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1 PROVA APLICADA ÀS TURMAS DO O ANO DO ENSINO MÉDIO DO COLÉGIO ANCHIETA EM MARÇO DE 009. ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ. PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA QUESTÕES DE 0 A 08. Assinale as proposições verdadeiras, some os valores obtidos e marque os resultados na Folha de Respostas. Q 0. Considere dois triângulos equiláteros congruentes, com medidas dos lados igual a cm, e um lado comum formando um quadrilátero. Sobre esse quadrilátero é verdade que: (0) Esse quadrilátero é um trapézio. (0) A maior diagonal mede cm. (04) O raio do círculo inscrito é igual a cm. 4 (08) Existe um círculo circunscrito a esse quadrilátero. (6) A distância do ponto médio de um lado ao vértice mais afastado do quadrilátero é igual a 7 cm. (0) É falso a, porque seus lados são dois a dois paralelos, logo é um paralelogramo. (0) Verdadeira. AC é a maior diagonal do quadrilátero ABCD, e ao mesmo tempo, hipotenusa do triângulo retângulo ACE. Como num triângulo retângulo qualquer, a razão entre o cateto adjacente a um ângulo agudo e a hipotenusa é o co-seno desse ângulo, cos cateto adjacente hipotenusa cos0,5 AC. AC Outro modo de resolver: med(ce )= med(h ABD ) = o AE AC med( AC ) = med(h) =. Descubra um terceiro modo de resolver essa questão..

2 (04) Verdadeira. Pela figura ao lado, vemos que FE = BH (medida da altura do triângulo eqüilátero ABD). Logo FE =. Sendo r a metade de FE, então r = 4 Outro modo de resolver essa questão: No triângulo retângulo DHO, tem-se: OH r sen60 o. OD 0,5 4 (08) Falsa. Porque para um quadrilátero ser inscritível a soma de dois ângulos opostos deve ser 80 o. (6) Verdadeira. Seja M o ponto médio do lado AB e N o ponto médio do lado AD. Os triângulos MBC e NDC são congruentes (MB = ND, MBˆ C NDˆ C = 0 o, BC = DC), logo os lados MC e NC são congruentes. Conclui-se que a distância do ponto médio de qualquer lado do quadrilátero ao vértice mais distante dele é constante. Aplicando a Lei dos Co-senos ao triângulo BMC em relação ao ângulo M Bˆ C: MC (0,5) o () 0,5 cos0 MC,5,75 MC

3 Q0. Vamos supor que o polígono ABCDFE representa uma sala na escala /50. Sabe-se que BC = 0 cm, AE = 6 cm, AB = 8 cm e DC = 4 cm. A pavimentação da região ABFE foi feita com ladrilhos de preço unitário R$ 6,00/m. É verdade que: (0) A área da sala é 6m. (0) A pavimentação da região ABFE, custou R$ 44,00. (04) Se a pavimentação da sala custou R$ 9,00, então a pavimentação da região BCDF foi feita com ladrilhos de preço maior que R$ 7,00/m. (08) Se o custo unitário de pavimentação da região BCDF tivesse sido R$ 8,00, então o custo médio da pavimentação da sala seria R$,50/m. (6) O segmento AC possui o ponto F. (0) Verdadeira. Sendo /50 a escala da planta, as dimensões reais da sala podem ser obtidas multiplicando-se cada dimensão da planta por 50. Assim as dimensões da sala são: E F = 00cm = m, A B = 400cm = 4m, A E = B G = 00cm = m e G C =C D = D F = F E =00cm = m. A área da sala é: S A B G E + S C D F G = [( 4) + ( )]m = 6m. (0) Verdadeira. A área da região A B F E, que tem a forma de um trapézio retângulo é: 4 S m 9m. Como cada metro quadrado da pavimentação custou R$6,00, então o valor da pavimentação dessa região foi: 9 6 = 44 reais.

4 (04) Falsa. S BCDF = S Sala S ABFE = (6 9)m = 7m ; Custo BCDF = 9 44 = 48 reais O custo médio por m 48 : 6, reais/m. 7 (08) Verdadeira. Do item anterior: S BCDF é 7m. O custo total da pavimentação da sala, seria então: ( ) = 00 reais. O custo médio por m seria: 00, 50 reais. 6 (6) Falsa. A figura nos mostra a inverdade dessa proposição, pois A, E e C não estão em linha reta, desde quando o ângulo < 45. Q0. Na figura vê-se um quadrado de centro O e lado = 4cm e um círculo de centro Q que tangencia os lados do triângulo DOC nos pontos M, P e T. É verdade que: (0) MC = cm é diferente da medida de CT. (0) OT = cm. (04) O quadrilátero OTQP é um quadrado. (08) O raio do círculo circunscrito ao triângulo OCD é igual a cm. (6) A área da região hachurada é igual a (6 ) cm. () A área do círculo é 5% da área do semicírculo. (0) Falsa. Pois os segmentos CT e CM são tangentes ao círculo de centro Q a partir de um mesmo ponto C, por isso têm a mesma medida que é cm (metade da medida do segmento CD ). (0) Verdadeira. Os segmentos CO e DO são metades das duas diagonais do quadrado, portanto são perpendiculares e o triângulo DOC é retângulo isósceles. As medidas desses segmentos são 4 iguais a. Os ângulos Q PˆO e QTˆ O pois são formados por tangentes ao círculo e os raios nos pontos de contato, e portanto, o quadrilátero POTQ é um quadrado e a medida de seus lados é r. Pela figura pode-se concluir que: DC = 4 r 4 r 4 r OT ( ).

5 Outro modo de resolver essa questão: Mais rapidamente chega-se a esse resultado, considerando a igualdade entre os segmentos CT e CM (justificativa dada no item anterior): CT = CM = r r r OT ( ).. (04) Verdadeira. A justificativa está no primeiro desenvolvimento da resolução do item anterior. (08) Falsa. Na resolução do item (0) já se chegou ao valo do raio: r =. (6) Verdadeira; Sendo O o centro do quadrado, a área do triângulo retângulo AOD é a quarta parte da área do quadrado ABCD. A interseção entre o triângulo e o semicírculo é um segmento de círculo de 90 o. A área da região hachurada em cm é: S AOD S segmento. S AOD = (6/4) = 4. r S segmento = S AON, então a área da 4 região hachurada é: S = 4 ( ) = 6. Outro modo de resolver essa questão: Analisando a figura acima chega-se à conclusão de que a área da região hachurada é igual à diferença entre a área do trapézio retângulo ADNO e do quadrante de círculo determinado pelo arco. NO AD AN AN 4 Então, S () Falso. S círculo =.OT =.[ ( ) ] Q04. S círculo = ,7 0, 68. R S semicírculo = Sobre polinômios pode-se afirmar:.4 Scírculo 0,68. Então, 0,4 0, 5 S semicírculo (0) p(x) = (x 4 + ) x + x 0 é um polinômio de grau. (0) A soma dos coeficientes de q(x) = (x -) 5 é. 6 (04) O termo independente de x do polinômio r(x) = (x 8) x é 66. (08) Se o polinômio x + mx + n é divisível por x, então m =. x a b (6) Se é uma identidade, então a + b =. x x x

6 (0)Falsa. O termo de maior grau de p(x) = (x 4 + ) x + x 0 é: (x 4 ) x = x 4. Então o grau de p(x) é 4. (0) Falsa. Para determinar a soma dos coeficientes de q(x) = (x ) 5, basta encontrar o valor de q(): q() = ( ) 5 = ( ) 5 =. (04) Verdadeira. 6 Desenvolvendo r(x) = (x 8) x r(x) = (x + 8) +x +. Então, o termo independente de x em r(x) é: 8 + = 66. (08) Verdadeira. Determinando as raízes de x = (x + )(x ) = 0 encontra-se x = e x =. Sendo o polinômio x + mx + n, divisível por x, então e são suas raízes. Substituindo x por esses valores no polinômio x + mx + n, tem-se: n 0 m n 0 m n n 0 m n 0 m n m Outro modo de resolver esta questão é aplicando sucessivamente o método da chave ou o de Briot Ruffinni e igualando os restos encontrados a zero. 0 m n +m +m+n o resto: +m+n = 0 0 +m o resto: +m =0 m 0 m Resolvendo o sistema tem-se as mesmas respostas. m n 0 n 0 (6) Verdadeira. x a b x ax a bx b x (a b)x a b a b x x x (polinômios idênticos).

7 Q05. Considere-se o polinômio x + mx + n. Pode-se afirmar que: (0) Se p(x) é idêntico a (x + ) x, então m + n = 4. m (0) é raiz da equação p(x+) = x + x + n m m (04) O resto da divisão de p(x) por x é igual a 4n. 4 (08) p( x) + p(x) = 8 n {,,, 4, 5}. (6) Se os restos das divisões de p(x) por x e x são, respectivamente, e 4, então m = 5. (0) Verdadeira. Se os polinômios são idênticos os coeficientes da variável x de mesmo grau são iguais: x + 0x + mx + n = x + x + x + x m n (0) Verdadeira. p(x+) = x + x + n (x+) + m(x+) + n = x + x + n x + x + x + mx + m + n + = x + x + n (m + )x = (m + ) m m x x, com m, é raiz da equação p(x+) = x + x + n. m m (04) Falsa. Para determinar o resto da divisão de x + mx + n divisível por x, então p 0. 4m 8n Verificando: m n 8 (08) Verdadeira. De p( x) + p(x) = 8, vem: x mx + n + x + mx + n = 8 n = 8 n = 4,logo n {,,, 4, 5}.. (6) Verdadeira. m n m 5 p() = + m + n = e p() = 8 + m + n = 4 m n 4 n 6 Q08. (UFBA/009/Modificada) Sobre números reais, é correto afirmar:

8 (0) Se o máximo divisor comum de dois números inteiros positivos é igual a, então esses números são primos entre si. (0) A soma de dois números irracionais quaisquer é um número irracional. (04) O produto de qualquer número inteiro não nulo por um número irracional qualquer é um número irracional. (08) O quadrado de qualquer número irracional é um número irracional. (6) Se o quadrado de um número natural é ímpar, então esse número também é ímpar. () Se x é o maior múltiplo de 7 com algarismos, então a soma dos algarismos de x é igual a. (64) Se a soma de três números primos naturais é igual a 80, então um deles é igual a. (0) Verdadeira. Máximo divisor comum de dois números inteiros positivos é o maior valor inteiro positivo que divide ao mesmo tempo esses dois números. Por exemplo: (I) D(7) = {,,, 4, 6, 8, 9,, 8, 4, 6, 7}. D(90) = {,,, 5, 6, 9, 0, 5, 0, 45, 90}. Destacamos em vermelho os divisores comuns a 7 e 90 entre os quais o maior é 9. Então o mdc(7, 90) = 9, logo 7 e 90 não são números primos entre si, porque o máximo divisor comum entre eles é diferente de. (II) D(5) = {, 5, 5, 5}. D(7) = {,,, 4, 6, 8, 9,, 8, 4, 6, 7}. O maior inteiro positivo que divide ao mesmo tempo 5 e 7 é, então o maior divisor comum entre eles é. Logo 5 e 7 são números primos entre si. (0) Falsa. Exemplos: (I) Seja a = e b = a + b = 0 que é um número racional. (II) Seja a = e b = a + b = que é um número racional. (04) Verdadeira. (I) Seja a = e b = 0 a b = 0 que é um número irracional. (II) Seja a = e b = 4 a b = 4 4 que é um número racional. (08) Falsa. Exemplos: (I) Seja a =, então, a = que é um número racional. (II) Seja a =, então a = 6 que é um número irracional. Logo o quadrado de um número irracional pode ser um número irracional ou um número racional.

9 (6) Verdadeira. Seja n +, com n N, um número natural ímpar. O seu quadrado é (n + ) = 4n + 4n + = (n + n) + que é também um número natural ímpar. () Falsa. Seja 00 < x < 000. Efetuando a divisão de 000 por 7 encontra-se quociente 58 e resto 4, logo 000 = Então, o maior múltiplo de 7 com algarismos é = 986. Então a soma dos algarismos de 986 é =. (64) Verdadeira. Representando três números primos e ímpares por a +, b + e c +, com a b c, e, somando esses números: a + +b + + c + = (a+b+c) + que é a soma do número par (a+b+c) com o número impar, assim (a+b+c) + é um número impar. Pode-se então afirmar que a soma de uma quantidade impar de números impares dá sempre um número impar. Então, se a soma de três números naturais primos dá um número par é porque um deles é par. E o único número natural par que é primo é o. 0. (UFBA/004/Modificada) Sobre números reais, é verdade afirmar: (0) Se x = 0,666..., y =,... e z =,444..., então z = 6,.... x y (0) O valor da expressão ( 5 6) ( 5 6) é um número irracional. (04) Se a, b e c são diretamente proporcionais a, 5 e 7, respectivamente, e ac a b + 4c = 95, então =. b (08) Dividindo-se o número 4 em partes inversamente proporcionais a, e 5, obtêm-se os valores x, y e z, respectivamente, tais que yz = 5x. (6) Se uma torneira enche um tanque em 4 horas e outra torneira enche o mesmo tanque em 5 horas, então as duas juntas conseguem encher este tanque em horas minutos e 0 segundos. () Se os restos das divisões de 4 e 5 por x são, respectivamente, e, então o maior valor possível para x é 6. (04) Se a, b e c são diretamente proporcionais a, 5 e 7, respectivamente, e a ac b + 4c = 95, então =. b (08) Dividindo-se o número 4 em partes inversamente proporcionais a, e 5, obtêm-se os valores x, y e z, respectivamente, tais que yz = 5x. (6) Se uma torneira enche um tanque em 4 horas e outra torneira enche o mesmo tanque em 5 horas, então as duas juntas conseguem encher este tanque em horas minutos e 0 segundos.

10 () Se os restos das divisões de 4 e 5 por x são, respectivamente, e, então o maior valor possível para x é 6. (0) Verdadeira. 0x 6, x x 6, , x 6 x. x 0, x,.. 0y y,...,... 9y y y, z 4, z z 4,444..., z z. z, z ,... x y (0) Falsa. ( 5 6) ( 5 6) 5 4 que é um número racional. (04) Verdadeira. a b c n a n, b 5n e c 7n 9n n -5n 8n 95 n 5 a - b 4c 95 ac n 7n n 5. b 5n 5 5 (08) Falsa. x y z n n n x n, y e z 0n 5n n n 4 5 n n n 4 x y z 4 n 5 n n n 60 yz 5x 5n 5 5 (falso) (6) Verdadeira. Quando as duas torneiras são abertas para encher o tanque, os seus tempos não se somam, mas sim a suas capacidades de vazão por hora. Tempo para encher o tanque Vazão por hora Torneira 4 horas V / h 4 Torneira 5 horas V / h 5

11 As duas torneiras juntas t horas V / h t 0 5t 4t 0 t h 4 5 t 9 0h 9 60min = 0min 9 60seg = 80seg 9 h h min min 0 0seg Então, 0 h hmin0seg 9 () Falsa. Se os restos das divisões de 4 e 5 por x são, respectivamente, e, então, (4 ) e (5 ) são múltiplos de x e o maior valor que x pode assumir é o mdc (40,5). 40 = 4 5 e 5 = 7 x = mdc(40, 5) = = 0. (UFBA/005/Modificada) Considere um empréstimo de um capital de R$.000,00 a uma taxa mensal de 0%, a ser pago de uma única vez ao final de n meses. Nessas condições, é correto afirmar: (0) Se for considerada a capitalização simples, o montante F(n), expresso em reais, ao final de n meses, será dado por F(n) = 000 (+0n). (0) Ao final de dois meses, o valor dos juros na capitalização composta será igual a R$40,00. (04) Na capitalização composta, o montante G, expresso em reais e dado em função do número n de meses, pode ser representado pelo gráfico abaixo. G (08) Se for considerada a capitalização composta, então os juros obtidos serão diretamente proporcionais ao número n de meses de duração do empréstimo. (6) Se a capitalização for composta, o capital dobrará de valor em menos de 0 meses. (0) Falsa. F(n) = C + Cin F(n) = , n F(n) = 000(+0,n) (0) Verdadeira. n

12 J = C( + i) n C j = 000 (+0,) 000 j = 000 (, ) = 40. (04) Falsa. F(n) = 000(+0,) n abaixo. é uma função exponencial cujo gráfico está representado (08) Falsa. Os juros obtidos com a capitalização composta, são dados pela relação: j = 000(, n ). Particularizando pode-se ver que é falsa essa afirmação: 000(, ) 000(, ) 00 0 (6) Verdadeira. 000, n = 4000, n = n = log, log 0,0 n = n n 7,4 0 log, 0, Uma casa deve ser construída por certo número de operários em meses, trabalhando 5 horas por dia. Dois meses após o início da obra, quinze operários foram demitidos. O restante, trabalhando 0 horas por dia, concluiu a obra 6 meses depois do previsto. Qual foi o número de operários contratados inicialmente? Após dois meses de trabalho dos x operários estava pronta. 6 Como após esse tempo, 5 operários foram demitidos, então os (x 5) operários concluíram em (0 + 6) meses a parte restante da obra, ou seja 6 5. Pode-se montar a tabela abaixo: x 6 0 x x 8 8x 0 x 5x 0 x 4 x 5

13 RESPOSTA: O número de operários contratados inicialmente foi 4. Q08. A distância entre as cidades A e B é 00km, e o ângulo BÂC mede 60 o. Um automóvel parte de A para B, outro de B para C e um terceiro de C para A. Eles fazem esses percursos com a mesma velocidade média, entretanto, o segundo automóvel gasta mais duas horas que o primeiro e o terceiro mais três horas que o primeiro. BC Calcule o valor em quilômetros da razão. 0 Sabe-se que d = v.t (a distância percorrida é igual ao produto da velocidade pelo tempo). Considerando t, o tempo do primeiro carro, (t + ) o tempo do segundo, e, (t + ) o do terceiro, então d = vt, d = v(t + ) e d = v(t + ). Aplicando ao triângulo ABC a Lei dos Cossenos: v t vt vt vt v t t +4t +4 = t + t +6t +9 t t t = 5 h v = BC = v(t + ) = 40km/h 7h = 80km. BC 80 Assim : km 5h 40km/h BC RESPOSTA: = 8km. 0

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