1 Módulo ou norma de um vetor

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Ana Lívia Mota Gomes
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1 Álgebra Linear I - Aula Roteiro 1 Módulo ou norma de um vetor A norma ou módulo do vetor ū = (u 1, u 2, u 3 ) de R 3 é ū = u u2 2 + u2 3. Geometricamente a fórmula significa que o módulo do vetor ū é o comprimento do segmento OU, onde 0 é a origem é U é o ponto de R 3 de coordenadas (u 1, u 2, u 3 ). O módulo de um vetor do plano R 2 é definida de forma análoga e tem o mesmo significado geométrico. Oberve que se verifica a seguinte relação entre módulo e produto escalar: ū 2 = ū ū. Temos as seguintes oropriedades do módulo de um vetor: u = 0 se, e somente se, u = 0, Desigualdade triangular: u+v u + v, (interpretação geométrica: dado um triângulo a soma dos comprimentos de dois lados do mesmo é major que o comprimento do terceiro lado), λ R, λ v = λ v. A primeira e a terceira propriedade são simples e ficam como exercício. Vejamos a desigualdade triangular no caso (simplificado) ū = (u 1, 0) e = (v 1, v 2 ). Observe que a desigualdade triangular é equivalente a ( u + v ) 2 = (u + v) (u + v) ( u + v ) 2 = u 2 + v u v. Desenvolvendo o primeiro termo da desigualdade temos: (u + v) (u + v) = u u + 2 u v + v v = u 2 + v u v. 1

O módulo de um vetor do plano R 2 é definida de forma análoga e tem o mesmo significado geométrico. Oberve que se verifica a seguinte relação entre módulo e produto escalar: ū 2 = ū ū.

2 Desenvolvendo o segundo termo: ( u + v ) 2 = u 2 + v u v. Portanto, a desigualdade triangular é equivalente a: ou seja, u 2 + v u v u 2 + v u v, u v u v. Usando que u = (u 1, 0) e v = (v 1, v 2 ), temos que a desigualdade triangular é equivalente a u 1 v 1 u 2 1 v1 2 + v2 2. Mas esta desigualdade é sempre verdadeira pois u 2 1 u 1 e v1 2 + v2 2 v 1. Não faremos a prova da desigualdade triangular no caso geral, apenas justificaremos a simplificação com uma figura e um breve comentário. Considere os pontos U = (u 1, u 2 ), V = (v 1, v 2 ) e a origem 0 = (0, 0) que determinam um triângulo. Queremos provar que o comprimento do lado UV é menor que a soma dos comprimentos dos lados 0U e 0V (este é exatamente o significado da desigualdade triangular). Para ver isto é suficiente girar o triângulo obtendo um novo triângulo de vértices 0, U e V cujos lados têm os mesmos comprimentos e de forma que o lado 0U agora é paralelo ao eixo X, isto é, o vetor u é da forma (u 1, 0). Observe que ū + = ū + se, e somente se, = k ū onde k é um número real positivo. Em vista dos comentários anteriores e como u 1 v 1 u 1 v 1 a igualdade se tem quando u 2 1 = u 1 e v v 2 2 = v 1 (ou seja v 2 = 0) e u 1 v 1 = u 1 v 1, (ou seja u 1 e v 1 têm o mesmo sinal). 2

Não faremos a prova da desigualdade triangular no caso geral, apenas justificaremos a simplificação com uma figura e um breve comentário.

3 V PSfrag replacements U V U Figura 1: Desigualdade triangular 1.1 Vetores unitários Um vetor é unitário quando seu módulo é igual a 1. 1 A cada vetor ū não nulo associamos o vetor u ū que, por definição tem módulo 1, e tem a mesma direção e sentido que o vetor ū. Exemplo: Vetores unitários na circunferência trigonométrica de R 2 : são os vetores da forma (cos t, sin t) onde t [0, 2π]. De fato, em R 2 todos os vetores unitários são da forma (cos t, sin t). 2 Produto escalar Considere dois vetores ū = (u 1, u 2, u 3 ) e = (v 1, v 2, v 3 ) de R 3. O produto escalar de u e v é definido da seguinte forma: ū = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3. A definição para vetores do plano é similar. As principais propriedades do produto escalar (todas de simples verificação) são: comutativo: ū = ū, distributivo: (ū + w) = ū + w, λ R, (λ ū) = λ (ū ). 3

Exemplo: Vetores unitários na circunferência trigonométrica de R 2 : são os vetores da forma (cos t, sin t) onde t [0, 2π]. De fato, em R 2 todos os vetores unitários são da forma (cos t, sin t).

4 ū ū ū PSfrag replacements x 2 + y 2 = 1 Figura 2: Vetores unitários associados (no plano) ū ū = 0 se, e somente se, ū = 0. Observe que ū 2 = ū ū. 2.1 Produto escalar e ângulos Os vetores ū e (não nulos) são ortogonais se verificam ū = 0. Veremos a seguir que a noção de vetores ortogonais corresponde a noção de perpendicularidade. Suponha que ū = (u 1, u 2 ) e = (v 1, v 2 ). Considere os pontos A = (u 1, u 2 ) e B = (v 1, v 2 ). Afirmação: os vetores ū e são ortogonais (ū = 0) se, e somente se, o triângulo de vértices 0 (a origem), A e B é retângulo. (Veja a figura). O triângulo OAB é retângulo se, e somente se, (pelo teorema de de Pitágoras) d(a, B) 2 = d(0, A) 2 + d(0, B) 2. Observe que Como d(a, B) = ū, d(0, A) = ū, d(0, B) =. ū 2 = (ū ) (ū ), ū 2 = ū ū, 2 =, 4

Afirmação: os vetores ū e são ortogonais (ū = 0) se, e somente se, o triângulo de vértices 0 (a origem), A e B é retângulo. (Veja a figura).

5 PSfrag replacements sin θ r = 1 θ cos θ Figura 3: Vetores unitários na circunferência trigonométrica PSfrag replacements L A ū B Figura 4: Ortogonalidade a igualdade anterior é equivalente a: (ū ) (ū ) = ū ū +. Usando as propriedades do produto escalar e simplificando, obtemos, 2 (ū ) = 0. Ou seja, o triângulo é retângulo se, e somente se, ū = 0, como queremos provar. A seguir veremos uma fórmula que relaciona produto escalar e ângulos e que imediatamente implica o resultado anterior. O produto escalar de ū e também é dado pela fórmula ū = ū cos α, 5

Usando as propriedades do produto escalar e simplificando, obtemos, 2 (ū ) = 0.

6 onde α é o ângulo formado por ū e. Provaremos a afirmação para vetores do plano. Suponhamos primeiro que os vetores são unitários. Pelos comentários acima, temos ū = (cos φ, sin φ), = (cos θ, sin θ). Logo ū = cos φ cos θ + sin φ sin θ = cos(φ θ) = cos α. O que termina o caso em que os vetores são unitários. No caso geral, escrevemos ū = ū ē e = f, onde ē e f são vetores unitários. Aplicando as propriedades do produto escalar, ū = ( ū ē) ( f) = ( ū ) (ē f). Agora é suficiente observar que ē f é o coseno do ângulo entre ē e f que é igual ao ângulo entre ū e. Os argumentos acima fornecem o seguinte: o ângulo α entre dois vetores é dado pela fórmula cos α = ū ū. A fórmula anterior implica que se ū = 0 então os vetores são ortogonais: ū cosθ = 0, onde θ é o ângulo formado por ū e, logo, como ū 0, cos θ = 0, e, portanto, θ = π/2 ou 3π/2. Exemplo: Considere os vetores ū = (2, k) e = (3, 5). Determine k para que os vetores sejam ortogonais e para que formem um ângulo de π/4. Para que os vetores sejam ortogonais devemos ter a relação ū = 0 = k = 0, logo k = (6/5). Para que os vetores formem um ângulo de π/4 devemos ter a relação ū = k = k 2 ( 2/2). Agora é suficiente resolver a equação de segundo grau. Exemplo: Calcule o ângulo entre a diagonal de um cubo e suas arestas. Consideraremos o cubo com arestas paralelas aos eixos coordenados. Sejam a origem (0, 0, 0) e os pontos (k, 0, 0), (0, k, 0) e (0, 0, k) quatro vértices do cubo (faça um desenho). Considere agora o vetor diagonal, isto é, o vetor d obtido considerando a origem e o vértice oposto (k, k, k). Então, o ângulo 6

Aplicando as propriedades do produto escalar, ū = ( ū ē) ( f) = ( ū ) (ē f). Agora é suficiente observar que ē f é o coseno do ângulo entre ē e f que é igual ao ângulo entre ū e.

7 θ entre o vetor diagonal e a aresta (por exemplo) u x = (k, 0, 0) é obtido como segue: d ū x = (k, k, k) (k, 0, 0) = d ū x cos θ, k 2 = 3 k 2 k cos θ, Logo, cos θ = 1/ 3, e θ = arccos(1/ 3), onde escolhemos a determinação do arccos em (0, π). Os ângulos com as outras arestas são iguais. 3 A desigualdade triangular (novamente) Usando as fórmulas do produto escalar podemos obter novamente a a desigualdade triangular: ū + ū +. Observe que é suficiente provar Temos ( ū + ) 2 ( ū + ) 2. ( ū + ) 2 = (ū + ) (ū + ) = ū ū + 2, ( ū + ) 2 = ū ū + 2. Portanto, para provar a desigualdade é suficiente observar que ū = ū cos α ū, onde α é o ângulo entre os vetores. Observe que se verifica ū + = ū + se, e somente se, ū = ū cos α = ū, ou seja, α = 0. Logo ū = λ para λ 0. Exemplo: Mostre a identidade: É suficiente observar que: ū ū 2 = 2 ( ū ). ū + 2 = (ū + ) (ū + ) = ū u v, ū 2 = (ū ) (ū ) = ū u v. Somando as duas expressões obtemos, obtendo o resultado pretendido. ū ū 2 = 2 ū , 7

3 A desigualdade triangular (novamente) Usando as fórmulas do produto escalar podemos obter novamente a a desigualdade triangular: ū + ū +. Observe que é suficiente provar Temos ( ū + ) 2 ( ū + ) 2.

8 4 Projeção ortogonal em um vetor A projeção ortogonal do vetor no vetor ū é um novo vetor (paralelo ao vetor ) definido como: ( ū ) π u () = ū. ū ū Interpretação geométrica da projeção ortogonal: o vetor π u () é a componente vetorial do vetor ū na direção ū. Dito de outra forma, o vetor é a soma da sua projeção ortogunal no vetor ū e um vetor ortogonal a ū (veja o comentário a seguir). PSfrag replacements ū π u () π u () ū Figura 5: Projeção ortogonal Comentário: O vetor ( π u ()) é ortogonal a ū. Para comprovar isto é suficiente calcular o produto escalar ū ( π u ()) e ver que é nulo: ū ( π u ()) = ū ū ū ū = ū ū = 0. ū ū Exemplo: Estude se é possível ter dois vetores diferentes ū e tai que π u () = π v (ū). Observe primeiro que se os vetores são ortogonais, isto é, ū = 0, então π u () = π v (ū) = 0, e a resposta é afirmativa. Vejamos agora que se os vetores não são ortogonais a resposta é negativa. Em primeiro lugar, os vetores devem ser paralelos (justifique!). Logo = λ ū para algum λ. Portanto, usando as fórmulas das projeções, temos, π u () = ū ū ū ū = λ u 2 u ū = λ ū =. 2 8

Dito de outra forma, o vetor é a soma da sua projeção ortogunal no vetor ū e um vetor ortogonal a ū (veja o comentário a seguir).

9 Analogamente, π v (ū) = ū λ u 2 = λ 2 u λ ū = ū. 2 Logo a única possibilidade é ū =, logo a resposta é negativa. Em resumo, π u () = π v (ū) se e somente ū = 0 ou ū =. 9

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