Limites e continuidade

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Ágatha Manuella Zagalo Castilhos
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1 Capítulo 3 Limites e continuidade 3.1 Limite no ponto Considere a função f() = 1 1, D f =[0, 1[ ]1, + ). Observe que esta função não é definida em =1. Contudo, fazendo suficientemente próimo de 1 (mas não igual a 1), mais próimo de 2 serão os valores de f. 0 0,25 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 f() = ,5 1,707 0,866 1,948 1,994 1,999 Nesse caso, dizemos que f tem por limite 2 quando tende para 1 eescrevemos Observe que lim f() =2 1 f() = 1 = ( 1)( + 1) = +1 0, = Se definirmos g() = +1,vemosquef e g coincidem quando D f,mas g ébemdefinidoem =1etemos lim g() =2=g(1). Isso indica que g é 1 contínua em 1. Definição 3.1. Seja f uma função definida num intervalo aberto I contendo a, eceto, possivelmente no próprio a. Olimite de f() quando se aproima de a é l, notadopor lim f() =l se f() l puder se tornar tão pequeno quanto desejarmos, tomando suficientemente próimo de a, masnãoigualaa (i.e. tornando a tão pequeno quanto necessário, contando que a > 0). 19

0 0,25 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 f() = 1 1 1 1,5 1,707 0,866 1,948 1,994 1,999 Nesse caso, dizemos que f tem por limite 2 quando tende para 1 eescrevemos Observe que lim f() =2 1 f() = 1 = ( 1)( + 1) =

2 20 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE Limites e operações Proposição 2. Suponha os limites lim f() =l 1 e lim g() =l 2 eistirem e forem finitas, então: a) lim [f + g]() = lim f()+ lim g() =l 1 + l 2 b) lim [f g]() = lim f() lim g() =l 1 l 2 c) lim [f.g]() = lim f(). lim g() =l 1 l 2 f lim f() d) lim g () = lim g() = l 1,sel 2 =0 l 2 Eemplos. Ache lim , lim , lim 5 5. Proposição 3. Sejam a, l 1,l 2 R. Se f e g são duas funções contínuas que verificam lim 1 lim g() =l 2 l 1 então lim g f() =l 2. Conseqüências: a) lim (f()) n = b) lim n f() = n Eemplo. lim Continuidade n lim f() lim f(), desde que lim f() 0 se n for par = 2 Definição 3.2. Dizemos que uma função f é contínua num ponto a quando as seguintes condições estão satisfeitas: a) f está definida em a (ou seja, a D f ) b) f() tem limite com a eesselimiteéigualaf(a): lim f() =f(a) Dizemos que f écontínuanumintervaloi se é contínua em cada ponto de I. Proposição 4. Sejam f e g duas funções contínuas num intervalo I e k R. f + g é contínua em I.

Ache lim 4 7 +1, lim 2 25 3 2 +7 5, lim 5 5. Proposição 3. Sejam a, l 1,l 2 R. Se f e g são duas funções contínuas que verificam lim 1 lim g() =l 2 l 1 então lim g f() =l 2.

3 3.1. LIMITE NO PONTO 21 k.f é contínua em I. f.g é contínua em I. Se além das hipóteses g não zera em I, então 1 g e f g são contínuas em I. Proposição 5. Se f é contínua num intervalo I e g contínua num intervalo J contendo f(i). Então f g é contínua em I. Pelas proposições acima, podemos dizer que todas funções com que lidaremos nesse curso serão contínuas em seu domínio (e mesmo, em geral deriváveis). Teorema 3.1. Toda função algébrica é continua no seu domínio Eemplo. f() = écontínuaemd f =[ 4, 1[ ]1, + ) As dificuldades se encontram então no bordo do domínio (no eemplo acima em =1enoinfinitoqueabordaremosemseguida),ounospontosdetransições pelas funções definidas por parte. Pode acontecer que a falta de continuidade num ponto fora do domínio seja artificial. Como por eemplo a função f dada na introdução que não é contínua em =1somente porque não está definida neste ponto. Porque não definir f em 1 como sendo igual a 2? Isto é perfeitamente natural e sempre que uma função tiver limite finito quando a, énaturaldefinirf em a como sendo esse limite: f(a) := lim f(). Eemplos. f() = 2 4, = 4; lim f() =8.Definimosf(4) = f() = , = 2, 1 ; lim f() =4.Definimosf(2) = 4 (mas 2 2 f fica indefinida em = 1). Mas em geral, um ponto não pertence ao domínio porque a função não tem um limite finito nesse ponto (como a função acima no ponto = 1) Limite infinito Não sempre uma função tem um limite finito quando nos aproimamos de um ponto dado. Observe o comportamento da função f() = 1 (1+) quando está 2 próimo de 1 (mas não igual a 1). Vemos que quando se aproima cada vez mais de 1, f() cresce sem limitação.

Pelas proposições acima, podemos dizer que todas funções com que lidaremos nesse curso serão contínuas em seu domínio (e mesmo, em geral deriváveis). Teorema 3.1.

4 22 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE Definição 3.3. Seja f() uma função definida em um intervalo aberto contendo a, eceto,possivelmente,em = a. Dizemos que f() aumenta ilimitadamente a medida que se aproima de a, notadopor lim f() =+ se f() puder ser tornar maior que qualquer número positivo prefiado tomandose suficientemente próimo de a, issoé a suficientemente pequeno mas a =0. Definição 3.4. De modo semelhante podemos definir lim f() = quando f() decresce ilimitadamente a medida que se aproima de a. Isso é f() pode ser tornado menor do que qualquer número negativo prefiado tomando-se a suficientemente pequeno e a > 0. Eemplo. f() = 1 2 ; lim f() = Limites laterais Algumas funções eibem comportamentos diferentes em cada um dos lados de um ponto = a. Por eemplo, a função inversa 1 não tem limite em 0, os valores 1 não cabem em nenhuma das definições acima porque a função cresce quando nos aproimamos de =0pelo lado direito mas decresce se nos aproimamos pelo lado esquerdo... Por isso, aprimorando nossas definições, vamos considerar o limite à direita eolimite à esquerda de uma função num dado ponto. Denotando 0 + para significar que se aproima de 0 por valores superiores e 0 para significar que se aproima de 0 por valores inferiores, poderemos escrever 1 1 lim = e lim =+. Definição 3.5. Seja f uma função e a um número real; λ pode ser um número real, ou +. Dizemosqueλ éolimite à esquerda de f quando tende para a, eescrevemos lim f() =λ se nas definições de limite vale a>0. Definição 3.6. Dizemos que λ éolimite à direita de f quando tende para a, eescrevemos lim f() =λ + se nas definições de limite vale a<0.

issoé a suficientemente pequeno mas a =0. Definição 3.4. De modo semelhante podemos definir lim f() = quando f() decresce ilimitadamente a medida que se aproima de a.

5 3.1. LIMITE NO PONTO 23 Eemplos. f() = 2 +1,determine lim f() e lim f() f() =,determine f() = lim se <3 9 2 se se 3 < lim f() e lim f() f() e lim f(). Esboceográficodef. +,determine lim f(), lim f(), Olimitedefinidoasseçõesanterioreséditolimitebilateral. Olimitebilateral eiste se e só se ambos limites laterais eistem e coincidem: lim f() =λ lim f() =λ = lim f(). Definição 3.7. Se o limite de f em a ou a + ou a éoinfinito,dizemosquea curva y = f() tem a reta = a como assíntota vertical. Eemplo. Oeiovertical =0éassíntotaverticaldafunçãoinversa Operações com limites infinitos e indeterminações lim f() lim g() h() = lim h() + + f()+g() f() g() indeterminado + l f()+g() f().g() + + l = 0 f().g() ± ± 0 f().g() indeterminado l ± f()/g() 0 ± ± f()/g() indeterminado + l = 0 f()/g() ± l = 0 0 ± f()/g() ± 0 0 f()/g() indeterminado Os limites indeterminados precisem um estudo caso por caso. As indeterminações do tipo 0/0 são freqüentemente assimiláveis a derivadas.

Definição 3.7. Se o limite de f em a ou a + ou a éoinfinito,dizemosquea curva y = f() tem a reta = a como assíntota vertical. Eemplo. Oeiovertical =0éassíntotaverticaldafunçãoinversa. 3.1.

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