PSAEN 2007/08 Primeira Fase - Matemática

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1 PSAEN 007/08 Primeira Fase - Matemática : Caio Guimarães, Rodolpho Castro, Victor Faria, Paulo Soares, Iuri Lima Digitação: Caio Guimarães, Júlio Sousa. Comentário da Prova: A prova de matemática desse ano veio com um enfoque muito grande em cálculo. O nível de dificuldade das questões no geral se manteve o mesmo, com exceção de algumas questões que notavelmente vieram mais trabalhosas que o usual (como a questão 5 e a ). Destaque para a questão, que em nossa opinião, será a com o maior índice de erros (até mesmo entre os alunos mais bem preparados) por ser uma questão que exigia um alto nível conceitual de aplicações de derivadas em construção de gráficos de funções. Gostaríamos de ressaltar a melhora em relação ao ano passado, uma vez que os enunciados (mais claros) não geram algum tipo de dúvida nem motivos para anulação (como foi o caso dos últimos anos de prova). Assuntos Abordados:. Números Complexos e Polinômios. Cálculo: Máximos e Mínimos de funções Reais (derivadas). Fatoração, Trigonometria. Eq. da Circunferência. PG 5. Geometria : Áreas 6. Analítica no R³: Plano e Reta no R³ 7. Cálculo: Integrais imediatas/ Trigonometria 8. Análise Combinatória: Probabilidade. Polinômios e P.A. 0. Geometria espacial: Volumes. Trigonometria: Soma de Arcos. Logaritmos. Sistema linear, Vetores no R³ (Produto misto). Trigonometria 5. Cálculo: Retas tangentes a uma curva. Regra da Cadeia 6. Cálculo: Teorema da função inversa. Reta normal a uma curva 7. Cálculo: Derivada e Integral Imediata 8. Determinante (Laplace) e Polinômios. Binômio de Newton. Cálculo: Análise gráfica de uma função real. 0. Inequações do primeiro grau. Logaritmo

2 Questão Sejam a e b números reais não nulos tais que a equação 5 x x x (a b)x (a b )x (ab ) 0 admite duas e somente duas raízes nulas. Se z = a + bi é um número complexo, então o argumento z de é z a) arctg b) arccos c) arccos d) arc sec e) arccos 0 5 x.x x a b.x a b.x ab Para que o polinômio acima tenha 0 como raiz dupla, devemos ter: a ab b b² b 0 a b 0 a b a b 0 a b 0 a b 0 b ; a Logo: z i z i i. i i z i 0 z / arg Arctg Arctg z / Resposta: (A) Arctg

3 Questão O valor mínimo relativo da função f, de variável real x, definida por a b f(x), onde a, b *, vale sen x cos x a) (a + b )² b) a² + b² c) ab d) ( a + b )² e) (a + b)² f x a² b².a².cos x.b².senx f ' x sen²x cos ²x sen³x cos x³x Analisando os pontos críticos: a².cos x.b².senx a f ' x 0 tg²x sen³x cos x³x b Verificando pelo teste da ª derivada se tais pontos são pontos de mínimo: f ' x.a².ctgx.csc ²x.b².tgx.sec ²x a². ctgx. ctg²x b². tgx. tg²x f "(x) a².csc ²x 6a².ctg²x.csc ²x.b².sec ²x 6b².tg²x.sec ²x 0, x Como a ª derivada é sempre positiva, então nos pontos críticos encontrados teremos pontos de mínimo. Com isso: a² b² a² f min(x). b² sen²x cos ²x cos ²x tg²x a² a a. a tg²x. b². b. b tg²x b a / b a b. ab b a b ² b Logo: Resposta: (D) a b ²

4 Questão Considere a função f, de variável real x, definida por 6 6 f(x) sen x cos x m(sen x cos x), onde m é um valor que torna f constante. A equação da circunferência tangente ao eixo y, cujo centro está no ponto de interseção das retas mx y 5 0 e x y 0 é: a) x y x y 0 b) x y x y 0 c) x y x 0 e) x y x y 0 d) x y x 0 Da fatoração básica, temos as seguintes relações: 6 6 sen²x cos ²x ³ sen x cos x.sen x.cos x. sen x cos x 6 6 sen x cos x.sen²x.cos ²x sen²x cos ²x ² sen x cos x.sen x.cos x sen x cos x.sen²x.cos ²x Assim: f x.sen²x.cos ²x m..sen²x.cos ²x m sen²x.cos ²x. m Para f(x) ser constante, basta anular os termos que dependem de x. Para isso, basta que: m 0 m / Com isso, temos as retas: x y 5 0 x y 0 A interseção delas é no ponto (,). Como a circunferência é tangente ao eixo y, devemos ter r = Xc onde Xc = abcissa do centro. Assim, a equação da circunferência é dada por: x ² y ² Desenvolvendo, chegamos à resposta: Resposta: (E) x² y² x y 0

5 Questão Sendo a o primeiro termo de uma progressão geométrica, b o termo de ordem (n+) e c o termo de ordem (n + ), então a relação entre a, b e c é: a) c ab b 0 b) b ac 0 c) b a ab c 0 d) b a cb b c 0 e) b acb a c 0 Do enunciado, sendo q a razão da PG: n b a.q b c c n a.q a a b² ac b² ac 0 b² ac ² 0² 0 b.a.c.b² a²c² 0 Resposta: (E) b ac.b² a²c² 0

6 Questão 5 Na figura abaixo ABC é um triângulo eqüilátero de lado e PQ(arco), PR(arco) e QR(arco) são os arcos de circunferência de raio r. Os segmentos MN e CS são perpendiculares ao segmento NS e QRS(arco) é uma semicircunferência de centro em C. Se sen 5 e a soma das áreas hachuradas mede r então o valor de r é? a) -/ b) - c) / d) / e). É útil calcular o cosseno do ângulo alfa: cos A área interna hachurada no triângulo equivale à área total do triângulo menos a área de setores circulares de 60º cada um. Assim, como o lado do triângulo é.r, temos: r ²..r². r². 6 Como sabemos a soma das áreas hachuradas, nos restará que o trapézio terá 5/ como área r r.cos r.r.sen 5 r². cos 5. Com isso:.sen r² r Resposta: (B) r

7 Questão 6 Considere o plano que contem o centro da esfera x y z 6x y z 0 e a reta de equações paramétricas x y z t t t, t. O volume do tetraedro limitado pelo plano e pelos planos coordenados é, em unidades de volume: a) b) c) d) Completando quadrados na equação da esfera, teremos: x ² y ² z ² Seja P o centro. P = (,-,). A=(,,) é um ponto da reta que tem como vetor diretor u = (,-,). 00 e) Os vetores AP = P-A = (,-,) e u definem o plano. O vetor normal ao plano é dado por: i j k AP u 5.i.j k // 5,, Tendo o ponto A = (,,) temos a equação do plano: (,,) 5x y z c 0 0 c 0 c 0 : 5x y z 0 0 O plano define segmentos de comprimentos, 0 e 0/ com os eixos coordenados (basta fazer x = y=0, x = z = 0 e y = z = 0). O volume do tetraedro tri-retângulo é dado por:.0.(0 / ) 00 V 6 Resposta: (C) 00 /

8 Questão 7 O valor de sen x.cos²x.dx cosx cos x a) C c) cos x C e) cosx cos x C sen x b) cos x C d) cosx C.sen x.cos ²x.dx..senx.cos x.cos ²x.dx cos x 8. senx.cos ³x.dx 8. C. cos ²x C cos x. C..cos x cos ² x C cos ² x cos x cos x C cos x C cos x cos x C Resposta: (E) cos x cos x C

9 Questão 8 A secretária de uma empresa tem a tarefa de enviar 5 cartas de cobrança, com diferentes textos e valores, para 5 diferentes clientes. Uma vez preparadas as cartas e os respectivos envelopes, a secretária pede à sua auxiliar que coloque as cartas nos envelopes e as remeta pela empresa de Correios. Supondo que a auxiliar não tenha percebido que os textos são diferentes e tenha colocado as cartas nos envelopes de forma casual ou aleatória, a probabilidade das cartas terem sido enviadas corretamente para cada destinatário é: a) 0,5% b) 0,% c) 0,5% d) 0,8% e) 0,% Casos favoráveis: Há um único caso favorável (o que todas as cartas vão para o lugar certo). Casos totais: Basta organizar 5 cartas distintas em um fileira de 5 elementos. 5! = 0 casos. A probabilidade pedida será dada por P = (casos favoráveis)/(casos totais). Portanto, a probabilidade é de /0 = 0, Resposta: (D) 0,8%

10 Questão O resto da divisão do polinômio N(x) = x +, x, é igual a M(x) j 80 (j)(x 80 ) j pelo polinômio a) 0 b) 80 c) 60 d) 0 e) 0 Pelo teorema do resto de D Alembert, o resto de M(x) por (x+) é dado por M(-) i M i i PA de razao 6 PA de razao Resposta: (A) 0

11 Questão 0 O trapézio retângulo ABCDA, representado na figura abaixo, faz uma rotação completa em torno do eixo l, gerando um sólido s. Sabendo que os segmentos AB e BC e o ângulo têm por medida 8cm, 8cm e 0, respectivamente, e que o volume de S vale o dobro do volume de uma esfera de raio R, pode-se concluir que o comprimento de R, em cm, é: a) / ( ) b) / ( ) c) ( / ) d) / 8 ( ) e) ( / ) O volume é a soma de um cone e um cilindro, que somam o volume de esferas de raio R..r².H Vcilindro Vcone..R³.r².h..R³.8² ².8.R³ R Resposta: (B) R

12 Questão Os ângulos e na figura abaixo são tais que reta r é y = x. Então tg( ) a) b) c) d) e) vale:, e a equação da Do coeficiente angular da reta r, temos que = /. De onde segue que = /. Portanto: tg tg tg tg.tg Resposta: (C)

13 Questão No sistema cartesiano abaixo está esboçada uma porção do gráfico de uma função y(x) log (x a) restrita ao intervalo [,8], a * +. Se y() =, então o valor da área hachurada é: a) 6 log b) log c) 8 log d) 6 8 log e) log Do enunciado: y log a a a A soma das áreas é dada por:.y.y.y 6. log log 6 log 8. log.. 5 log log.log log Resposta: (E) log

14 Questão Considere x,y,z e vetores no o produto x (y z)vale a) - b) 0 c) / d) e) ³ que satisfazem ao sistema x y z,, x y z 5,, 8 x y z 5, 6,, Do sistema: x y z,, I x y z 5,, 8 II x y z 5, 6, III Fazendo (II I) e (III II): y z,, 6 IV y z 5,, 8 V Fazendo (V- IV) e resolvendo, acharemos: x,, y,, z,, O produto misto pedido é nulo, uma vez que x e y são vetores paralelos (os vetores não formam volume!) Resposta: (B) 0.

15 Questão Sejam f e g funções reais definidas por g (x) k cosx, k, se f equação f(x) = g(x) no intervalo a) 6 b) 7 c) 5 d) 6 6 e) g 7 6, 5 é f(x) sen x 6 cos x, então a soma das soluções da 7 7 f / g 5 cos k 5 k 5 Da igualdade, f(x) = g(x), teremos: 5 cos x.sen²x 6.cos x 5 cos ²x.cos ²x 6.cos x 0.cos ²x.cos x 0 cos x ou cos x / e As soluções no intervalo estipulado são: x e x 7 cuja soma é Resposta: (B).

16 Questão 5 Sejam L a reta tangente ao gráfico da função real f(x) e P(-,f(-)) e L a reta tangente ao gráfico da função y = f Q (, f( )). A abscissa do ponto de interseção de L e L é a) b) c) d) e) Utilizando a regra da cadeia: x x² x 5e² f ' x.e f '( ). x² x Derivando mais uma vez: x x no ponto (x) no ponto x. x. x² x. x² x x² x x x e f " x.e. x² x x² x x² x x² x f "( ) e² Achando as equações de L e L : L : y f( ) f '( ). x L : y f ' f ". x 5e² L : y e². x 5.e².e² L : y. x Resolvendo quanto à abcissa: Resposta: (A)

17 Questão 6 A função real f, de variável real é definida por f(x) = ln(x 5 + x + x). Podemos afirmar que a equação da reta normal ao gráfico da função inversa f - no ponto (ln, f - (ln)) é a) y x ln b) y x ln c) y x ln7 d) y x ln e) y x ln Sabemos que f() = ln e a derivada da função inversa de f é: ' f x f ' f x Sabemos também que: ' 5.x.x² ln x f '(x) f ' 5 x x x Daí segue que: ' f ln mnormal / A equação desta reta será: y f ln. x ln y. x ln Resposta: (C) y x ln7

18 Questão 7 Considere y = f(x) uma função real, de variável real, derivável até a a ordem e tal que f (x) + f (x) = 0, x. Se g(x) = f (x)senx f(x)cosx + cos²x, então: senx cosx a) g (x) C b) g (x) C c) g(x) C cosx d) g (x) f(x) C e) g(x) senx cos x C Derivando g(x): g'(x) f "(x).senx f '(x).cos x f '(x).cos x f(x).senx senx. f "(x) f '(x) sen x sen x 0.cos x.senx sen x Integrando, teremos g(x): cos x g x g'(x).dx sen x.dx C Resposta: (C) g x cos x C

19 Questão 8 Considere a matriz A = x mx x 0 nx e o polinômio p(x) = x² - x -, onde x, m e n pertencem ao conjunto. Se o determinante da matriz A é divisível pelo polinômio p(x) podemos afirmar que o termo de ordem (m+n) do binômio é: a) e) 8 x y 5 7 x y z b) x y z c) x 6 y z 6 8 5z 6 7 x x y z d) Para haver divisibilidade, as raízes - e (do polinômio divisor) devem ser raízes do polinômio dividendo. Dessa forma: x x 5 x 6 x y z 5 Laplace det A 5 m n 6 5 m n Para que o determinante seja nulo, basta que as colunas e sejam proporcionais, o que nos dá: m + n =. Utilizando o desenvolvimento do binômio de Newton para o º termo. x².y 8 7 T C.. 5.z³ 7.x.y.z 5 Resposta: (A) 8 7.x.y.z

20 Questão Seja f a função real de variável real, definida por f(x) = x x afirmar que: a) f é derivável x * b) f é crescente x c) f é positiva x e (, f()) é o ponto de inflexão. Podemos d) a reta y - x + = 0 é uma assíntota do gráfico da f e (0, f(0)) é o ponto de máximo local. * e) f é derivável x - {} e y x = 0 é uma assíntota do gráfico da f. Achando a derivada nos pontos em que f é derivável: x² x f '(x). / x³ x² O que nos sugere que a derivada não existirá para x = 0 ou x =. De fato: f(x) f(0) x³ x² lim lim x 0 x 0 x 0 x f(x) f() x³ x² lim lim x x x 0 x Como os limites não existem, a função não é derivável em x = 0 nem em x =. (Letra A é falsa!). A primeira derivada assume valores negativos entre 0 e /, logo f não é estritamente crescente em todo R*. (Letra B é falsa). A função f é negativa para x = -, por exemplo, o que torna a Letra C falsa. Achando a assíntota y = mx+h ao gráfico: m f(x) lim x³ lim x² lim / x x x x x x x x x h lim f x m.x lim x³ x² x lim x. / x lim x / x L 'Hospital lim 0 / x /. / x² / x x / x²

21 Logo, a equação da assíntota é dada por: y x / y x 0 A afirmação acima torna a Letra E falsa. Basta provarmos que (0,f(0)) é máximo local. x² x lim f '(x) lim. 0 x 0 x 0 / x³ x² x² x lim f '(x) lim. 0 / x³ x² x 0 x 0 O que significa que f decresce à direita de 0 e cresce à esquerda. Logo, apesar de haver um ponto de não derivabilidade (um bico ), este ponto é um ponto de máximo local! Resposta: (D)

22 Questão 0 Considere os conjuntos A = x / e B = x x x / log (x 5x 7) 0. Pode-se afirmar que A B é: 6 a),, 7 0 b),, c), 0 d),, 0, 6 e),, 7 O conjunto A gera a seguinte condição de existência. x x x x x x 0 0 x / ou x x 0 / ou x / x 0 0 x x 7. 0 x A x tal que x 0 / ou x O conjunto B gera a condição: x² 5x 7 x² 5x 6 0 x ou x x² 5x 7 0 A interseção de A com B, nos dá: Resposta: (D) 0 x ou x

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