x As VpULHVGHSRWrQFLDV são um caso particularmente importante das séries de funções, com inúmeras aplicações tanto teóricas como práticas.

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1 Å 6pULHV GH SRWrQFLDV As VpULHVGHSRWrQFLDV são um caso particularmente importante das séries de funções, com inúmeras aplicações tanto teóricas como práticas. Um eemplo típico é a série, O cálculo do valor de sucessivas VRPDVSDUFLDLV é simples de programar e permite obter VXFHVVLYDVDSUR[LPDo}HV da H[SRQHQFLDO de qualquer número real. Chama-se VpULHGHSRWrQFLDVFHQWUDGDHP F a uma série da forma, onde D Q é uma sucessão de números reais.

2 Quando F é uma VpULHGHSRWrQFLDVFHQWUDGDQDRULJHP e tem a forma, Consideremos a série de funções definidas em, Trata-se de uma VpULHGHSRWrQFLDVFHQWUDGDQDRULJHP. Vejamos para que valores de [ a série é FRQYHUJHQWH. Para [ a VpULHQXODé convergente. Para [ os termos não se anulam e podemos aplicar o FULWpULRGH G $OHPEHUW, Então, quando / _[_< a série é DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWH quando / _[_> a série é GLYHUJHQWH e quando / _[_= nada podemos concluir.

3 Analisemos os dois casos para os quais _[_=, da série, Para [ ±temos a série, que, por FRPSDUDomRSRUSDVVDJHPDROLPLWH com a série harmónica básica, facilmente provamos ser GLYHUJHQWH. Para [ temos a série, que é uma VpULHDOWHUQDGD. Estudando a respectiva VpULHGRVPyGXORV, verificamos que é GLYHUJHQWH, donde nada podemos concluir. Resta tentar aplicar o FULWpULRGH/HLEQL]. Para todo o Q temos XPDVXFHVVmRGHQ~PHURVUHDLVSRVLWLYRV, Será PRQyWRQD GHFUHVFHQWH e de OLPLWH]HUR?

4 Efectivamente, e é evidente que, Pelo critério de Leibniz concluímos que a VpULHDOWHUQDGD é FRQYHUJHQWH. Portanto, no caso de [, a série dada é convergente e como verificámos que a respectiva série dos módulos é divergente, ela é VLPSOHVPHQWHFRQYHUJHQWH E finalmente podemos estabelecer que a VpULHGHSRWrQFLDV, é DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWH se [ ] ±[ é VLPSOHVPHQWHFRQYHUJHQWH se [ = é GLYHUJHQWH se [ ] ±] Chama-seLQWHUYDORGHFRQYHUJrQFLD de uma série de potências ao LQWHULRU do seu GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD. Para o eemplo anterior, como o GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD é ] ±], o LQWHUYDORGHFRQYHUJrQFLD é ] ±[.

5 Analisemos finalmente a conhecida VpULHGHSRWrQFLDV, Para [ a série é DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWH. Para [ (termos não nulos) podemos aplicar o FULWpULRGHG $OHPEHUW, e concluir que a série é DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWH também para [. Portanto a série é DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWH para todo o [, sendo o seu GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD todo o conjunto. De modo análogo, analise a série, Verifique que neste caso o GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD é apenas o conjunto singular {}.

6 Å 3URSULHGDGHV GDV VpULHV GH SRWrQFLDV ±_[ [ _ ±_[ [ _ Recordemos a conclusão obtida do estudo da VpULHGHSRWrQFLDV, é DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWH se [ ] ±[ é VLPSOHVPHQWHFRQYHUJHQWH se [ = é GLYHUJHQWH se [ ] ±]

7 Vejamos como a SURSULHGDGH anterior nos pode ajudar. Para [, vimos que é FRQYHUJHQWH a série alternada, Então esta SURSULHGDGH garante-nos que a série dada é DEVROXWDPHQWH FRQYHUJHQWH em todo o intervalo ]±[ Para [ ±vimos que é GLYHUJHQWH a série, Então esta SURSULHGDGH garante-nos que a série dada é GLYHUJHQWH em todo o intervalo ] ±ˆ ±[ ª ] ˆ [ E como sabemos o que acontece nos próprios SRQWRV [ e [ ±, podemos concluir que o GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD desta série é ] ±]. Esta SURSULHGDGH é facilmente JHQHUDOL]iYHO a toda a VpULHGHSRWrQFLDV FHQWUDGDHPF Basta efectuar uma PXGDQoDGHYDULiYHO, de modo a transformar [ Q em [± F Q.

8 1XPDDVpULHGHSRWrQFLDVFHQWUDGDHPF 9HULILFDPVHDVFRQGLo}HVVHJXLQWHV L 6HDVpULHFRQYHUJHHP[ \{F} HQWmRFRQYHUJHDEVROXWDPHQWH HP WRGRRSRQWRGH] F ± _[ ± F_F_[ ± F_[ F ± _[ ± F_ F F_[ ± F_ LL 6HDVpULHGLYHUJHHP[ \{F} HQWmRGLYHUJH HP WRGRRSRQWRGH] ±ˆ, F ± _[ ± F_[ ª ] F_[ ± F_ ˆ [ F ± _[ ± F_ F F_[ ± F_ De modo análogo, todas as propriedades das séries de potências centradas na origem podem ser JHQHUDOL]iYHLV a séries de potências centradas em F. A proposição seguinte descreve a propriedade mais importante das séries de potências. Efectivamente, VyWUrVFDVRV podem acontecer: a série converge absolutamente para todos os reais, ou só na origem, ou num intervalo centrado.

9 ± 5 5 ± 5 5 O comportamento nos próprios SRQWRV [ 5 e [ ± 5 tem de ser analisado para cada caso. Naturalmente, ao número 5 chama-se UDLRGHFRQYHUJrQFLD da série de potências. Assim, a questão fundamental do estudo de uma série de potências é a GHWHUPLQDomRGRVHXUDLRGHFRQYHUJrQFLD:, +ˆ, ou um número real.

10 E JHQHUDOL]DQGR para toda a série de potências centrada em F... 1XPD DVpULHGHSRWrQFLDVFHQWUDGDHPF 9HULILFDVHXPD HXPDVy GDVFRQGLo}HVVHJXLQWHV L LL DVpULHFRQYHUJHDEVROXWDPHQWHDSHQDVHP[ FHGLYHUJHVH[ F DVpULHFRQYHUJHDEVROXWDPHQWHSDUDWRGRR[ LLL H[LVWHXP5!WDOTXHDVpULHFRQYHUJHDEVROXWDPHQWHSDUD WRGRR[ ]c ± R, F 5[ F±5 F F5 H GLYHUJHSDUDWRGRR[ ] ±ˆ, F ± 5 [ ª ] F 5 ˆ [ F±5 F F5 Nada é dito sobre o comportamento da série nos SUySULRV SRQWRV [ F5 e [ F± 5. GLYHUJHQWH DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWH GLYHUJHQWH F±5 F F5

11 Å 'HWHUPLQDomR GR UDLR GH FRQYHUJrQFLD Para uma dada VpULHGHSRWrQFLDVFHQWUDGDHP F (F ouf ) calculemos o seu UDLRGHFRQYHUJrQFLD. Para [ Fa série é DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWHe tem soma D. Para [ Fe assumindo que os D Q não se anulam, teremos para todo o Q, Nestas condições, podemos aplicar o FULWpULRGHG $OHPEHUW e calcular, Chamemos, Então, para _[±F_, E agora, apenas WUrVFDVRV podem ocorrer, de acordo com os três possíveis valores de / : QXOR, LQILQLWR ou ILQLWRQmRQXOR.

12 No caso de / temos, então, pelo FULWpULRGHG $OHPEHUW e a série de potências converge absolutamente, desde que[ F. Mas já vimos que também converge absolutamente para [ F. Portanto, quando /, a série de potências é DEVROXWDPHQWH FRQYHUJHQWH para todo o[ e o seu UDLRGHFRQYHUJrQFLD é +ˆ. 5 +ˆ No caso de / ˆ temos, então, pelo FULWpULRGHG $OHPEHUW e a série de potências diverge, desde que[ F. Mas já vimos que converge absolutamente para [ F. Portanto, quando / ˆ, o GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD da série de potências é apenas {F} e o seu UDLRGHFRQYHUJrQFLD é nulo. 5

13 No caso de / e / ˆ temos, então, pelo FULWpULRGHG $OHPEHUW e a série de potências converge absolutamente, para todo o[ F, quando, e diverge, para todo o[ F, quando, e já vimos que converge absolutamente para [ F. Portanto, quando / é ILQLWRHQmRQXOR, a série de potências é DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWH em todos os pontos do intervalo, e GLYHUJHQWH para todo o, Então, o UDLRGHFRQYHUJrQFLD é 5 /. Para determinar completamente o GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD da série, será ainda necessário analisar o seu comportamento nos GRLVSRQWRV,

14 Juntando os WUrVFDVRV, e assumindo as convenções habituais, ˆ e ˆ, podemos estabelecer uma fórmula para o cálculo do UDLRGH FRQYHUJrQFLDGHXPDVpULHGHSRWrQFLDV, GHVGHTXH os D Q não se anulem e o OLPLWHH[LVWD, mesmo que infinito. Note que, todo este estudo pode igualmente ser feito com base no FULWpULRGH &DXFK\. Desse estudo, e assumindo as mesmas convenções, resulta outra fórmula para o cálculo do UDLRGHFRQYHUJrQFLDGHXPDVpULHGHSRWrQFLDV, GHVGHTXH os D Q não se anulem e o OLPLWHH[LVWD, mesmo que infinito. Deste modo, para analisar uma dada série de potências, podemos seguir o processo de aplicação de XPGRVGRLVFULWpULRV, ou utilizar directamente XPD GDVGXDVIyUPXODV. Os GRLVSRQWRV etremos do intervalo têm de ser analisados separadamente.

15 Para cada uma das seguintes séries de potências, determine o GRPtQLRGH FRQYHUJrQFLD, indicando os SRQWRV onde a convergência é simples ou absoluta. Para todo o Q, Então podemos calcular, Portanto, 5,o GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD da série de é apenas {} onde FRQYHUJHDEVROXWDPHQWH. Para todo o Q, Então podemos calcular o limite,

16 Portanto, 5 ˆ, o GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD da série de é todo o, sendo DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWH em todos os pontos. Para todo o Q, Então podemos calcular, Então, 5, e a série é DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWH para, Resta estudar o seu comportamento nos SRQWRV ± e.

17 Para [ ±, temos a VpULHQXPpULFD, que é uma VpULHDOWHUQDGD pois, para todo o Q, Analisemos a VXFHVVmR, que é GHFUHVFHQWH, pois, e WHQGHSDUD]HUR, Então, pelo FULWpULRGH/HLEQL], a série alternada é FRQYHUJHQWH. Por outro lado, a respectiva VpULHGRVPyGXORV, é GLYHUJHQWH pois, por FRPSDUDomRSRUSDVVDJHPDROLPLWH, tem a mesma natureza da VpULHKDUPyQLFD,

18 por isso, a VpULHDOWHUQDGD é VLPSOHVPHQWHFRQYHUJHQWH, e então, a VpULHGHSRWrQFLDV dada é VLPSOHVPHQWHFRQYHUJHQWH no SRQWR [ ±. Para [, temos a VpULHQXPpULFD, que acabámos de ver que é GLYHUJHQWH. e então, a VpULHGHSRWrQFLDV dada é GLYHUJHQWH no SRQWR [. Portanto, a VpULHGHSRWrQFLDV dada tem como GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD o intervalo [ ±, [ sendo DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWHem ] ±, [, mas VLPSOHVPHQWHFRQYHUJHQWH no SRQWR [ ±. Para todo o Q, Então podemos calcular,

19 Então, 5, e a série é DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWH para, e GLYHUJHQWH para, Resta estudar o seu comportamento nos SRQWRV ± e. Para [ ±, temos a VpULHQXPpULFD, que é GLYHUJHQWH, por ser o produto da VpULHKDUPyQLFDEiVLFD por ±. Para [, temos a VpULHQXPpULFD, que é VLPSOHVPHQWHFRQYHUJHQWH, por ser uma VpULHKDUPyQLFDDOWHUQDGD com S. Portanto, a VpULHGHSRWrQFLDV dada tem como GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD o intervalo ] ±, ] sendo DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWHno intervalo ] ±, [ e VLPSOHVPHQWHFRQYHUJHQWH no SRQWR [.

20 E que fazer quando o YDORUGRFHQWUR não aparece eplicitamente na fórmula? Como por eemplo na série de potências, Podemos começar por tentar PDQLSXODUDOJHEULFDPHQWH a fórmula. Neste caso, notamos que e transformamos a série dada numa série de potências centrada em, Verifique que o GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD é o intervalo [] onde é DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWH em todos os pontos. Noutras situações, poderá ser necessário fazer uma PXGDQoDGHYDULiYHO, Como por eemplo, [± ], convertendo a série dada numa série de potências centrada na origem. Verifique que, para esta série, o domínio de convergência é o intervalo de ], [± ] onde é absolutamente convergente em todos os pontos. Regressando à variável [, naturalmente recuperamos o intervalo [].

21 Em qualquer dos casos, podemos sempre DSOLFDUGLUHFWDPHQWHXPGRV FULWpULRV, &DXFK\ ou G $OHPEHUW, à série dada. Começamos por identificar o ponto, [, para o qual a VpULHVHDQXOD. E para todo o [ e todo o Q podemos calcular, por eemplo, Assim, para o FULWpULRGHG $OHPEHUWtemos / _[±_, sendo a série absolutamente convergente para os valores de [ tais que _[±_<. Combinando com facto de que a série (nula) é absolutamente convergente em [, confirme o resultado já conhecido. Mostre que a série, é DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWH apenas em ] ±[.

22 Å &RQYHUJrQFLD XQLIRUPH GH VpULHV GH SRWrQFLDV Para que possamos GHULYDUHLQWHJUDU séries de potências WHUPRDWHUPR é vital conhecer os LQWHUYDORVe o WLSR de FRQYHUJrQFLD. 6HMD XPDVpULHGHSRWrQFLDVFRPUDLRGHFRQYHUJrQFLDQmRQXOR HVHMD, R VHXLQWHUYDORGHFRQYHUJrQFLD (QWmRDVpULHFRQYHUJHXQLIRUPHPHQWH HP TXDOTXHULQWHUYDORIHFKDGRHOLPLWDGRGH, Sendo [DE] um LQWHUYDORIHFKDGRHOLPLWDGR de,, tomando U PD[{ _D E_} temos, ± U U [ DE] [± UU], Provemos que a convergência é XQLIRUPH em [± UU]. Para todo o [ [± UU] e todo o n 0 temos [ Q U Q e, Por outro lado, como a série é absolutamente convergente no seu intervalo de convergência, então é FRQYHUJHQWHDVpULHGRVPyGXORV, Ou seja, a VpULHGRVPyGXORV é PDMRUDGD por uma VpULHQXPpULFD FRQYHUJHQWH.

23 Então, pelo FULWpULRGH:HLHUVWUDVV, a série de potências é XQLIRUPHPHQWH FRQYHUJHQWH em [± UU]. Ecomo [ DE] [± UU], a VpULHGHSRWrQFLDVé portanto XQLIRUPHPHQWHFRQYHUJHQWH em [ DE]. Generalizando, 4XDOTXHUVpULHGHSRWrQFLDV FRPUDLRGHFRQYHUJrQFLDQmRQXORFRQYHUJHXQLIRUPHPHQWH HP TXDOTXHULQWHUYDORIHFKDGRFRQWLGRQRVHXLQWHUYDORGHFRQYHUJrQFLD Por eemplo a série anterior, como vimos, tem como GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD o intervalo [] e sendo o LQWHUYDORGHFRQYHUJrQFLD ][, é portanto XQLIRUPHPHQWH FRQYHUJHQWH em qualquer LQWHUYDORIHFKDGR contido em ][. Por eemplo a série, se tem como GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD o intervalo ] ±, ] e como LQWHUYDORGHFRQYHUJrQFLD o intervalo ] ±, [, é então XQLIRUPHPHQWH FRQYHUJHQWH em qualquer LQWHUYDORIHFKDGR contido em ] ±, [.

24 Note-se que, a propriedade anterior não relaciona directamente a FRQYHUJrQFLD XQLIRUPH com o GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD. A propriedade seguinte, garante-nos que uma série de potências de raio de convergência não nulo é XQLIRUPHPHQWHFRQYHUJHQWH em todo o seu GRPtQLR GHFRQYHUJrQFLD. 2 7HRUHPDGH$EHO

25 Generalizando, 6HMD XPDVpULHGHSRWrQFLDVFHQWUDGDHPF FRPUDLRGHFRQYHUJrQFLD5 > (QWmRYHULILFDPVHDVFRQGLo}HVVHJXLQWHV L 6HDVpULHFRQYHUJHHP[ 5F HQWmRHODFRQYHUJHXQLIRUPHPHQWHQRLQWHUYDOR[ F 5F] H WHPVH LL 6HDVpULHFRQYHUJHHP[ ±5F HQWmRHODFRQYHUJHXQLIRUPHPHQWHQRLQWHUYDOR[ ± 5FF] H WHPVH Por eemplo a série, é então XQLIRUPHPHQWHFRQYHUJHQWH em todo o seu GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD []. e por eemplo a série, é XQLIRUPHPHQWHFRQYHUJHQWH no GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD ] ±, ]

26 Å 'HULYDomR H SULPLWLYDomR GH VpULHV GH SRWrQFLDV Generalizando, 6HMD XPDVpULHGHSRWrQFLDVFHQWUDGDHP[ F FRPUDLRGHFRQYHUJrQFLD5 > (QWmRDVpULHGDVGHULYDGDV HDVpULHGDVSULPLWLYDV WrPWDPEpPUDLRGHFRQYHUJrQFLD5 Como consequência, tanto a VpULHGDVGHULYDGDV como a VpULHGDVSULPLWLYDV, FRQYHUJHPXQLIRUPHPHQWH em qualquer VXELQWHUYDOR fechado e limitado do seu LQWHUYDORGHFRQYHUJrQFLD que é ] í5f5f[. E com base neste facto, a proposição seguinte garante-nos que efectivamente podemos GHULYDUHLQWHJUDUVpULHVGHSRWrQFLDVWHUPRDWHUPR.

27 6HMD XPDVpULHGHSRWrQFLDVFHQWUDGDHP[ F (QWmRYHULILFDPVHDVFRQGLo}HVVHJXLQWHV L DVpULHGHSRWrQFLDVGHILQHXPDIXQomRFRQWtQXDHPWRGRR LQWHUYDORIHFKDGRFRQWLGRQRVHXLQWHUYDORGHFRQYHUJrQFLD LL DVpULHGHSRWrQFLDVSRGHLQWHJUDUVHWHUPRDWHUPRHPWRGRR LQWHUYDORIHFKDGRFRQWLGRQRVHXLQWHUYDORGHFRQYHUJrQFLD LLL DVpULHGHSRWrQFLDVSRGHGHULYDUVHWHUPRDWHUPRHPWRGRR LQWHUYDORIHFKDGRFRQWLGRQRVHXLQWHUYDORGHFRQYHUJrQFLD &RQMXJDQGR o primeiro destes resultados com o 7HRUHPDGH$EHO, pode provar-se que a FRQWLQXLGDGH se verifica em todo o GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD. 6HMD XPDVpULHGHSRWrQFLDVFHQWUDGDHP[ F FRPUDLRGHFRQYHUJrQFLDQmRQXOR HVHMDI[D VXDVRPD (QWmR D DVRPDGDVpULHGHSRWrQFLDVpXPDIXQomRFRQWtQXDQRGRPtQLR GH FRQYHUJrQFLDGDVpULHFRQVLGHUDGD

28 Por eemplo a IXQomRVRPD da série, p FRQWtQXD em todo o seu GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD []. e por eemplo a IXQomRVRPD da série, p FRQWtQXD em todo o seu GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD ] ±, ] 6HMD XPDVpULHGHSRWrQFLDVFHQWUDGDHP[ F FRPUDLRGHFRQYHUJrQFLDQmRQXOR 6HMD, R VHXLQWHUYDORGHFRQYHUJrQFLD H VHMDI[D VXDVRPD (QWmR E DIXQomRVRPDGDVpULHpGLIHUHQFLiYHOHP, H SDUDWRGRR[, WHPRV Por DSOLFDo}HVVXFHVVLYDV do mesmo resultado, temos também para todo R [, e todo N,

29 F DIXQomR)[GHILQLGDSRU pdsulplwlydghi[hp, WDOTXH)F G DIXQomRI[pLQWHJUiYHOHPWRGRRLQWHUYDOR[DE] FRQWLGRQR VHX GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLDHWHPVH donde podemos calcular,

30 Recordemos a série de funções, A série é apenas SRQWXDOPHQWHFRQYHUJHQWH no intervalo ] ±[, mas é XQLIRUPHPHQWHFRQYHUJHQWH em qualquer LQWHUYDORIHFKDGR de ] ±[. sendo uma série geométrica, a sua IXQomRVRPD é dada por, e sendo ] ±[ o LQWHUYDORGHFRQYHUJrQFLD então, pela SURSULHGDGH GDVGHULYDGDV, temos para todo o [ ] ±[, Por outro lado, a função é a SULPLWLYD de I[ que se anula em [. Então, pela SURSULHGDGHGRVLQWHJUDLV, temos para todo o [ ] ±[, ou seja,

31 Assim, no intervalo ] ±[, as três funções seguintes são UHSUHVHQWiYHLVSRU VpULHVGHSRWrQFLDV, A partir destas, por ou integrações, RXWUDVUHSUHVHQWDo}HVSRUVpULHVGH SRWrQFLDV podem ser construídas. Como por eemplo, D Podemos utilizar a série, VXEVWLWXLQGR [ por ±[, Não esquecendo de ajustar o LQWHUYDORGHFRQYHUJrQFLD, que passará aser ] ±[.

32 2X podemos verificar directamente que se trata da fórmula da VRPDGH XPDVpULHJHRPpWULFD, com SULPHLURWHUPR e UD]mR U ±[. Naturalmente, a série geométrica será convergente apenas para os valores de ±[ <, donde calculamos o LQWHUYDORGH FRQYHUJrQFLD ] ±[. E Uma possível solução consiste em notar que, e então, ou multiplicando por a representação obtida em D, ou notando que se trata de da VRPDGHXPDVpULHJHRPpWULFD, com SULPHLURWHUPR e UD]mR U ±[, obtemos, cujo LQWHUYDORGHFRQYHUJrQFLDé ] ±[. Por outro lado, a função éa SULPLWLYD de que se DQXOD em [. Resta então LQWHJUDUFDGDWHUPR,

33 E, pela SURSULHGDGHGRVLQWHJUDLV, temos para todo o LQWHUYDORGH FRQYHUJrQFLD ] ±[, F Uma possível solução consiste em notar que, Mas já sabemos de que, Então, GHULYDQGRDWHUPR esta série e sendo ] ±[ o LQWHUYDORGH FRQYHUJrQFLD temos, pela SURSULHGDGHGDVGHULYDGDV para todo o [ ] ±[,

34 A partir da representação, que é válida para todo o [ ] ±[, procuremos agora uma UHSUHVHQWDomRHPVpULHGHSRWrQFLDV para, com indicação dopdlrulqwhuydordehuwrqrtxdopyiolgd. Comecemos por calcular, Então, por um lado sabemos que para todo o [ ] ±[, e por outro lado verificamos que para todo o ±[ ] ±[, ou seja, para todo o [ ] ±[. Resta então VXEWUDLU,

35 Esta epressão pode ser VLPSOLILFDGD pois, para Q par, ± ± Q ±± ± para Q ímpar, ± ± Q ± ou seja, DQXODPVH todos os termos para os quais Q é ímpar ( ou Q par) Deste modo obtemos a UHSUHVHQWDomRHPVpULHGHSRWrQFLDV, que é YiOLGDSDUDRLQWHUYDOR ] ±[. Pode também ocorrer o SUREOHPDLQYHUVR, isto é, dada uma representação em série de potências FDOFXODUDIXQomRVRPD. Por eemplo, a partir da representação que é válida para todo o [ ] ±[. calcular a IXQomRVRPD da série indicando o PDLRULQWHUYDOR em que essa representação é válida.

36 Partindo de, e VXEVWLWXLQGR [ por [ obtemos, ou seja, E se a epressão inicial era válida para todo o [ ] ±[, esta é válida para [ ] ±[, ou seja, para todo o [ ] ±[. Para relacionar esta com a série pretendida basta notar que [ Q Q[ Q. Assim, pela SURSULHGDGHGDVGHULYDGDV das séries de potências temos, ou seja, para todo o [ ] ±[. E PXOWLSOLFDQGR ambos os membros por [, temos a VRPD pretendida, que é YiOLGD para todo o [ ] ±[.