Resolução dos Exercícios sobre Derivadas

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1 Resolução dos Eercícios sobre Derivadas Eercício Utilizando a idéia do eemplo anterior, encontre a reta tangente à curva nos pontos onde e Vamos determinar a reta tangente à curva nos pontos de abscissas e (i) : Considere a reta secante passando pelos pontos (, ) e ( h, h ) com h suficientemente pequeno A h equação dessa reta secante é dada por ( ) Quando h se aproima de, o ponto ( h, h ) se h aproima de (,) e a reta secante de equação h tende à reta de equação Dessa forma, temos que a reta de equação é a reta tangente à curva no ponto (, ) (ii) : Considere a reta secante passando por P (, ) e Q( + h,( + h) ) Q( + h, + h h + h ), com h suficientemente pequeno A equação da reta secante por P e Q é dada por ( + h h + h ) ( ) ( ) ( ( )) ( h+ h )( + ) + h ( ) Quando h tende a, o ponto Q se aproima de P, e a reta secante de equação + ( h+ h )( + ) se aproima da reta de equação + ( + ) Assim, a reta de equação + é a reta tangente à curva no ponto (, ) Eercício Encontre a equação da reta tangente à curva f( ) no ponto P, sendo a função f dada por: a) f( ) ; P, b) f( ) + + ; P (, ) a) Considere a reta secante passando por + h P, e Q + h, Q(, ), + h + h com h suficientemente pequeno A equação da reta secante por P e Q é dada por 4h + h + h 4 ( ) ( ) ( ) + h h + h Quando h tende a, o ponto Q se aproima de P, e a reta secante de equação 4 ( ) se aproima + h da reta de equação 4( ) Assim, a reta de equação é a reta tangente à curva no ponto P, b) Considere a reta secante passando por P (, ) e Q( + h,( + h) + ( + h) + ) Q( + h,( h+ h ) + h + ) Q( + h,h h + ) com h suficientemente pequeno A equação da reta secante por P e Q é dada por

2 ( h h ) + () ( ( )) (h )( + ) + h ( ) Quando h tende a, o ponto Q se aproima de P, e a reta secante de equação (h )( + ) se aproima da reta de equação ( + ) Assim, a reta de equação é a reta tangente à curva + + no ponto P (, ) Eercício Se f( ) /, encontre a derivada de f, usando a definição, e determine o domínio de f ' a Temos por definição que f '( a) lim Fazendo a substituição t e a b ficamos a a ( ) com '( ) lim t b ( ) lim t b t + b ( t b) ( t + b ) ( t b) ( t + b ) f a lim lim t b t b ( ) ( t b t b t + b ) t b ( t b ) t b ( t b) ( t + bt + b ) ( t + b ) b lim b ( a ) a, a t b ( t + bt + b ) b Dessa forma, Dom f ' {} 4 + Eercício 4 Se f( ), encontre a derivada de f, usando a definição, e determine o domínio de f ' 5 Temos por definição que a 5 5 a ( 4+ )( 5 a) ( 4+ a)( 5 ) f '( a) lim lim a a a ( a)( 5 )( 5 a) ( + ) ( + ) a 5 4 a a 5 a 4 9( a lim lim ) lim 9 9, a ( )( 5 )( 5 ) a( )( 5 )( 5 ) a 5 5 a 5 a a 5 Dessa forma, Dom f ' {5} a a a a ( )( ) ( ) Eercício 5 Use regras de derivação para calcular a derivada das seguintes funções: 6 5 a) f ( ) 5+ + ; b) g ( ) + + 7; 5 c) ht () ( t t )( t + r + ); d) f( r) r r 5 a) f '( ) + 8 ; 5 b) Escrevemos g ( ) + ( ) Assim, g'( ) c) h'( t) (t )( t ) + ( t t + )(5 t ) t + 9t 4t + 5t ( r + ) r 6( rr r) (+ r )(r ) r r + d) f '( r) ( r r) r ( r ) r ( r ) Eercício 6 Utilizando as regras de derivação, calcule ', onde a) tg ; b) cotg ; c) sec ; d) cossec ; sen e) ; f) cos ; g) sen

3 sen coscos sen ( sen ) a) tg, então, ' sec ; cos cos cos cos (sen )sen cos (cos ) b) cotg, então, ' cossec ; sen sen sen ( sen ) sen c) sec, então ' tg sec ; cos cos cos cos cos cos d) cossec, então ' cotg cossec ; sen sen sen sen cos sen cos sen e) ' ; ( ) f) ' cos + ( sen ) cos sen ; g) sen sen,então, ' cossen + sen cos sen cos Eercício 7 Calcule a derivada das funções definidas a seguir: ( ) ( ) a) f + b) f ( ) cos ( ) c) h ( ) cos( ) sen d) f ( ) tg + tg e) h ( ) f) f( ) ( + 5 ) ( + sen ) g) f ( ) ( )cos h) g( ) tg(5 ) i) f( ) cos ( ) j) f( ) sen 7 cos (( ) ) 5/ 6 /5 ( + 4) t + l) g ( ) m) f( ) sen ( ) /5 4 ( + ) t 4t Em todas os cálculos das derivadas usaremos a regra da cadeia e as regras de derivação a) ( ) 4 f ( + ) ( + ), então f '( ) ( + ) ( ) ( + ) ; b) f '( ) cos ( )( sen( ))( ) 4cos( )sen( ); c) h'( ) sen ( ) (( )( )) 4 ( )sen( ) ; d) Utilizando também o item a do eercício 6, sen cos sen sen (sen cos ) e) h'( ) ; 5 6 /5 5 9 (4 + 5 ) f) f '( ) ( + 5 ) ( + 5 ) 5 5 ( + 5 ) g) f '( ) tg sec + sec ; 6 /5 f '( ) ( + )cos + ( )( sen ) ( + )cos ( )sen; h) Utilizando também o item a do eercício 6, ; g '( ) ( )sec (5 ) ; 9 9 ( + sen ) (+ cos )cos ( + sen ) (cos )( sen ) i) f '( ) cos 9 9 ( + sen ) cos (cos + cos + sen + sen ) ; cos 6 9 j) f ( ( ))( )( ) 4( + ) 9 ( sen( + ) ) sen 6 cos (( + ) ) ; '( ) 7sen cos ( + ) sen( + ) ( + ) ( )

4 5 / /5 5/ /5 ( + 4) ( )( + ) ( + 4) ( + ) ( ) l) g'( ) 5 6/5 ( + ) m) 9 ( + 4) ( + ) ( + 4) ( + ) 5 65 ( + ) ( + 4) ( + ) (5 7 58) ; 5 5( + ) 4 4 t ( t 4 t) t(4t 4) 6t t f '( ) cos cos t 4 t ( t 4 t) ( t 4 t) t 4t ( + 4) ( + ) ( + ) Eercício 8 Encontre a derivada das funções f ( ) arccos e g( ) arctg i) Derivada da função f ( ) arccos Dada a função f ( ) arccos, vamos encontrar sua derivada f '( ) A função cos é injetora em [, π ] e, portanto, possui inversa f :[,] [, π ] dada por f ( ) arccos Assim, para qualquer (, ) temos d f ( ) d d cos sen d Da Identidade Fundamental da Trigonometria, segue que sen cos Como [, π ], temos que sen Logo, sen Assim, f '( ), (,) Podemos sen memorizar esse resultado: d arccos ; d ii) Derivada da função g( ) arctg Dada a função g( ) arctg, vamos encontrar sua derivada g '( ) A π π π π função tg é injetora em, e, portanto, possui inversa g :(, + ), dada por g( ) arctg Assim, para qualquer temos d g ( ) d d tg sec d Mas, sec + tg + Assim, g'( ), Podemos memorizar esse sec + resultado: d arctg d + Eercício 9 A função f ( ) 9 é crescente para < Se g é a função inversa de f neste intervalo, encontre g '() As raízes da equação <, segue que f( ) g() Como 9 são, e Como por hipótese g é a função inversa de f para f '( ) 9, f '( ) 8 Por definição de inversa,

5 ( g f )( ) em (, g'() g'( f( )) f '( ) 8 e pela regra da cadeia, temos g'( f( )) f '( ), ou seja, Eercício A função f ( ) 9 é decrescente para < < Se h é a função inversa de f neste intervalo, encontre h '() Como por hipótese h é a função inversa de f em < <, a raiz da equação 9 que interessa nesse caso é Assim, f () e como f '( ) 9, f '() 9 Por definição de inversa, ( g f )( ),, e pela regra da cadeia g'( f( )) f '( ), ou seja, g'() g'( f()) f '() 9 9 Eercício A função encontre g '() f ( ) 9 é crescente para > Se g é a função inversa de f neste intervalo, Como por hipótese g é a função inversa de f em >, a raiz da equação 9 que interessa nesse caso é Assim, f () e como f '( ) 9, f '() 8 Por definição de inversa, ( g f )( ),, + ) e pela regra da cadeia g'( f( )) f '( ), ou seja, g'() g'( f()) f '() 8 Eercício Calcular d d para as equações a seguir : a) ; b) (5 + ) sen 9 5 d 4 d d 5 a) Derivando ambos os lados da equação em relação a, obtemos + 6, ou seja, d d d d 5 d 6 ( + ) 6 Portanto, 5 4 d d +, quando b) Derivando ambos os lados da equação em relação a, obtemos (5 ) (5 d d + + ) sen cos 9 d d Assim, 5(5 ) 6(5 ) d d sen cos 9 d d d ( 6(5 + ) sen ) 9 5(5 + ) + cos Portanto, d 6(5 + ) sen d 9 5(5 + ) + cos, quando d 6(5 + ) sen Eercício Determine os máimos e mínimos absolutos das seguintes funções, nos intervalos indicados: a) 4 f ( ), [, ] ; b) 4 f ( ), [, ] ; c) 4 f ( ) +,,

6 4 a) Verifiquemos a eistência de etremos absolutos da função f ( ) no intervalo [, ] Como a função f é polinomial, a função é contínua em e, portanto, contínua em [, ] Logo, f admite máimo e mínimo absolutos em [, ] Devemos inicialmente encontrar os pontos críticos de f, Como f '( ) 4 6 f '( ) ( ), ou seja, f '( ) ou, [, ], temos dois pontos críticos e Como f ( ), f (), f ( ) 6 6 e f (), segue que, f( ) < f() f() < f( ) e, assim, f no intervalo [, ], assume mínimo absoluto em e máimo absoluto em b) Utilizando o item a, temos que o único ponto crítico de f no intervalo [,] é Temos também que f () Portanto, f() < f() < f( ), e assim, f no intervalo [,] assume mínimo absoluto em e máimo absoluto em 4 c) f ( ) +,, Verifiquemos a eistência de etremos absolutos da função 4 f ( ) + no intervalo, Como a função f é a soma de uma racional com uma polinomial e,, a função é contínua em, Logo, f admite máimo e mínimo absolutos Devemos inicialmente encontrar os pontos críticos de f, 4 4 f '( ) + f '( ) ou Como,, o único ponto crítico de f em, é Temos que 7 f f () Portanto, f() < f() < f e, assim, f no intervalo, e máimo absoluto em ; f () 4 e, assume mínimo absoluto em π Eercício 4 Dada a função f ( ) sen, calcule f '"( ) f '( ) sen + cos f "( ) cos + cos sen cos sen Assim, f "'( ) sen sen + cos sen + cos π π π π π Para, temos f "' sen + cos Eercício 5 Dadas as funções f a seguir, determine os máimos e mínimos relativos e absolutos de f, caso eistam, e determine quais os valores de onde eles ocorrem Utilize o teste da derivada primeira ou derivada segunda a) f ( ) 9 ; 4 b) f( ) ( + 5) ; c) f( ) ( + ) ; / / d) f( ) a) Vamos encontrar os etremos locais da função f ( ) 9 Como f é uma função polinomial, f é contínua e derivável em Como f '( ) 9, tem-se que f '( ) ou Os pontos críticos de f determinam na reta real três intervalos: (, ), (, ) e (, + ) Como a função f ' é

7 contínua em, o sinal de f ' em cada um destes intervalos não muda e, por isso, pode ser determinado avaliando f ' em um ponto qualquer de cada intervalo Escolhamos, por eemplo, os pontos, e que pertencem, respectivamente, aos intervalos (, ), (, ) e (, + ) Temos f '( ) 4 9 > ; f '() 9 9 < e f '() 4 9 > Pelo teste da primeira derivada concluímos que em f assume valor máimo local, dado por f ( ) 6 e em f assume valor mínimo local, dado por f ( ) 6 b) Vamos encontrar os etremos locais da função f( ) ( + 5) Como f é uma função polinomial, f é contínua e derivável em Como f '( ) 4( + 5), tem-se que f '( ) 5 O ponto crítico de f determina na reta real dois intervalos: (, 5) e ( 5, + ) Como a função f ' é contínua em, o sinal de f ' em cada um destes intervalos não muda e, por isso, pode ser determinado avaliando f ' em um ponto qualquer de cada intervalo Escolhamos, por eemplo, os pontos 6 e 4 que pertencem, respectivamente, aos intervalos (, 5) e ( 5, + ) Temos f '( 6) 4( 6 + 5) 4 ( ) 4 < e f '( 4) 4( 4 + 5) 4 4 > Pelo teste da primeira derivada concluímos que em 5 f assume valor mínimo local, dado por f ( 5) Como é único o ponto 5 também é mínimo absoluto c) Vamos encontrar os etremos locais da função f( ) ( + ) Como f é uma função polinomial, f é contínua e derivável em Como f '( ) ( + ), tem-se que f '( ) O ponto crítico de f determina na reta real dois intervalos: (, ) e (, + ) Como a função f ' é contínua em, o sinal de f ' em cada um destes intervalos não muda e, por isso, pode ser determinado avaliando f ' em um ponto qualquer de cada intervalo Escolhamos, por eemplo, os pontos e que pertencem, respectivamente, aos intervalos (, ) e (, + ) Temos f '( ) ( + ) > e f '() ( + ) > Como f ' é sempre positivo em ambos os intervalos, o teste da primeira derivada garante que f não possui pontos de máimos e mínimos relativos e nem absolutos / / / / d) Vamos encontrar os etremos locais da função f( ) Como lim c c, * c, a função f é contínua em Temos que f '( ), é contínua em, e ( ) f '( ), assim os pontos críticos de f são e Os pontos críticos 8 8 de f determinam na reta real três intervalos: (, ),, 8 e, + Como a função ' 8 f é contínua nesses intervalos, o seu sinal em cada um destes intervalos não muda e, por isso, pode ser determinado avaliando f ' em um ponto qualquer de cada intervalo Escolhamos, por eemplo, os pontos, e que 7 pertencem, respectivamente, aos intervalos (, ),, 8 e, + 8 Temos f '( ) ( ) ( ) + >, f ' 9 > c

8 Como f '() () () < f ' é sempre positivo em ambos nos dois primeiros intervalos, o teste da primeira derivada garante que não é ponto de máimo nem de mínimo relativos de f, mas pelo mesmo teste, temos que em f 8 assume um máimo local Como a função f é contínua em e admite um único etremo relativo, esse etremo também é absoluto, isto é, é ponto de máimo relativo e absoluto de f e seu valor máimo é 8 f 8 4 Eercício 6 Dado o gráfico de uma função f definida em determine: a) Im f ; b) f (), f( ), f( ), f( 4), f(4), f(), f (8), f (5) e f (6) ; c) Os etremos relativos e absolutos, se eistirem; d) Intervalos onde f é monótona crescente e onde é monótona decrescente; e) Os pontos tais que f '( ) ; f) os pontos tais que f '( ) não eiste; g) os pontos de infleão do gráfico de f ; h) f '(7) a) Im f [, + ) ; b) Se a curva do gráfico da função f entre e for uma circunferência de centro (, ) e raio, então neste trecho, f( ) 4 + e nesse caso, f () +, caso não tenhamos certeza, podemos dizer apenas f () (, ), para os outros casos, teremos f( ), f( ), f( 4),, 8 f(4), f(), f (8), f (5) e f (6) c) Em f assume mínimo relativo Em f assume mínimo relativo Em f assume máimo relativo Em f assume mínimo relativo Em 8 f assume mínimo relativo e absoluto A função f não assume máimo absoluto

9 d) Monótona crescente em [, ), [,], [,5) e [8, + ) Monótona decrescente em (, ], [, ] e (5,8] e), e 4 f) 4,,, 5 e 8 g) os pontos ( 4,) e (4,) h) É o coeficiente angular da reta que passa por (5,4) e (8,), ou seja, 4 4 f '(7) 8 Eercício 7 Demonstre os seguintes resultados: n n a) Se f( ), n, então f '( ) n ; n b) Se g ( ) f( ) + f( ) + + fn( ) fi( ), então i n n g'( ) f '( ) + f '( ) + + fn'( ) fi '( ), desde que as funções i i i f sejam deriváveis para * n a) Seja n, se n > então já foi provado no teto que f '( ) n Se n < então m n > e assim f ( ) m m Também já foi provado que f '( ) m n Logo f '( ) n b) Vamos demonstrar por indução em n Já foi demonstrado que se g( ) f( ) + f( ) então g '( ) f'( ) + f'( ) Logo é válido para n Suponhamos que seja válido para n k, ou seja, se g ( ) f( ) + f( ) + + fk( ) então g ( ) f'( ) + f'( ) + + fk '( ) Assim se h ( ) f( ) + f( ) + + fk( ) + fk+ ( ) temos h ( ) g ( ) + fk+ ( ) h'( ) g'( ) + f ' ( ) f '( ) + f '( ) + + f '( ) + f ' ( ) Como queríamos Logo k + k k + Eercício 8 Demonstre as regras de números 7 a da tabela de derivadas dada no final deste teto d (7) Sabemos que sen cos d d d Seja u u( ) Pela regra da cadeia temos sen u ( ) [cos u ( )] u ( ) d d Analogamente demonstram-se as fórmulas (8), (9), (), () e () Obs As derivadas das funções tg, cotg, sec e cossec foram obtidas no eercício 6 Eercício 9 Dê os intervalos de definição da inversa das funções trigonométricas cos, tg, cotg, sec e cossec e calcule suas derivadas, aplicando o teorema da derivada da função inversa i) Derivada da função f ( ) arccos : Feito no Eercício 8, ii) Derivada da função g ( ) arctg : Feito no Eercício 8 iii) Derivada da função h ( ) arccotg Dada a função h ( ) arccotg, vamos encontrar sua derivada h'( ) A função cotg,π e, portanto, possui inversa ( π ) é injetora em ( ) h :(, + ), dada por h ( ) arccotg Assim, para qualquer temos

10 Mas, d h ( ) d d cotg cossec cossec d cossec + cot g + Assim, h'( ), Podemos cossec + d memorizar esse resultado: arccotg d + iv) Derivada da função p ( ) arcsec Dada a função p ( ) arcsec, vamos encontrar sua π π derivada p'( ) A função sec é injetora em [, ) (, π ] e, portanto, possui inversa π π p :(, ] [, + ) [, ) (, π ] dada por p ( ) arcsec Assim, para qualquer (, ) (, + ) temos d p ( ) d d sec sec tg d π π Mas, tg sec Logo, tg ± Como para [, ) (, π ], temos que sec > tg > e sec < tg <, temos p'( ), sec tg (, ) (, + ) Podemos memorizar esse resultado: d arcsec ; d v) Derivada da função q ( ) arccossec Dada a função q ( ) arccossec, vamos encontrar sua π π derivada q'( ) A função cossec é injetora em [,) (, ] e, portanto, possui inversa π π q :(, ] [, + ) [,) (, ] dada por q ( ) arccossec Assim, para qualquer (, ) (, + ) temos d q ( ) d d cossec cossec cotg cossec cotg d π π Mas, cotg cossec Logo, cotg ± Como para [,) (, ], cossec > cotg > e cossec < cotg <, temos q'( ), cossec cotg (, ) (, + ) Podemos memorizar esse resultado: d arccossec ; d Eercício Demonstre as regras de números a 8 da tabela de derivação dada no final deste teto d () Sabemos que arcsen, provado no eemplo d Seja u u( ), pela regra da cadeia temos

11 d d d d arcsen u ( ) arcsen u ( ) u ( ) u ( ) d du ( ) d Analogamente, provam-se as fórmulas (4), (5), (6), (7) e (8) [ u] Eercício Utilizando diferenciais, encontre um valor aproimado de 8, Considere a função f dada por f ( ) Vamos determinar d quando 8 e, Temos, por definição, d f '( ) Se 8 e, temos d,,8 Assim, se 8 tomarmos d em lugar de, o erro cometido é de,8 que pode, em muitos casos práticos, ser desprezado Em termos gerais, para cálculos aproimados, podemos fazer d, ou seja, f ( + ) f( ) + f '( ) Daí, segue que 8, 8 +,8,8 Eercício Calcule os seguintes limites: 4 a) lim cos ; b) lim ; c) 6 5 lim ; 9 sen d) lim ; e) lim + 4 sen sen Em todos os itens será aplicada a Regra de L Hospital No item (e) isto será feito duas vezes a) lim lim 6 cos sen b) lim lim c) lim lim lim d) e) sen cos cos lim lim lim sen cos 4 cos sen cos sen lim lim lim lim sen sen cos + sen cos sen + cos Eercício Esboce o gráfico de uma função f num intervalo I em cada caso: a) I [, ] ; f contínua em I ; f assume máimo relativo em 4 ; f '(4) não eiste; o gráfico de f tem concavidade para baio em (, 4) b) I [, ] ; f contínua em I ; f assume mínimo absoluto em e em ; f assume máimo relativo em e em ; o ponto (, ) é ponto de infleão do gráfico de f ; o gráfico de f tem concavidade para cima no intervalo aberto (, ) Não eiste apenas uma solução, apresentaremos um eemplo particular em cada caso

12 a) f (4) f () f () 4 b) f () f ( ) f( ) f() Eercício 4 Esboce o gráfico das seguintes funções fazendo a análise necessária a) a) f ( ) f ( ) ; b) d) f ( ) ; e) 4 4 f ( ) + ; c) f( ) ; f( ) + ) Domínio, continuidade e diferenciabilidade da função Como f é polinomial temos que Dom f e que f é contínua e diferenciável em ) Interseção do gráfico de f com os eios coordenados Se temos f () Logo o gráfico de f intercepta o eio O no ponto (,) f( ) ( ) Logo o gráfico de f intercepta o eio O nos pontos (,), (,) e (,) ) Simetrias do gráfico de f

13 Temos f ( ) ( ) ( ) + [ ] f( ) Logo f é uma função ímpar e seu gráfico apresenta uma simetria em relação à origem (,) 4) Pontos críticos e intervalos de crescimento e decrescimento de f Temos que f '( ) Assim, Portanto, f '( ) ou ou são os pontos críticos de f Os pontos críticos dividem a reta em intervalos, a saber, (, ), Como f '( ) é uma função quadrática, ela é contínua em Assim, para (, ), temos crescente em (, ] (, ) e f '( ) ( ) >, portanto, f '( ) >, Tomando (, ), temos f '() () <, portanto, f '( ) <, f é decrescente em [, ] Tomando (, + ), temos é crescente em [, + ) 5) Pontos de máimo e mínimo de f Como f cresce em (, ) e decresce em f '() () >, portanto, f '( ) >, (, ) + (, ) Logo f é (, ) Logo (, + ) Logo f (, ) a função f assume um valor máimo local em Como f decresce em (, ) e cresce em (, ) + a função f assume um valor mínimo local em 6) Concavidade e pontos de infleão do gráfico de f Temos f "( ) 6 Portanto f "( ) Como f "( ) é uma função linear sabemos que: Em (,) f " é negativa e, portanto o gráfico de f tem concavidade para baio sobre esse intervalo Em (, + ) f " é positiva e, portanto o gráfico de f tem concavidade para cima sobre esse intervalo Portanto o ponto (,) é o único ponto de infleão do gráfico de f, pois temos aí reta tangente ao gráfico de f e o gráfico muda sua concavidade 7) Valores máimos e mínimos de f Temos Temos f ( ) e portanto 9 f ( ) e portanto 9 é o valor máimo relativo de f 9 é o valor mínimo relativo de f 9

14 8) Assíntotas verticais e horizontais de f A função f é polinomial e, portanto não possui assíntotas O esboço do gráfico está a seguir b) 4 f ( ) + ) Domínio, continuidade e diferenciabilidade da função Como f é polinomial é contínua e diferenciável em todos os pontos de seu domínio Dom f ) Interseção do gráfico de f com os eios coordenados Temos f () Logo o gráfico de f intercepta o eio O no ponto (,) 4 Temos f( ) + ( + 4), pois + 4 para todo Logo, o gráfico de f intercepta o eio O apenas no ponto (,) ) Simetrias do gráfico de f 4 4 Temos f ( ) ( ) + ( ) + f( ) Logo, a função f é uma função par e, portanto, seu gráfico tem simetria em relação ao eio O 4) Pontos críticos e intervalos de crescimento e decrescimento de f Temos f '( ) + 4 Assim, f '( ) ( + ), pois Logo, é o único ponto crítico de f O ponto crítico divide a reta em intervalos, a saber, (,) e (, + ) Como f ' é uma polinomial, ela é contínua em Assim, tomando (, ), temos Logo f é decrescente em (, ] + para todo f '( ) ( ) + 4( ) 6 <, portanto, f '( ) <, (, )

15 Tomando (, + ), temos é crescente em [, + ) f '() () + 4() 6 >, portanto, f '( ) >, (, + ) Logo f 5) Pontos de máimo e mínimo de f Como f é decrescente em (, ] e crescente em [, + ), f assume um valor mínimo relativo em Como é único, é mínimo absoluto também 6) Concavidade e pontos de infleão do gráfico de f Temos f "( ) Logo f "( ) Não eiste valor de que anule a segunda derivada, esta função é sempre positiva em Assim o gráfico de f tem concavidade voltada para cima e não eiste ponto de infleão 7) Valores máimos e mínimos de f Temos f (), portanto é o valor mínimo absoluto de f 8) Assíntotas verticais e horizontais de f A função f é polinomial e portanto não possui assíntotas O esboço do gráfico está a seguir 4 c) f( ) ) Domínio, continuidade e diferenciabilidade da função Esta é uma função racional, portanto contínua e diferenciável em todos os pontos de seu domínio Dom f {,} ) Interseção do gráfico de f com os eios coordenados f () Logo o gráfico intercepta o eio O no ponto (,) Temos f( ) 4 Logo o gráfico intercepta o eio O apenas no ponto (,)

16 ) Simetrias do gráfico de f 4( ) 4 f ( ) f( ) Dom f e, portanto, a função f ímpar Logo, o gráfico de f é ( ) simétrico em relação à origem (,) 4) Pontos críticos e intervalos de crescimento e decrescimento de f 4( ) 4 ( ) Temos f '( ) ( 4) Como f '( ), Dom f e ( ) ( ) ( ) Dom f ' Dom f, conclui-se que f não possui pontos críticos Analisemos o comportamento da função f nos intervalos (, ), (,) e (, + ) Em (, ) (,) (, + ) f ' é sempre negativa e, portanto, f é decrescente em (, ), em (,) e em (, + ) 5) Pontos de máimo e mínimo de f A função f não apresenta tais pontos, pois não há pontos críticos 6) Concavidade e pontos de infleão do gráfico de f ( 8 )( ) + (4 + 4)( ) ( )[( 8 )( ) + 4 (4 + 4)] Temos f "( ) 4 ( ) ( ) ( )[( 8 )( ) + 6 ( + )] 8 [( )( ) + ( + )] 8 ( + ) 4 ( ) ( ) ( ) Então f "( ) Assim, (, ) é candidato a ponto de infleão 8( )(( ) + ) Em (, ), f "( ) < e, portanto, f "( ) é negativa em (, ) Assim, o (( ) ) gráfico de f tem concavidade voltada para baio nesse intervalo Em (,) f " é positiva e, portanto, o gráfico de f tem concavidade voltada para cima nesse intervalo Em (,) f " é negativa e, portanto, o gráfico de f tem concavidade voltada para baio nesse intervalo Em (, ) f " é positiva e, portanto, o gráfico de f tem concavidade voltada para cima sobre esse intervalo Como f () 4, eiste reta tangente ao gráfico de f no ponto (,) Então o ponto (,) é o único ponto de infleão do gráfico de f 7) Valores máimos e mínimos de f A função não possui valores máimos e mínimos relativos, nem absolutos, pois não possui pontos de máimos e mínimos relativos, nem absolutos 8) Assíntotas verticais e horizontais de f 4 4 Temos lim e lim + Então a reta é uma assíntota vertical do gráfico de f Temos lim e lim + Então a reta é uma assíntota vertical do gráfico de f Temos lim lim e lim Então a reta é a única assíntota horizontal do gráfico + + de f O esboço do gráfico está a seguir

17 - d) f ( ) ) Domínio, continuidade e diferenciabilidade da função / Dom f [, + ) Como lim ( ) c c, > c c + lim ( ), a função f é contínua em seu domínio e como f '( ), esta é uma função diferenciável em (, + ) ) Interseção do gráfico de f com os eios coordenados Temos f () Logo o gráfico de f intercepta o eio O no ponto (,) Temos f( ) 4, ( 4), Então o gráfico de f intercepta o eio O nos pontos (,) e (4,) ) Simetrias do gráfico de f Como o domínio da função não é simétrico em relação ao ponto a função não é par nem ímpar 4) Pontos críticos e intervalos de crescimento e decrescimento de f * Temos f '( ), e assim, Dom f ' + Logo f '( ) e como (, + ), o único ponto crítico de f é Analisemos o comportamento de f nos intervalos (,) e (, + ) Em (,) f ' é positiva e, portanto, f é crescente em (,] Em (, + ) f ' é negativa e, portanto, f é decrescente em [, + ) 5) Pontos de máimo e mínimo de f Como f é crescente em (,] e decrescente em [, + ) concluímos que f assume um valor máimo relativo em e como é único é absoluto também 6) Concavidade e pontos de infleão do gráfico de f Temos f "( ), (, + ) Logo, não eistem pontos de infleão Como f " é sempre negativa, o gráfico de f tem concavidade voltada para baio sobre todo o seu domínio 7) Valores máimos e mínimos de f Temos que f () Portanto, é o valor máimo de f /

18 8) Assíntotas verticais e horizontais de f O gráfico não tem assíntotas O esboço do gráfico está a seguir 4 e) f( ) + ) Domínio, continuidade e diferenciabilidade da função Esta é uma função racional, portanto contínua e diferenciável em todos os pontos de seu domínio, e como +,, temos que Dom f ) Interseção do gráfico de f com os eios coordenados Temos f (), portanto o gráfico de f intercepta o eio O no ponto (,) f( ) Portanto o gráfico de f intercepta o eio O apenas no ponto (,) ) Simetrias do gráfico de f ( ) Temos f ( ) f( ), Logo f é uma função par e, portanto, seu gráfico tem + ( ) + simetria em relação ao eio O 4) Pontos críticos e intervalos de crescimento e decrescimento de f ( + ) + Temos f '( ) ( + ) ( + ) ( + ) Então f '( ) Tomando (,), temos que f '( ) < e, portanto, f é decrescente em (,] Tomando (, + ), temos que f '() > e, portanto, f é crescente em [, + ) 5) Pontos de máimo e mínimo de f Como f é decrescente em (, ] e crescente em [, + ) concluímos que f assume um valor mínimo relativo e também absoluto em 6) Concavidade e pontos de infleão do gráfico de f ( + ) ( + ) ( + ) 8 ( + ) ( + )[( + ) 8 ] Temos f "( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + )

19 Temos f "( ) 6 ± e / / f( ) f( ) Portanto, + / 4/ 4 (, f ( )) (, ) e (, f ( )) (, )) são candidatos a pontos de infleão do gráfico de f 4 4 Como ( + ) é sempre positivo, analisando o sinal de 6 + concluímos que: Em (, ) f " é negativa e, portanto, o gráfico de f tem concavidade voltada para baio em (, ) Em (, ) f " é positiva e, portanto, o gráfico de f tem concavidade voltada para cima em (, ) Em (, ) + f " é negativa e, portanto, o gráfico de f tem concavidade voltada para baio em (, + ) Conclui-se assim que o gráfico de f muda a concavidade em (, ) e em (, ) e nesses pontos, o 4 4 gráfico de f tem reta tangente Portanto, esses pontos são pontos de infleão do gráfico de f 7) Valores máimos e mínimos de f Como é ponto de mínimo relativo e absoluto, tem-se que f () é o valor mínimo relativo e absoluto da função 8) Assíntotas verticais e horizontais de f O gráfico não apresenta assíntotas verticais, pois Dom f Temos lim lim e lim lim, logo a reta é a única assíntota horizontal do gráfico de f O esboço do gráfico está a seguir /4 / / Eercício 5 Um campo retangular vai ser cercado ao longo da margem de um rio e não precisa de cerca ao longo do rio Se o material da cerca custa R$ 4, por metro para o lado paralelo ao rio e R$ 5, por metro para os outros dois lados, encontre as dimensões do campo de maior área que pode ser cercado com um custo fio de R$,

20 A área a ser cercada será dada por A m água O comprimento da cerca é dado por P ( + ) m O custo da cerca é dado por C [(5) + (4)] reais Devemos procurar o máimo da área sujeita a condição de um custo fio de R$, 5 5 Então (*) Substituindo (*) na epressão da área obtemos A A( ) 4 4 Se temos que ; se, temos que 5 Como e não podem ser negativos, temos que Dom A (, ) Temos A'( ), daí A'( ) 4 Em (,) A' é positiva e, portanto A é crescente nesse intervalo Em (, ) A ' é negativa e, portanto, A é decrescente nesse intervalo Então A assume um máimo relativo em, como é único, ele também é máimo absoluto 5 Se temos 5, e assim, A ( ) 5 m 4 Portanto, as dimensões que maimizam a área cercada a um custo fio de R$, são metros nos lados perpendiculares à margem do rio e 5 metros no lado paralelo à margem Eercício 6 Determine as dimensões do retângulo de maior área que tem dois vértices no eio O e os dois outros vértices sobre a parábola 6 4 acima do eio O Encontre a área máima desse retângulo Devemos determinar a área máima ( A ) sujeita à condição 6 4 (*) Substituindo (*) na epressão da área obtemos A A ( ) (6 4 ) 8 Podemos considerar o domínio de A como Dom A (,) - Temos A'( ) 4, logo: 4 A'( ) ± Somente a solução algébrica pertence ao domínio da função A Como A ' é uma função quadrática concluímos que:

21 Em (, ) Em (,) A ' é positiva e, portanto, A é crescente nesse intervalo A ' é negativa e, portanto, A é decrescente nesse intervalo Portanto, A atinge um valor máimo relativo em Quando, temos , como é único, também é máimo absoluto Assim, as dimensões do retângulo procurado são 4 e, e sua área é A 8 9 unidades quadradas Eercício 7 Encontre o número no intervalo,, tal que a soma do quadrado desse número com o dobro de seu inverso multiplicativo, seja a menor possível Determine essa soma Denotemos o número procurado por Queremos que (,) e que + seja o menor possível Chamemos s ( ) +, com Dom s (,) Temos s'( ) Devemos estudar o sinal de s ' nos intervalos (,) e (, ) (,8) Tomemos,8 (,), temos s '(,8) < Logo s é decrescente em (,) (,8) (,8) Tomemos,8 (, ), temos s '(,8) > Logo s é crescente em (, ) (,8) Portanto s tem mínimo relativo em Como é único, é mínimo absoluto também Assim, o valor mínimo absoluto é s () + Assim, soma mínima procurada é obtida quando e vale Eercício 8 Um incêndio em um campo aberto se alastra em forma de círculo O raio do círculo aumenta à razão de,5 m/min Determine a taa à qual a área incendiada está aumentando quando o raio é de m Temos a área incendiada dada por A πr, onde r é o raio do círculo e, portanto, r (, + ) Como o raio depende da variável tempo (t) dado em minutos escrevemos: At () π [()] rt Daí obtemos por derivação em relação a t a seguinte equação da dr π () rt dt dt dr Para r m e,5 dt, tem-se que da π π m /min dt Logo, a taa à qual a área incendiada está aumentando, quando o raio é metros, é igual a π m /min Eercício 9 Enche-se um balão esférico de tal modo que seu volume aumenta à razão de m³/s Qual a razão do aumento de seu raio por unidade de tempo, quando o mesmo atinge o valor de 5 m?

22 4 Temos o volume do balão esférico de raio r é dado por V πr e r (, + ) Como o volume depende da 4 variável tempo (t) dado em segundos, o raio também depende de t, e podemos escrever Vt () πr () t e conseqüentemente, derivando a epressão do volume em relação a t obtemos a equação: dv 4 π r ( t) dr 4 πr ( t) dr dt dt dt dv Por hipótese, temos que m dr dr /s, logo, quando r 5 m temos 4π 5, ou seja, m/s dt dt dt 5π Portanto, a taa à qual o raio do balão está aumentando quando o mesmo é 5 metros é de 5π m/s Eercício O diâmetro e altura de um cilindro circular reto são, num determinado instante, cm e 4 cm, respectivamente Se a altura crescer a uma taa de cm/min, como variará o raio do cilindro, se seu volume permanecer constante? A relação entre o volume, o raio e a altura é dada por V πr h, que pode ser reescrita como Vt () π r()() tht dv dh Como o volume é constante, temos e por hipótese, cm/min; derivando a epressão dt dt Vt () π r()() tht em relação a t obtemos: dv π r dr h+ r dh dt dt dt No instante em que diâmetro é igual a cm (portanto r cm) e a altura igual a 4 cm, temos dr π 4 + dt dr Segue que nesse instante, dt 4 cm/min A variação do raio do cilindro no instante descrito é de cm/min 4 Eercício Os lados e de um retângulo estão variando a taas constantes de,5 cm/s e,4 cm/s, respectivamente A que taas estarão variando a área e o perímetro do retângulo no instante em que é igual a 4 cm e é igual a 5 cm? Temos que a área de um retângulo é epressa em função do tempo t por At () t ()() t e o perímetro de um retângulo epresso em função do tempo t por Pt ( ) t ( ) + t ( ) d d Por hipótese,,5 cm/s e,4 cm/s Deseja-se saber ' dt dt A e P ' quando 4 cm e 5 cm Assim, da d d dp d d 4 9 t ( ) + t ( ) cm /s e + + cm/s dt dt dt 5 dt dt dt 5 5

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