x 1 f(x) f(a) f (a) = lim x a

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Luís Leal Vilarinho
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1 Capítulo 27 Regras de L Hôpital 27. Formas indeterminadas Suponha que desejamos traçar o gráfico da função F () = 2. Embora F não esteja definida em =, para traçar o seu gráfico precisamos conhecer o comportamento da função nas proimidades deste ponto, isto é, precisamos calcular os ites 2 + e 2 Como, nestes dois casos, o ite do denominador é zero, a regra do quociente para ites não se aplica. Embora os ites acima eistam, o seu valor não é óbvio, pois tanto o numerador quanto o denominador da fração se aproimam de zero, quando. Quando f() = g() =, diz-se que o quociente f() a a g() tem a forma indeterminada, em = a. Formas indetermindas deste tipo apareceram no começo de nossos estudos de derivada, mais precisamente, a razão incremental que aparece na definição de derivada f (a) = a f() f(a) a tem a forma indeterminada, em = a. Quando f é uma função racional, a técnica para resolver ites deste tipo é cancelar o fator comum, quando possível. Assim, por eemplo, 2 = ( + ) = 2. Outro eemplo de um ite do tipo apareceu no estudo das funções trigonométricas, quando precisamos calcular sen(). Na ocasião, tivemos que utilizar um argumento geométrico para concluir que este ite é igual a. Para os ites que apareceram em (*) nenhuma destas técnicas funciona. ln() Uma outra situação na qual o valor do ite não é óbvio ocorre quando tentamos avaliar. Este ite aparece quando precisamos encontrar as assíntotas horizontais ao gráfico da função y = ln(). Neste caso, tanto o numerador quanto o denominador tendem a, quando. Se o numerador cresce mais rápido que o denominador, o ite é infinito. Se, ao contrário, é o denominador que cresce mais rápido, o ite é zero. Se ambos crescem à mesma taa, o ite pode ser qualquer número positivo. f() Assim, se f() = g() =, diz-se que a a a g() é uma forma indeterminada do tipo. Podemos ter também, formas indeterminadas do tipo, e, dependendo dos sinais dos ites de f e de g. a Outra forma indeterminada aparece quando estudamos funções da forma h() = f() g(). f() = g() =, diz-se que h() tem a forma indeterminada. a a (*) Neste caso, se Além destas, outras formas indeterminadas podem aparecer no cálculo de ites do tipo a f() g(). Neste caso, dependendo dos ites de f e de g, quando a podemos ter indeterminações do tipo, e. Resumindo, são 7 os tipos de formas indeterminadas, a saber e

casos, o ite do denominador é zero, a regra do quociente para ites não se aplica.

2 382 Cap. 27. Regras de L Hôpital Nesta seção introduziremos um método sistemático e fácil para calcular certos ites envolvendo formas indeterminadas. Este método, chamado Regra de L Hôpital, apareceu por volta de 696 e tem esse nome em homenagem ao nobre francês, Marquês de L Hôpital (66-74), a quem foi atribuída a sua descoberta, mas na verdade, dizem as más linguas, o trabalho é do matemático suíço John Bernoulli ( ), que o Marquês havia contratado como seu professor de matemática. A seguir, veremos as várias formas e as aplicações do que se convencionou chamar de Regras de L Hôpital Primeira regra de L Hôpital Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I, eceto possivelmente em um ponto a de I. Suponha que, para todo a em I, g (). Se f() = g() = a a e f () a g () = L, então f() a g() = L. As figuras a seguir ajudam a visualizar o porquê de esta regra ser verdadeira. A primeira figura mostra os gráficos de duas funções deriváveis f e g que se aproimam de zero quando a. Na figura da direita, temos um zoom nas proimidades do ponto (a, ) dos gráficos destas funções. Como as funções são localmente lineares, pois são deriváveis (veja Cap. 2 ), nas proimidades deste ponto seus gráficos são quase retas. Se os gráficos destas funções fossem realmente retas, então a razão entre as funções seria dada por m ( a) m 2 ( a) = m m 2, que é a razão entre suas derivadas. Esta interpretação geométrica sugere que a f() g() = a f () g () a a Demonstração Na demonstração da regra de L Hôpital utilizaremos o teorema do valor médio de Cauchy. Como as hipóteses não garantem que f e g sejam definidas em = a, consideraremos duas novas funções F e G que estendem as funções f e g e são contínuas em = a, a saber { F() = f() a = a { G() = g() a = a Vamos demonstrar a regra quando +. Para isso, considere > a em I. Assim, as funções F e G são contínuas no intervalo fechado [a, ] e deriváveis em (a, ]. Logo, aplicando o teorema do valor médio de Cauchy no intervalo [a, ], tem-se F () F (a) G() G(a) = F (c) G (c), onde c é algum número tal que a < c <. Pelas definições dadas acima para F e G, temos f() g() = f (c) g (c).

dizem as más linguas, o trabalho é do matemático suíço John Bernoulli (667-748), que o Marquês havia contratado como seu professor de matemática.

3 W.Bianchini, A.R.Santos 383 f (c) Como a < c <, então, quando a, também c a. Como por hipótese c a g (c) a + f() g() = a + f (c) g (c) = c a + f (c) g (c) = L. A demonstração para o caso em que a é análoga e é deiada como eercício. = L, então Observação A regra também é válida se a ou L forem substituídos por + ou por. Deiamos como eercício sua demonstração. Eemplo sen( 2 ) Calcule. Solução Neste caso, aparece a forma indeterminada. Como (sen( 2 )) sen( 2 ) a primeira regra de L Hôpital garante que =. = cos( 2 ) 2 =, Eemplo 2 Calcule e e sen(). Solução Novamente, aparece a forma indeterminada e, como (e e ) (sen()) e e a primeira regra de L Hôpital garante que = 2. sen() 27.3 Segunda regra de L Hôpital e + e = = 2, cos() Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I, eceto possivelmente em um ponto a de I. Suponha que, para todo a em I, g (). Se f() = ±, g() = ± e a a a f () g () = L, então a f() g() = L. Observação Os números a e L podem ser ou. A demonstração desta regra não será apresentada neste teto, mas pode ser encontrada em livros de Cálculo avançado. Eemplo Calcule ln(). + Solução Neste eemplo aparece uma indeterminação do tipo ( ). Para podermos aplicar uma das regras de L Hôpital, devemos transformá-la em uma das indeterminações ( ( ) ou. Para isso, observe que ln() ln() = + + =. Podemos agora aplicar a segunda regra de L Hôpital e obter + ln() = + ( 2 ) = + ( ) = Eemplo 2 e (a) Calcule (b) e

Eemplo sen( 2 ) Calcule. Solução Neste caso, aparece a forma indeterminada. Como (sen( 2 )) sen( 2 ) a primeira regra de L Hôpital garante que =. = cos( 2 ) 2 =, Eemplo 2 Calcule e e sen().

4 384 Cap. 27. Regras de L Hôpital Solução (b) (a) e = ( ). Assim, pela segunda regra de L Hôpital, (e ) () = e = ( ) e =. Logo, pela segunda regra de L Hôpital, () (e ) = e = e =. e =. Eemplo 3 Calcule +. Solução = [ ]. No caso de formas indeterminadas envolvendo potências, utilizamos a definição destas + funções para obter a igualdade = e ( ln()). Observando, agora, que a eponencial é uma função contínua, podemos escrever Eemplo 4 ( = e + ) ( Calcule 2 2 cos() + ln() ) = e =. Solução: 2 2 = ( ). Para aplicar uma das regras de L Hôpital precisamos transformar a cos() indeterminação ( ) em uma das duas formas ou. Em geral, isto é feito efetuando-se a operação algébrica indicada. Assim, 2 2 cos() = cos() 2 cos(). Como o ite do lado direito da última epressão recai numa indeterminação do tipo, podemos aplicar a primeira regra de L Hôpital e obter (cos() ) ( 2 cos()) = sen() 2 cos() 2 sen() = Neste caso, podemos aplicar novamente a primeira regra de L Hôpital. Assim, ( ). Portanto, sen() 2 cos() 2 sen() = 27.4 Eercícios ( sen()) (2 cos() + 2 sen()) = ( ) 2 2 = cos() 2. cos() 2 cos() + 2 sen() + 2 cos() = 2.. Calcule os ites abaio: a (a) a 3 a 3 (b) n ln( n ) n (c) (d) arcsen() (e) 2 3 (f) (g) (h) arctg( 2 ) ln() cotg() 3 e (i) sen() (j) ( π 2 ) tg()cotg() (k) ( + ) cotg() (l) arcsen() cossec() (m) ln( + ) (n) ( ) (o) sen() ( ln() )

Observando, agora, que a eponencial é uma função contínua, podemos escrever Eemplo 4 ( = e + ) ( Calcule 2 2 cos() + ln() ) = e =. Solução: 2 2 = ( ).

5 W.Bianchini, A.R.Santos Calcule. Você pode verificar que, neste caso, as regras de L Hôpital de pouco adianta. { sen() 3. Seja f() =, se, se =. Calcule f () e f (). 4. Sejam f() = 2 sen( ) e g() =. Verifique que (a) f() = g() =. (b) f() g() =. f () (c) g não eiste. (Releia novamente a primeira regra de L Hôpital e mostre o que este eercício () esclarece naquela regra!) 5. Suponha que a { temperatura de uma longa e fina barra de metal, colocada ao longo do eio, seja dada inicialmente, por 2 a, se a. Pode-se mostrar que se a difusividade térmica da barra é k, então a C, se > a temperatura da barra num ponto dela mesma, em qualquer instante de tempo t posterior, é dada por C T (, t) = a 4 π kt a e ( u)2 4 kt du Para encontrar a distribuição de temperatura na barra resultante de uma fonte de calor inicial concentrada na origem, é preciso calcular a T (, t). Use L Hôpital para calcular este ite.

(Releia novamente a primeira regra de L Hôpital e mostre o que este eercício () esclarece naquela regra!) 5.

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4.1 Em cada caso use a definição para calcular f 0 (x). (a) f (x) =x 3,x R (b) f (x) =1/x, x 6= 0 (c) f (x) =1/ x, x > 0.

4.1 Em cada caso use a definição para calcular f 0 (x). (a) f (x) =x 3,x R (b) f (x) =1/x, x 6= 0 (c) f (x) =1/ x, x > 0. 4. Em cada caso use a definição para calcular f 0 (). (a) f () = 3, R (b) f () =/, 6= 0 (c) f () =/, > 0. 4.2 Mostre que a função f () = /3, R, não é diferenciável em =0. 4.3 Considere a função f : R R