6 A D F E

38 Exemplo Na figura, ABCE é um quadrado, CDE é um triângulo retângulo em D e ABF é um triângulo eqüilátero. Obter a área da região sombreada. D E F C A B

39 Exemplo (UEMS) Une-se um dos vértices de um quadrado aos pontos médios dos lados que não contêm esse vértice, obtendo-se um triângulo isósceles, como mostra a figura abaixo. A área desse triângulo, em relação à área do quadrado, é: a) 0,355 b) 0,365 c) 0,375 d) 0,385 e) 0,395

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