[ \ x Recordemos o caso mais simples de um VLVWHPD de duas HTXDo}HVOLQHDUHV nas duas LQFyJQLWDV [ e \.

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1 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV1 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV Å 1Ro}HV *HUDLV Recordemos o caso mais simples de um VLVWHPD de duas HTXDo}HVOLQHDUHV nas duas LQFyJQLWDV [ e \. [\ [\ É fácil verificar que este sistema tem como ~QLFDVROXomR, [ \ Em termos gráficos, as equações representam duas UHFWDV no plano, cujo SRQWR GHLQWHUVHFomR é a VROXomRGRVLVWHPD. Contudo, sabemos também que QHPWRGRVRVVLVWHPDVOLQHDUHVWrPVROXomR. Como por eemplo, [\ [\

2 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV2 Graficamente, isso acontece porque as duas HTXDo}HVOLQHDUHV representam duas UHFWDVSDUDOHODV. Pode ainda acontecer que o sistema seja possível, mas WHQKDXPDLQILQLGDGH GHVROXo}HV. Como por eemplo, [\ [\ Graficamente, isso acontece porque as duas equações representam efectivamente D PHVPDUHFWD. A solução do sistema é o conjunto de todos os pontos dessa recta. Para tentar resolver sistemas de dimensões superiores, precisamos de matrizes.

3 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV3 Å 6LVWHPDV H 0DWUL]HV Uma HTXDomROLQHDU tem a forma geral, onde, D L, L {Q} são os FRHILFLHQWHV [ L, L {Q} as LQFyJQLWDV E o WHUPRLQGHSHQGHQWH Uma equação linear pode ser representada na sua IRUPDPDWULFLDO, PDWUL]OLQKDGRVFRHILFLHQWHV PDWUL]FROXQDGDVLQFyJQLWDV Dizemos que o n-uplo V V V Q éuma VROXomRGDHTXDomROLQHDU se,

4 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV4 Na forma matricial, é uma matriz coluna tal que, Ao conjunto de todas as soluções chamamos FRQMXQWRVROXomR da equação linear. Por eemplo, com =, consideremos a HTXDomROLQHDU, com UHSUHVHQWDomRPDWULFLDO, Eplicitando em função de uma das incógnitas, por eemplo [, podemos formalizar o FRQMXQWRVROXomR como, ou seja, WRGRVRVWHUQRV [ [ [ tais que [ [ [ ±, como por eemplo: Para obter uma VROXomR~QLFD seriam necessárias três equações lineares...

5 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV5 Å 6LVWHPDV GH (TXDo}HV /LQHDUHV Um VLVWHPDGHP HTXDo}HVOLQHDUHV e Q LQFyJQLWDV, P, Q, tem a forma geral, onde, D LM, L {P} e M {Q} são os FRHILFLHQWHV [ M, M {Q} são as LQFyJQLWDV E L, L {P} são os WHUPRVLQGHSHQGHQWHV Se E L para WRGR o L {P} o sistema diz-se KRPRJpQHR, caso contrário o sistema diz-se FRPSOHWR. O n-uplo V V V Q é uma VROXomRGRVLVWHPD se for solução de todas as equações do sistema. Ao conjunto de todas as soluções chamamos FRQMXQWRVROXomR do sistema. Por eemplo, [ [ [ [ [ [ é um sistema completo, de 2 equações e 3 incógnitas.

6 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV6 O terno é XPD VROXomR do sistema pois, l l l l l l Dois sistemas são HTXLYDOHQWHV se tiverem o mesmo conjunto solução. Uma RSHUDomRHOHPHQWDU transforma um dado sistema noutro que lhe é equivalente. > 2SHUDo}HV HOHPHQWDUHV Representamos as equações do sistema por H L com L {P}. 7URFDUGXDVHTXDo}HV H L Ž H M 0XOWLSOLFDUXPDHTXDomRSRUXPHVFDODUQmRQXOR H L ~DH L com D $GLFLRQDUDXPDHTXDomRRXWUDPXOWLSOLFDGDSRUXPHVFDODU H L ~ H L + E H M Aplicando uma sequência de operações elementares a um dado sistema, obtemos outro sistema com o mesmo conjunto solução. Deste modo podemos transformar um dado sistema linear noutro, cuja resolução é mais simples.

7 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV7 Por eemplo para o sistema, [\ [\ H ~ - H [\ [\ H ~ H H [\ \ H ~ òh [\ \ H ~ H H [ \ H ~ ò H [ \ Assim, por uma sequência de operações elementares obtivemos um sistema equivalente, ou seja, a VROXomR~QLFD do sistema inicial, [ \

8 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV8 Por eemplo para o sistema, [ [ [ [ [ [ [ [ H ~ H H [ [ [ [ [ [ [ H ~ H H [ [ [ [ [ [ [ H ~ H òh [ [ [ [ [ ò[ ò Deste modo, obtivemos um VLVWHPDHTXLYDOHQWH onde é óbvio que [. Mas, conhecido este valor, podemos substituí-lo na segunda equação, [ donde, [ E conhecidos os valores de [ e [ podemos substituí-los na primeira equação, [ donde, [

9 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV9 O sistema anterior tem portanto como ~QLFDVROXomR o terno. Ou seja, o FRQMXQWRVROXomR ^ ` é unitário. Atendendo ao Q~PHURGHVROXo}HV, um sistema de equações lineares pode ser classificado como: LPSRVVtYHO quando não tem solução SRVVtYHOHGHWHUPLQDGR quando tem uma única solução SRVVtYHO SRVVtYHOHLQGHWHUPLQDGR quando tem uma infinidade de soluções Por eemplo o sistema de equações e incógnitas,

10 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV10 Assim, o conjunto solução deste sistema é dado por, Trata-se portanto de um VLVWHPDSRVVtYHOHLQGHWHUPLQDGR, pois todo e qualquer valor real da variável [ gera uma solução. Dizemos que [ éuma YDULiYHOOLYUH na solução. Num sistema possível e indeterminado chama-se JUDXGHLQGHWHUPLQDomR ao número de variáveis livres nas soluções. O sistema anterior tem XPD~QLFDYDULiYHOOLYUH, pelo que o JUDXGH LQGHWHUPLQDomRé igual a. Por eemplo o sistema de equações e incógnitas, Trata-se portanto de um VLVWHPDLPSRVVtYHO e o conjunto solução é vazio. Para uma maior comodidade dos cálculos das operações elementares e para permitir a sua programação, os sistemas de maiores dimensões são habitualmente representados na sua forma matricial.

11 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV11 Å 5HSUHVHQWDomR 0DWULFLDO GH 6LVWHPDV GH (TXDo}HV /LQHDUHV Um dado VLVWHPDGHP HTXDo}HVOLQHDUHV e Q LQFyJQLWDV, P, Q, pode ser representado na IRUPDPDWULFLDO $ ; % onde, $ éa PDWUL]GRVFRHILFLHQWHV ; éa PDWUL]FROXQDGDVLQFyJQLWDV % éa PDWUL]FROXQDGRVWHUPRVLQGHSHQGHQWHV Note que, efectuando o produto das matrizes obtemos, e pela igualdade de matrizes recuperamos o sistema original.

12 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV12 Porque as operações HOHPHQWDUHVVREUHDVHTXDo}HV envolvem também os segundos membros, torna-se conveniente utilizar a chamada PDWUL]DPSOLDGD do sistema [ $ % ], Como por eemplo o sistema, tem como forma matricial $ ; % onde, e como matriz ampliada, Deste modo, as operações elementares podem ser aplicadas directamente às linhas da matriz ampliada, tal como no método de Gauss...

13 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV13 Å 2 PpWRGR GH HOLPLQDomR GH *DXVV Retomemos o sistema, [ [ [ [ [ [ [ [ cuja PDWUL]DPSOLDGD, [ $ % ]= Consideremos a sequência de RSHUDo}HVHOHPHQWDUHV efectuadas sobre as equações do sistema, mas vamos agora efectuá-las sobre as OLQKDVGDPDWUL]DPSOLDGD, / L com L { }. / ~ / / / ~ / / / ~ / ò/

14 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV14 Deste modo, obtivemos uma matriz ampliada que corresponde ao sistema, Este sistema é HTXLYDOHQWH ao inicial, mas possui uma propriedade muito conveniente: D PDWUL]GRVLVWHPDpWULDQJXODUVXSHULRU. Este facto permite-nos agora calcular a solução de forma simples, por sucessivas VXEVWLWXLo}HVDVFHQGHQWHV. Podemos então redefinir as RSHUDo}HVHOHPHQWDUHV, mas agora VREUHDV OLQKDVGDPDWUL]DPSOLDGD de um sistema linear. > 2SHUDo}HV HOHPHQWDUHV VREUH OLQKDV Representando as linhas da matriz ampliada por / L com L {P}. 7URFDUGXDVOLQKDV / L Ž / M 0XOWLSOLFDUXPDOLQKDSRUXPHVFDODUQmRQXOR / L ~D/ L com D $GLFLRQDUDXPDOLQKDRXWUDPXOWLSOLFDGDSRUXPHVFDODU / L ~ / L + E / M

15 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV15 Por eemplo o sistema, tem por PDWUL]DPSOLDGD, Efectuemos a sequência de RSHUDo}HVHOHPHQWDUHVVREUHOLQKDV: Trocar as duas primeiras linhas, / Ž / Somar à segunda, a primeira multiplicada por, Somar à terceira, a primeira multiplicada por ±, / ~ / / / ~ / ±/ Somar à terceira, a segunda multiplicada por, / ~ / /

16 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV16 Dividir a terceira por, / ~ / Donde, SRUVXEVWLWXLomRDVFHQGHQWH, obtemos o FRQMXQWRVROXomR O facto da matriz obtida ser WULDQJXODUVXSHULRU, tornou possível o cálculo da solução por VXEVWLWXLomRDVFHQGHQWH. Mas não é necessário tanto... Para que a substituição ascendente seja possível, basta que a matriz ampliada esteja HVFDORQDGDSRUOLQKDV. Diz-se que uma matriz está na IRUPDHVFDORQDGDSRUOLQKDV se satisfizer as seguintes condições: ƒ ƒ ƒ Se há linhas nulas elas situam-se abaio das linhas não nulas; O primeiro elemento não nulo de cada linha (com ecepção da primeira) situa-se à direita do primeiro elemento não nulo da linha anterior; Os elementos que se situam abaio do primeiro elemento não nulo de cada linha (com ecepção da última) são todos nulos. Aos primeiros elementos não nulos de cada linha chamam-se SLYRWV.

17 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV17 Por eemplo, estão HVFDORQDGDVSRUOLQKDV as matrizes, mas QmRHVWiescalonada por linhas a matriz, Diz-se que uma matriz está na IRUPDHVFDORQDGDUHGX]LGD se: estiver na forma escalonada por linhas e cada SLYRW é igual a e é o único elemento não nulo da sua coluna. Por eemplo, estão na IRUPDHVFDORQDGDUHGX]LGD as matrizes, Ou seja, os SLYRWV são todos iguais a e tanto abaio com acima deles todos os elementos são nulos.

18 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV18 Verifique que todas as matrizes seguintes estão HVFDORQDGDVSRUOLQKDV, mas apenas as matrizes de $ até $ estão na IRUPDUHGX]LGD. Note que, se para um dado sistema $; % conseguirmos obter a forma, ou seja, a matriz identidade, isso corresponde a um sistema na forma, com, $ ;, Q ; ; % e portanto está calculada a solução única do sistema, ; %. 7HRUHPD: Toda a matriz pode ser colocada na IRUPDHVFDORQDGD, mediante uma sequência finita de RSHUDo}HVHOHPHQWDUHV sobre as linhas. A GHPRQVWUDomR deste teorema é o próprio DOJRULWPRGH*DXVV.

19 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV19 2 PpWRGRGHHOLPLQDomRGH*DXVV SDUDFRQYHUWHUXPDPDWUL]jIRUPDHVFDORQDGDSRUOLQKDV Se todos os elementos da matriz forem nulos, parar. Procurar, da esquerda para a direita, a primeira coluna que tenha um elemento não nulo ( N) e mover essa linha para o topo da matriz. (RSFLRQDO) Multiplicar por N a primeira linha para que o primeiro SLYRW fique igual a. Anular cada elemento abaio do SLYRW, adicionando às linhas correspondentes múltiplos adequados da primeira linha. (DTXLDSULPHLUDOLQKDHDSULPHLUDFROXQDHVWmRMiFDOFXODGDV) Repetir de a para as restantes linhas. Para obter a IRUPDHVFDORQDGDUHGX]LGD de uma matriz aplica-se o PpWRGRGH HOLPLQDomRGH*DXVV-RUGDQ. 2 PpWRGRGHHOLPLQDomRGH*DXVV±-RUGDQ SDUDFRQYHUWHUXPDPDWUL]jIRUPDHVFDORQDGDUHGX]LGD Aplicar o método de eliminação de Gauss até produzir a forma escalonada por linhas. Transformar todos os pivots em. Aplicar o método de eliminação de Gauss de baio para cima por forma a anular todos os elementos da matriz situados acima e na mesma coluna dos pivots. Para isso, bastará começar na última linha não nula e, de baio para cima, adicionar a cada linha múltiplos adequados das linhas inferiores.

20 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV20 Por eemplo, consideremos o sistema que tem a PDWUL]DPSOLDGD, Começando pelo método de HOLPLQDomRGH*DXVV, A primeira linha cujo primeiro elemento é não nulo, é a terceira. Trocar com a primeira. Fazer o primeiro SLYRW. Anular todos os elementos abaio do SLYRW. DSULPHLUDOLQKDHDSULPHLUDFROXQDHVWmRFDOFXODGDV Repetir para as restantes linhas.

21 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV21 A primeira linha cujo primeiro elemento é não nulo, é a terceira. Trocar com a segunda. Fazer o segundo SLYRW. Anular todos os elementos abaio do SLYRW. DVHJXQGDOLQKDHDVHJXQGDFROXQDHVWmRWDPEpPFDOFXODGDV Repetir para as restantes linhas. Mas notamos que as duas linhas que restam são iguais. Eliminemos a última.

22 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV22 Fazer o terceiro SLYRW. E assim obtivemos a matriz na IRUPDHVFDORQDGDSRUOLQKDV. Note-se que esta matriz corresponde ao sistema, que pode facilmente ser FDOFXODGRSRUVXEVWLWXLomRDVFHQGHQWH. Mas vamos continuar, com método de HOLPLQDomRGH*DXVV-RUGDQ. Partindo da matriz escalonada por linhas, vamos anular os elementos acima dos SLYRWV, começando na primeira linha,

23 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV23 e anulando os restantes. E finalmente temos a matriz na IRUPDHVFDORQDGDUHGX]LGD. A matriz ampliada assim obtida corresponde ao sistema, HTXLYDOHQWH ao inicial, Trata-se obviamente de um VLVWHPDLQGHWHUPLQDGR, onde podemos eplicitar as três variáveis [, \ e ] em função de W. e apresentar o FRQMXQWRVROXomR na forma, onde W é a única YDULiYHOOLYUH.

24 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV24 Utilizando o PpWRGRGHHOLPLQDomRGH*DXVV-RUGDQ, mostre que o sistema, tem o FRQMXQWRVROXomR ^ ]±]] `. Utilizando o PpWRGRGHHOLPLQDomRGH*DXVV-RUGDQ, mostre que o sistema, é LPSRVVtYHO. Utilizando o PpWRGRGHHOLPLQDomRGH*DXVV-RUGDQ, mostre que o sistema, tem a VROXomR~QLFD ±.

25 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV25 Å 'LVFXVVmR GH 6LVWHPDV /LQHDUHV Comecemos por observar que, para uma dada matriz, a aplicação do método de Gauss (ou do método de Gauss-Jordan) conduz VHPSUH a uma matriz escalonada (ou escalonada reduzida) FRPRPHVPRQ~PHURGHSLYRWV. Recordemos o eemplo da página 20 onde, dada a matriz, obtivemos as formas: HVFDORQDGDSRUOLQKDV e HVFDORQDGDUHGX]LGD, ambas com SLYRWV. O mesmo teria acontecido para qualquer outra matriz escalonada, obtida a partir da inicial. Este eemplo trata da resolução de um sistema inicial de HTXDo}HV e LQFyJQLWDVque, como vimos, é SRVVtYHOHLQGHWHUPLQDGR, com JUDX GHLQGHWHUPLQDomR igual a. Essa ³LQGHWHUPLQDomR resultou precisamente do facto de ter ³GHVDSDUHFLGR uma equação e portanto também um SLYRW. E porque o ³SLYRWGHVDSDUHFLGR é o que corresponde à incógnitaw, apresentámos o FRQMXQWRVROXomR na forma, onde W éa YDULiYHOOLYUH.

26 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV26 Chamamos FDUDFWHUtVWLFDGHXPDPDWUL] $ ao número de pivots de uma qualquer PDWUL]HVFDORQDGD obtida de $ por aplicação sucessiva de operações elementares sobre as linhas de $. Representamos a característica de $ por U$ou FDU$. Sendo $ a matriz de um sistema, do tipo PlQ, então teremos sempre, U$d PLQ^PQ` Recordemos o segundo eemplo da página 24. Tratava-se da resolução de um sistema de HTXDo}HV e LQFyJQLWDV, com PDWUL]DPSOLDGD, donde se pode obter a forma HVFDORQDGDSRUOLQKDV, Neste caso, a matriz $ do sistema tem SLYRWV, mas a matriz ampliada [$ _%] tem SLYRWV. Como vimos, o VLVWHPDpLPSRVVtYHO e essa ³LPSRVVLELOLGDGH resulta precisamente do facto da terceira linha representar uma ³LJXDOGDGHLPSRVVtYHO

27 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV27 Por outro lado, o eemplo da página 15, de um sistema de HTXDo}HV e LQFyJQLWDV, conduziu à matriz ampliada HVFDORQDGDSRUOLQKDV, que tem SLYRWV e, como vimos, o sistema é SRVVtYHOHGHWHUPLQDGR. 'LVFXVVmRGHXPVLVWHPD Dado o sistema $; % onde $ é uma matriz do tipo PlQ % é uma matriz do tipo Pl Construir a matriz ampliada 0 [ $ % ] Aplicar o PpWRGRGH*DXVV ou o PpWRGRGH*DXVV-RUGDQ. D Se, durante a aplicação do método, surgir uma linha do tipo, _D com D œ 0, então o VLVWHPDpLPSRVVtYHO. Parar! E Senão, terminar o processo até obter uma matriz na forma HVFDORQDGD SRUOLQKDV ou HVFDORQDGDUHGX]LGD. Representemos esta matriz por 0. Nesta matriz, o Q~PHURGHFROXQDVVHPSLYRW corresponde ao Q~PHUR GH YDULiYHLVOLYUHV, ou JUDXGHLQGHWHUPLQDomR,

28 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV28 Para escolher as variáveis dependentes e as livres pode-se efectuar o seguinte raciocínio: YDULiYHLVOLYUHV FROXQDVVHPSLYRW YDULiYHLVGHSHQGHQWHV FROXQDVFRPSLYRW Se a matriz tiver pivots em todas as colunas correspondentes às LQFyJQLWDV, isto é, então não eistem variáveis livres e o sistema é SRVVtYHOHGHWHUPLQDGR. 7HRUHPD: Seja $ ; % um VLVWHPDGHHTXDo}HVOLQHDUHV, onde $ éuma matriz do tipo PlQ e % é uma matriz do tipo Pl. Eistem três possibilidades de classificação: 1. $ ; % é SRVVtYHOHGHWHUPLQDGR se e só se, U$ U[$_%] Q 2. $ ; % é SRVVtYHOHLQGHWHUPLQDGR se e só se, U$ U[$_%] < Q etem JUDXGHLQGHWHUPLQDomR Q ±U$ Q±U[$_%] 3. $ ; % é LPSRVVtYHO se e só se, U$œ U[$_%]

29 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV29 E sistematizando, LPSRVVtYHO U$œ U[$_%] SRVVtYHOHGHWHUPLQDGR U$ U[$_%] Q SRVVtYHO SRVVtYHOHLQGHWHUPLQDGR U$ U[$_%] < Q Por eemplo, procuremos uma UHODomR entre D e E para o seguinte VLVWHPD seja SRVVtYHO, Construindo a matriz ampliada e aplicando o método de eliminação de Gauss,

30 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV30 Para que o sistema seja SRVVtYHO é necessário e suficiente que, ou seja que, U$ U[$_%] E±D± E±D Caso contrário a última linha representaria uma ³LJXDOGDGHLPSRVVtYHO.

31 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV31 Considere o sistema linear, Determine os valores dos SDUkPHWURV D e E para os quais o sistema é, L LL LPSRVVtYHO SRVVtYHOHGHWHUPLQDGR 5HVROYDR, pelo método de eliminação de Gauss, para D e E. Construindo a matriz ampliada e aplicando o método de eliminação de Gauss,

32 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV32 obtemos a matriz escalonada, L O sistema será LPSRVVtYHOse e só se, U$œ U[$_%], ou seja, D ± e E œ D e E œ LL O sistema será SRVVtYHOHGHWHUPLQDGRse e só se, U$ U[$_%], ou seja, D±œ ¾ D œ 5HVROYHU, para D e E. Pelas alíneas anteriores, sabemos já que vai ser SRVVtYHOHLQGHWHUPLQDGR. Substituindo D e E na matriz escalonada já calculada,

33 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV33 Ou seja, obtivemos o VLVWHPD HTXLYDOHQWHDRLQLFLDO, E porque, na matriz escalonada a ³FROXQDVHPSLYRW corresponde à variável W, eplicitamos, e apresentamos o FRQMXQWRVROXomR na forma, 6ROXomR:

34 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV34 Å 6LVWHPD KRPRJpQHRV Num sistema KRPRJpQHR de equações lineares, WRGRVRVWHUPRV LQGHSHQGHQWHVVmRQXORV e tem portanto como representação matricial, $ ; pl1 ( ou simplesmente $; ) Então, todo o sistema homogéneo tem sempre SHORPHQRVXPDVROXomR, a solução nula, ; [ ] 7 por isso chamada a VROXomRWULYLDO do sistema homogéneo. Por eemplo o sistema, tem, como solução única, a VROXomRWULYLDO. Por outro lado o sistema, é um sistema homogéneo possível e indeterminado, cuja solução é o conjunto, { ±]]] } ao qual pertence a VROXomRWULYLDO. Naturalmente, isso acontece porque se trata de um sistema com LQFyJQLWDV e HTXDo}HV.

35 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV35 7HRUHPD: Se um sistema de equações lineares homogéneo tem PDLV LQFyJQLWDVTXHHTXDo}HV, então eiste uma VROXomRQmRWULYLDO. DePRQVWUDomR: Seja então $ ; pl1 onde $ é uma matriz do tipo SlT comt! S PDLVLQFyJQLWDVGRTXHHTXDo}HV Como um sistema homogéneo é VHPSUHSRVVtYHO, então, U$ U[$_]. Ecomo U$d PLQ^ST` então U$d S T Assim, U$< T FDUDFWHUtVWLFDLQIHULRUDRQ~PHURGHLQFyJQLWDV o sistema é LQGHWHUPLQDGR e tem portanto alguma VROXomRQmRWULYLDO. Os sistemas homogéneos possuem algumas propriedades muito simples, mas bastante úteis. 3URSULHGDGH: Se ; K é uma solução do sistema homogéneo $ ;, então D ; K também é solução, para qualquer D. 'HPRQVWUDomR: Se $; K então $D ; K D $; K D.

36 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV36 Por eemplo para o sistema, cuja solução é o conjunto, { ±]]] } Como ± é uma solução, obviamente que também o serão: ±, ±, ±,... 3URSULHGDGH: Se ; e ; são soluções do sistema homogéneo $ ;, então ; ; também é solução. 'HPRQVWUDomR: Se $; e $ ; então $; ; $; $;. Para o mesmo eemplo: Se ± e ± são soluções obviamente que também ± é solução. Deste modo, mostrámos também que TXDOTXHUFRPELQDomROLQHDUGH VROXo}HV de um sistema homogéneo é ainda solução.

37 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV37 Para qualquer sistema $ ; %, podemos considerar o VLVWHPDKRPRJpQHR DVVRFLDGR $ ;. Por eemplo para o sistema, o VLVWHPDKRPRJpQHRDVVRFLDGR é, Naturalmente a matriz $ é a mesma para ambos, mas as respectivas PDWUL]HV DPSOLDGDV serão [$_%] e [$_]. Aplicado o método de Gauss, obtemos as PDWUL]HVDPSOLDGDVHVFDORQDGDV. Neste caso, ambos os sistemas são SRVVtYHLVHGHWHUPLQDGRV, tendo o sistema completo a VROXomR~QLFD e o sistema homogéneo associado apenas a VROXomRWULYLDO. Assim, podemos apresentar a solução do sistema completo como a VRPDGDV VROXo}HV únicas dos dois sistemas, { }

38 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV38 Consideremos agora o seguinte sistema e respectivo VLVWHPDKRPRJpQHR DVVRFLDGR, Construídas as matrizes ampliadas e aplicado o método do Gauss obtemos: Para o VLVWHPDFRPSOHWR, o que significa que o sistema é SRVVtYHOHLQGHWHUPLQDGR e equivalente a, e tem por FRQMXQWRVROXomR, { ±]±]]] } Para o VLVWHPDKRPRJpQHRDVVRFLDGR, o que significa que o sistema homogéneo também é SRVVtYHOHLQGHWHUPLQDGR e equivalente a,

39 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV39 e que tem por FRQMXQWRVROXomR, { ]±]]] } Temos então, para o VLVWHPDFRPSOHWR a solução, { ±]±]]] } e para o VLVWHPDKRPRJpQHRDVVRFLDGR a solução, { ]±]]] } Se no FRQMXQWRVROXomRGRVLVWHPDFRPSOHWR escolhermos uma VROXomR SDUWLFXODU, por eemplo, aquela que corresponde a ], ou seja, ± então podemos apresentar a VROXomRJHUDOGRVLVWHPDFRPSOHWR, como a VRPDGHVWDVROXomRSDUWLFXODU, com a VROXomRJHUDOGRVLVWHPDKRPRJpQHRDVVRFLDGR: { ±]±]]] }

40 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV40 3URSRVLomR: Seja ; S uma solução particular do sistema de equações lineares $ ; %. Então, ; é solução do sistema VHHVyVH eiste uma solução ; K do sistema homogéneo associado, $ ; pl1, tal que ; ; S ; K. DePRQVWUDomR: Se ; S é uma VROXomR do sistema $; %, então $; S %. (Á) Se ; é WDPEpPVROXomR do sistema $ ; %, então $; %. E nesse caso, $; S $; $; S ± $; pl1 $; S ±; pl1 ou seja, ; K ; S ±; é WDPEpPVROXomR do sistema $; %. ( ) Se ; K éumavroxomr do sistema homogéneo associado, $ ; pl1, então $; K pl1. E nesse caso, $; $; S ; K $; S $; K %$; K % pl1 % e portanto ; é uma solução do sistema completo $ ; %.

41 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV41 ([HUFtFLRV: Resolva cada um dos sistemas seguintes e apresente a solução como a soma de uma solução particular com a solução geral do sistema homogéneo associado. 6ROXomR: { ±±]]]] } 6ROXomR: { ±}

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