I. Cálculo Diferencial em R n

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1 Análise Matemática II Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Ano Lectivo 2010/ o Semestre Exercícios propostos para as aulas práticas I. Cálculo Diferencial em R n Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra

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3 I Cálculo Diferencial em R n Análise Matemática II - MIEEC /2011 Geometria anaĺıtica 0 Revisões de geometria analítica 0.1 Vectores, rectas e planos 1. Mostre que o produto escalar verifica a identidade u v = 1 2 ( u 2 + v 2 u v 2 ). 2. Determine o produto escalar de u pelo versor de v (ou seja, v ), sendo: v (a) u = 2î + 3ĵ, v = 1 2 î ĵ; (b) u = 2î + 3ĵ, v = î + ĵ; (c) u = 2î + 3ĵ + 5ˆk, v = î + ĵ; (d) u = 2î + 3ĵ + 5ˆk, v = 3î + 2ĵ + ˆk. 3. Em R 2, determine dois vectores unitários paralelos a 2î + 3ĵ. 4. Em R 2, determine dois vectores unitários ortogonais a (ou seja, perpendiculares a) 2î + 3ĵ. 5. Em R 3, determine quatro vectores unitários ortogonais a 2î + 3ĵ. 6. Determine o vector projecção de 2î + ĵ + ˆk sobre î + 3ĵ ˆk. 7. Sejam u = 3î + 4ĵ, v = î + ĵ. (a) Qual a projecção escalar de u sobre v? (b) Sendo w = î ĵ, qual a combinação linear de v e w que é igual a u? 8. Calcule os produtos vectoriais u v e v u quando: (a) u = î, v = ˆk; (b) u = 2î + 3ĵ ˆk, v = ĵ; (c) u = î + 3ĵ ˆk, v = î 3ĵ + ˆk; (d) u = 2î + 3ĵ ˆk, v = î + 2ĵ + 3ˆk. 9. Mostre que î (î ĵ) (î î) ĵ. 10. Calcule a área do paralelogramo definido pelos vectores î + 3ĵ e 2î + ĵ. 11. Calcule o volume do paralelepípedo definido pelos vectores î ĵ + 2ˆk, 3î + 6ˆk e 2î 2ĵ 3ˆk. 12. (a) Escreva a equação da recta que contém os pontos (1, 2) e (3, 5). (b) Escreva as equações paramétricas da recta que contém os pontos (1, 2, 1) e (3, 5, 2). (c) Escreva a equação do plano que contém os pontos (1, 2, 1), (3, 5, 2) e (0, 1, 0). 13. Sejam P = (1, 0, 1), Q = (2, 4, 5), R = (3, 1, 7). (a) Determine um vector ortogonal ao plano que passa pelos pontos P, Q, R; (b) Calcule a área do triângulo P QR. 14. (a) Escreva as equações paramétricas e as equações simétricas da recta que passa no ponto (1, 2, 3) e é paralela ao vector 4î + 5ĵ + 6ˆk. (b) Determine a distância entre a origem (ponto O = (0, 0, 0)) e a recta da alínea anterior. (c) Escreva a equação do plano que contém o ponto (1, 2, 3) e é perpendicular ao vector 4î+5ĵ+6ˆk. 1

4 I Cálculo Diferencial em R n Análise Matemática II - MIEEC /2011 Funções de várias variáveis (d) Determine a distância entre a origem e o plano da alínea anterior. (e) Escreva as equações simétricas da recta que passa no ponto (1, 2, 3) e é perpendicular ao plano de equação x + y + z = 2. (f) Escreva a equação do plano que contém o ponto (1, 2, 3) e é paralelo aos vectores 4î + 5ĵ + 6ˆk e î + ĵ + ˆk. 15. Designemos por r a recta de equações x 1 2 = y + 3 = z 2. (a) Determine equações paramétricas da recta s que é paralela a r e passa por (0, 1, 2). (b) Determine a equação do plano que contém r e s. 16. Escreva uma equação para cada um dos seguintes planos em R 3 : (a) o plano que contém o ponto (1, 2, 3) e é perpendicular ao vector ( 1, 1, 0); (b) o plano que contém os pontos (2, 1, 3), ( 3, 1, 3) e (4, 2, 3); (c) o plano que contém o ponto (6, 0, 2) e é paralelo aos vectores (1, 0, 0) e (0, 2, 1); (d) o plano que contém o ponto (4, 1, 2) e é paralelo ao plano 2x 3y z = Cónicas e quádricas 17. Identifique e esboce a secção cónica definida pela equação: (a) y 2 = 64x; (e) (x + 4) 2 9(y 5) 2 = 1; (b) 9y 2 = 36 9x 2 ; (f) y 2 8x + 8y + 32 = 0; (c) 9y 2 = x 2 ; (g) 4x 2 + y 2 24x + 4y + 36 = 0; (d) x 2 y 2 4 = 0; (h) x 2 9y 2 + 8x + 7 = Identifique e esboce a superfície quádrica definida pela equação: (a) x 2 + z 2 = 9; (b) x 2 y 2 + z 2 = 4; (c) 4 x y z 2 = 36; (d) 4 z 2 x 2 y 2 = 1; (e) (z 4) 2 = x 2 + y 2 ; (f) x z 2 y = 0; (g) z = 2 + y 2 ; (h) x 2 + y 2 = 4 z; (i) x 2 + y 2 + z 2 = 2 z; (j) z = x 2 y Represente geometricamente o sólido S definido pelas condições: (a) x 2 + y 2 z 2 x 2 y 2 ; (b) x 2 + y 2 4 e x 2 + y 2 (z 6) 2 ; (c) x 2 + y 2 1 e 0 z x + y; (d) 0 z 2 e x 2 + y 2 z Faça o esboço gráfico dos seguintes subconjuntos de R 3 : (a) S = (x, y, z) R 3 : x 0, y 0, z 0 e 6x + 3y + 2z 12}; (b) S = (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = 6y e x 2 + y 2 + z 2 36}; (c) S = (x, y, z) R 3 : 4 + z x 2 + y 2 e 2 z x 2 + y 2 }. 2

5 I Cálculo Diferencial em R n Análise Matemática II - MIEEC /2011 Funções de várias variáveis 1 Funções reais de várias variáveis reais 1.1 Funções de várias variáveis 21. Descreva e faça um esboço do domínio das seguintes funções: (a) f(x, y) = xy y 2x ; x (f) f(x, y) = 2 + y 2 1 x 2 + y 2 2x ; x + 1 (b) f(x, y) = 1 x 2 y ; 2 (g) f(x, y) = ln[x ln (y x 2 )]; (c) f(x, y) = ln (xy); (d) f(x, y) = x3 3 + arcsin (y + 3); (e) f(x, y, z) = 4 x 2 y 2 z 2 ; (h) f(x, y) = ln [(16 x 2 y 2 )(x 2 + y 2 4)]; sin(x 4 + y 6 ) x 4 + y 6 se x > 0 (i) f(x, y) = y + 1 x se x Esboce os gráficos das funções seguintes, e em seguida, algumas das suas curvas de nível. (a) f(x, y) = 2 + y 2 ; (b) f(x, y) = 4 x 2 y 2 ; (c) f(x, y) = x 2 y 2 ; (d) f(x, y) = x 2 y 2 ; (e) f(x, y) = 1 x 2 ; (f) f(x, y) = 2 4x 2 2y 2 ; (g) f(x, y) = 2x x 2 y 2 ; (h) f(x, y) = x 2 + y 2 1; (i) f(x, y) = 1 + x 2 + y 2 ; (j) f(x, y) = y Esboce algumas superfícies de nível para as seguintes funções: (a) f(x, y, z) = x + y + z; (b) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 ; (c) f(x, y, z) = x 2 + y 2 ; (d) f(x, y, z) = x 2 + y 2 z. 1.2 Limites e continuidade 24. Prove, usando a definição, que: (a) (x,y) (0,1) x2 + y 2 x 3 y 2 2y = 1; (b) x(y 1) = 0; (c) (x,y) (1,1) (x,y) (0,0) x 2 + y 2 = 0. 3

6 I Cálculo Diferencial em R n Análise Matemática II - MIEEC /2011 Funções de várias variáveis 25. Calcule, caso existam: (a) (b) (c) (d) (e) (x,y) (1,2) x 2 x 2 + y 2 ; (x,y) (0,0) (x2 + 2y 2 ) sin 1 xy ; ( ) sin x ln + (yz) 2 3 ; (x,y,z) ( π 2, 1, ) 2 (x,y,z) (1, 1,4) (x,y) (0,0) 2xy (x + y) 2 ; 3x 2 sin y x 2 + 2y 2 ; (f) (g) (h) (i) (j) (x,y) (0,0) (x,y) (1, 1) 3x 2 y x 2 + 2y 2 ; x 2 y 2 x + y ; (x,y,z) (3,1,1) e xy sin(πz/2) ; (x,y) (1,3) (x,y) (0,0) xy 2x y + 2 (x 1)(y 2 4y + 4) ; x 2 + xy y 2 x 2 + y Usando trajectórias convenientes tire conclusões sobre a existência dos seguintes ites: (a) (b) (c) (x,y) (0,0) (x,y) (0,0) (x,y) (0,0) x 2 x 2 + y 2 ; xy x 2 + y 2 ; x 2 y x 4 + y 2 ; (d) (e) (f) (x,y,z) (1,0,0) (x,y) (1,0) (x,y) (0,0) (x 1)yz (x 1) 3 + y 3 + z 3 ; 2xy 2y (x 1) 2 + y 2 ; xy(x y) x 3 + y Determine o domínio das seguintes funções e estude a existência de ite nos pontos P 0 indicados. (a) f(x, y) = (b) f(x, y) = (c) f(x, y) = x y x + y, P 0 = (0, 0); x x 2 + y 2, P 0 = (0, 0); 2xy x 2 + y 2 se (x, y) (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0), P 0 = (0, 0); x (d) f(x, y) = x 2 se x = y, P 0 = (1, 1). se x y 4

7 I Cálculo Diferencial em R n Análise Matemática II - MIEEC /2011 Derivadas parciais 28. Determine o subconjunto de R 2 formado pelos pontos onde são contínuas as funções: x 2 + y 2 se x 2 + y 2 1 (a) f(x, y) = 0 se x 2 + y 2 > 1 e y x se x 0 (c) f(x, y) = 2y se x = 0 (b) f(x, y) = 3x 2 y x 2 + y 2 se (x, y) (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) x + y se xy = 0 (d) f(x, y) = 0 se xy 0 2 Derivadas parciais, derivadas direccionais, gradiente 2.1 Derivadas parciais 29. Usando a definição de derivada parcial, calcule: (a) f x (0, 0) e f y (1, 2), onde f(x, y) = x 2 y; (b) f f x se x < y (1, 1) e (1, 0), onde f(x, y) = x y y se x y. 30. Mostre que a função f definida por f(x, y) = 2xy x 2 + y 4 se (x, y) (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) tem derivadas parciais de primeira ordem em (0, 0), embora seja descontínua nesse ponto. 31. Calcule as (funções) derivadas parciais de 1 ā ordem das funções seguintes: (a) f(x, y) = e 2xy3 ; (e) f(x, y, z) = ln(e x + z y ); (b) f(x, y, z) = e x sin y + cos(z 3y); (f) f(x, y) = (cos x) sin y ; x 2 y 2 (c) f(x, y) = arcsin x 2 + y 2 ; (g) f(x, y, z) = cos(y x 2 + z 2 ); x se xy 0 (d) f(x, y) = y se xy = 0; (h) f(x, y) = xy x + y 32. Calcule as derivadas parciais de 2 ā ordem das funções seguintes: se x + y 0 x se x + y = 0. (a) f(x, y) = x 4 y 3 ; (b) f(x, y, z) = sin(xyz); (c) f(x, y, z) = x 2 e yz + y ln z. 5

8 I Cálculo Diferencial em R n Análise Matemática II - MIEEC /2011 Derivadas parciais 33. Mostre que a função definida por f(x, y) = ln(x 3 + y 3 ) verifica f xy = f x f y. Nota: a segunda igualdade acima não é, em geral, verdadeira. 34. Uma função f(x 1, x 2,..., x n ) diz-se harmónica se verificar a equação de Laplace, 2 f x f 1 x f 2 x 2 n (a) f(x, y) = arctan = 0. Mostre que as seguintes funções são harmónicas: ( y x) ; (b) f(x, y) = ln( x 2 + y 2 ); (c) f(x, y, z) = 1 x 2 + y 2 + z Sejam u(x, y) e v(x, y) duas funções com derivadas de 2 ā ordem contínuas. Mostre que se u x (x, y) = v y (x, y) então u e v são funções harmónicas. u y (x, y) = v x (x, y) Nota: as equações anteriores são conhecidas como Equações de Cauchy-Riemann, que são importantes em Análise Matemática III, nomeadamente no estudo das funções complexas da forma u(x, y) + i v(x, y). 36. Sendo w(x, y) = cos(x y) + ln(x + y) mostre que 2 w x 2 2 w y 2 = Utilizando o Teorema de Clairault, mostre que não existe nenhuma função f : R 2 R tal que f x = xy2 + 1 e f y = y Considere a função f : R 2 R definida por f(x, y) = xy 2 x + y se x y 0 se x = y Calcule f y (x, 0), f x (0, y) e mostre que f xy (0, 0) f yx (0, 0). 39. Mostre que caso f tenha derivadas parciais de 3 a ordem contínuas se tem f xxy = f yxx. 2.2 Diferenciabilidade e diferencial 40. Determine a equação do plano tangente às seguintes superfícies nos pontos indicados: (a) z = x 2 + 2y 2, (1, 2, 9); (d) x 2 + y 2 + z 2 = 1, (1/2, 1/2, 1/ 2); (b) z = 9 x 2, (2, 4, 5); (e) x = z 2 y 2, (0, 0, 1); (c) 2x 2 + 3y 2 + z 2 = 1, (0, 1/ 3, 0); (f) 4x 2 y 2 + 2z 2 2 = 0, (1, 2, 1). 41. Usando a definição, verifique se são diferenciáveis as seguintes funções nos pontos dados: (a) f(x, y) = xy, em qualquer (a, b) R 2 ; 6

9 I Cálculo Diferencial em R n Análise Matemática II - MIEEC /2011 Derivadas parciais (b) f(x, y, z) = x y z, em todo o seu domínio; (c) f(x, y) = (d) f(x, y) = x 2 + y 2 se x 0 y 4 no ponto P = (0, 0) ; se x = 0 0 se x y 2 y 1 se x = y 2 no ponto P = (1, 1). 42. Usando as condições suficientes/necessárias que conhece para uma função ser diferenciável num dado ponto, verifique se são ou não são diferenciáveis as seguintes funções nos pontos dados: (a) f(x, y) = e x2 +y 2, no ponto (2, 1); (b) f(x, y) = 3 xy, no ponto (1, 0); 0 se xy = 0 (c) f(x, y) =, no ponto (0, 0); 1 se xy 0 (d) f(x, y, z) = x 2 e yz + y ln z, no ponto (1, 2, 1); sin(xy y) (e) f(x, y) = (x 1) 2 + y 2 se (x, y) (1, 0) 0 se (x, y) = (1, 0), no ponto (1, 0); (f) f(x, y, z) = cos(y x 2 + z 2 ), no ponto (0, 1, 0). 43. Determine a equação do plano tangente às seguintes superfícies nos pontos indicados: (a) z = cos(x 2 + y), (0, π, 1); (b) z = x 3 y 2, (1, 1, 1). 44. Usando aproximações lineares, calcule o valor aproximado das seguintes funções nos pontos dados: (a) f(x, y) = cos(x 2 + y), no ponto (0, π 2 ); (b) g(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2, no ponto (2.001, 0.003, 0.001); (c) h(x, y) = x 3 y 2, no ponto (1.02, 0.97). 45. Calcule um valor aproximado para (3.05) 2 (2.01) 3 (1.006) O comprimento e a largura de um rectângulo foram medidos como 30 cm e 24 cm, respectivamente, com um erro de medida de, no máximo, 0.1 cm. Utilize os diferenciais para estimar o erro máximo cometido no cálculo da área do rectângulo. 47. Uma caixa sem tampa vai ser construída com madeira de 0.5 cm de espessura. O comprimento interno deve ter 70 cm, a largura interna 40 cm e a altura interna 35 cm. Utilize a aproximação linear de uma função conveniente para calcular a quantidade aproximada de madeira que será utilizada na construção da caixa, e compare o resultado com valor exacto. 7

10 I Cálculo Diferencial em R n Análise Matemática II - MIEEC /2011 Derivadas parciais 2.3 Derivada da composta ( Regra da Cadeia ) e matriz jacobiana 48. Considere as funções: f : R 2 R 2, definida por f(u, v) = (u cos v, u sin v); g : R 2 R, definida por g(x, y) = x 2 + y 3 ; h : R 2 R, definida por h(u, v) = (u cos v) 2 + (u sin v) 3. (a) Determine as matrizes jacobianas de f, g e h. (b) Calcule h (3, π). u 49. Seja g : R 3 R 2 uma função diferenciável tal que a matriz jacobiana de g no ponto ( [ ] é e seja h definida por h(r, θ, φ) = g(r cos θ sin φ, r sin θ sin φ, r cos φ) Calcule a matriz jacobiana de h o ponto (1, π 4, π 2 ). 50. Calcule du dt, sendo u = ln ( sin ( x )) x = 3t 2 y e y = 1 + t Calcule u s e u t, sendo u = x2 e xy + y 2 x = s 2 t sin(xy) e y = s e t. ( ) 52. Sendo z = y φ x + ln y, onde φ é diferenciável em R, mostre que y z y + x 2 z x = y Sendo u = x 3 F ( y x, z x), onde F é diferenciável em R 2, mostre que x u x + y u y + z u z = 3u. 2 2, 2 2, 0) 54. Suponha que a função f(u, v, w) é diferenciável e que as suas derivadas parciais satisfazem: f u (α, α, β) = f v (α, α, β) = αβ f w (α, α, β) = α 2 β 2. Calcule o valor das derivadas parciais de g(x, y) = f(x 2 y, 3x 3y 2, 2x), no ponto (2, 1). 55. Sejam f e g funções de uma variável com derivadas de 2 a ordem contínuas e c R uma constante. Mostre que a função u(x, t) = f(x + c t) + g(x c t) verifica a equação das ondas: 2 u t 2 = c2 2 u x Uma função diz-se homogénea de grau n se verificar a condição f(tx, ty, tz) = t n f(x, y, z) (para quaisquer t > 0 e x, y, z R). Mostre que uma função homogénea de grau n com derivadas parciais contínuas verifica a condição x f x + y f y + z f = nf(x, y, z). z 57. Um carro A viaja para norte na auto-estrada A1, e um carro B viaja para oeste na auto-estrada A25. Os dois carros aproximam-se da intersecção dessas duas vias rápidas. Num certo momento, o carro A está a 0.3km da intersecção viajando a 90km/h, ao passo que o carro B está a 0.4km da intersecção viajando a 80km/h. Qual a taxa de variação da distância entre os carros nesse instante (ignorando a altura do viaduto e supondo que as auto-estradas são rectas perpendiculares)? 8

11 I Cálculo Diferencial em R n Análise Matemática II - MIEEC /2011 Derivadas parciais 2.4 Derivação implícita 58. (a) Mostre que a equação (x 2 + y 2 1)(y x) = 0 define implicitamente y como função de x numa vizinhança de (1/2, 1/2). (b) Verifique se o mesmo acontece para os pontos (1, 0) e ( 2/2, 2/2). 59. Determine, utilizando a derivação implícita, dy nos casos seguintes: dx (a) x 2 xy + y 3 = 8; (b) cos(x y) = xe y. 60. Determine, utilizando a derivação implícita, z x e z y nos casos seguintes. (a) xy 2 + yz 2 + zx 2 = 3; (b) xe y + yz + ze x = Seja G : R 2 R uma função com derivadas parciais contínuas e não nulas numa vizinhança de (1, 1), e tal que G(1, 1) = 0. ( z (a) Mostre que a equação G x x), y = 0 define implicitamente z como função de x e y (z = φ(x, y)) numa vizinhança do ponto (2, 2, 2). (b) Mostre que x φ φ (x, y) + y (x, y) = φ(x, y), para (x, y) numa vizinhança do ponto (2, 2). x y 2.5 Derivadas direccionais e gradiente 62. Usando a definição, calcule as derivadas direccionais das funções seguintes nos pontos P 0 dados e segundo o vector v indicado. (a) f(x, y) = x 2 xy em P 0 = (0, 1) e v = 3 5î + 4 5ĵ ; (b) f(x, y, z) = xyz 2 em P 0 = (0, 1, 0) e v = 2 6 î ĵ ˆk. 63. Usando a definição, determine os vectores v para os quais D v f(p 0 ) existe, sendo: (a) f(x, y, z) = 2x + y + z + 3, P 0 = (1, 0, 0); (b) f(x, y) = x 2 y 2, P 0 = (1, 1); xy 2, se y 0 (c) f(x, y) =, P 0 = (0, 0). x 3, se y < Calcule Dˆv f(p 0 ), sendo: (a) f(x, y) = e x tg y + 2x 2 y, P 0 = (0, π/4), v = î 2 + ĵ 2 ; (b) f(x, y, z) = 3x 2 y + 2yz, P 0 = ( 1, 0, 4), v = î 2 ˆk 2 ; (c) f(x, y, z) = x 2 z + y e xz, P 0 = (1, 2, 3), v = î 2ĵ + 3ˆk; (d) f(x, y) = x 2 xy 2y 2, P 0 = (1, 2), v é um vector que faz um ângulo de 60 o com OX. 9

12 I Cálculo Diferencial em R n Análise Matemática II - MIEEC /2011 Derivadas parciais 65. Determine, caso exista, o vector gradiente das seguintes funções nos pontos indicados: x 3 + y (a) f(x, y) = x 2 + y 2 se (x, y) (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0), P 0 = (0, 0); (b) f(x, y) = sin(xy), P 0 = (0, 0); (c) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2, P 0 = (1, 2, 3); (d) f(x, y, z) = x 2 z + ye xz, P 0 = (1, 2, 3). 66. Para cada uma das funções anteriores, determine a expressão do vector gradiente em qualquer ponto onde este possa ser calculado. 67. Mostre que (fg) = f g + g f. 68. Calcule as derivadas direccionais das funções das alíneas (a) e (b) do exercício 65 nos pontos aí indicados e segundo a direcção de um vector v = v 1 î + v 2 ĵ. 69. Calcule as derivadas direccionais das funções das alíneas (c) e (d) do exercício 65 nos pontos aí indicados e segundo a direcção de um vector v = v 1 î + v 2 ĵ + v 3ˆk. 70. Um alpinista encontra-se no ponto de coordenadas (4, 9, 25) de uma montanha cuja superfície tem equação z = 300 2x 2 3y 2. Qual a direcção que deve tomar para ganhar altitude o mais depressa possível? 71. Se a temperatura num ponto de coordenadas (x, y, z) for dada pela expressão 3x 2 y z 2, em que direcção deverá voar um mosquito situado no ponto (4, 2, 1) para fugir rapidamente ao calor? 72. Seja f : R 2 R a função dada por f(x, y) = x 3 y, se y 0 0, se y = 0. (a) Mostre que f admite todas as derivadas parciais de 1 ā ordem em (0, 0). (b) Prove que f admite derivada direccional segundo qualquer vector (não nulo) v do plano, sendo Dˆv f(0, 0) = f(0, 0), ˆv. (c) Mostre que f não é diferenciável em (0, 0), justificando a sua resposta. 10

13 I Cálculo Diferencial em R n Análise Matemática II - MIEEC /2011 Extremos 73. Seja f : R 2 R definida por f(x, y) = Mostre que (a) f é contínua em (0, 0). x 3 + y 3 x 2 + y 2 se (x, y) (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0). (b) f possui derivada direccional em (0, 0) segundo qualquer vector unitário. (c) f não é diferenciável em (0, 0). 74. Sejam f e g definidas por f(x, y) = 0 se y = x 2 x se y x 2 e g(x, y) = 0 se y = x 2 x 2 se y x 2. (a) Mostre que D v f(0, 0) = f(0, 0) v e D v g(0, 0) = g(0, 0) v para todo o v R 2. (b) Averigúe se f e g são diferenciáveis em (0, 0). 2.6 Planos tangentes e rectas normais a uma superfície 75. Determine as equações do plano tangente e da recta normal à superfície dada no ponto indicado. (a) x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 21, (4, 1, 1); (c) x 2 + y 2 z 2 2xy + 4xz = 4, (1, 0, 1); (b) z + 1 = xe y cos z, (1, 0, 0); (d) xe yz = 1, (1, 0, 5). 76. Sendo f(x, y) = x 2 + 4y 2, determine o vector gradiente f(2, 1) e utilize-o para determinar a recta tangente à curva de nível f(x, y) = 8 no ponto (2, 1). Esboce as curvas de nível, a recta tangente e o vector gradiente. 77. Mostre que a equação do plano tangente ao elipsóide x2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1 no ponto (x 0, y 0, z 0 ) pode ser escrita como xx 0 a 2 + yy 0 b 2 + zz 0 c 2 = Determine os pontos no hiperbolóide x 2 y 2 + 2z 2 = 1 onde a recta normal é paralela à recta que une os pontos (3, 1, 0) e (5, 3, 6). 79. Determine as equações paramétricas da recta tangente à curva formada pela intersecção do parabolóide z = x 2 + y 2 com o elipsóide 4x 2 + y 2 + z 2 = 9 no ponto ( 1, 1, 2). 3 Extremos livres e extremos condicionados 3.1 Máximos e mínimos locais 80. Determine os pontos estacionários e depois, mediante o estudo do comportamento da função numa vizinhança desses pontos, os máximos e os mínimos locais de cada uma das seguintes funções: (a) f(x, y) = x 4 + y 6 (c) f(x, y) = 3xy + 4 (e) f(x, y) = x 2 y 2 (b) f(x, y) = ( 4 x 2 y 2) 4 (d) f(x, y) = x + y (f) f(x, y) = 1 y 2 11

14 I Cálculo Diferencial em R n Análise Matemática II - MIEEC /2011 Extremos 81. Determine os extremos locais das seguintes funções: (a) f(x, y) = (x 1) 2 + 2y 2 (f) f(x, y) = (x 1) 2 2y 2 (b) f(x, y) = x 2 + xy + y 2 2x y (g) f(x, y) = (x 2 + y 2 )(x y 2 ) (c) f(x, y) = x 2 2xy 2 + y 4 y 5 (h) f(x, y) = cos x + cos y (d) f(x, y) = x 3 + y 3 9xy + 27 (i) f(x, y) = (x y) 2 x 4 y 4 (e) f(x, y, z) = 2x 2 + y 2 + 2xy + z 2 2xz (j) f(x, y) = e 2x (x + y 2 + 2y) 82. Seja f(x, y) = (2ax x 2 )(2by y 2 ) com a e b não nulos. (a) Determine a e b de modo que f tenha um máximo no ponto (1, 1). (b) Para os valores a e b da alínea anterior verifique se a função tem outros máximos, mínimos ou pontos sela. 3.2 Extremos condicionados: Multiplicadores de Lagrange 83. Considere a função f : R 2 R definida por f(x, y) = x 2 + (y 2) 2. (a) Determine, caso existam, os máximos e mínimos locais e os pontos de sela de f em todo o seu domínio. (b) Seja D = (x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1}. Justifique a existência de máximo e mínimo absoluto de f em D e determine-os utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange. 84. Sejam f : R 3 R definida por f(x, y, z) = 3x 2 + 3y 2 + z 2 e M = (x, y, z) R 3 : x + y + z = 1}. (a) Determine os pontos estacionários de f em todo o seu domínio e analise a existência de extremos locais e de pontos sela. (b) Mostre que a restrição de f ao conjunto M possui um mínimo absoluto e determine-o. 85. Sejam E = (x, y) R 2 : 2x 4 + y 4 2} e f : R 2 R definida por f(x, y) = 2x 4 + 2y 4 + x. Determine, caso existam, os extremos absolutos restrição da função f ao conjunto E. 86. Sejam D = (x, y) R 2 : 0 y 1 x 2} e g : D R definida por g(x, y) = x 2 + 2y 2 1. (a) Comente a seguinte afirmação: g possui um máximo e um mínimo absolutos. (b) Determine os extremos absolutos de g. 87. Seja f : D R, definida por f(x, y) = xy, onde D = (x, y) R 2 : 3x 2 1 y x 2 + 1}. Determine os extremos absolutos de f. 88. Determine os pontos da superfície z 2 = xy + 1 que estão mais próximos da origem. 89. Determine três números positivos cuja soma é 100 e cujo produto é máximo. 12

15 I Cálculo Diferencial em R n Análise Matemática II - MIEEC /2011 Extremos 90. Determine o volume da maior caixa rectangular com arestas paralelas aos eixos e que pode ser inscrita no elipsóide 9x y 2 + 4z 2 = Considere o cilindro (circular recto) de altura a e raio de base b. Supondo que o seu volume é dado por πab 2 (isto será demonstrado mais tarde recorrendo ao integral duplo), determine as dimensões do cilindro (circular recto) cuja área de superfície, 2πb 2 + 2πab, é igual a 1 e cujo volume é máximo. 13