Introdução ao estudo de equações diferenciais

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1 Matemática (AP) /09 - Introdução ao estudo de equações diferenciais 77 Introdução ao estudo de equações diferenciais Introdução e de nição de equação diferencial Existe uma grande variedade de situações nas quais é necessário determinar uma quantidade variável a partir de um seu coe ciente de variação. Por exemplo: se se quer calcular a posição de um ponto móvel, conhecendo, além da posição inicial e do tempo decorrido, a sua velocidade ou aceleração; no caso de uma colónia de bactérias, conhecer o seu número ao m de um certo espaço de tempo, sabendo a velocidade inicial e a velocidade de crescimento; no caso de uma substância radioactiva que se desintegra, com coe ciente de variação conhecido, determinar a quantidade de substância remanescente ao m de um dado tempo, conhecida a quantidade inicial. Em exemplos como estes procura-se determinar uma função desconhecida por meio de uma equação que envolve pelo menos uma derivada da função a determinar. Tal equação tem o nome de equação diferencial. Se a função desconhecida é uma função real de variável real, as derivadas que aparecem na equação diferencial são derivadas usuais e a equação é chamada equação diferencial ordinária (se a função desconhecida é função de mais de uma variável, as derivadas que aparecem são derivadas parciais e a equação diferencial é chamada equação com derivadas parciais, mas este tipo de equações sai do âmbito deste curso).. f 0 (x) = f (x) : 2. f 0 (x) 2f (x) = 0 3. f (x) f 0 (x) + x = 0 4. (f 0 (x)) 2 + x 2 (f (x)) 2 = Numa equação diferencial ordinária a incógnita é uma função real de variável real. Em geral esta incógnita em vez de gurar como "f (x)", aparece simpli cada para "y": Assim, os exemplos anteriores podem ser reescritos de uma forma mais simples:. y 0 = y: 2. y 0 2y = 0

2 Matemática (AP) /09 - Introdução ao estudo de equações diferenciais yy 0 + x = 0 4. (y 0 ) 2 + x 2 y 2 = De nição: Ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que gura nessa equação. Exemplos. As equações diferenciais dos exemplos anteriores são de primeira ordem; 2. a equação y 00 + xy 0 = 0 é de segunda ordem; 3. y 000 x 2 = 0 é de terceira ordem, etc. Neste curso vamos apenas estudar a solução de alguns tipos de equações diferenciais de primeira ordem. Solução de uma equação diferencial Tal como no cálculo de primitivas e integrais, quando se estuda equações diferenciais é necessário ter em conta o domínio de de nição das funções. Em muitos casos não é possível ober soluções para uma equação cujo domínio seja R. Assim, uma solução, num intervalo I de R, de uma dada equação diferencial é uma função, de nida em I ; que transforme a equação numa identidade, isto é, que veri que a equação em todos os pontos x 2 I:. y = e x é solução da equação diferencial y 0 = y: 2. y = 2e x também é solução da equação diferencial y 0 = y pois (2e x ) 0 = 2e x : 3. y = e 2x é solução, em R, da equação diferencial y 0 2y = 0, pois y 0 = 2e 2x e, substituindo na equação, obtém-se 2e 2x 2e 2x = 0; 8x 2 R: 4. A função de nida por y = p x 2 é solução, no intervalo I = ] ; [ ; da equação diferencial yy 0 + x = 0, pois y 0 x = p e, substituindo as expressões de y e x 2 y 0 na equação, obtém-se yy 0 + x = = p x 2 x p + x = x 2 = x + x = 0; 8x 2 ] ; [ 5. Consideremos a equação diferencial y 0 = : Como, para uma constante real k; x2 0 arbitrária, x + k = ; 8x 2 Rn f0g ; a expressão x2 x + k; k 2 R

3 Matemática (AP) /09 - Introdução ao estudo de equações diferenciais 79 de ne uma família de soluções de y 0 = em Rn f0g. x2 6. A equação diferencial (y 0 ) 2 + x 2 y 2 = não tem nenhuma solução real, pois o primeiro membro é positivo para todas as funções diferenciáveis reais. 7. A equação diferencial (y 0 ) 2 + y 2 = 0 tem como única solução y = 0; 8x 2 R. Vimos nos exemplos e 2 que uma equação diferencial pode ter mais do que uma solução. À semelhança também do que acontecia no cálculo de primitivas, quando se calcula a solução de uma equação diferencial em geral chega-se a uma expressão que inclui uma ou mais constantes, de acordo com a ordem da equação, à qual se chama solução geral da equação. Quando todas as soluções de uma equação diferencial se podem obter a partir da solução geral dando diferentes valores às constantes, a solução geral diz-se solução completa, sendo cada solução assim obtida uma solução particular. Qualquer outra solução que não possa ser obtida deste modo a partir da solução geral diz-se uma solução singular. As soluções particulares de uma equação diferencial podem-se obter xando, à partida, condições a que a função solução tem de obedecer e que se designam por condições iniciais. Chama-se problema de Cauchy ou problema de valores iniciais ao problema de resolver uma equação diferencial sujeita a condições iniciais.. y = sin x + k; k 2 R, é solução geral da equação diferencial y 0 = cos x e é solução completa, visto que, efectivamente, duas funções cujas derivadas são iguais a cos x diferem por uma constante. 2. y = Cx + C 2 é solução geral da equação diferencial (y 0 ) 2 + xy 0 y = 0 (veri car); mas não é solução completa, pois a equação admite também a solução singular y = x2 4 (veri car). Note-se que y = Cx + C2 representa uma família de rectas em que a ordenada na origem é o quadrado do declive e y = uma parábola. x2 4 tem por grá co 3. O problema de Cauchy ( y 0 = 3y y (0) = 5 ; admite como solução y = 5e 3x ; pois ( y 0 = (5e 3x ) 0 = 5e 3x = 3 (5e 3x ) = 3y y (0) = 5e 30 = 5: ; A resolução de uma equação diferencial ordinária é um problema, de modo geral, bastante difícil, havendo métodos gerais de resolução para poucos tipos de equações. Apresentam-se de seguida as soluções para alguns tipos simples de equações diferenciais de primeira ordem.

4 Matemática (AP) /09 - Introdução ao estudo de equações diferenciais 80 Ao longo do que se segue consideram-se as soluções das equações diferenciais de nidas em intervalos convenientes. Equações diferenciais de variáveis separáveis de a ordem Denomina-se equação diferencial de variáveis separáveis de a ordem a uma equação de a ordem da forma y 0 = f (x; y) em que f (x; y) se pode escrever como um produto de duas funções contínuas, uma dependendo só de x e a outra em que só aparece y: As seguintes equações diferenciais são equações de variáveis separáveis:. y 0 = xy 2. y 0 = sin x cos y 3. y 0 = + y2 x 2 Antes de dar o modo de encontrar solução para este tipo de equações, note-se que, se a equação diferencial se pode escrever na forma y 0 = A (x) C (y) em que A (x) e C (y) são funções contínuas e se C (y) 6= 0; sendo B (y) = ;a equação C (y) pode tomar a forma B (y) y 0 = A (x) () É esta última expressão da equação diferencial que se usa para calcular a solução deste tipo de equações diferenciais. Quando uma equação de variáveis separáveis não está nesta forma, o primeiro passo para a resolução consiste sempre em "passar" para o primeiro membro todos os "y" que guram na equação e para o segundo membro todos os "x", de modo a obter a forma (). O teorema seguinte mostra como encontrar uma solução implícita para estas eqiuações, podendo posteriormente ser explicitada para intervalos convenientes do domínio de y: Teorema Seja y uma solução da equação () tal que y 0 ; A (x) e a função composta B y são funções contínuas num certo intervalo I e seja F qualquer primitiva de B (y) em y (I) : Então y satisfaz também a equação F (y) = A (x) dx: (2) Reciprocamente, se y satisfaz (2), então y é solução de ().

5 Matemática (AP) /09 - Introdução ao estudo de equações diferenciais 8 Demonstração: Se y é solução de (), veri ca-se B (y (x)) y 0 (x) = A (x) ; 8x 2 I: (3) Como F 0 = B; obtém-se F 0 (y (x)) y 0 (x) = A (x) ; 8x 2 I: (4) De acordo com a regra de derivação da função composta, o primeiro membro de (4) é a derivada da função composta F y e, portanto, F y = F (y) é uma primitiva de A (x) ; pelo que F (y) = A (x) dx; que é a relação (2). Reciprocamente, se y satisfaz (2), derivando ambros os membros da dessa igualdade, obtémse (3), o que prova que y é solução da equação diferencial (). Observações: A fórmula (2) pode também exprimir-se em função de B. Sendo F uma primitiva de B (y) ; podemos escrever F = R B (y) dy e (2) pode-se escrever na forma B (y) dy = A (x) dx: (5) Esta última fórmula é a que é utilizada habitualmente para calcular a solução implícita de uma equação diferencial de variáveis separáveis. Na prática, a fórmula (5) obtém-se directamente de () por um processo "mecânico". Na equação diferencial () substituindo y 0 por dy (notação de Leibniz, que se considera dx como uma fracção usual) obtem-se a relação B (y) dy dx = A (x),, B (y) dy = A (x) dx: (6) Colocando então os sinais de integral inde nido em ambos os membros de (6), obtém-se (5). Note-se que o teorema anterior já deu a justi cação deste processo "mecânico". Conclusão: A solução de uma equação diferencial da forma B (y) y 0 = A (x) é calculada, de forma implícita, através do cálculo de B (y) dy = A (x) dx :

6 Matemática (AP) /09 - Introdução ao estudo de equações diferenciais 82 Nas resoluções que se seguem, como já foi referido atrás, consideramos sempre os cálculos efectuados em domínios reais que garantam a possibilidade dos cálculos a efectuar. Por exemplo, a equivalência só é verdade quando intervalos em que estejam de nidas. y 0 = y 2 sin x, y0 y 2 = sin x y 2 6= 0. Também as soluções nais são consideradas apenas em. A equação yy 0 = x é uma equação de variáveis separáveis, já escrita na forma (), com Aplicando a fórmula (5) obtém-se B (y) dy = B (y) = y e A (x) = x:, A (x) dx, ydy = xdx, y2 2 = x2 2 + k:, y 2 = x 2 + 2k: Como para k 2 R, 2k toma todos os valores reais, a expressão y 2 = x 2 + k; k 2 R; é a forma implícita da h solução geral desta equação, que só está de nida para pk; p i 0; ou seja, para x 2 k : A solução explícita ca então x 2 +k y = p x 2 + k; k 2 R; 2. y 0 + y 2 sin x = 0 é uma equação de variáveis separáveis. Começamos por escrevê-la na forma (): y 0 + y 2 sin x = 0, y 0 = y 2 sin x, y0 y = sin x 2 Neste caso B (x) = e A (x) = sin x e tem-se y2 B (y) dy = A (x) dx,, y dy = 2, y, y = = cos x + k: cos x + k sin xdx

7 Matemática (AP) /09 - Introdução ao estudo de equações diferenciais y 0 = + y2 x 2, y0 + y 2 = x 2 Neste caso B (x) = + y 2 e A (x) = x 2 e tem-se 4. y 0 = sin x cos y, cos y y0 = sin x B (y) dy =, A (x) dx, + y 2 dy = x 2 dx, arctan y = x + k:, y = tan x + k Neste caso B (x) = cos y e A (x) = sin x e tem-se B (y) dy = A (x) dx,, cos ydy = sin xdx, sin y = cos x + k:, y = arcsin ( cos x + k) Equações diferenciais lineares De nição: Uma equação diferencial diz-se linear se pode ser escrita na forma a 0 (x) y (n) + a (x) y (n ) + + a n (x) y 0 + a n y = F (x) em que a 0 ; a ; : : : ; a n e F (x) são funções conhecidas e contínuas de x: Todas as outras equações diferenciais são não lineares.. y 00 + xy 0 + x 2 y = e x é linear. 2. y 00 + cos x = 0 é linear. (neste caso a (x) = 0 e a 2 (x) = 0) 3. y 00 + yy 0 + x = 0 é não linear. 4. (y 0 ) 2 + yy 0 + x = 0 é não linear. As equações diferenciais lineares, dado terem uma forma muito regular, permitem, em várias situações particulares, o cálculo de soluções gerais, não existindo, no entanto, nem neste caso, solução geral para uma equação linear arbitrária. Neste curso vamos apenas dar a solução geral para equações diferenciais lineares de a ordem.

8 Matemática (AP) /09 - Introdução ao estudo de equações diferenciais 84 Equações diferenciais lineares de a ordem A forma geral de uma equação diferencial linear de a ordem é A (x) y 0 + B (x) y = C (x) ; (7) onde A; B e C representam funções contínuas de x de nidas num conjunto real X. Supõe-se que A (x) 6= 0; isto é, que A (x) é sempre positiva ou sempre negativa em X, para poder dividir (7) por A (x) e obter a forma onde f (x) e g (x) são funções contínuas de x: y 0 + f (x) y = g (x) ; (8) É a expressão (8) que é usada para a fórmula que dá a solução geral destas equações. Quando uma equação linear não está nesta forma, o primeiro passo para a resolução consiste sempre dividir as três parcelas da equação pela função de x que esteja a multiplicar por y 0 ; de modo a que y 0 que isolado e a equação tenha a forma (8). Equações diferenciais lineares de a ordem homogéneas Consideremos em primeiro lugar o caso em que g (x) é a função identicamente nula. equação resultante, y 0 + f (x) y = 0; (9) chama-se equação reduzida ou homogénea correspondente a (8). equação de variáveis separáveis, pelo que é possível calcular a solução: y 0 + f (x) y = 0,, y 0 = f (x) y, y0 y = f (x) (se y 6= 0) A Esta equação é uma Tem-se, neste caso, B (x) = y e A (x) = f (x) e tem-se (lembremos que o integral inde nido R f (x) dx é o mesmo que P (f (x)) + k; k 2 R, em que P (f (x)) indica uma primitiva de f (x)). B (y) dy = A (x) dx,, y dy = f (x) dx, ln jyj = P (f (x)) + k; k 2 R, jyj = e P (f(x))+k ; k 2 R, jyj = e k e P (f(x)) ; k 2 R, y = e k e P (f(x)) ; k 2 R Como, para k 2 R, e k assume todos os possíveis valores positivos e atendendo ainda a que a função y = 0 também é solução de y 0 + f (x) y = 0; obtém-se para solução geral de (9) a

9 Matemática (AP) /09 - Introdução ao estudo de equações diferenciais 85 função: y = Ce P (f(x)) ; C 2 R Neste caso podemos também encontrar uma fórmula para a solução do problema de valores iniciais associado a este tipo de equações diferenciais ou seja, para, dados a; b 2 R, a solução y da equação y 0 + f (x) y = 0 satisfazendo y (a) = b é y = be xr f(t)dt a. Na equação y 0 + 2y = 0 tem-se f (x) = 2; pelo que a solução é y = Ce P (2) ; C 2 R, y = Ce 2x ; C 2 R 2. xy 0 + y = 0, y 0 + y x = 0: Neste caso f (x) = x e y = Ce P x ; C 2 R, y = Ce ln x ; C 2 R, y = C x ; C 2 R 3. Consideremos o problema de valores iniciais ( ( + x 2 ) y 0 + y = 0 y () = : Como ( + x 2 ) y 0 + y = 0, y 0 + b =. Pelo teorema y = 0; a função f (x) = + x2 + x e temos a = e 2 y = e xr +t 2 dt,, y = e [arctan t]x, y = e arctan x+ 4 Equações diferenciais lineares de a ordem não homogéneas De seguida vamos estudar a forma de resolver a equação diferencial não homogénea (8). A partir da solução da equação homogénea, é possível concluir que a solução geral para a equação y 0 + f (x) y = g (x) é da forma

10 Matemática (AP) /09 - Introdução ao estudo de equações diferenciais 86 y = Ce P (f(x)) + e P (f(x)) P e P (f(x)) g (x) A solução do problema de valores iniciais associado a este tipo de equações diferenciais ou seja, dados a; b 2 R, a solução y da equação y 0 + f (x) y = g (x) satisfazendo y (a) = b é em que R f (x) = be A(x) + e A(x) x e A(t) g (t) dt; (0) xr A (x) = f (t) dt a a. Consideremos a equação y 0 +y tan x = cos 2 x: Nesta equação f (x) = tan x; g (x) = cos 2 x e Então: P (f (x)) = P (tan x) = ln (cos x) y = Ce P (f(x)) + e P (f(x)) P e P (f(x)) g (x), y = Ce ( ln(cos x)) + e ( ln(cos x)) P e ln(cos x) cos 2 x, y = C cos x + cos xp cos x cos2 x, y = C cos x + cos xp (cos x), y = C cos x + cos x sin x; C 2 R 8 < y 0 + xy = x 2. Consideremos o problema de valores iniciais : y (0) = 2 : Neste caso f (x) = x; g (x) = x; a = 0; b = 2 : xr xr Assim, A (x) = f (t) dt = tdt = 2 x2 e a 0 y = be A(x) + e A(x) y = x 2 e 2 x2 + e 2 x2 a x 0 e A(t) g (t) dt; e 2 t2 t dt;, y = 2 e 2 x2 + e 2 e x2 2 x2, y = 2 e 2 x2 + e 2 x2, y = 3 2 e 2 x2 +