FICHA DE TRABALHO DERIVADAS I PARTE. 1. Uma função f tem derivadas finitas à direita e à esquerda de x = 0. Então:

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1 FICHA DE TRABALHO DERIVADAS I PARTE. Uma função f tem derivadas finitas à direita e à esquerda de = 0. Então: (A) f tem necessariamente derivada finita em = 0; (B) f não tem com certeza derivada finita em = 0; (C) A eistência de f (0) depende do valor das derivadas laterais; (D) f pode não ser contínua em = 0.. A figura abaio representa o gráfico de uma função f. y a Da análise do gráfico pode concluir-se que: (A) f (a) = 0 (B) a é um maimizante de f (C) f (a) = (D) f (a) < 0

2 . Na figura estão representadas: Parte do gráfico de uma função f diferenciável em ; Uma recta r tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa. O valor de f (), derivada da função f no ponto, pode ser igual a: (A) - (B) 0 (C) f () (D) 4. A figura abaio representa o gráfico de uma f.r.v.r. de domínio [ -, 4 ]. y Podemos afirmar que: (A) (B) (C) (D) f é derivável em todos os pontos do seu domínio; f é contínua em = e não eiste derivada nesse ponto; f tem derivada finita no ponto de abcissa e é contínua nesse ponto; f é contínua em = e nada se pode concluir quanto à eistência de derivada finita ou infinita.

3 5. Sendo f uma f.r.v.r. tal que f ( ) f () lim = 0. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras? I) A função f é diferenciável para = II) f () = 0 III) A função f é contínua para = (A) Todas (B) I) e II) (C) Apenas I) (D) Apenas III) 6. Um projéctil é lançado verticalmente de baio para cima. Admita que a sua altitude h (em metros), t segundos após ter sido lançado, é dada pela epressão: h (t) = 00 t 5 t Qual é a velocidade (em m/s) do projéctil, dois segundos após o lançamento? (A) 0 (B) 70 (C) 0 (D) Num dado movimento, a velocidade de um móvel no instante t é dada por v (t) = t + 4 A aceleração instantânea em t = é: (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 8. A recta t é tangente ao gráfico da função f no ponto A de abcissa. A derivada de f no ponto é: (A) (B) (C) (D) 4

4 9. A figura representa o gráfico da primeira derivada de uma função f de domínio. y 5 4 f Sobre f pode concluir-se que: (A) f é uma função crescente; (B) f tem três etremos relativos; (C) a concavidade de f é sempre voltada para cima; (D) f é sempre não negativa. 0. A recta t é tangente ao gráfico da função polinomial h no ponto A de abcissa 4. y t h A 4 Qual a segunda derivada de h, no ponto de abcissa 4: (A) (B) (C) não eiste (D) 0 4

5 . Da função f, contínua em, sabe-se que: é crescente em ], [ f '(0) f ''(0) < 0 Pode-se então afirmar que a curva representativa de f : (A) corta o eio oy num ponto de ordenada negativa; (B) passa pela origem; (C) tem a concavidade voltada para baio no ponto de abcissa 0; (D) tem a concavidade voltada para baio em ], [.. A recta t é tangente ao gráfico da função f no ponto ( a, f (a) ). y f a t Sabendo que f admite ª e ª derivadas no ponto a, então podemos concluir que: (A) f '( a) f ''( a) > 0 (B) f ( a) f ''( a) > 0 (C) f '( a) f ''( a) < 0 (D) f ( a) f '( a) < 0. Seja h uma f.r.v.r. de domínio que verifica as seguintes condições: h é contínua em h () = - h'( ) + lim = Pode-se então afirmar que: (A) em, h é crescente com a concavidade voltada para cima (B) em, h é decrescente com a concavidade voltada para cima (C) em, h é crescente com a concavidade voltada para baio (D) em, h é decrescente com a concavidade voltada para baio 5

6 4. A recta t é tangente à curva representativa da função f no ponto A (4, ). y t A f - 4 Pode-se afirmar que: (A) f (4) = - (B) f (4) = (C) lim 4 f ( ) = (D) f '(4 ) f '(4 ) 5. Seja g uma f.r.v.r. definida por g ( ) = +. Qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) g (0) = 0 (B) g (0) não eiste (C) g (0) = - (D) g (0) = 6. Considera a função h () = e. O valor de h () é: (A) e (B) (C ) e (D) 0 7. Uma função real de variável real f é tal que f () = f (), para qualquer número real. Qual das seguintes epressões pode definir a função f : (A) (B) 4 e (C) e 5 (D) e 8. Sendo g uma função definida por g () = e, a epressão analítica de g é (A) e. e (B) e (C) e (D) e. ln 6

7 9. Seja f uma função tal que a sua derivada no ponto, é igual a 4. f ( ) f () Qual o valor de lim? 9 (A) (B) 0 (C) (D) 4 0. De uma função f, diferenciável em, sabe-se que Qual o valor de f (k)? lim f ( ) f ( k) = k k 5 k. (A) 5 (B) 5 k (C) 5 (D) Não eiste f ( + h) f (). Seja f uma f.r.v.r. que satisfaz as condições: f () = 4 e lim = h 0 h Então o valor de lim f ( ) é:. (A) 0 (B) (C) (D) 4. A representação gráfica de uma função g é: Podemos então concluir que: (A) g () = 0 (B) g () = + (C) g () = (D) g () não eiste. Na figura está parte da representação gráfica de uma função h. Indique o valor de h (0 + ), derivada lateral direita de h no ponto 0. (A) 0 (B) (C) (D) + 4. Considere uma função f de domínio +. A recta de equação y = - é assimptota do gráfico de f. Seja f a função derivada de f. Indique qual dos seguintes pode ser o valor de lim f ' ( ) + (A) 0 (B) - (C) + (D) - 7

8 5. Na figura ao lado está parte da representação gráfica de uma função g, de domínio \ {0}. Qual das figuras seguintes poderá ser parte da representação gráfica da função g, derivada de g? 6. Na figura estão representados: O gráfico de uma função f A recta r, tangente ao gráfico de f no ponto 5 de abcissa e de equação y = + 4 A recta s, tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 6 Sabendo que as rectas r e s são perpendiculares, indique o valor de f (6), derivada da função f no ponto de abcissa 6. (A) (B) 4 (C) 5 (D) Para um certo número real a, o gráfico da função g, definida por g () = a +, tem, no ponto de abcissa, uma recta tangente com declive 4. Qual o valor de a? (A) (B) 4 (C) (D) 8. A recta de equação y = é tangente ao gráfico de uma certa função f, no ponto de abcissa 0. Qual das seguintes epressões pode definir a função f? (A) + (B) + (C) + + (D) + + 8

9 9. Na figura estão representadas, num referencial o. n. Oy: Parte do gráfico de uma função f, de domínio +, definida por f () = + ln. A recta r, tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa. Qual o declive da recta r? (A) (B) (C) (D) 4 0. Seja g uma função cujo gráfico tem um ponto de infleão de abcissa. Qual dos seguintes gráficos poderá ser o da segunda derivada de g?. Seja g uma função, de domínio, tal que a sua segunda derivada é definida por g () =. Em qual das figuras seguintes poderá estar parte da representação gráfica da função g?. Considere a função f definida por f () = ln ( ) e a recta de equação y =, tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa a. Qual o valor de a? (A) - (B) 0 (C) (D). Considere a função g definida por g () = ln. No gráfico da função g eiste um ponto onde a recta tangente é paralela à bissectriz dos quadrantes ímpares. Qual é a abcissa desse ponto? (A) 0 (B) (C) e (D) ln 9

10 4. Seja f uma função de domínio. Sabe-se que a sua derivada, f, é tal que f () =. Relativamente à função f, qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) f é crescente em (B) f é decrescente em (C) f tem um mínimo para = (D) f tem um máimo para = 5. Seja f uma função de domínio. Na figura está representada parte do gráfico de f, segunda derivada da função f. Relativamente ao gráfico da função f, qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) O ponto de abcissa a é um ponto de infleão (B) O ponto de abcissa c é um ponto de infleão (C) A concavidade está voltada para baio no intervalo [0, b] (D) A concavidade está sempre voltada para cima 6. Seja f uma função de domínio. Sabe-se que a primeira e a segunda derivadas de f são negativas em. Em qual das figuras seguintes pode estar representada parte do gráfico da função f? 7. Seja g uma função contínua de domínio. Sabe-se que: g tem um mínimo absoluto igual a, para = g tem um máimo absoluto igual a 7, para = 5 Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira? (A) g é crescente em [, 5] (B) O contradomínio de g é [, 7] (C) g tem derivada nula em = e em = 5 (D) g tem pelo menos um zero 0

11 8. Seja g uma função tal que o gráfico de g (segunda derivada de g) é uma recta de declive positivo que intersecta o eio Oy no ponto (0, ). Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) O gráfico de g tem um ponto de infleão de abcissa positiva (B) O gráfico de g tem um ponto de infleão de abcissa negativa (C) O gráfico de g tem a concavidade voltada para baio em + (D) O gráfico de g tem a concavidade voltada para baio em 9. Seja f '( a) =, com a D f. Então f () é definida por: a (A) (B) (C) ln ( ) (D) e 40. Considere a função f definida por f ( ) = log. O valor de (A) + (B) (C) ln ln 9 lim f ( ) f () é: (D) 0 4. Na figura ao lado está parte da representação gráfica de f, função derivada de f. A inclinação da recta é O valor de f () é: π (em radianos). 4 y (A) (C) (B) - (D) O π 4 4. A função derivada de uma função f de domínio + é definida por f '( ) =. ln ( ). f ( ) f ( e) Então lim e e é igual a: (A) + (B) e (C) e (D) 0 e 4. A função f definida por f ( ) = tem um único ponto onde a tangente é horizontal. + k Qual é o valor de k? (A) - (B) (C) 0 (D) Não eiste

12 44. De uma função h, derivável em, sabe-se que h (a) = 0. Pode concluir-se que: (A) h tem um etremo relativo em = a (B) h tem um ponto de infleão em = a (C) A recta tangente ao gráfico de h no ponto de abcissa a é horizontal (D) A recta tangente ao gráfico de h no ponto de abcissa a é vertical 45. Considere a função f ( ) =. A recta tangente ao gráfico de f é paralela ao eio O, nos e pontos de abcissa: (A) = 0 (B) = 0 ; = (C) = ; = (D) = 46. Seja f a f.r.v.r. definida por k + f ( ) = k O valor de k de modo que a função seja diferenciável em = é: (A) (B) - (C) - ;,, < (D) Não eiste a, 47. Seja g a f.r.v.r. definida por g ( ) = a. ln b, > Os valores de a e b de modo que a função seja diferenciável em = são: (A) a = - ; b = 0 (B) a = - ; b = - (C) a = ; b = 0 (D) a = ; b = Sendo f a função definida por f ( ) = 5, o valor de tal que f () = 4 f () é: (A),5 (B) + 0, 5 ln 5 (C) ln 5 + 0,5 (D) ln De uma função f sabe-se que a sua derivada é a função definida por f '( ) = e. Qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) f é estritamente crescente (B) f é estritamente decrescente (C) f tem máimo absoluto (D) f tem mínimo absoluto 50. Seja f a função definida por f () = 4 + ln. Sabe-se que a recta tangente ao gráfico de f, num certo ponto P, é paralela à recta de equação y = +. Qual é a abcissa de P? (A) (B) 4 (C) 5 (D) 6

13 5. Seja f uma função de domínio, com derivada finita em todos os pontos do seu domínio. Na figura junta encontra-se parte do gráfico de f, função derivada de f. Sabe-se ainda que f (0) =. Qual pode ser o valor de f ()? (A) (B) (C) 5 (D) 7 5. Na figura junta está parte da representação gráfica de uma função polinomial h. O ponto de abcissa é o único ponto de infleão do gráfico de h. Qual das epressões seguintes pode definir h, segunda derivada da função h? (A) + (B) ( ) ( ) (C) (D) 5. A equação reduzida da recta tangente ao gráfico da função f ( ) = e, no ponto de abcissa, é: (A) y = e (B) y = (C) y = e + (D) y = 54. Seja f a função de domínio ] 4, + [ definida por f ( ) = log 4 ( + 4). Em qual dos intervalos seguintes é possível garantir, pelo Teorema de Bolzano, a eistência de pelo menos um zero? (A) [-, - ] (B) [-,5; 0] (C) [0, 4] (D) [4, ] 55. Se o gráfico de uma função f tem um ponto de infleão com abcissa, qual das seguintes afirmações é necessariamente verdadeira? (A) f () = 0 (B) A função segunda derivada, f, muda de sinal em = (C) f () 0 (D) f tem um etremo em = 56. Se f é uma f.r.v.r. tal que f () = f () = 0, qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) O gráfico admite uma tangente horizontal no ponto de abcissa (B) O gráfico tem um ponto de infleão, de abcissa (C) A função tem um zero em = (D) f tem um etremo relativo em =

14 57. Seja f é uma f.r.v.r. tal que f (5) = 0. Qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) f tem em = 5 um etremo relativo (B) O gráfico de f tem um ponto de infleão com abcissa 5 (C) f tem um zero em = 5 (D) f é contínua em = A recta tangente ao gráfico da função = + + no ponto de abcissa 0 é: f ( ) ln( ) (A) A bissectriz dos quadrantes pares (B) A bissectriz dos quadrantes ímpares (C) O eio dos (D) O eio dos yy 59. Considere a f.r.v.r. definida por =. O valor de g (0) é : g ( ) ( 4). e (A) (B) 0 (C) 4 (D) 60. Sendo f () = ln ( + k) e g () = ln +, o valor de k de modo que f () = g () é: (A) - (B) 0 (C) (D) 6. Na figura abaio estão representadas graficamente duas funções diferenciáveis f e g. As duas funções têm etremo para = -. O conjunto solução da condição f () < g () é: (A) ], - [ (B) ], - ] (C) ], [ (D) [ -, [ 6. Uma equação da recta tangente ao gráfico de y = + ln, perpendicular à recta de equação + y = -, é: (A) y = (B) y = + + ln (C) y = + ln (D) y = + 4

15 II PARTE. Um projéctil, seguindo a trajectória da figura, é lançado com uma velocidade inicial de 40 m/s. A distância, em metros, a que se encontra do solo decorrido um tempo de t segundos, é dada por s (t) = 40 t - 0 t. Decorridos 5 segundos, a que distância se encontra o projéctil do solo?. Defina a velocidade (ª derivada) e a aceleração (ª derivada) do projéctil ao fim de t segundos.. Qual a altura máima atingida pelo projéctil? Em que instante ela ocorre?.4 Passado quanto tempo o projéctil atinge o solo?. Uma bola é lançada do cimo de uma ponte, para o alto, e a sua altura y, acima do solo, em metros, t segundos depois é dada por y = f (t) = - 5 t + 5 t +. Qual é a altura da ponte?. Qual é a velocidade média da bola durante o º segundo? E no º?. Qual a velocidade da bola quando t =? E em t =? Como interpreta os resultados?.4 Qual é a velocidade da bola em cada instante t?.5 Ao fim de quanto tempo a bola atingiu o topo? Qual foi a altura máima atingida pela bola?.6 Qual é a aceleração da bola no instante t?. Considere a f.r.v.r. definida por f () = 5.. Mostre, usando a definição de derivada, que f (4) = 7.. Escreve a equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 4.. Qual é o ponto do gráfico de f cuja recta tangente tem por equação y = Considere a função f, real de variável real, tal que f () = Calcule f (), aplicando a definição de derivada. 4. Escreve uma equação da recta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa. 5. Considera a função real g, definida por g () = Calcule g (), aplicando a definição de derivada. 5. Escreve uma equação da recta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa. 5

16 6. Um balão meteorológico é solto e sobe verticalmente de modo que a sua distância d (t) ao solo durante os primeiros 0 segundos de voo é dada por d (t) = 6 + t + t, na qual d (t) é medido em metros e t em segundos. 6. Determina a velocidade média do balão durante o º segundo de voo. 6. Determina a velocidade instantânea do balão quando t = segundo. 6. Entre que instantes esteve o balão a uma altura superior a 0 metros? 7. A área A de pele, afectada por uma infecção cutânea, ao longo dos primeiros 0 dias após o 5t início de um tratamento, é dada pela função A ( t) = 6 +, com t epresso em dias t + e a área em cm. O tratamento iniciou-se às 0 horas do dia 5 de Fevereiro. 7. Qual era a área da infecção quando foi iniciado o tratamento? E ao fim do º dia? 7. Compare a rapidez no aumento da infecção durante o º dia com a rapidez na sua diminuição durante o º dia. O que se pode concluir? E o que se passou durante o º dia? 7. Qual foi a taa de variação inicial da propagação da infecção? 8. Uma avaria numa central atómica fez disparar o sistema de alarme. Os técnicos activaram imediatamente os procedimentos de emergência. Supõe que a temperatura T da água (em graus Celsius) do sistema de refrigeração do núcleo da central evolui a partir daí durante horas de acordo com a função T ( ) =, em que é o tempo (em horas) + decorrido a partir do momento em que o sistema de alarme disparou. 8. Calcule o valor da taa de variação de T quando = h. Interprete o resultado no conteto do problema. 8. A sirene de alarme dispara se a temperatura for superior a 4º C. Quando é que a sirene esteve, então, a tocar? 9. A temperatura F (em graus centígrados) do forno de uma padaria varia, a partir do momento 90t + 44 em que é ligado, de acordo com a equação F ( t) =, com t em minutos. t + 9. A que temperatura está o forno quando é ligado? 9. Com o decorrer do tempo, para que valor vai tender estabilizar a temperatura? 9. Qual é a velocidade de aquecimento do forno no momento em que é ligado? 9.4 E aos 0 minutos? 6

17 0. Um forno industrial, depois de sofrer uma reparação, foi de novo ligado. Dez minutos depois entrou em funcionamento o sistema de estabilização de temperatura. A evolução da temperatura dentro do forno é dada pela função: 7 t + 0 t, t 0 f ( t) = 0 t + k, com t em minutos e f em graus centígrados., t > 0 t 0. Que valor deve ter k para a função ser contínua? 0. Qual é a temperatura no momento em que se liga o forno? 0. A temperatura tende a estabilizar. Em que valor? 0.4 Qual é a velocidade de aquecimento do forno no instante t = 5? 0.5 No instante t = 0 o forno está a aquecer ou a arrefecer? Justifica. 0.6 Verifique se eiste derivada no instante t = 0.. Sabe-se que f () = e g () = 6, sendo f () = e g () = ( + ). ' Determina ( g) () f.. Averigua se a função f é derivável no intervalo [-, 4], sendo f ( ) =,, > +,. Considera a função g ( ) =., =. Podemos afirmar que eiste derivada no ponto =? Justifica.. O que se pode afirmar quanto à continuidade da função no ponto? Justifica. 4. Considera a função definida por + 8 f ( ) = Determina a epressão da função derivada de f. 4. Qual é a equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa -? 5. Determina o valor de k de modo que o mínimo da função g () = + + k seja Determina a e b de modo que a função h () = + a + b tenha um etremo relativo no ponto (, ). 7

18 7. Considera a f.r.v.r. h, definida por: h ( ) =,, < 7. Averigua se a função é diferenciável no ponto =. 7. Caracteriza a função derivada da função h. 7. Indica o valor lógico da proposição: h é contínua no ponto de abcissa. 8. Considera a função g () = +. Determina: 8. Domínio; 8. Intervalos de monotonia; 8. Etremos relativos; 8.4 Sentido da concavidade; 8.5 Pontos de infleão. 9. Considere a função definida em por 7 5 = + +. h( ) Calcule a taa de variação média de h no intervalo [-, ]; 9. Determine uma epressão de h, derivada de h e calcule h (0) ; 9. Estude a função h quanto à monotonia e eistência de etremos relativos; 9.4 Estude a função h quanto ao sentido das concavidades e eistência de pontos de infleão; 9.5 Escreve a equação da recta tangente ao gráfico no ponto de infleão. 0. Considera o gráfico seguinte relativo a uma função f, real de variável real. Indica o valor lógico das seguintes afirmações: y 0. f '( ) = + 0. A função tem um máimo relativo igual a 0. A função não tem etremo relativo 0.4 f '( + ) = + - 8

19 . A área ocupada por uma infecção cutânea alastra segundo a função t A ( t) = 0 +, com t epresso em dias t +. Calcule a superfície ocupada pela infecção no princípio.. Determine o instante e o valor máimo da área infectada?. Estude o que acontece com o decorrer do tempo. A infecção estabiliza-se ou desaparece?. A evolução da temperatura do ar na Relva entre as 0 e as 4 horas do dia de Fevereiro foi dada pela função t 0t + 5 f ( t) = 7 +, com f em graus e t em horas. t 45. Qual foi a temperatura máima nesse dia na Relva?. E a temperatura mínima?. Qual era a taa de aquecimento do ar às 0 horas da manhã? 50 t. A equação T() t = 0+ relaciona a temperatura T (em graus Celsius) de uma reacção t + 0 química com o tempo da eperiência (em minutos). Sabendo que ela durou 60 minutos: T ( ) T (0). Calcula e eplica o significado do seguinte quociente:.. Qual o significado de lim t Tt () T()? Calcula o valor do limite. t. Determina, gráfica e analiticamente, o valor de t correspondente ao momento em que se registou a temperatura máima..4 O gráfico da função, no intervalo considerado, tem algum ponto de infleão? No caso afirmativo, determina-o e eplica o seu significado. 4. Considere a função f, de domínio +, definida por f () = ln. 4. Estude f quanto à eistência de assimptotas do seu gráfico; 4. Mostre que a função f tem um único mínimo; 4. O gráfico de f contém um único ponto cuja ordenada é o quadrado da abcissa. Recorrendo à calculadora, determine um valor aproimado para a abcissa desse ponto, arredondando às décimas. 9

20 5. Uma nódoa circular de tinta é detectada sobre um tecido. O comprimento, em centímetros, do raio dessa nódoa, t segundos após ter sido detectada, é dado por: + 4t r ( t) = ( t 0) + t 5. Calcule r (0) e lim r ( t) t + e diga qual é o significado físico destes valores. 5. Esboce o gráfico de r, tendo em conta que, no domínio indicado, a função r tem primeira derivada positiva e segunda derivada negativa. 5. Diga qual é o significado do limite lim + t 0 r ( t) r (0) e determine-o. t 5.4 Calcule, com aproimação à décima de segundo, o instante t para o qual a área da nódoa é igual a 0 cm. 6. Um chá acabado de fazer, foi colocado no frigorífico a 00º C. Passados 5 minutos, o chá estava a 60º C. A temperatura do chá evolui de acordo com uma lei do tipo T (t) = e a b t, em que T é a temperatura do chá e t o tempo decorrido em minutos. 6. Determina os valores de a e de b. 6. Qual é a velocidade de arrefecimento do chá quando é colocado no frigorífico? E um minuto depois? 6. Quem gosta de beber o chá frio, a 8º C, quanto tempo tem de esperar? 7. Numa pastelaria a temperatura ambiente é constante. Admita que a temperatura do café, em graus centígrados, servido nessa pastelaria, t minutos após ter sido colocado na chávena, é dada por: f (t) = e 0,04 t, t [ 0, + [. 7. Determine a temperatura do café no instante em que é colocado na chávena. 7. Estude a função f quanto à eistência de assimptotas, à monotonia e ao sentido das concavidades. Esboce o gráfico de f. 7. Justifique a seguinte afirmação: A taa média de variação da função f, em qualquer intervalo do seu domínio, é negativa. 7.4 Com o decorrer do tempo, a temperatura do café tende a igualar a temperatura ambiente. Qual é a temperatura ambiente? 7.5 Quanto tempo decorre entre o instante em que o café é colocado na chávena e o instante em que a sua temperatura atinge 65º C? 0

21 8. Considere a função g, de domínio, definida por g () = e ( + ). 8. Verifique que g () = e ( + + ) e determine uma equação da recta tangente ao gráfico de g, no ponto de abcissa Estude g quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à eistência de pontos de infleão. 8. Estude a função g quanto à eistência de assimptotas verticais e horizontais do seu gráfico. e 9. Considere a função h, de domínio \ {}, definida por h( ) =. 9. Estude a função h quanto à monotonia e quanto à eistência de etremos relativos. 9. Resolva a equação ln [ h () ] =. 9. Estude a função h quanto à eistência de assimptotas verticais e horizontais do seu gráfico. 0. Um fio encontra-se suspenso entre dois postes. A distância entre ambos é de 0 metros. º poste f () º poste 0 m 0, 0, Considere a função f definida por f () = 5( + e ) e. Admita que f () é a distância ao solo, em metros, do ponto do fio situado metros à direita do primeiro poste. 0. Determine a diferença de altura dos dois postes; 0, 0, 0. Mostre que f () = 0, 5( + e ) e e determine a distância ao primeiro poste do ponto do fio mais próimo do solo.

22 . Foi administrado um medicamento a um doente às 9 horas da manhã de um certo dia. A concentração desse medicamento, em miligrama por mililitro de sangue, t horas após ter sido administrado, é dada por: C (t) = t e 0, t.. Utilize o Teorema de Bolzano para mostrar que houve um instante, entre as 9h 0m e as 0 h, em que a concentração do medicamento foi de mg / ml.. Recorrendo à derivada da função C, determine o instante em que a concentração de medicamento no sangue do doente foi máima.. Injectou-se no instante t = 0 uma substância no sangue de um animal. No instante t (t > 0 em segundos), a concentração C da substância injectada é dada por C (t) = 8 ( e t e t ) 7. Calcula o instante para o qual o valor da concentração é igual a ; 8. Calcula lim C ( t) t + e interprete o resultado obtido; t 8( e ). Mostra que C '( t) = e determina o valor máimo da concentração. t e. Considere a f.r.v.r. g () = ln ( e ).. Determina o domínio e os zeros de g.. Estude a monotonia da função.. Determina uma equação da recta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa ln. 4. De uma função f de domínio \ {0}, sabe-se que: + 4 ln f () = ; A sua derivada f é definida por f '( ) =. 4. Escreva uma equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa ; 4. Poderá concluir-se que f é contínua para =? Justifique a sua resposta; 4. Estude f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico. 5. De uma função f sabe-se que: ln f () = 0; A sua derivada f é definida por f '( ) = Escreva uma equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa ; 5. Poderá concluir-se que f é contínua para =? Justifique a sua resposta; ln 5. Mostre que f '' ( ) = e estude f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e à eistência de pontos de infleão.

23 6. Uma rampa de desportos radicais foi construída entre duas paredes, A e B, distanciadas de 0 metros, como se mostra na figura. Considere a função h definida por h ( ) = 5 4 ln ( ) ( ln designa logaritmo de base e ) Admita que h () é a altura, em metros, do ponto da rampa situado metros à direita da parede A. 6. Determine a altura da parede A. Apresente o resultado em metros, arredondando às décimas; 6. Estude a função h quanto à monotonia e conclua daí que, tal como a figura sugere, é num ponto equidistante das duas paredes que a altura da rampa é mínima; 6. Mostre, analiticamente, que h ( 5 ) = h(5 + ). Interprete esta igualdade no conteto da situação descrita. 7. De uma função f, de domínio, sabe-se que a sua derivada é dada por f '( ) = ( + ) e 0. Seja A o único ponto de infleão do gráfico de f. Recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, determine a abcissa do ponto A. 8. Considere, para cada α ] 0, [, a função, de domínio +, definida por f ( ) = α. Prove que, qualquer que seja o valor de α ] 0, [, o gráfico da função f tem a concavidade voltada para baio. 9. Considere a função f, de domínio \ {0}, definida por e f ( ) =. 9. Determine a equação reduzida da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa ; 9. Estude a função f quanto à eistência de assimptotas do seu gráfico, paralelas aos eios coordenados. 40. Considere a função f, de domínio, definida por = +. f ( ) e 40. Mostre que a função f tem um único mínimo relativo e determine-o; 40. Mostre que no intervalo ], 0 [, eiste pelo menos um objecto cuja imagem é Prove que, para qualquer função quadrática g, eiste um e um só ponto do gráfico onde a recta tangente é paralela à bissectriz dos quadrantes ímpares.

24 Soluções I PARTE. (C). (B). (A) 4. (B) 5. (A) 6. (D) 7. (A) 8. (D) 9. (A) 0. (D). (C). (C). (B) 4. (C) 5. (D) 6. (A) 7. (D) 8. (A) 9. (A) 0. (C). (D). (D). (A) 4. (A) 5. (C) 6. (A) 7. (A) 8. (A) 9. (B) 0. (B). (A). (C). (B) 4. (C) 5. (B) 6. (A) 7. (B) 8. (B) 9. (C) 40. (C) 4. (B) 4. (B) 4. (B) 44. (C) 45. (B) 46. (D) 47. (C) 48. (B) 49. (D) 50. (A) 5. (A) 5. (D) 5. (A) 54. (B) 55. (B) 56. (A) 57. (D) 58. (B) 59. (A) 60. (B) 6. (A) 6. (A) II PARTE. 00 m. v (t) = t ; a (t) = m aos,5 s.4 7 s. m. 0 m /s ; 0 m / s. 5 m/s ; - 5 m/s ; São iguais em valor absoluto, mas para t = a bola estava a subir e para t = a bola encontrava-se a descer.4 v (t) = - 0 t t =,5 s ; a altura máima é de,5 m.6 a (t) = v (t) = - 0, a aceleração é de 0 m/s, sendo o movimento uniformemente retardado. y = (, ) y = y = m / s 6. 4 m / s 6. a partir dos,87 s 7. Área inicial: 6 cm ; Ao fim do º dia: 8,5 cm 7. A (0) = 5 cm / dia 7. tmv [0, ] =,5 cm / dia e tmv [, ] = - 0,5 cm / dia ; Isto significa que no º dia a infecção aumentou, enquanto que no º dia estava já a diminuir com rapidez inferior à do aumento do º dia. No º dia diminui ao mesmo ritmo do º dia, pois tmv [, ] = - 0,5 cm / dia 8. T () = - º C / hora, significa que hora depois de se terem activado os procedimentos de emergência, a temperatura estava a descer à taa de º C por hora 8. Das 0h à h m e a partir das 7h 9. º 9. 90º , 0. k = º ºC / min 0.5 A arrefecer, porque f (0) < Não, porque f (0 + ) = - e f (0 - ) =. 56. Não, porque não eiste derivada em = 4

25 . Não, as derivadas laterais são diferentes. Nada se pode concluir quanto à continuidade, porque não há derivada finita em = f '( ) = 4. y = ( + ) 5. k = 9 6. a = - e b = 7. Não, porque h () = 7. h '( ) = 9 ( ) 7. Verdadeira porque h () = - 9 é um número finito,, > < 8. D = 8. Crescente:, e em ], + [ ; Decrescente:, 8. Máimo: Concavidade voltada para cima: 9. para = ; Mínimo: 0 (para = ) 9., + ; Para baio:, 8.5, 7 = + ; h (0) = - 0 h'( ) Crescente em ], 5 [ ; Decrescente em ] -, [ e em ] 5, + [ Mínimo relativo: h () = 9 ; Máimo relativo: h (5) = Concavidade voltada para cima em, ; Voltada para baio em 7, Ponto de infleão: 7 9, y = y =,5 0, V 0. F 0. V 0.4 V. 0. Para t = a área tem o máimo de 0,5. Estabiliza em 0. 7º às 5 h. º às 0 h. f (0) = 0,65 ºC / hora. tvm [0, ] = 7,9 ºC / minuto. Velocidade de aquecimento no instante t = ; 7,65 ºC/minuto. Temperatura máima = 69,5 ºC para t =, min.4 Sim, no ponto de abcissa 0. Corresponde ao momento em que a velocidade de arrefecimento tem o seu valor mais baio 5

26 4. Tem uma A V. : = 0 4. Tem um mínimo em 5. = 4., r ( 0) =, é o comprimento, em cm, do raio da nódoa no instante em que foi detectada lim t + r ( t) = 4, é o maior comprimento, em cm, que o raio da nódoa pode atingir r ( t) r (0) 7 5. lim = cm / s, define a velocidade de crescimento do raio da nódoa no + t 0 t 4 instante em que foi detectada 5.4 5,7 s 6. a = 4,6 e b = 0, 6. T (0) = - 0º C/min.; T () = - 9º C/min 6. 5 m 7. 70º C 7. Verdadeira, porque f (t) < º C 7.5 m 8s 7. Assimptota horizontal: y = 0; Sempre decrescente; Concavidade voltada para cima 8. y = 8. Concavidade voltada para cima: ] -, - 4 [ e em ], + [; Concavidade voltada para baio: ] 4, - [ ; Pontos de infleão: (para = - 4 e para = - ) 8. A. V. : não tem ; A. H. : y = 0 (quando ) 9. Crescente: ], + [ ; Decrescente: ] -, [ e em ], [ ; Mínimo: e ( = ) 9. S = { } 9. A. V. : = ; A. H. : y = 0 (quando ) 0. f (0) f (0) =, m 0. 0 m. Como a função é contínua em [0,5 ; ] e sendo C (0,5) = 0,86 < e C () =,48 >, logo pelo Teorema de Bolzano eiste um t 0 [0,5 ; ] tal que C ( t 0 ) =. h 0m. 0, s e,08 s., para t = ln. 0; A concentração no sangue da substância injectada aproima-se de zero após um longo período de tempo. D = + ; Zeros: ln. Crescente em +. y = ln 4 4. y = 4. Como f admite derivada finita em = ( f () = ), logo é contínua nesse ponto 4. Concavidade voltada para cima: ] - e, 0 [ e ] 0, e [; Para baio: ] -, - e [ e ] e, + [ ; 5. y = 5. Como f admite derivada finita em = ( f () = ), logo é contínua nesse ponto 5. Concavidade voltada para cima: ] 0, [; Concavidade voltada para baio: ], + [; Ponto de infleão: (,0) 6. 5,4 m 6. Decrescente em ] 0, 5 [ ; Crescente em ] 5, 0 [ ; Mínimo no ponto de abcissa 5 6. h ( 5 ) = h(5 + ) = 5 4 ln (- + 6) e significa que a altura de dois quaisquer pontos equidistantes do ponto médio situado a 5 metros da parede A é a mesma 7., 9. y = + e 9. A.V. : não tem ; A. H. : y = 0 (quando - ) 40. Mínimo: f (0) = ; Máimo: f () 40. g () = f () 4 e como g (- ) = - + e > 0 e g (0) = - < 0, então pelo CTB está provado 6

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