NOTAÇÕES a n. , sendo n inteiro não negativo k =1. Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

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1 MATEMÁTICA NOTAÇÕES : conjunto dos números reais : conjunto dos números complexos i: unidade imaginária, i = z: módulo do número z Re(z): parte real do número z Im(z): parte imaginária do número z det A : determinante da matriz A tr A : traço da matriz quadrada A, que é definido como a soma dos elementos da diagonal principal de A. Potência de matriz: A = A, A = A. A,..., A k = A k l. A, sendo A matriz quadrada e k inteiro positivo. d(p, r): distância do ponto P à reta r AB: segmento de extremidade nos pontos A e B [a, b]: {x ; a x b} [a, b[: {x ; a x < b} ]a, b]: {x ; a < x b} ]a, b[: {x ; a < x < b} X\Y = {x X e x Y} n a k = a 0 + a + a a n, sendo n inteiro não negativo k = Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares. Considere as seguintes afirmações sobre números reais: I. Se a expansão decimal de x é infinita e periódica, então x é um número racional. II. =. n = 0 ( ) n III. n e + (log )(log 9) é um número racional. É (são) verdadeira(s): a) nenhuma. b) apenas II. c) apenas I e II. d) apenas I e III. e) I, II e III. I) Se a expansão decimal de x é infinita e periódica, x é uma dízima periódica e, portanto, racional. ITA (º DIA) - DEZEMBRO/0

2 II) = n = 0 ( ) n = + + ( ). + + = ( ). = III) n e + (log ). (log 9) = = n e + (log ). = log 9 log = n e + (log ). = log log = + =, que é racional. Assim, (I) e (III) são verdadeiras. Resposta: D ITA (º DIA) - DEZEMBRO/0

3 Sejam A, B e C os subconjuntos de definidos por A = {z : z + i < 9}, B = {z : z + i < 7/} e C = {z : z + 6z + 0 = 0}. Então, (A \ B) C é o conjunto a) { i, + i}. b) { i, + i}. c) { + i}. d) { i}. e) { + i}. I) z 6 i + 6z + 0 = 0 z = = i II) ( + i) + i = i = + = < 9 + i A 7 III) ( + i) + i = + i = 9 + = > + i B IV) + i (A \ B) C V) ( i) + i = i = = + 6 = 7 < 9 i A VI) ( i) + i = = < 7 VII) + i A B + i A\B + i (A \ B) C + i B Resposta: C ITA (º DIA) - DEZEMBRO/0

4 0 + i Se z =, então o valor de i arcsen (Re(z)) + arctg( Im(z)) é igual a π π π a). b). c). π π d). e). I) z = + i i =. + i i + i = 0 0 π = cos + i. sen π II) Re(z) = cos = π III) Im(z) = sen = = + i + i + π π = cos + i. sen 0 = = + i π IV). arc sen (Re(z)) +. arc tg ( Im(z)) = =. arc sen +. arc tg () = π π π π π =. +. = + = 6 0 = 0 = Resposta: D ITA (º DIA) - DEZEMBRO/0

5 Seja C uma circunferência tangente simultaneamente às retas r : x + y = 0 e s: x + y 9 = 0. A área do círculo determinado por C é igual a π π π a). b). c). 7 8π 9π d). e). As retas r: x + y = 0 e s: x + y 9 = 0 são paralelas. A distância entre elas equivale ao diâmetro da circunferência que as tangencia. Assim: ( 9) R = = = R = + A área do círculo é π. R = π. = 9π Resposta: E ITA (º DIA) - DEZEMBRO/0

6 Seja (a, a, a,...) a sequência definida da seguinte forma: a =, a = e a n = a n + a n para n. Considere as afirmações a seguir: I. Existem três termos consecutivos, a p, a p+l, a p+, que, nesta ordem, formam uma progressão geométrica. II. a 7 é um número primo. III. Se n é múltiplo de, então a n é par. É (são) verdadeira( s) a) apenas II. b) apenas I e II. c) apenas I e III. d) apenas II e III. e) I, II e III. A sequência que satisfaz as condições dadas é a sequência de Fibonacci, a saber (; ; ; ; ; 8; ; ; ; ) I) Falsa, pois se existissem três termos dessa sequência em progressão geométrica, teríamos: a p + = q. a p e a p + = q. a p Como a p + = a p + + a p q. a p = q. a p + a p q ± q = 0 q =, que não é racional. Isto não é possível, pois os termos da sequência de Fibonacci são inteiros e não nulos. II) Verdadeira. O sétimo termo da sequência é a 7 =, que é primo. III) Verdadeira. Analisando a paridade dos termos da sequência, temos (ímpar, ímpar, par, ímpar, ímpar, par; ) Os termos a, a 6, a 9, serão todos pares e, portanto, se n é múltiplo de, a n é par. Resposta: D ITA (º DIA) - DEZEMBRO/0

7 6 a b Considere a equação =, com a e b x x / números inteiros positivos. Das afirmações: I. Se a = e b =, então x = 0 é uma solução da equação. II. Se x é solução da equação, então x, x e x. III. x = não pode ser solução da equação. É (são) verdadeira( s) a) apenas II. b) apenas I e II. c) apenas I e III. d) apenas II e III. e) I, II e III. a b a b = = x x x x I) Verdadeira. Para a = e b =, temos: (x ) ( x ) = = x x ( x ). (x ) (x ) ( x ) = ( x ). (x ), com x ± e x obtemos:. Simplificando a equação, 0x x 8x = 0 x(0x x 8) = 0 + x = 0, x = ou x = 0 0 II) Verdadeira. As condições de existência da equação exigem que x 0 e x 0 x ± e x Assim,, + e nunca serão soluções da equação dada. III) Verdadeira. Para que x = equação, devemos ter seja solução da ITA (º DIA) - DEZEMBRO/0

8 a 9a 6b = 9a 0b = (a 0b) = Sendo, a e b inteiros, a 0b é inteiro e. (a 0b) é múltiplo de. Porém, não é múltiplo de. Assim, não existem a e b inteiros para os quais x = Resposta: E b = seja solução da equação. 7 Considere o polinômio p dado por p(x) = x + ax + bx 6, com a, b. Sabendo-se que p admite raiz dupla e que é uma raiz de p, então o valor de b a é igual a a) 6. b). c) 6. d). e). O conjunto verdade da equação x + ax + bx 6 = 0 é {r; r; }, com r. Assim: 6 r. r. = = 8 r = ± r =, pois r. O polinômio p(x), na forma fatorada, é p(x) =. (x + )(x + )(x ) p(x) = x + x 8x 6 a = e b = 8 b a = Resposta: B ITA (º DIA) - DEZEMBRO/0

9 8 Seja p o polinômio dado por p(x) =, com a j, j = 0,,...,, e a 0. Sabendo-se que i é uma raiz de p e que p() =, então o resto da divisão de p pelo polinômio q, dado por q(x) = x x + x, é igual a a) x. b) x +. c) x +. d) x. e) x +. I) q(x) = x x + x = x (x ) + (x ) = = (x )(x + ) II) Se Q(x) e ax + bx + c forem o quociente e o resto da divisão de p(x) por q(x), então a j x j j = 0 p(x) ax + bx + c (x )(x + ) Q(x) p(i) = a. i + b. i + c p( i) = a. i + b( i) + c p() = a. + b. + c III) p(i) = p( i) = 0, pois i e i são raízes de p IV) p() = V) De (II), (III) e (IV), temos: a = b = 0 a + bi + c = 0 a bi + c = 0 a + b + c = R(x) = x + c = Resposta: B ITA (º DIA) - DEZEMBRO/0

10 9 Considere todos os triângulos retângulos com os lados medindo a, a e a. Dentre esses triângulos, o de maior hipotenusa tem seu menor ângulo, em radianos, igual a a) arctg. b) arctg. c) arctg. d) arctg. e) arctg. Seja o triângulo retângulo cujas medidas são a, a e a, cuja maior hipotenusa tem medida a, conforme a figura. A tangente do seu menor ângulo é dada por tg = a =, ou seja, = arc tg a Observação: Se a é hipotenusa, temos que: (a) = a + (a) e a = e, se a é hipotenusa, a = (a) + (a) e a = ; logo, a maior hipotenusa tem medida a. Resposta: C ITA (º DIA) - DEZEMBRO/0

11 0 Os valores de x [0, π] que satisfazem a equação sen x cos x = são a) arccos e π. b) arcsen e π. c) arcsen e π. d) arccos e π. e) arccos e π. sen x = + cos x sen x = + cos x + cos x ( cos x) = + cos x + cos x cos x = + cos x + cos x cos x + cos x = 0 cos x = ou cos x = x = arc cos ou x = π, pois x [0; π] Resposta: A ITA (º DIA) - DEZEMBRO/0

12 Sejam α e β números reais tais que α, β, α + β ]0, π[ e satisfazem as equações α α β β cos = cos + e cos = 7 cos + 7 Então, o menor valor de cos(α + β) é igual a a). b). c). d). e) 0. I) cos α =. cos α + Fazendo cos α = x, temos: x =. x + x x + = 0 x = ou x = Para x = cos α = cos α = ± α = n. π (n ) α = n. π (n ) Para x = cos α = cos α = ± α = ± π + n. π (n ) α = ± π + n. π (n ) Logo, α = π ou α = π, pois α ] 0; π [ II) cos β = 7. cos β + 7 Fazendo cos β = y, temos: y =. y + 7 y 7y + = 0 7 y = ou y = Para y = cos β = cos β = ± β = n. π (n ) β = n. π (n ) Para y = cos β = ITA (º DIA) - DEZEMBRO/0

13 cos β = ± β = ± π + n. π β = ± π 6 + n. π (n ) Logo, β = π, ou β = π, pois β ] 0; π [ III) O menor valor de cos (α + β) é obtido para α = π e β = π, pois α + β ] 0; π [ Portanto, cos (α + β) = cos + = cos = = π π 7π 6 Resposta: B ITA (º DIA) - DEZEMBRO/0

14 Seja A = (a ij ) x a matriz tal que a ij = i (j ), i. j. Considere as afirmações a seguir: I. Os elementos de cada linha i formam uma progressão aritmética de razão i. II. Os elementos de cada coluna j formam uma progres - são geométrica de razão. III. tr A é um número primo. É (são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas II e III. d) apenas I e III. e) I, II e III ) A = ) A ạ linha é uma PA de razão ; a ạ linha é uma PA de razão, a ạ linha é uma PA de razão ; a quarta linha de razão e a quinta de razão. Assim sendo, a afirmação (I) é verdadeira. ) A afirmação (II) é verdadeira, pois as cinco colunas são PG de razão. ) tr A = = 7, que é um nú - mero primo e portanto (III) também é verdadeira. Resposta: E ITA (º DIA) - DEZEMBRO/0

15 Considere a matriz M = (m ij ) x tal que m ij = j i +, i, j =,. Sabendo-se que n 0 k = det M k n =, então o valor de n é igual a a). b). c) 6. d) 7. e) 8. ( I) M = ) 0 ( M = ) (. ) ( = ( M = ) (. ) ( = ( M n = n ) 0 ) 6 ) II) M + M + M M n = ( = ) ( + ) ( + 6 ) ( + n ) ( = n n + n ) 0 0 n ( III) n 0 ) ( = n 0 ) n n n IV) ( M k n 0 ) = k = ( = n n + n ) ( n 0 ) ( = 0 0 n n n n n + n 0 ) n V) det M k n 0 = k = 0 n + n = n 0 n (n + n) = n (n + ) = 6. 7 n = 6 Resposta: C ITA (º DIA) - DEZEMBRO/0

16 Considere os pontos A = (0, ), B = (0,) e a reta r: x y + 6 = O. Das afirmações a seguir: I. d(a, r) = d(b, r). II. B é simétrico de A em relação à reta r. III. AB é base de um triângulo equilátero ABC, de vér - tice C = (, ) ou C = (, ). É (são) verdadeira( s) apenas a) I. b) II. c) I e II. d) I e III. e) II e III. (0;)B y r: x-y+6=0 C(- ;) C( ;) R - A(0;-) x I). 0 ( ) d(a;r) = = + ( ) d(b;r) = = + ( ) Assim, d(a; r) = d(b; r) e II) R (0; ) r é ponto médio de AB. Como AB não é perpendicular à reta r, B não é simétrico de A em relação à r. III) O triângulo ABC é equilátero de lado 6. Sua altura mede 6 = Assim, as coordenadas de C podem ser C( ; ) ou C( ; ) Resposta: D ITA (º DIA) - DEZEMBRO/0

17 Dados o ponto A = e a reta r : x + y = 0, 6 considere o triângulo de vértices ABC, cuja base BC está contida em r e a medida dos lados AB e AC é igual a. 6 Então, a área e o perímetro desse triângulo são, respecti - vamente, iguais a 0 0 a) e. b) e. c) e. 0 d) e. e) e., I) A altura do triângulo ABC, relativa à base BC, é dada por: AM = = = = II) No triângulo retângulo AMC, tem-se: (MC) = (AC) (AM) = = = MC = III) O triângulo ABC é isósceles, então: BC =. MC = IV) Área do triângulo ABC é: 0. BC. AM = = V) O perímetro do triângulo ABC é: 0 AB + AC + BC = + + = 6 6 Resposta: E ITA (º DIA) - DEZEMBRO/0

18 6 Considere as afirmações a seguir: I. O lugar geométrico do ponto médio de um segmento AB, com comprimento fixado, cujos extremos se deslocam livremente sobre os eixos coordenados é uma circunferência. II. O lugar geométrico dos pontos (x, y) tais que 6x + x y xy x xy = 0 é um conjunto finito no plano cartesiano. III. Os pontos (, ), (, ) e (, ) pertencem a uma circunferência. Destas, é (são) verdadeira( s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) I e II. e) I e III. I) Verdadeira. Sendo M(x; y) o ponto médio do segmento AB, de comprimento, com A (0; y) e B (x; 0), temos, no triângulo OAB, retângulo em O, que OA + OB = AB (y) + (x) = x + y =. Esta é a equação de uma circunferência com centro na origem e raio. II) Falsa, pois 6x + x y xy x xy = 0 x (6x + xy y x y) = 0 x. (x + y). (x y ) = 0 x = 0 ou x + y = 0 ou x y = 0, que são equações de três retas e, portanto, o lugar geométrico é infinito. ITA (º DIA) - DEZEMBRO/0

19 III) Falsa. Como = 0, os pontos (; ), (; ) e (; ) são colineares e, portanto, não pertencem a uma circunferência. Resposta: A 7 Seja ABCD um trapézio isósceles com base maior AB medindo, o lado AD medindo 9 e o ângulo A^DB reto. A distância entre o lado AB e o ponto E em que as diago - nais se cortam é 7 7 a). b). c). d). e) No triângulo retângulo ADB, temos: I) (BD) + (AD) = (AB) (BD) + 9 = BD = II) (AB). (DH) = (AD). (BD). DH = 9. 6 DH = III) (BD) = (AB)(BH) 8 =. BH BH = Sendo d a distância entre o lado AB e o ponto em que as diagonais se cortam, da semelhança dos triângulos BME e BHD, temos: EM BM d = = d = DH BH Resposta: E ITA (º DIA) - DEZEMBRO/0

20 8 Num triângulo PQR, considere os pontos M e N pertencentes aos lados PQ e PR, respectivamente, tais que o segmento MN seja tangente à circunferência inscrita ao triângulo PQR. Sabendo-se que o perímetro do triângulo PQR é e que a medida de QR é 0, então o perímetro do triângulo PMN é igual a a). b) 6. c) 8. d) 0. e). Sendo A, B e C os pontos em que os lados do triângulo tangenciam a circunferência inscrita e D o ponto em que o segmento MN tangencia a mesma circunfe - rência, temos: QA = QC I) QA + RB = QC + RC = 0 RB = RC II) PQ + QR + RP = PA + QA + QC + RC + RB + PB = PA PB = PA + PB = III) Como MA = MD e NB = ND, o perímetro do triângulo PMN é dado por: PM + MN + NP = PM + MD + ND + NP = = PM + MA + NB + NP = PA + PB = Resposta: A ITA (º DIA) - DEZEMBRO/0

21 9 Considere uma circunferência C, no primeiro quadrante, tangente ao eixo Ox e à reta r : x y = 0. Sabendo-se que a potência do ponto O = (0, 0) em relação a essa circunferência é igual a, então o centro e o raio de C são, respectivamente, iguais a a) (, ) e. c) (, ) e. b), e. d) (, ) e. e) (, ) e. y r: x - y = 0 T R A R C 0 x = A x I) Se a potência do ponto O (0;0) em relação à cir - cunferência é, então, OT = OT =, assim, o centro A da circunferência tem coordenadas A(;R). II) A distância do ponto A à reta r equivale ao raio R da circunferência, então x A y A R R = R = + ( ). R = R R = R + R R + R = 0 R =, pois R > 0 Portanto, o centro é (; ) e o raio é. Resposta: A ITA (º DIA) - DEZEMBRO/0

22 0 Uma taça em forma de cone circular reto contém um certo volume de um líquido cuja superfície dista h do vértice do cone. Adicionando-se um volume idêntico de líquido na taça, a superfície do líquido, em relação à original, subirá de a) h. b). c) ( ) h. d) h. e) h. Sendo H a distância da superfície do líquido até o vértice após adicionar-se o volume idêntico de líquido na taça, v o volume de líquido inicial e V o volume de líquido final, temos: v V =. v e = V h = H = h. H v = v Assim, a superfície do líquido, em relação à original, subirá de H h = h. h =. h Observação: É importante destacar que ao adicionar um volume idêntico de líquido na taça, não pode haver transbordamento. Resposta: C h H h H ITA (º DIA) - DEZEMBRO/0

23 As questões dissertativas, numeradas de a 0, devem ser resolvidas e respondidas no caderno de soluções. Considere as funções f, f, f:, sendo f (x) = x +, f (x) = x + e f(x) igual ao maior valor entre f (x) e f (x), para cada x. Determine: a) Todos os x tais que f (x) = f (x). b) O menor valor assumido pela função f. c) Todas as soluções da equação f (x) =. a) f (x) = f (x) x + = x + x + 6 = x + a.) Para x, temos que x + 6 = x + x + 6 = ( x ) x = a.) Para x 0, temos que x + 6 = x + x + 6 = (x + ) x =, que não pertence ao intervalo [ ; 0] a.) Para x 0, temos que x + 6 = x + x + 6 = (x + ) x = 9 ITA (º DIA) - DEZEMBRO/0

24 b) Os gráficos de f, f e f estão representados no plano cartesiano seguinte. Assim, o menor valor de f é. c) A função f f ica assim definida f(x) = Assim: x + = x + = 7 x = (pois x = não pertence ao i n t e r v a l o considerado) 9. x +, para x ou x 9. x +, para x 0 x + = x = x = (pois x = não pertence ao intervalo considerado) 9 Respostas: a) x = e x = b) f mín (x) = c) x = ou x = 7 ITA (º DIA) - DEZEMBRO/0

25 Considere o polinômio p dado por p(z) = 8z + β z 7z β, em que β é um número real. a) Determine todos os valores de β sabendo-se que p tem uma raiz de módulo igual a e parte imaginária não nula. b) Para cada um dos valores de β obtidos em a), determine todas as raízes do polinômio p. I) Se {a + bi; a bi; r} for o conjunto solução da equação 8z + βz 7z β = 0, com a + b = e b 0, então (a + bi) (a bi) r = β (a + b β ). r = 8 8 r = β, pois a + b = 8 II) Se β for raiz da equação, então: 8 8. β + β. β 7. β = 0 8 β 8 8 β. (β + β 6 ) = 0 β. ( β 0) = 0 β = 0 ou β = ± β = 0 ou β = ou β = III) Se β = 0, a equação será 8z 7z = 0 z = 0 ou 7 z = ± e assim β não pode ser zero, 8 pois, neste caso, a equação não teria uma raiz igual a a + bi com b 0 IV) Se β =, então a equação será 8z + z 7z = 0 8. z z 8 8. (8z + 0z + 8) = 0. (9z + z + 9) = 0 z = ± 99 i ou z = 8 8 z = ± i ou z = 6 6 V) Se β =, então a equação será 8z z 7z + = 0 ITA (º DIA) - DEZEMBRO/0

26 8. z + z (8z 0z + 8) = 0 = 0 ou 8z 0z + 8 = 0 z = 6 ou 9z z + 9 = 0 z = ou z = ± 99 i z = ou z= ± i 6 Respostas: a) β = ou β = b) Se β =, o conjunto solução é: ; ; + i i Se β =, o conjunto solução é: + i i ; ; ITA (º DIA) - DEZEMBRO/0

27 Sabe-se que, B, C, D e E são cinco números reais que satisfazem às propriedades: i) B, C, D, E são dois a dois distintos; ii) os números, B, C, e os números, C, E, estão, nesta ordem, em progressão aritmética; iii) os números B, C, D, E, estão, nesta ordem, em progressão geométrica. Determine B, C, D, E. I) Se (; B; C) estão em PA, então B = E + II) Se (; C; E) estão em PA, então C = E = C III) (B, C, D, E) estão em PG cuja razão é C C C q = = = B C + C + IV) E = C. q C C = C. C + C C + = 0 (C ). (C C ) = 0 C = ou C = V) Para C =, resulta B =, que não convém, pois B e C são distintos. VI) Para C =, tem-se: + C + B = = = ; C C D = C. q = C. = = C + C +. = = = e + E = C =. = C + Resposta: B = ; C = ; D = e E = ITA (º DIA) - DEZEMBRO/0

28 Seja M dado por M = { z + az : z e z = }, com a. Determine o maior elemento de M em função de a. Seja z = x + yi, com x e y reais, e z = I) z = x + y = y = x II) z + az = (x + yi) + a. (x + yi) = = (x + ax y ) + (xy + ay) i = = [x + ax ( x ) ] + y (x + a) i = = (x + ax ) + y (x + a) i III) z + az = (x + ax ) + y (x + a) = = (x + ax ) + ( x ) (x + ax + a ) = = x + a x + + ax 8x ax + x + ax + + a x ax a x z + az = x + a + z + az = x +a + Como o gráfico da função f(x) = x + a + é do tipo a + - a + 0 a + O maior valor da função f é a + e, portanto, o maior valor de z + az é a +. Resposta: a + ITA (º DIA) - DEZEMBRO/0

29 Seja S o conjunto de todos os polinômios de grau que têm três dos seus coeficientes iguais a e os outros dois iguais a. a) Determine o número de elementos de S. b) Determine o subconjunto de S formado pelos polinô - mios que têm como uma de suas raízes. a) O número de elementos de S é dado pelas permutações (com repetição) dos elementos,, (,, e, resultando igual a P )! = = 0!! b) Sendo P(x) = ax + bx + cx + dx + e, devemos ter P( ) = 0 a b + c d + e = 0 a + c + e = b + d Nas condições enunciadas, tem-se: b = d = b = d = b = d = a = ou a = ou a = c = c = c = e = e = e = Respostas: a) 0 b) Os polinômios são: P (x) = x + x + x + x + P (x) = x + x + x + x + P (x) = x + x + x + x + ITA (º DIA) - DEZEMBRO/0

30 6 Três pessoas, aqui designadas por A, B e C, realizam o seguinte experimento: A recebe um cartão em branco e nele assinala o sinal + ou o sinal, passando em seguida a B, que mantém ou troca o sinal marcado por A e repassa o cartão a C. Este, por sua vez, também opta por manter ou trocar o sinal do cartão. Sendo de / a probabilidade de A escrever o sinal + e de / as respectivas probabilidades de B e C trocarem o sinal recebido, de - termine a probabilidade de A haver escrito o sinal + sa - ben do-se ter sido este o sinal ao término do experimento. São dadas as seguintes probabilidades: ) De A assinalar + : ) De A assinalar : ) De B manter o sinal: ) De B trocar o sinal: ) De C manter o sinal: 6) De C trocar o sinal: ITA (º DIA) - DEZEMBRO/0

31 Todas as possibilidades do experimento estão descritas na tabela a seguir. A B C probabilidade = 7.. = 7.. = 7.. = 7.. = = 7.. = 7.. = 7 A probabilidade de A haver escrito o sinal +, sabendose ter sido este o sinal ao término do experimento, é p = = Resposta: ITA (º DIA) - DEZEMBRO/0

32 7 Seja n um inteiro positivo tal que π sen =. n a) Determine n. π b) Determine sen. x cos x a) Lembrando que sen =, en - π cos π n tão, sen =, assim, se n π sen =, deve-se ter: n π cos n π = = cos n π π cos = cos = n = 6 n n π b) Para n = 6, tem-se sen =, assim: I) cos π + = = π + cos = = + π cos π II) sen = = + = + Respostas: a) 6 + b) ITA (º DIA) - DEZEMBRO/0

33 8 Sejam α e β números reais não nulos. Determine os valores de b, c, d, bem como a relação entre α e β para que ambos os sistemas lineares S e T a seguir sejam compatíveis indeterminados. x + by = α cx + y = α S cx + y = β T x + dy = β x + by = α ) Para que o sistema S cx + y = β seja compatível indeterminado, as características b α das matrizes MI = e MC = c c β deverão ser iguais a. ) De modo análogo para que o sistema T cx + y = α x + dy = β seja compatível indeterminado, c as matrizes MI = e MC = d c α β também deverão ter características iguais a. ) Assim: c c c c b α β d α β = 0 bc = (I) = 0 cα = β (II) = 0 cd = (III) = 0 cβ = α (IV) Das equações (II) e (IV), temos: cα. cβ = β. α c = 8 c = ± Substituindo nas equações (I) e (III), temos: b. (± ) = b = ± ( ± ). d = d = ± ITA (º DIA) - DEZEMBRO/0

34 Na equação (II), conclui-se: ( ± ). α = β α = ± β Respostas: As trincas (b; c; d) possíveis são ; ; ou 9 ; ; As relações entre α e β são α = ± Sabe-se que a equação x + xy y x + 8y 6 = 0 representa a reunião de duas retas concorrentes, r e s, formando um ângulo agudo. Determine a tangente de. I) x + xy y x + 8y 6 = 0 ( x y + ). ( x + y ) = 0 x y + = 0 ou x + y = 0 β II) Se r for a reta de equação x y + = 0, o coeficiente angular de r será m r = III) Se s for a reta de equação x + y = 0, o coeficiente angular de s será m s =. IV) O ângulo agudo θ formado pelas retas r e s é tal que: m tg θ = r m s = = + m r. m s +. 7 = = 7 Resposta: 7 ITA (º DIA) - DEZEMBRO/0

35 0 Na construção de um tetraedro, dobra-se uma folha retangular de papel, com lados de cm e cm, ao longo de uma de suas diagonais, de modo que essas duas partes da folha formem um ângulo reto e constituam duas faces do tetraedro. Numa segunda etapa, de maneira adequada, completa-se com outro papel as faces restantes para formar o tetraedro. Obtenha as medidas das arestas do tetraedro. A B H C D Todas as dimensões lineares a seguir estão em centímetros. Sejam α e β dois planos perpendiculares e ABCD um retângulo de papel com AB = cm e BC = cm. Dobrando-se o retângulo de papel de acordo com o enunciado, obteremos a figura acima. I) No triângulo retângulo ABD, temos: (BD) = (AB) + (AD) (BD) = + BD =, (BD). (AH) = (AB). (AD). (AH) =. AH = BH = 9 e (AB) = (BD). (BH) =. BH II) No triângulo retângulo BCD, temos: cos C^BD = III) Aplicando-se a lei dos cossenos no triângulo BHC, temos: (CH) = (BH) + (BC). (BH). (BC). cos C^BD (CH) = = ITA (º DIA) - DEZEMBRO/0

36 III) Aplicando-se o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo AHC, temos: (AC) = (AH) + (CH) (AC) = 9 + AC = 7 Resposta: O tetraedro tem duas arestas que medem cm, duas arestas que medem cm, uma aresta que mede cm e uma aresta que mede 7 cm. ITA (º DIA) - DEZEMBRO/0

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