Instituto Superior de Engenharia do Porto Departamento de Engenharia Electrotécnica. Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores

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1 Instituto Superior de Engenharia do Porto Departamento de Engenharia Electrotécnica Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores SISEL - Sistemas Electromecânicos Eercícios de 006

2 . Considere o manipulador robótico representado na figura. Representando por R uma junta Rotacional e por P uma junta Prismática, então a estrutura cinemática vem: ) PPP ) RPR C) RRP D) RRR. Considere o manipulador robótico representado na figura. Representando por R uma junta Rotacional e por P uma junta Prismática, então a estrutura cinemática vem: ) PPP ) RPR C) RRP D) Outro resultado. Considere o manipulador robótico representado na figura. Representando por R uma junta Rotacional e por P uma junta Prismática, então a estrutura cinemática vem: ) PPP ) RPR C) RRP D) Outro resultado 4. Considere o manipulador robótico representado na figura. Representando por R uma junta Rotacional e por P uma junta Prismática, então a estrutura cinemática vem: ) PPP ) RPR C) RRP D) Outro resultado 5. Considere o espaço de trabalho no espaço operacional O, gerado por um manipulador com dois eios. Então, designando por R e P, respectivamente os eios rotacional e prismático (ou linear) verifica-se que se trata de um: ) Robô com eio = R e eio = R (robô RR) ) Robô com eio = P e eio = R (robô PR) C) Robô com eio = R e eio = P (robô (RP) D) Robô com eio = P e eio = P (robô PP)

3 6. Considere o robô RR, com dois graus de liberdade rotacionais (onde l e l representam, respectivamente, os comprimentos dos elos e ) e 80º<θ <+80º 80º<θ <+80º. Na segunda figura está esboçado o correspondente espaço de trabalho no espaço operacional {O}. Então, pode concluir-se que: ) l =, m e l = 8 m ) l = 6 m e l = 6 m C) l = m e l = m D) l = 8 m e l = 4 m l θ l θ, m 8 m 7. Considere o robô RR, com dois graus de liberdade rotacionais, e o seu espaço de trabalho representado na figura. Suponha que os comprimentos dos elos do robô são representados por l i (i =,) e que os ângulos nos eios tomam valores tais que θ imin < θ i < θ ima, onde θ imin e θ ima representam, respectivamente, os limites mínimo e máimo de variação (i =,). Se os pontos e tiverem coordenadas (.7, 0) e ( 0.) então pode dizer-se que: ) l = l =.5 ) l =.7 e l = C) l =,5 e l =, D) Outro resultado 8. Considere o seguinte manipulador robótico com dois graus de liberdade rotacionais (robô RR). (,) L θ L θ o L - comprimento do elo L - comprimento do elo θ - ângulo em que se encontra o eio θ - ângulo em que se encontra o eio s características físicas do robô são as seguintes: ) L = m; L = 5 m; 5º < θ < +5º; 45 º < θ < +80º; C) L = m; L = m; 5º < θ < +5º; 0 º < θ < +80º; ) L = m; L = 5 m; 5º < θ < +5º; 0 º < θ < +80º; D) L = m; L = 5 m; 5º < θ < +5º; 0 º < θ < +5º;

4 9. Considere o robô RR, com dois graus de liberdade rotacionais, onde l = m e l = m, e correspondente espaço de trabalho no espaço operacional {O}, representados nas figuras. Então, pode concluir-se que: l θ ) 0º < θ <+90º e 80º < θ < +80º ) 80º < θ <+90º e 80º < θ < +90º C) 80º < θ <+80º e 80º < θ < +80º D) 90º < θ <+90º e 80º < θ < 0º l θ 0. Considere o robô RR, com dois graus de liberdade rotacionais, onde l = m e l = m, e correspondente espaço de trabalho no espaço operacional {O}, representados nas figuras. lém disso, sabe-se que o robô apresenta as seguintes limitações de accionamento nas juntas: 90º θ +90º e 80º θ 0º, Neste caso, para θ = +90º e θ = 90º a mão robô atinge: l θ l θ C ) Ponto ) Ponto C) Ponto C D) Outro resultado. Considere o robô RP, com um grau de liberdade rotacional (R) e um grau de liberdade linear (P), conforme representado na figura. Considere que as juntas têm as limitações de deslocamento tais que π/ < q < 5π/6 rad e,0 < q <,0 m. Então, a área de trabalho no espaço operacional vem aproimadamente: ) 5,7 m ),4 m C) 5 m D) Outro resultado q q. Considere o robô PP, com dois graus de liberdade lineares (P), conforme representado na figura. s juntas são actuadas por motores acoplados a engrenagens com um reduções n i onde θ i é o deslocamento (rotacional) do motor e q i é o deslocamento (linear) do elo i do robô (i =,). Considere que as juntas têm as limitações de deslocamento tais que π/ < θ < π rad, π/ < θ < π/ rad, que n = 8 m rad, n = 5 m rad. Então, a área de trabalho no espaço operacional vem aproimadamente: motor θ q q n n θ motor ) 7,0 m ) 4,80 m C) 5,9 m D) Outro resultado

5 . Considere o robô PP, com dois graus de liberdade lineares (P), conforme representado na figura. s juntas são q actuadas por motores acoplados a engrenagens com um i reduções n i onde θ i é o deslocamento (rotacional) do motor e motor elo i q i é o deslocamento (linear) do elo i do robô (i =,). θ q I, n i Considere que as juntas têm as limitações de deslocamento tais que π/ < θ < π rad, π/ < θ < π/ rad, que n = 8 m rad, n = 5 m rad. Então, a área de trabalho no espaço operacional vem aproimadamente: ) 7, m ) 5,9 m C) 4, m D) Outro resultado q 4. Considere o manipulador robótico representado na figura, com estrutura RPP (R - junta Rotacional, P - junta Prismática) e sejam θ i (i =,,) as variáveis das juntas. Se as variáveis nas juntas têm amplitude de variação tais que 0 θ < π rad (eio R), 0 θ < L (eio P) e L θ < L (eio P), então o volume de trabalho V vem: ) V 4L ) V 9L C) V L D) Outro resultado 5. Considere o manipulador robótico com estrutura cinemática RRP representado na figura (R - junta Rotacional, P - junta Prismática) e sejam {θ, θ, θ } as variáveis das juntas. Supondo que π θ π, π θ π, 0 θ L então o volume de trabalho V vem: ) V = πl / ) V = πl / C) V = 4πL / D) Outro resultado θ θ θ 6. Considere o manipulador robótico com estrutura cinemática PRP representado na figura (R - junta Rotacional, P - junta Prismática) e sejam {θ, θ, θ } as variáveis das juntas. Supondo que 0 θ L, π θ π, 0 θ L então o volume de trabalho V vem: ) V = πl ) V = πl C) V = πl D) Outro resultado θ θ θ 7. Considere o manipulador robótico com estrutura cinemática RRP representado na figura (R - junta Rotacional, P - junta Prismática) e sejam {θ, θ, θ } as variáveis das juntas. Supondo que π θ π [rad], 0 θ π [rad], L θ L [m] então o volume de trabalho V vem: ) V = (7/)πL / [m ] ) V = (4/)πL / [m ] C) V = (8/)πL [m ] D) V = (4/)πL / [m ] θ θ θ 4

6 8. Considere o manipulador robótico com juntas da figura, que apresenta as seguintes dimensões e restrições das juntas: L a =5 m L b = m 5º < q < 5º L c = m 0 m < q < 4 m 8.a) Indique qual a estrutura do manipulador, o seu índice de mobilidade (M) e o número de graus de liberdade (n). 8.b) Calcule o espaço de trabalho do manipulador para q = 0º. 8.c) Calcule o espaço de trabalho do manipulador para 0º < q < 80º. 9. s características de precisão e de repetibilidade de dois robôs são testadas através de uma mesma eperiência. ssim, solicita-se que repitam várias vezes uma trajectória até ao centro de um alvo. Os pontos atingidos estão representados nas figuras seguintes. Então, pode dizer-se que: ) O robô tem maior precisão que o robô ) O robô tem menor precisão que o robô C) O robô tem menor repetibilidade que o robô D) Outro caso robot robot pontos atingidos alvo 0. s características de precisão e de repetibilidade de dois manipuladores robóticos são testadas através de uma mesma eperiência. ssim, solicita-se que repitam várias vezes uma trajectória, com início num mesmo ponto até um ponto final situado no centro de um alvo. Os grupos de pontos atingidos estão representados na figura e designam-se por e, respectivamente para os robôs e. Então, pode dizer-se que: ) O robô tem menor precisão e maior repetibilidade do que o robô ) Os robôs e têm precisão e repetibilidade idênticas C) O robô tem maior precisão e menor repetibilidade do que o robô D) Outro resultado. s características de precisão e de repetibilidade de dois manipuladores robóticos são testadas através de uma mesma eperiência. ssim, solicita-se que repitam várias vezes uma trajectória, com início no ponto até um ponto final no centro de um alvo. Os pontos atingidos estão representados na figura seguinte. Então, pode dizerse que:.a) ) O robô tem menor precisão que o robô ) O robô tem precisão igual à do robô C) O robô tem maior precisão que o robô D) Outro caso.b) ) O robô tem menor repetibilidade que o robô ) O robô tem repetibilidade igual à do robô C) O robô tem maior repetibilidade que o robô D) Outro caso 5

7 . Considere o robô RRR representado na figura seguinte. (,) L θ L θ cinemática directa deste robô é dada por: o L θ ) = L senθ = L cos θ C) = L cos θ = L senθ + L + L + L + L sen ( θ + θ ) + Lsen( θ + θ + θ ) ( θ + θ ) + L cos( θ + θ + θ ) cos sen ( θ + θ ) + L cos( θ + θ + θ ) ( θ + θ ) + L sen( θ + θ + θ ) cos ) = L cos θ = L senθ + L D) Outro resultado cos θ + L senθ + L cos θ + L senθ. Considere o seguinte manipulador robótico com três graus de liberdade rotacionais. Vista Lateral do Manipulador Vista de Topo do Manipulador Y Z L L θ θ h θ θ.a) Determine a cinemática directa deste manipulador, sendo: L - comprimento do elo ; L - comprimento do elo ; h - altura desde a base do manipulador até ao eio ; θ - ângulo em que se encontra o eio ; θ - ângulo em que se encontra o eio ; θ - ângulo em que se encontra o eio..b) Esboce o volume de trabalho (vista lateral e vista de topo) deste manipulador, sendo: L = m; L = 5 m; h =,5 m; 45º < θ < +45º; 45 º < θ < +80º; 0º < θ < 5º. 6

8 Vista Lateral do Manipulador Z Vista de Topo do Manipulador Y 7

9 4. Considere o seguinte manipulador robótico com estrutura RRP (três graus de liberdade, dois rotacionais θ e θ e um prismático l ). Z Vista Lateral do Manipulador Vista de Topo do Manipulador Y l L θ h θ θ 4.a) Escreva as equações da cinemática directa (de posição) para este robô, sendo: L comprimento do elo ; l deslocamento linear da junta ; h altura desde a base do manipulador até à junta ; θ deslocamento angular da junta ; θ deslocamento angular da junta ; 4.b) Represente no espaço operacional a trajectória do robô entre os pontos e, representados no espaço das juntas (θ é o eio vertical, θ é o eio das abcissas e l o eio das ordenadas). Suponha uma interpolação linear entre estes dois pontos, no espaço das juntas. Considere θ constante com o valor θ =0º. Espaço das juntas l (m) Limite do volume de trabalho º 0º 5º 80º θ (º) θ - eio vertical 4.c) Esboçe o volume de trabalho (vista lateral e vista de topo) deste manipulador, sendo: h =,5 m; L = m; 5 m < l < m; 80º < θ < +5º; 45 º < θ < +80º; 8

10 Vista Lateral do Manipulador Z Vista de Topo do Manipulador Y 9

11 5. Considere o robô do tipo RPRP representado na figura, onde: 80º < q < 80º, 5 m < q <,0 m, 0º < q < 90º, 5 m < q 4 <,5 m 5.a) Calcule as equações da cinemática directa. 5.b) Determine os valores das juntas de forma a que a posição do robô seja =,0 m, =,5 m, z = 5 m 5.c) Em geral, para uma dada posição (,,z) no interior do espaço de trabalho quantas soluções (q,q, q,q 4 ) eistem para as equações da cinemática inversa? 6. Considere o robô RR, com dois graus de liberdade rotacionais, representado na figura tal que l = 9 m, l = 4 m, 90º <θ <+80º e 0º <θ <+80º. Esboce o espaço de trabalho do robot no espaço operacional {O} e indique os pontos onde ocorrem singularidades cinemáticas. l θ l θ 7. Considere o robô RR, com dois graus de liberdade rotacionais, representado na figura tal que l e l representam os comprimentos dos elos e. Então, eistem singularidades cinemáticas nos lugares geométricos: l θ ) + = (l + l ) e + = (l l ) ) + = l + l e + = l l C) + = l + l e = l l D) + = (l + l ) e = (l l ) l θ 8. Considere o robô RR, com dois graus de liberdade rotacionais, onde l = m e l = m, e correspondente espaço de trabalho no espaço operacional {O}, representados nas figuras. lém disso, sabe-se que o robô apresenta as seguintes limitações de accionamento nas juntas: 90º θ +90º e 80º θ 0º. Neste caso, é ponto com singularidade cinemática: l θ l θ D ) Ponto ) Ponto C) Ponto C D) Ponto D C 9. Considere o robô RR, com dois graus de liberdade rotacionais, representado na figura tal que: l = 0.6 m, l = 0.4 m, 90º θ +90º e 5º θ +0º. Esboce o volume de trabalho do robô no espaço operacional {, } e no espaço das juntas {θ, θ }. Indique os pontos onde ocorrem singularidades cinemáticas caso eistam. l θ l θ 0

12 0. Considere o robô RR, com dois graus de liberdade rotacionais, representado na figura tal que l =,0 m l = 5 m. Então, ocorre uma singularidade cinemática nos lugares geométricos: l θ ) + =,5 e + = 0 ) + = e + =,5 C) + = e + = 0 D) Outro resultado l θ. Considere o robô RR, com dois graus de liberdade rotacionais, representado na figura tal que l = m l = 5 m. Então, eiste uma singularidade cinemática no lugar geométrico: l θ ) θ = 0 rad, θ = π/ rad ) θ = ±π rad, θ = π/ rad C) θ = π/ rad, θ = π/ rad D) Outro resultado l θ. Considere um robô com uma estrutura RR, tal como representado na figura seguinte, em que os elos apresentam comprimentos L i = m (i=,). gama de variação do movimento de cada uma das juntas deste robô é: 80º < θ i < +80º (i=,). Indique se é possível a este robô efectuar uma trajectória em linha recta no espaço operacional entre os pontos com coordenadas ( ;.5) e ( ;.5). Justifique a sua resposta através da representação da trajectória resultante seja no espaço operacional {o} seja no espaço das juntas {oθ θ }. o L θ L (,) θ. Um manipulador RR está inserido no processo de produção fabril representado na figura..a) Configure os limites das juntas de modo a evitar que (por eemplo, devido a um erro de programação) o manipulador choque com a Máquina. Máquina (m) l = 0.75m l = 0.5m (, 0) ( -) C ( 0.5) D (0.6, -0.6).b) função do manipulador consiste em transportar peças do tapete (ponto ) para o tapete (ponto ). Calcule as coordenadas (q,q ) de quatro pontos (inicial, intermédio, intermédio e final) de uma trajectória a ser seguida pelas juntas que permita que o manipulador cumpra essa função sem colidir com nenhuma das máquinas. Esboce a evolução da posição dos elos ao longo da trajectória. l q C q Tapete l (0) D Máquina (m) Tapete

13 4. Considere o robô RR, com dois graus de liberdade rotacionais, representado na figura tal que l = 5 m, l = 4 m, 90º <θ < +90º e 0º < θ < +50º. 4.a) Esboce o espaço de trabalho do robô no espaço operacional {} e no espaço das juntas {θ θ }. Indique os pontos onde ocorrem singularidades cinemáticas caso eistam. 4.b) mão do robô eecuta uma trajectória no espaço operacional entre os pontos = (,) (5; ) e = (,) (; ). Determine as correspondentes coordenadas no espaço das juntas {θ θ }. Comente as diferentes possibilidades caso elas eistam. l θ l θ 5. Um robô RR com l = m e l =,5 m, está inserido no processo de produção fabril representado na figura. função do manipulador consiste em transportar peças do tapete (ponto ) para o tapete (ponto ). 5.a) Calcule, no espaço das juntas, as coordenadas {q, q} de quatro pontos (inicial, intermédio, intermédio e final) de uma trajectória a ser seguida pelas juntas que permita que o manipulador cumpra essa função sem colidir com nenhuma das máquinas. Esboce a evolução da posição dos elos ao longo da trajectória. 5.b) Seria possível usar outro tipo de manipulador com um número de juntas igual ou inferior ao do robô RR para desempenhar a função descrita? Em caso afirmativo diga qual e esboce a sua trajectória, no espaço das juntas, para o percurso -. Máquina (m) q l (, 0) ( -) C ( ) D (0.8, -0.8) C l q Tapete D Máquina (m) Tapete 6. Considere o robô RR, com dois graus de liberdade rotacionais e l = l = m, e as trajectórias e C D no espaço operacional {O}, ambas com duração de seg, representadas nas duas figuras para várias configurações sucessivas do robô. Então, pode dizer-se que: ) trajectória impõe maiores velocidades nos eios do robô. ) trajectória C D impõe maiores velocidades nos eios do robô. C) s trajectórias e C D impõem velocidades idênticas nos eios do robô. D) Outro resultado.

14 7. Considere o planeamento de trajectórias de um robô. Então, em geral pode dizer-se que: ) trajectória deve incluir pontos situados muito perto dos limites de deslocamento dos eios ) trajectória deve incluir pontos situados perto das singularidades cinemáticas C) trajectória deve incluir pontos situados fora do espaço de trabalho D) Outro resultado 8. Considere o robô RR, com dois graus de liberdade rotacionais, com l = 5 m e l = 5 m e as seguintes limitações de accionamento nas juntas: 90º θ +90º e 0º θ +80º. Pretende-se efectuar a trajectória C D E no espaço operacional O representada na figura da direita. Indique a corresponde evolução dos sinais {(t), (t)} e {θ (t), θ (t)}. l θ l θ 9. Considere o robô RR, com dois graus de liberdade rotacionais, com l = 5 m e l = 5 m e as seguintes limitações de accionamento nas juntas: θ min θ θ ma e θ min θ θ ma (com valores mínimo e máimo tais que θ min < θ ma e θ min < θ ma ). Pretende-se efectuar a trajectória C D E no espaço operacional O representada na figura da direita. l θ l θ Determine os valores limite de {θ min, θ ma, θ min, θ ma } tais que: 9.a) trajectória só é possível de eecutar com configuração do robô cotovelo para baio (lower elbow). 9.b) trajectória só é possível de eecutar com configuração do robô cotovelo para cima (upper elbow). 40. Considere um manipulador robótico do tipo RR com l = l =,5 m e 80º<q <80º e 80º<q <80º. Pretende-se que o manipulador se movimente segundo uma trajectória com pontos inicial e final respectivamente ( 0, 0 ) = (,) e D (, ) = (, ). O algoritmo de planeamento de trajectória efectua uma interpolação gerando dois pontos adicionais e C de forma aos quatro pontos ficarem equidistantes. Para uma configuração lower elbow, determine os valores das coordenadas (q,q ) e (,), respectivamente no espaço das juntas e no espaço operacional, correspondentes aos quatro pontos {,,C,D} quando: 40.a) interpolação é eecutada no espaço das juntas Oq q 40.b) interpolação é eecutada no espaço operacional O 40.c) trajectória especificada na alínea anterior obriga o manipulador a cruzar uma singularidade. Indique qual a singularidade, os seus efeitos no desempenho do manipulador e uma possível forma de os minimizar.

15 (soluções) Soluções. D) RRR. D) Outro resultado (RPP). C) RRP 4. ) RPR 5. C) Robô com eio = R e eio = P (robô (RP) 6. C) l = m e l = m 7. C) l =,5 e l =, 8. ) 9. D) 90º < θ <+90º e 80º < θ < 0º 0. ) Ponto 5 = π + 6 C) 5 m. ( ). C) 5,9 m 5m. π < θ < π π π < θ < Δq i = nδθ ) 5,9 m i π Δθ = Δθ = π π = Δq. Δq =.8 9m ( π.5) 5, 4. ) V 9L 5. C) V = 4πL / 6. ) V = πl 7. ) V = (4/)πL / [m ] Representação da área de trabalho no espaço operacional para q =0º 8. 8.a) RRP, M=, n= 8.b) 70 área de trabalho = 60 5 π (5 ) 56m

16 (soluções) 8.c) π π 5 Volume de trabalho = 4 sen(q )q dq dq dq = π[ cos(q )] 4 m π q ) O robô tem menor precisão que o robô 0. C) O robô tem maior precisão e menor repetibilidade do que o robô..a) ) O robô tem menor precisão que o robô.b) ) O robô tem repetibilidade idêntica à do robô. C)..a) Cinemática directa: = cos θ l cos θ + l cos θ + θ = senθ l cos θ + l cos θ + θ z = h + lsenθ + lsen( θ + θ ) [ ( )] [ ( )].b)

17 (soluções) 4. 4.a) 4.b) [( ) ] [ ] = cos( θ) L + l cos( θ ) Cinemática directa: = sen( θ) ( L + l ) cos( θ ) z = h + ( L + l ) sen( θ ) z θ =5º h l =m θ =0º l =75m 4.c)

18 (soluções) 5. 5.a) 5.b) q4 cos( q ) cos( q) = q4 cos( q )sen( q) z q + q4sen( q ) r = + =, 5m Só é possível com q = 0 e q4 =, 5m, logo: 5, cos( q) q = z = 5m = 5sen(, q ) sen( q ) = q = 48, z q cos( q) 5.c) Infinitas. 6. Volume de trabalho no espaço operacional Obtêm-se duas zonas de singularidade cinemática: R = l + l R = l l =,m = 5m θ = 0 θ = 80 R R 7. ) + = (l + l ) e + = (l - l ) 8. C) Ponto C 9. Volume de trabalho no espaço das juntas θ 0º Lower Elbow -90º 90º θ Upper Elbow -5º 4

19 (soluções) Volume de trabalho no espaço operacional (Lower Elbow) R R R = R cos(60 ) = 59m = = m Verifica-se uma singularidade cinemática para: θ qualquer, θ = 0º Volume de trabalho no espaço operacional (Upper Elbow) R R R = R cos(45 ) = 45m = = m Verifica-se uma singularidade cinemática para: θ qualquer, θ = 0º 0. D) Outro resultado Pontos singulares. D) Outro resultado θ = 0 rad, θ = ±π rad + + =,5 = 5 5

20 . (soluções) Volume de trabalho no espaço das juntas Trajectória pretendida no espaço operacional q 80º - -80º 80º q - -80º q ecede o limite de movimento admissível (98º;5,º)..a) (-49º;5,º) q 5 = arcsin = 48 75, 80 < q 80 < q < 4,8 < 4,8.b) Ponto inicial Ponto = = 0 q = 8,9 q = 75,5 Ponto intermédio Ponto I I I = 75 = 5 q = 9, q = 04,5 Ponto intermédio Ponto I I I = 5 = 75 q =,8 q = 04,5 Ponto final Ponto = 0 = q = 6 q = 75,5 6m 6

21 (soluções) 4. 4.a) Volume de trabalho no espaço das juntas θ 50º Lower Elbow -90º 90º θ -0º Upper Elbow Volume de trabalho no espaço operacional (Lower Elbow) Volume de trabalho no espaço operacional (Upper Elbow) R R R R R = R cos(0 ) = 5m = = 9m R = R cos(60 ) = 458m = = 9m Nas duas situações eistem singularidades cinemáticas para: θ qualquer, θ = 0º 4.b) (;) (5;-) Só é possível através da configuração lower elbow, pois na configuração upper elbow os limites das juntas do robô são ultrapassados. 7

22 (soluções) Lower Elbow Upper Elbow trajectória θ (graus) θ (graus) θ (graus) θ (graus) ,0,0 5, -, ,0 54-5,0 5-6,4,9 68, -,9 75-6,8 7,4 88,8-7,4,9 4,4 08,7-4, a) Ponto inicial Ponto = = 0 q = 46,6 q = 75,5 Ponto intermédio Ponto I I I = = q = 4, q = 8,6 Ponto intermédio Ponto I I I = = q = 8, q = 04,5 Ponto final Ponto = 0 = q = 6,6 q = 75,5 5.b) Sim. Uma estrutura RP. q -π -π 4 q 6. ) trajectória C D impõe maiores velocidades nos eios do robô. 7. D) Outro resultado 8

23 (soluções) 8. Cinemática inversa de um robô RR: l sin θ arctg arctg θ l + l cos θ = θ + l l arccos ll Com l = l = 5m vem: Lower Elbow Upper Elbow trajectória tempo θ (graus) θ (graus) θ (graus) θ (graus) ,8 5,7 5,8-5,7 4,5 9,5-4,7 48,,6-48, C 7 6 -, 95,7 74,4-95,7 D -9,9 9,8 09,9-9,8 E Solução, é possível Solução : não é possível pois ecede os limites das juntas. Evolução de e tempo Evolução de q e q q (graus) q (graus) tempo 9. (Ver resolução do eercício anterior) 9.a) Lower Elbow: 90º θ 0º e 0º θ 80º 9.b) Upper Elbow: 0º θ 80º e -80º θ 0º 9

24 (soluções) a) Lower Elbow trajectória θ (graus) θ (graus) - 7,,7 7,7,,7 C,7 7-46,9,7 D - -06,9,7 40.b) Interpolação no espaço operacional Lower Elbow trajectória θ (graus) θ (graus) - 7,,7-54,0 6,9 C - -6,0 6,9 D - -06,9,7 (-;) C D (;-) 40.c) - Singularidade cinemática: l = l e ==0 (θ qualquer, θ = ±80º). - Eiste um número infinito de possíveis configurações do robô. - Definir uma trajectória que não atravesse o ponto singular em causa. 0