CURSO DE CÁLCULO INTEGRAIS

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "CURSO DE CÁLCULO INTEGRAIS"

Transcrição

1 CURSO DE CÁLCULO MÓDULO 4 INTEGRAIS SUMÁRIO Unidade 1- Integrais 1.1- Introdução 1.2- Integral Indefinida 1.3- Propriedades da Integral Indefinida 1.4- Algumas Integrais Imediatas 1.5- Exercícios para praticar 1.6- Algumas Técnicas de Antidiferenciação Unidade 2- Técnicas de Integração 2.1- Técnicas de Integração Substituição Simples A Regra das Cadeia e a Antiderivação A Fórmula da Substituição Simples 2.2- Substituição e as Integrais Definidas 2.3- Técnicas de Integração Integração por Partes 2.4- Técnicas de Integração Integração de Potências e Produtos de Funções Trigonométricas Integração de Potências de Seno e Cosseno Integração de Potências da Tangente, da Cotangente, da Secante e da Cossecante Integração por Substituição Trigonométrica

2 2.5- Técnicas de Integração Método das Frações Parciais Decomposição em Frações Parciais 2.6- Técnicas de Integração: Funções Trigonométricas Hiperbólicas Unidade 3- Integrais Impróprias 3.1- Introdução 3.2- Formalizando os conceitos 33- Critérios de Convergência Unidade 4- Aplicação de Integrais 4.1- Aplicação de Integrais Volumes 4.2- Aplicação de Integrais Áreas 4.3- Aplicação de Integrais Comprimentos Unidade 5- Teoremas Importantes Para o Cálculo 5.1-Teorema Fundamental do Cálculo 5.2-Teorema do Valor Médio (TVM) Regra de L Hôpital Polinômio de Taylor 5.3-Teorema de Weierstrass 5.4-Teorema do Valor Intermediário 5.5- Teorema de Rolle

3 Unidade 1- Integrais 1.1- Introdução A derivada é um dos conceitos mais importantes do Cálculo. Outro conceito também muito relevante é o de Integral. Existe uma estreita relação entre essas duas ideias. A operação inversa da derivação é a antiderivação ou integração indefinida. Newton e Leibniz, bem como os seus seguidores, se envolveram em uma polêmica sobre a originalidade da descoberta do Cálculo, acarretando grande desgaste pessoal a cada um deles. As abordagens deles sobre o tema foram diferentes. Newton apresenta o seu Método das Fluxões como uma ferramenta que lhe permite aprofundar seus conhecimentos dos fenômenos físicos. Isto é, uma visão cinemática do Cálculo: a derivada vista como uma taxa de variação. Ele considerava x e y variando em função do tempo. Leibniz, por sua vez, considerava x e y variando sobre uma sequência de valores infinitamente próximos. Ele introduziu dx e dy como sendo as diferenças entre os valores nesta sequência. Newton encarava a integração como um problema de encontrar os x e y de uma determinada fluxão, isto é, achar o deslocamento de uma dada velocidade. Portanto, para ele, a integração era, naturalmente, o processo reverso da diferenciação. Leibniz via a integração como uma soma, no estilo que fizeram, antes dele, Arquimedes, Cavalieri e Roberval. Leibniz foi feliz em utilizar os infinitésimos dx e dy onde Newton usou x e y, ou seja, velocidades. Leibniz usava a palavra mônada' para indicar algo tão simples que não possui partes. Nenhum deles considerava o que nós denominamos de funções, pois este conceito só foi introduzido muitos séculos depois. No entanto, ambos, definitivamente, pensavam em termos de gráficos. De qualquer forma, eles estavam travando uma luta com o infinito, no caso, o infinitamente pequeno. Apesar de Newton ter desenvolvido sua teoria primeiro, coube a Leibniz o mérito de ter publicado a sua versão, em 1684, introduzindo o termo calculus summatorius, e divulgando assim suas ideias. Leibniz dava muita importância à notação, no que estava absolutamente certo. Leibniz foi quem introduziu os

4 símbolos matemáticos d e f, estabelecendo, por volta de 1675, a notação exatamente como fazemos atualmente Integral Indefinida O estudo das integrais indefinidas é o primeiro passo na compreensão de uma importante ferramenta matemática: a integral. Será introduzida a ideia de integral, mostrando sua relação com a derivada. Se a função F(x) é primitiva da função f(x), a expressão F(x) + C é chamada integral indefinida da função f(x) e é denotada por ( ) ( ) Em que é chamado sinal de integração. f(x) é a função integrando. dx é a diferencial que serve para identificar a variável de integração. C é a constante de integração. Observações: Lê se: Integral Indefinida de f(x) em relação a x ou integral de f(x) em relação a x. O processo que permite calcular a integral indefinida de uma função é denominado integração. Da definição de integral indefinida temos que i) ( ) ( ) ( ) ( ) ii) ( ) representa uma família de funções, ou seja, o conjunto de todas as primitivas da função integrando. iii) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ).

5 Exemplos: 1) Se ( ) então 2) Se ( ) então 3) Se ( ) então 4) Se ( ) então 5) Se ( ) então 6) Se ( ) então Pelos exemplos acima, temos: Isso nos permite obter as fórmulas de integração diretamente das fórmulas de diferenciação Propriedades da Integral Indefinida Sejam f(x) e g(x) funções reais definidas no mesmo domínio e k uma constante real. Então a) ( ) ( ) b) ( ( ) ( )) ( ) ( ) Algumas Integrais Imediatas i) ii), n -- 1 iii) iv)

6 v) vi) vii) viii) ix) x) xi) xii) xiii) xiv) xv) xvi) xvii) xviii) xix) xx) xxi) Exemplos: a) Calcular ( ) Solução: Das propriedades da integral e da tabela de integrais imediatas, temos:

7 onde C 1 e C 2 são constantes arbitrárias. Como a soma (C 1 + C 2 ) é uma nova constante arbitrária, podemos escrever C 1 + C 2 = C, daí, Logo, Observação: Sempre que aparecer uma soma de duas ou mais integrais indefinidas, escrever apenas uma constante para indicar a soma das várias constantes de integração. b) Calcular ( ) Solução: Portanto,

8 c) Calcular ( ) Solução: Portanto, d) O custo fixo de produção da empresa SOS é R$8.000,00. O custo. marginal é dado pela função função custo total. Solução:. Determinar a

9 Sabemos que o custo marginal é a derivada da função custo total. Assim, para encontrarmos devemos calcular a integral indefinida da função custo marginal, ou seja, Logo, Quando a produção for nula, x = 0, o custo fixo será R$8.000,00, ou seja, Portanto, a função custo total é e) O custo marginal para produção de determinado bem, é dado pela função custo total.. Se o custo fixo é de R$50,00, escreva a função Solução: O custo marginal é a derivada da função custo total. Assim, para encontrarmos marginal, ou seja: devemos calcular a integral indefinida da função custo

10 Logo, Quando a produção for nula, x = 0, o custo fixo será R$ 50,00, ou seja, Portanto, a função custo total é f) Calcule ( )

11 g) Calcule ( ) h) Calcule i) Calcule

12 j) Calcule ( ) k) Em qualquer ponto (x,y) de uma determinada curva, a reta tangente tem uma inclinação igual a 4x 5. Se a curva contém o ponto (3,7), ache sua equação. Solução: Como a inclinação da reta tangente a uma curva em qualquer ponto (x,y) é o valor da derivada nesse ponto, temos A equação anterior representa uma família de curvas. Como queremos determinar uma certa curva dessa família que contenha o ponto (3,7), substituímos x por 3 e y por 7, obtendo Substituindo C por 4, iremos obter a equação da curva pedida.

13 l) a função custo marginal C é dada por C(x) = 4x 8 quando C(x) é o custo total da produção de x unidades. Se o custo da produção de 5 unidades dor R$20,00, ache a função custo total. m) Calcule ( ) Solução: Observação: As identidades trigonométricas são frequentemente usadas quando calculamos antiderivadas envolvendo funções trigonométricas. As oito identidades a seguir são decisivas: n) Calcule ( ).

14 1.5- Exercícios para praticar Grupo 1

15 Grupo 2 Grupo 3

16 Grupo 4

17 Grupo 5

18

19 1.6- Algumas Técnicas de Antidiferenciação Muitas antiderivadas não podem ser calculadas diretamente. E então, faz-se necessário aprender certas técnicas que devem ser usadas no cálculo de tais antiderivadas. Vamos apresentar técnicas que requerem a Regra da Cadeia para antidiferenciação e aquelas que envolvem uma mudança de variável. Exemplificando: Para diferenciar ( ) aplicamos a Regra da Cadeia para diferenciação e obtemos Suponha que desejamos antidiferenciar Então, precisamos calcular Para chegarmos a um procedimento que possa ser usado em tal situação, seja Então, Assim,

20 Teorema: A Regra da Cadeia para a Antidiferenciação Prova: Por hipótese Pela Regra da Cadeia para diferenciação, ( I ) Substituindo ( I ) nessa equação, obtemos Da qual segue que Como queríamos demonstrar. Fórmula da potência generalizada para antiderivadas Teorema

21 Exemplos: 1) Calcule Solução: ( ) Observamos que, se Logo, precisamos de um fator 3 que acompanhe dx para dar g (x) dx. Assim sendo, escrevemos 2) Ache ( ). Solução: Observe que, se Como

22 precisamos de um fator 6 que acompanhe x² dx para obter g (x) dx. Assim escrevemos A Regra da Cadeia para a antidiferenciação é em que F é uma antiderivada de f. Se nessa fórmula f for a função cosseno, então F será a função seno e teremos Unidade 2- Técnicas de Integração 2.1- Técnicas de Integração Substituição Simples Qual é a diferença entre estes dois objetos matemáticos? e Uma resposta simples seria que a diferença está nos limites de integração ( o e ). Mas, indo além, podemos dizer que o símbolo da esquerda representa uma família de funções, ao passo que o da direita representa um número. Especificando:

23 Para cada C ϵ, a função definida por F(x) = cos x + C é uma primitiva de f(x) = sen x. Na verdade, ( ) ( ) ( ) O número pode ser visto como a área da região limitada pelo gráfico da função f(x) = sen x, pelo eixo Ox e sobre o intervalo [ o e ]. Compreender essas diferentes abordagens da integral consiste em ter uma visão geral da teoria de integração. O Teorema Fundamental do Cálculo nos permite usar a integral indefinida ( ) para calcular a integral definida ( ). Isto é, se soubermos que F(x) é uma primitiva de f(x), então temos: ( ) ( ) ( ) Devemos nos lembrar que integrar, no sentido de determinar a família de primitivas de uma função é o processo inverso da derivação A Regra da Cadeia e a Antiderivação sem 3x? Considerando, quais são as funções F(x) tais que F (x) =

24 Obs.: A Regra da Cadeia nos mostra como derivar uma função composta por outras duas funções: (fog) (x) = f (g(x))g (x). Vamos observar o seguinte exemplo:. Com base nesse exemplo, vamos experimentar G(x) = cos 3x para obter uma primitiva de f(x) = sen 3x. Quando derivamos a função G(x), usamos a Regra da Cadeia e encontramos G (x) = 3sen 3x. Mas desejamos f(x)=sen3x. A diferença, todavia, é somente o produto por uma constante, o número 3. Precisamos fazer um pequeno ajuste utilizando a propriedade das integrais explicitada abaixo: ( ) ( ) Usando ( ) ( ) resposta desejada: Fazendo o teste da derivada: Se ( ) + C, então ( ) ( ) O que mostra que nossos cálculos estão corretos. Com esse exemplo apresentamos uma ideia básica da técnica de substituição simples, em que foi usada a propriedade de integrais para reescrever o integrando de forma adequada para podermos integrar. Foi utilizado o fato de que a integral indefinida é o processo inverso da derivação fazendo uso da Regra da Cadeia. Assim, revisando: cos x + C. Exemplos: a) Calcular. Inicialmente devemos calcular a integral indefinida e, a seguir, usaremos uma das primitivas para descobrir a integral definida, utilizando o Teorema Fundamental.

25 Para começar precisamos procurar qual a integral mais simples que se parece com a que queremos integrar. Nesse caso, a mais simples é: Levando em conta a Regra da Cadeia, observamos que fizemos u(x)=x². Temos u (x) = 2x. Dando continuidade, fazemos G(x) = sem (u(x)) = senx². Assim, G (x) = (cos(u(x)))(u (x)) = (cos x²)(2x) = 2 x cos x². Agora é só fazer o ajuste da constante:. Vamos verificar se a resposta está correta: Se ( ), então ( ) cos x². 2x = cos x². Agora, basta calcular a integral definida: ( ) ( ) Outra forma de abordar esse cálculo é usar a noção de diferencial. A diferencial de u = x² é du = 2x dx. Desse modo, temos: Aplicando a noção de diferencial é possível compreender o nome que foi dado a essa técnica de integração: substituindo x² por u, levando em consideração a diferencial du. Para tanto, fazemos os ajustes necessários nas constantes, usando a propriedade das integrais. Obs.: A diferencial da função diferenciável y = f (x) é dy = f (x) dx. b) Calcular Lembrete:. Observando o integrando, fazendo a diferencial será du = 4x³ dx. Logo, para fazer a substituição fica faltando apenas o ajuste no integrando. Assim, ( ) ( )

26 A Fórmula da Substituição Simples Teorema: Se u = g(x) é uma função diferenciável, f é uma função contínua e Im(g)C Dom(f), então ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( )), em que F é uma primitiva de f. Demonstração: Usando o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia: O cálculo ( ( ( )) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) mostra que F(g(x)) é uma primitiva da função ( ( )) ( ). Exemplos: a) Calcular. Solução: Fazendo u = 5x, temos du = 5 dx e a integral fica: b) Calcular ( ) Solução: Fazendo u = x³ + 1, temos du = 3x² dx. Então: ( ) ( ) ( ) c) Calcular. Solução: Fazer { Essa substituição nos remeterá à integral simples:. Agora, devemos expressar a resposta em termos da variável original:

27 ( ) Obs.: Observe que, como x ϵ lugar de ln 1 + x²., 1 + x² > 0, pode-se escrever ln (1 + x²) no Lembretes para fazer uso eficiente da substituição: Encontre uma integral simples que fará o papel de ( ) Faça os eventuais ajustes das constantes para substituir g (x)dx por du. Após integrar, não se esquecer de desfazer a substituição, apresentando a resposta em termos da variável original Substituição e as Integrais Definidas Teorema: Seja g função de classe C e f uma função contínua. Suponhamos que [a,b] C Dom (g) e g ([a,b]) C Dom (f). Então temos: Demonstração: Como a função f é contínua, o Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que ela admite uma primitiva. Seja F esta primitiva. Isto é, x ϵ Dom(f), F (x)=f(x). O Teorema Fundamental nos diz ainda que ( I ) Por outro lado, a Regra da Cadeia nos mostra que:

28 Sendo a função g de classe C, notamos que a função g é uma função contínua. Dessa forma y(x) = f(g(x)). G (x) é uma função contínua, logo satisfaz a hipótese do Teorema Fundamental. Temos: ( II ) Segue de ( I ) e ( II ) que: Observação: Uma função g é de classe C quando é diferenciável e, além disso, a sua função diferenciável g é uma função contínua. Exemplos: a) Calcule. Solução: Inicialmente vamos calcular a primitiva da função tg x e, após, encontrar a integral definida. Devemos lembrar da definição da tangente: Assim, nosso problema se transformou: Agora, podemos fazer a substituição necessária.

29 Fazendo o teste da derivada mostramos que encontramos a resposta correta. Podemos calcular a integral definida; Para calcular a integral definida: Inicialmente calcular a integral indefinida, usando a substituição adequada. Após usar uma das primitivas para, com o Teorema Fundamental do Cálculo, calcular a integral definida. Ou

30 Existe uma maneira mais direta de efetuar esse cálculo ao fazer a substituição ocorre uma mudança de variável. Basta fazer o correspondente ajuste nos limites de Integração. b) Solução: Precisamos descobrir que substituição podemos usar. Como o integrando é composto e observando que a derivada da primeira parte é a segunda, a escolha já está definida. { Vamos considerar agora a mudança nos limites de integração: enquanto x varia de 1 a e, u varia de ln 1= 0 a ln e = 1. { ( ) ( ) Efetuando o cálculo: c) Calcular ). Solução: Fazendo u = 1 + t, teremos du = dt. Assim: Escrevendo o integrando em termos da variável u:

31 Fazendo a substituição, temos: Fazendo o teste da derivada : d) Calcular

32 Solução: Devemos nos lembrar de que e 2x = (e x ) 2 e que a derivada da função y=arctg x é. Assim, podemos fazer { para obter Além disso, temos mudança de limites de integração: Dessa forma: 2.3- Técnicas de Integração Integração por Partes Da fórmula da derivada do produto de duas funções obtém-se um método de integração muito conveniente denominado integração por partes. Se f e g forem funções diferenciáveis, então: Integrando ambos os membros, obtém-se: ( I ) Chamaremos ( I ) de fórmula de integração por partes. Para efeito de cálculo existe uma maneira mais prática de escrever essa fórmula, tomando Então:

33 Desse modo, ( I ) torna se ( II ) Essa fórmula expressa a integral em termos de outra integral,. Escolhendo de forma adequada u e dv, pode ser mais fácil calcular a segunda do que a primeira. Quando escolhem os as substituições para u e dv, geralmente pretendemos que dv seja o fator do integrando mais complicado que se possa integrar diretamente, e que u seja uma função cuja derivada seja uma função mais simples. Exemplos: a) Calcular. Solução: Para determinar quais as substituições para u e dv, devemos nos lembrar que para encontrar v precisamos saber eintegrar dv. Isso sugere que dv = x dx e u = ln x. Então, Da fórmula Obtemos:

34 Nesse exemplo, observe que a primeira constante de integração C 1 não aparece na resposta final. C 1 foi usada apenas para mostrar que todas as escolhas de v da forma ½ x² + C 1 produzem o mesmo resultado para. Essa situação vale em geral e demonstramos isso escrevendo v + C 1 na fórmula ( II ) : Torna-se desnecessário escrever C 1 quando calculamos v a partir de dv. A resposta do exemplo a pode ser escrita como: Verificamos esse resultado calculando a derivada de um produto. b) Calcular.

35 Solução: Usamos a integração por partes dv = x e x² dx e u = x². Então v = ½ e x² e du = 2x dx. Da fórmula ( II ) c) Calcular. Solução: Seja u = x e dv = cos x dx. Então du = dx e v = sen x. Assim: d) Calcular. Solução: Seja u = tg -1 x e dv = dx. Então: Quando e como usar a integração por partes? Ao aprender uma nova técnica, pode acontecer de sermos tentados a usá-la indiscriminadamente. Dada uma integral, qual é a técnica mais adequada para resolvê-la? Alguns lembretes que podem ajudar a fazer bom uso da integração por partes. Revendo a fórmula a ser usada:

36 Para aplicar a fórmula, deve-se dividir o integrando em duas partes. { Será necessário integrar para obter uma função que fará o papel de v. A nova integral,, deve ser mais ou tão simples quanto a integral original,. e) Calcular Solução: Analisando a escolha: A integral é uma integral direta. Essa escolha de u e de dv determina e a fórmula de integração por partes nos dá ( i )

37 A nova integral,, é tecnicamente mais fácil do que a integral original, pois o grau do fator x ² diminuiu. Agora podemos aplicar a mesma técnica nessa nova integral. Escolhemos : Essa escolha nos dá : Aplicando a fórmula de integração por partes, obtemos: ( ii ) Reunindo ( i) e ( ii ), obtemos: Realmente, se F(x) = (x² - 2) sen x + 2x, então: f) Calcular Solução: Seja u = e x e dv = sen x dx. Então du = e x dx e v = cos x. Logo,

38 A integral do segundo membro é semelhante à primeira integral. Exceto que em vez de sen x temos cos x. Aplicamos a integração por parte novamente, sendo e Então, Assim, Agora temos no segundo membro a mesma integral que no primeiro. Dessa forma, se somarmos a ambos os membros da igualdade, teremos Observe que o segundo membro da igualdade acima possui uma constante arbitrária, pois no primeiro membro temos uma integral indefinida. Essa constante arbitrária foi escriuta como 2C; assim quando dividirmos por 2 os membros da igualdade, a constante arbitrária na resposta será C. Desse modo, temos g) Calcular. Solução: Para usarmos a integração por partes só temos uma escolha: E, assim, temos

39 ( I ) Aqui devemos usar a substituição simples. Veja o exemplo: ( II ) Reunindo as duas igualdades, ( I ) e ( II ), temos: h) Calcular. Solução: A escolha de u e de dv é clara. Então, Ou seja,

40 i) Calcular Solução: Fazendo a seguinte escolha de u e de dv: Dessa forma, Aplicando novamente a integral por partes na nova integral temos Logo, j) Calcular

41 Solução: Fazendo a escolha de u e de dv. Essa escolha resulta em Resumindo, podemos aplicar a fórmula seguinte: 2.4- Técnicas de Integração Integração de Potências e Produtos de Funções Trigonométricas Embora o conceito de função seja relativamente novo, as funções trigonométricas são conhecidas desde a Antiguidade, na forma de tabelas. Para resolver problemas de Trigonometria aprendemos os valores de seno e de cosseno de alguns arcos notáveis.

42 As primeiras tabelas trigonométricas foram construídas por Hiparco de Niceia ( a. C.) o que lhe rendeu o direito de ser chamado de Pai da Trigonometria. As principais contribuições de Hiparco à Astronomia foram a organização dos dados obtidos empiricamente pelos babilônios, bem como a elaboração de um catálogo estrelar. A tabela trigonométrica que ele construiu associa a cada ângulo inteiro o comprimento da corda que esse ângulo determina em um círculo de raio igual a 60. Por exemplo: Revendo algumas identidades trigonométricas: a) b) c)

43 d) e) f) g) h) ( ) i) ( ) j) k) l) m) Integração de Potências de Seno e Cosseno Caso 1: Exemplos: a) Calcular Solução: Para a segunda integral do lado direito observamos que sendo ( ), temos:

44 Como a primeira integral do lado direito é sen x + C 2 b) Calcular Solução: Caso 2: Obs.: a solução deste caso é semelhante à do caso 1. Exemplos: a) Calcular Solução:

45 Caso 3: Obs.: O método utilizado nos casos 1 e 2 não funcionam neste caso. Usaremos as seguintes identidades trigonométricas: Exemplo: a) Calcular Solução: Caso 4: Obs.: A solução deste caso é semelhante à do caso 3. Exemplos: a) Calcular Solução:

46 b) Calcular Solução: O próximo exemplo envolve um tipo de integral contendo um produto de seno e cosseno

47 c) Calcular Solução: Obs.: Usaremos as seguintes identidade trigonométrica: Integração de Potências da Tangente, da Cotangente, da Secante e da Cossecante Vamos lembrar algumas fórmulas envolvendo tangente, cotangente, secante e cossecante: Com essas fórmulas e as identidades trigonométricas podemos calcular integrais da forma Vamos distinguir várias integrais dessa forma:

48 Caso 1: Escrevemos: Exemplos: a) Calcular Solução: Exemplos: b) Calcular Solução: Caso 2:

49 Escrevemos: Exemplo: a) Calcular Solução: Caso 3: Para integrar potências ímpares de secante e cossecante usaremos integração por partes. Exemplo: a) Calcular Solução: Então: Logo,

50 Caso 4: Exemplo: a) Calcular Solução: Caso 5: Exemplo:

51 a) Calcular Solução: Caso 6: O integrando pode ser expresso em termos de potências ímpares de secante e cossecante. Exemplo: a) Calcular Solução: Integração por Substituição Trigonométrica Quando o integrando possuir expressões do tipo, ou, sendo a > 0, geralmente é possível efetuar a integração através de uma substituição trigonométrica que levará a uma integral envolvendo funções trigonométricas.

52 Caso 1: O integrando possui uma expressão da forma, sendo a > 0. Introduzindo uma nova variável θ e tomando u = a sen θ, em que Então du = a cos θ d θ, e Exemplo: a) Calcule Solução: Logo,

53 Caso 2: O integrando possui uma expressão da forma, sendo a > 0. Introduzindo uma nova variável θ e fazendo u = a tg θ, em que Então, Exemplo: a) dx Solução:

54 Logo, Usando os cálculos feitos anteriormente, temos:

55 Caso 3: O integrando possui uma expressão da forma, sendo a > 0. Introduzindo uma nova variável θ e fazendo u = a sec θ, em que Exemplos: a) Calcule Solução: Logo,

56 b)calcule Solução:

57 Logo, c)calcule ( )

58 Solução: Logo,

59 2.5- Técnicas de Integração Método das Frações Parciais Este método permite lidar com integrandos que são quocientes de polinômios. Quando o grau do numerador for maior que o grau do denominador, pode-se utilizar o algoritmo da divisão de Euclides para escrevêlo como uma soma de um polinômio e um quociente cujo grau do numerador é menor que o grau do denominador. Assim, vamos nos dedicar a esses tipos de quocientes de polinômios: o grau do denominador é maior do que o grau do numerador. Nesses casos vamos empregar um resultado da Álgebra que nos permite reescrever o quociente como uma soma de quocientes mais simples, as chamadas frações parciais, sendo cada uma delas possível de ser integrada Decomposição em Frações Parciais Dado um quociente de polinômios ( ) ( ), tal que o grau e p é menor do que o grau de q, que por conveniência podemos considerar mônico (o coeficiente do termo de maior grau é 1), ele se decompõe em uma soma de frações, correspondentes à decomposição de q(x) em fatores primos. Isto é, se

60 Veja algumas decomposições de frações parciais: Para usar o método das frações parciais para integrar ( ) ( ), precisamos: a) Decompor o polinômio q(x) em seus fatores primos. b) Determinar as constantes da decomposição em frações parciais. c) Saber integrar cada uma das frações parciais. Observação: As fórmulas Resolvem os seguintes caos típicos:

61 Exemplos: a) Calcular a integral Solução: Sabemos que x 2 x 2 = ( x + 1 ) ( x 2). Assim, o integrando pode ser escrito como uma soma de frações parciais. Isto é, existem constantes A e B, tais que: Podemos fazer, Há uma forma simples de calcular essas constantes. O integrando ( ) está definido em R { 1, 2}. Podemos fazer os cálculos dos limites a seguir: e Ou seja:

62 e Agora podemos escrever a solução completa da integral: b) Calcular. Solução: Inicia-se a decomposição do denominador, cujas possíveis raízes inteiras são ± 1 e ± 3. Na verdade, a decomposição é ficam Levando em conta a multiplicidade da raiz ( 1), as frações parciais Calculando as constantes A 1 e B.

63 e Para calcular A2, a constante restante, basta avaliar a função Em algum valor conveniente de x. Pode-se fazer, por exemplo, x = 0. que acarreta A2 = 2, podendo agora calcular a integral: c) Integrar Solução:

64 As possíveis raízes inteiras do polinômio x 4 + 2x³ + x² 2x 2 são ± 1 e ± 2. Sua decomposição é Portanto, a decomposição em frações parciais do integrando leva em conta o termo indecomponível de grau dois. O expediente dos limites nos ajudará a calcular as constantes D e E. Portanto, Fazendo x = 0, obtém-se B = 2. Para calcular A, pode-se escolher outro valor para x, diferente de 1, 1 e 0. Fazendo x = 2, obtém-se A= 1. Com essas informações e escrevendo x² + 2x + 2 = (x + 1)² + 1, pode-se efetuar a integração:

65 Como podemos observar, o termo indecomponível de grau dois dividiuse em duas integrais, uma envolvendo logaritmo e outra arcotangente, Nos casos em que a multiplicidade do termo indecomponível de grau dois for maior do que um, podemos fazer o seguinte: A primeira parcela pode ser resolvida pelo método da substituição: A segunda parcela pode ser calculada pela fórmula de redução a seguir: d) Calcular ( ). Solução: Podemos começar com a integração por partes aplicada na integral, fazendo e du = dx. Isso nos dá Aplicando a fórmula de integração por partes, obtemos: ( ) e v = x.

66 Manipulando essa igualdade, obtemos 2.6- Técnicas de Integração: Funções Trigonométricas Hiperbólicas Certas combinações de e x e e -x aparecem tão frequentemente nas aplicações de Matemática que receberam denominações especiais. Duas delas são as funções seno e cosseno hiperbólicos. Definição 1: Definição 2: Como

67 o seno hiperbólico é uma função ímpar e o cosseno hiperbólico é uma função par. As fórmulas das derivadas das funções seno e cosseno hiperbólicos são obtidas aplicando as definições 1 e 2 e derivando as expressões envolvendo funções exponenciais. Assim Teorema 1 Dessas fórmulas e da regra da cadeia temos o teorema a seguir.

68 As quatro funções hiperbólicas remanescentes são definidas em termos das funções seno e cosseno hiperbólicos. Elas satisfazem identidades semelhantes àquelas satisfeitas pelas funções trigonométricas. Definição 3: A funções hiperbólicas da definição 3 podem ser expressas em termos das funções exponenciais, usando as definições 1 e 2. Temos

69 Um esboço do gráfico da função tangente hiperbólica está na figura 3. Observe que das figuras 1, 2 e 3 podemos concluir que essas funções, ao contrário das funções trigonométricas correspondentes, não são periódicas. Existem identidades satisfeitas pelas funções hiperbólicas que são similares àquelas satisfeitas pelas funções trigonométricas. Quatro delas foram apresentadas na definição 3. As outras quatro identidades são as seguintes: A identidades (5) segue imediatamente de (1) e (2). A seguir temos a demonstração de (6).

70 A identidade (7) pode ser demonstrada usando as fórmulas de tgh x e sech x em termos de e x e e -x como na demonstração acima, ou então uma prova alternativa pode ser feita usando outras identidades, como: Às vezes é muito útil o emprego das relações que decorrem das definições 1 e 2. Elas são usadas na demonstração da seguinte identidade: Da definição 1: obtemos: Aplicando (9) e (10) ao segundo membro da igualdade anterior,

71 Efetuando os cálculos do segundo membro da igualdade acima e combinando os termos obteremos a identidade (11). Da mesma forma podemos provar a Se em (11) e (12) y for substituído por x, iremos obter as fórmulas A fórmula (14), combinada com a identidade (6), nos fornece duas fórmulas alternativas para cosh 2x, que são Resolvendo (15) e (16) em senh x e cosh x, respectivamente, e substituindo x por ½ x, iremos obter Não temos um símbolo ± no segundo membro de (18) pois a imagem da função cosseno hiperbólico é [1, + ). Para encontrar a derivada da função tangente hiperbólica usamos algumas identidades.

72 As fórmulas de derivação das funções hiperbólicas remanescentes são as seguintes: D x (cotgh x) = - cossech²; D x (sech x) = - sech.tgh x; D x (cossech x) = - cossech x. cotgh x. Dessas fórmulas e da regra da cadeia temos o teorema a seguir. Teorema 2 Podemos observar que todas as fórmulas das derivadas das funções hiperbólicas seno, cosseno e tangente possuem sinal mais, enquanto que as derivadas da cotangente, secante e cossecante hiperbólicas todas têm sinal menos. Essa é a única diferença entre as fórmulas das funções hiperbólicas e trigonométricas. Exemplos: a) Ache dy/dx sendo y = tgh (1 x² Solução:

73 b) Ache f (x) sendo f(x) = ln senh x. Solução: As fórmulas de integração indefinida do próximo teorema decorrem das fórmulas de derivação dos Teoremas 1 e 2. Teorema 3:

74 Os métodos utilizados para integrar as funções hiperbólicas são similares àqueles usados para funções trigonométricas. Exemplos: a) Calcule Solução: b) Calcule Solução: Exemplos: 1- Calcule ( ). Uma substituição simples, como u = lnx não parece muito apropriada, uma vez que temos x multiplicando (lnx)². Isso seria interessante se o fator multiplicando (lnx)² fosse. Podemos abordar o problema utilizando a integração por partes. Fazendo dv = dx, teremos, u= x. (lnx)². Assim, Então,

75 Reunindo os termos iguais temos: Agora, basta resolver a integral. Usando a integração por partes, faremos u = ln x e dv = ex dx. Portanto,. Isso nos dá: Finalmente, podemos concluir nosso cálculo original. 2- Calcule Esta integral apresenta como dificuldade o fato de a variável x aparecer com diferentes expoentes fracionários. Nesse caso, a melhor estratégia é utilizar uma substituição simples para eliminar os expoentes fracionários. Considerando, teremos e. Como, podemos fazer

76 Efetuando a divisão de polinômios Temos Substituindo no lugar de u, temos 3- Calcule Este problema será resolvido por substituição trigonométrica. No entanto, antes da aplicação dessa técnica, deve-se fazer um ajuste algébrico. Esse artifício de cálculo é também conhecido como a reconstrução do quadrado. Isso nos dá Fazendo a substituição trigonométrica, obtemos:

77 e, logo,. Mas,. Assim, A resposta deve ser apresentada em termos da variável x e, se, ( ) Além disso, como, temos ( ). Assim, podemos completar a resolução: 4- Calcule. Ajuste algébrico: A primeira parcela pode ser resolvida utilizando a substituição simples. A segunda parcela pode ser resolvida utilizando a substituição trigonométrica. Ajuste algébrico:

78 Como faremos a seguinte substituição: Isso acarreta Assim, e Devemos lembrar que as integrais de potências ímpares de secante são um tanto trabalhosas. Aqui estão: Logo, Escrevendo a resposta em termos da variável original x, temos: Essa é a resposta da segunda parcela. Segue cálculo final. 5- Calcule ( )( ) A expansão em frações aprciais tem a seguinte forma: Multiplicando a igualdade por (2x² + 2x + 5) (3x 1), temos:

79 Isso nos dá o seguinte sistema de equações lineares: A solução desse sistema é: A = 4, B=3 e C= 1. Portanto, A primeira parcela se decompõe como a soma de duas integrais: um logaritmo e um arcotangente. Observe que Logo, ( ) ( ) (( ). Unidade 3- Integrais Impróprias 3.1- Introdução A existência da integral definida ( ), em que f é contínua no intervalo fechado [a, b], é garantida pelo teorema fundamental do cálculo. No entanto, determinadas aplicações do Cálculo nos levam a formulações de integrais em que 1. ou o intervalo de integração não é limitado. 2. ou o integrando tem uma descontinuidade infinita em algum ponto do intervalo [a, b].

80 Exemplos: a) Trata se de um exemplo de integral imprópria. Essa integral não está definida num intervalo fechado e limitado, o que fica evidenciado pelo uso do símbolo como seu segundo limite de integração. Ou seja, deseja se integrar a função ( ) ( ) sobre o intervalo de integração. sobre toda semirreta [1, ). Segue o gráfico de f Estamos lidando com uma situação não limitada que ocorre na direção do eixo Ox. Para dar sentido ao símbolo ( ) podemos considerar situações limitadas que estão cada vez mais próximas das situação desejada, ou seja, calcularemos ( ), em que t > 1, com área bem definida. Em seguida, vamos estudar o comportamento dessa integral definida para valores muito grandes de t, usando o conceito de limite. Inicialmente fazendo o cálculo da área.

81 Quando t cresce,indefinidamente, aproxima se de 0 (zero). Formalmente, Podemos, então, dizer que. b) Temos, também, um exemplo de integral imprópria. Apesar de o intervalo de integração ser limitado, a função ( ) não está definida no extremo esquerdo do intervalo. Segue o gráfico de g sobre o intervalo de integração. Como no exemplo anterior, estamos lidando com uma situação nãolimitada. Nesse caso, a não-limitação ocorre na direção do eixo Oy. Para dar sentido à, consideraremos situação limitada que está próxima da

82 situação desejada. Calcularemos, em que 0 < r < 8, com área bem definida. Veja figura a seguir. Agora, estudaremos o comportamento dessa integral definida para valores positivos de r cada vez mais próximos de zero usando o conceito de limite. Inicialmente fazendo o cálculo da área. Quando r se aproxima de zero, pela direita, de zero. Formalmente, também fica próximo Podemos, então, dizer que 3.2- Integrais Impróprias: Formalizando os conceitos As integrais impróprias são o resultado da aplicação da teoria dos limites à teoria de integrais. Os exercícios que envolvem integrais impróprias requerem habilidades na integração e no cálculo de limites.

83 Exemplo: Calcular a convergência da integral imprópria

84 Obs.: Uma condição necessária para a convergência Exemplos: 1) Determine se a integral abaixo é convergente. Solução: Portanto, essa integral diverge. 2) Analise a convergência da integral imprópria

85 3) Analise a convergência da integral imprópria Neste exemplo devemos dividir a integral em dois casos. A escolha do número 0 (zero) para dividir o intervalo de integração foi conveniente, mas puramente casual, pois poderíamos ter escolhido qualquer outro número.

86 4) Analise a convergência da integral imprópria A escolha do número 1 para dividir o intervalo em dois foi por conveniência.

87 5) Para resolver o problema deve-se estabelecer uma relação entre as duas integrais. Dessa forma, usaremos a integração por partes na integral

88

89 6)

90

91 Observação: Convergência de algumas funções Nas afirmações abaixo, a é um número real maior do que 0 (zero).

92 3.3- Critérios de Convergência i) Critério da Comparação Este critério possui essa denominação por se basear na comparação de duas funções. Sejam f e g duas funções contínuas, definidas e, [a, ), tais que a f(x) g(x). Nessas condições, Obs.: Esse critério só pode ser empregado quando ambas as funções são positivas. Note que se a maior converge, a menor converge. Se a menor diverge, a maior também diverge. Exemplo: Analise a convergência da integral imprópria Para utilizar corretamente o critério é necessário determinar qual função será usada como parâmetro para a comparação, ou seja, qual função será f e qual será g?

93 Observa se que há um quociente, que a função do numerador é limitada ( y = sen²x ) e que o denominador é uma função polinomial do 2º grau. Para mostrar que a integral converge, vamos usar para a comparação a integral imprópria ( ). A garantia da convergência dessa integral imprópria é o grau do denominador, visto que estamos integrando sobre a semirreta [4, ). Realmente, Devemos nos certificar de que as hipóteses do critério da comparação são satisfeitas. ii) Critério do Limite do Quociente Este critério é adequado para analisar a convergência de integrais impróprias cujo integrando é o quociente de polinômios. Sejam f e g duas funções contínuas em [a, ), tais que f(x) 0 e g(x) > 0 e ( ) ( ) = L, com L Є (0, ). Isto é, o limite do quociente é um número positivo. Então, as integrais impróprias ( ) e ( ) comportam se do mesmo modo; ou seja, ou ambas convergem ou ambas divergem. Exemplos: Analise a convergência das seguintes integrais impróprias.

94 Devemos decidir se vamos mostrar a convergência ou a divergência da integral e qual será a integral imprópria usada como parâmetro. O maior expoente do numerador é 1 e o do denominador é 3. A diferença é 2. Com o é convergente, vamos mostrar que a integral é convergente. Observa-se que para valores suficientemente grandes de x, 0 e ( ) > 0. Precisamos calcular o limite. Como L = ½, podemos aplicar o critério e concluir que a integral imprópria converge. Vamos considerar o limite Como diverge, o mesmo ocorre com Observação: Razão de funcionamento desse critério: como o sabe-se que f(x) Lg(x), para valores suficientemente grandes de x. Isso indica que o comportamento das integrais impróprias será do mesmo tipo. ( ) ( ),

95 Unidade 4- Aplicação de Integrais 4.1- Aplicação de Integrais - Volumes O volume de um sólido exerce um papel importante em muitos problemas nas ciências físicas, tais como, cálculo de centro de massa e de momento de inércia. Por ser mais complicado determinar o volume de um sólido com formato irregular, iniciaremos com objetos que apresentam formas simples, dentre esses os sólidos de revolução. Como sabemos, um sólido de revolução é gerado pela rotação de uma região do plano, em torno de uma reta chamada eixo de revolução, contida no plano. Seja S, o sólido gerado pela rotação da região do plano limitada por y=f(x), o eixo x, x = a e x = b, em torno do eixo x. Então, o volume V desse sólido é dado por Graficamente

96 Quando o eixo de revolução é o eixo y e a fronteira da região plana é dada pela curva x = g(y) e o eixo entre y = c e y = d, então o volume V do sólido de revolução é dado por Sejam f(x) e g(x) funções contínuas no intervalo [a,b] e suponhamos que f(x) g(x) 0 para todo x Є [a,b]. Então o volume do sólido de revolução gerado pela rotação e torno do eixo x, da região limitada pelas curvas y = f(x) e y = g(x) e as retas x = a e x = b é dado por Graficamente

97 Exemplos: 1) A região limitada pela curva y = x², o eixo x e as retas x = 1 e x = 2, sofrem uma rotação em torno do eixo x. Encontre o volume do sólido de revolução gerado. Inicialmente construímos o gráfico da curva Temos:

98 2) Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da região limitada por y = x³, y = 0 e x = 1 em torno do eixo y, Inicialmente construímos o gráfico das curvas dadas. 3) Calcule o volume do sólido que ase obtém por rotação da região limitada por x² = y 2, 2y x 2 = 0, x = 0 e x = 1, em torno do eixo x. Veja a figura representando a região

99 Volume do sólido em torno do eixo x 4) Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de uma pirâmide reta de base quadrada - sendo b a medida da aresta da base e h a altura da pirâmide - é Colocando o sistema de eixos de modo que o eixo y seja perpendicular à base da pirâmide reta, passando pelo centro, temos: Para cada corte transversal na altura h - y, temos que a secção obtida é um quadrado, paralelo à base, cuja área é (2x )². Examinando o corte longitudinal ao lado, por semelhança de triângulos, podemos escrever:

100 e daí ou seja, a área de cada secção transversal é. Logo, o volume da pirâmide é dado por: 5) Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de um cilindro reto, de altura h e cuja base é um círculo de raio r, é. Colocando o sistema de eixos de modo que a origem do sistema esteja no centro da base do cilindro e o eixo x seja perpendicular à base do cilindro, temos: Para cada corte transversal na altura x, temos que a secção obtida é um círculo, paralelo à base, cuja área é. Logo, o volume do cilindro é dado por: 6) Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de um cone reto, de altura h e cuja base é um círculo de raio r, é.

101 Colocando o sistema de eixos de modo que a origem do sistema esteja no vértice do cone e o eixo x seja perpendicular à base do cone, temos: Para cada corte transversal na altura x, temos que a secção obtida é um círculo, paralelo à base, cuja área é. Examinando o corte longitudinal ao lado, por semelhança de triângulos, podemos escrever: e daí ou seja, a área de cada secção transversal é. Logo, o volume do cone é dado por: Aplicação de Integrais Áreas Abordaremos uma das aplicações da integral definida, iniciando com a determinação da área de uma região R do plano que serviu como motivação para a definição deste importante conceito matemático. Vamos considerar sempre a região localizada entre os gráficos de duas funções. Suponhamos que f(x) e g(x) sejam funções contínuas no intervalo [a,b] e que f(x) g(x) para todo x em [a,b]. Assim, a área da região limitada acima por y = f(x), abaixo por y = g(x), à esquerda pela reta x = a e à direita pela reta y = b é ( ( ) ( )), de acordo com figura a a seguir

102 Procedimentos a serem seguidos para o estabelecimento da fórmula: Passo 1: Deve-se construir o gráfico da região para se determinar qual curva limita acima e qual curva limita abaixo. Passo 2: Precisa-se determinar os limites de integração. Os limites a e b serão as abscissas x dos dois pontos de interseção das curvas y = f(x) e y = g(x). Para tanto, faz-se f(x) = g(x) e resolve-se a equação resultante em relação a x. Passo 3: Calcula-se a integral definida para encontrar a área entre as duas curvas. Obs.: Agora consideraremos a área da figura plana limitada pelo gráfico de f(x), pelas retas x = a e x = b e o eixo x, em que f(x) é uma função contínua sendo f(x) 0, para todo x em [a,b], conforme figura a seguir. O cálculo da área A é d ado por ( ), ou seja, precisamos calcular a integral definida e considerar o módulo ou valor absoluto da integral definida encontrada. Exemplos:

103 1) Determinar a área da região limitada entre as curvas Passo 1: Esboço da região y = f(x) = x + 6 e y = g(x) = x². Passo 2: Para calcular os limites de integração, devemos fazer f(x) = g(x), isto é, x + 6 = x² ou x² = x + 6, ou melhor, x² x 6 = 0 que aplicando a fórmula resolutiva nos fornece x= 2 e x = 3, que serão os limites de integração. Observe, pelo gráfico acima, que x + 6 x², para todo x em [ 2, 3]. Passo 3: Calculando a área da região limitada por y = f(x) = x + 6 e y = g(x)=x² em [ 2, 3] temos

104 Portanto, a área limitada por 2) Determinar a área da região limitada por y = f(x) = 4 e y = g(x) = x². Passo 1: Esboço da região Passo 2: Para determinar os limites de integração fazendo f(x) = g(x), temos 4=x² ou x² = 4. Logo,, ou seja, x = 2 e x = 2. Assim, a = 2 e b = 2. Passo 3:A área da região limitada por y = f(x) = 4 e y = g(x) = x² em [ 2, 2] será

105 Portanto, a área limitada por y = f(x) = 4 e y = g(x) = x² em [ 2, 2] é unidades de área. 3) Determinar a área da região limitada por y = f(x) = 8 x² e y = g(x) = x². Passo 1: Esboço da região Passo 2: Para encontrar os limites de integração, fazemos f(x) = g(x), isto é, 8 x² = x², que nos dá x = 2 e x = 2. Assim, a = 2 e b = 2. Passo 3: A área da região limitada por y = f(x) = 8 x² e y = g(x) = x² será

106 Portanto a área limitada por y = f(x) = 8 x² e y = g(x) = x² em [ 2, 2] é unidades de área. 4) Determinar a área limitada peal curva y = x² 5x, o eixo x e as retas x = 1 e x = 3. Passo 1: Esboço da região Passo 2: Os limites de integração são a = 1 e b = 3. Passo 3: A reta limitada pela curva y = x² 5x, o eixo x e as retas x = 1 e x = 3, será

107 e x = 3 é Portanto, a área limitada pela curva y = x² 5x, o eixo x e as retas x = 1 unidades de área. 5) Encontrar a área da região limitada pela curva y = f(x) = senx e pelo eixo x de 0 a 2π. Passo 1: Esboço da região Passo 2: Para determinar os limites de integração, temos, pelo gráfico anterior, no intervalo [0, π], f(x) = senx 0 e no intervalo [π, 2 π], f(x) = senx 0. Passo 3: A área da região limitada pela curva y = f(x) = senx e pelo eixo x de 0 a 2π será Portanto, a área da região limitada pela curva y = f(x) = senx e pelo eixo x de 0 a 2π é 4π unidades de área Aplicação de Integrais Comprimentos Comprimento de Arco Veja a seguir o comprimento de arco de uma curva plana em coordenadas cartesianas. Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b]. Seja o gráfico da função y = f(x).

108 Sejam A(a,f(a)) e B(b,f(b)) dois pontos na curva y = f(x). Considere s o comprimento da curva do gráfico da função y = f(x). Então, s é dado por Exemplos: 1) Determinar o comprimento de arco da curva, 0 x 3. Temos: Logo, Portanto, o comprimento de ( ) para 0 x 3 é dada por unidades de comprimento. 2) Calcule o comprimento do arco da curva 24 xy = x + 48 de x = 2 a x = 4. Temos:

109 Agora, 3) Cálculo do comprimento de um setor de circunferência. Vamos calcular o comprimento de um arco de circunferência de raio r, correspondente a um ângulo α < π. Vamos posicionar tal setor de tal forma que ele esteja na parte superior de x 2 + y2 = r 2, e sejam x 1 e x 2 os pontos correspondentes à projeção do setor no eixo Ox.

110 Então, o comprimento desse arco é Para resolver essa integral, fazemos a substituição trigonométrica, em que ᶿ 1 e ᶿ 2 são os ângulos que correspondem aos valores x 1 e x 2, respectivamente: e. Temos e. Assim, Unidade 5- Teoremas Importantes Para o Cálculo 5.1-Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece a importante conexão entre o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. O primeiro surgiu a partir do problema de se determinar a reta tangente de uma curva em um ponto, enquanto o segundo surgiu a partir do problema de se encontrar a área de uma figura plana.

111 Barrow, professor de Newton em Cambridge, descobriu que os dois problemas estão intimamente relacionados, percebendo que os processos de diferenciação e integração são processos inversos. Entretanto, foram Newton e Leibniz, independentemente, que exploraram essa conexão e desenvolveram o Cálculo. Em particular, eles perceberam que o Teorema Fundamental permitia encontrar a área de uma figura plana de uma forma muito fácil, sem a necessidade de se calcular a soma de áreas de um número indefinidamente grande de retângulos, mas sim usando a antiderivada da função envolvida. Teorema: Seja f uma função contínua no intervalo [a,b]. A função F, dada por, é derivável em todos os pontos interiores ao intervalo ]a,b[ e sua derivada é dada por F'(x)=f(x). O Teorema Fundamental do Cálculo nos permite facilmente calcular áreas pois, a partir dele, podemos mostrar que: Consequência: Se f é uma função contínua no intervalo [a,b], então, onde G é uma qualquer primitiva de f, isto é, tal que G'=f. Exemplos: 1-Calcular as áreas das regiões delimitadas pelas curvas. a) e b) +3 e c) -3 e É possível estabelecer alguma conclusão a partir das áreas calculadas? Solução: a) Vamos calcular a área da região compreendida entre os gráficos de y=x 2 e.

112 Para tanto, precisamos resolver a equação x 2 =2x, a fim de obter os pontos que são comuns aos dois gráficos e que, portanto, fornecem o intervalo de integração: x 2-2x=0 de onde x=0 ou x=2. Assim, a área da região assinalada é dada por:. b) Vamos calcular a área da região entre os gráficos de y=x 2 +3 e y=2x+3.

113 Resolvendo, obtemos x=0 ou x=2. Logo, a área será dada por: que é igual à área da região do Item a). c) Vamos calcular a área da região entre os gráficos de e. Resolvendo, obtemos x=0 ou x=2. Logo, a área será dada por: que é igual à área da região do Item a). Conclusão:

114 De modo geral, considerando: então A é a área da região compreendida entre os gráficos de f e g. Já nas figuras, temos:

115 pois usamos as propriedades da integral definida. Dessa maneira, concluímos algo já esperado, ou seja, que uma translação vertical da figura não altera sua área. 2-Encontrar uma primitiva F da função Solução: que satisfaça F(1)=1. Sendo, vamos encontrar todas as primitivas de f, ou seja, todas as funções cuja derivada é a função f. Assim, encontramos:, onde C é um número real qualquer. Como foi dado que F(1)=1, esse fato nos permite determinar uma única função da família de primitivas. Com efeito, Logo, Assim, a função procurada é: 3- Encontrar uma função f tal que 0 e f(0)=2.

116 Solução: Temos f'(x)= sen x. Logo f(x)=cos x+c, onde C é um número real qualquer. Como f(0)=2, temos: 2=f(0) =cos 0+C de onde C=1. Assim, a função procurada é f(x)=cos x Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, obter a derivada de cada uma das funções seguintes: a) b) c) d) e) Solução: Sendo, queremos encontrar sua derivada. Entretanto, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos que onde F é uma qualquer primitiva de,

117 isto é, Logo, pois F(0) é uma constante. Dessa forma, b) Sendo, queremos encontrar sua derivada. Entretanto, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos que, onde F é uma qualquer primitiva de isto é, Logo, pois usamos a Regra da Cadeia, ou da derivada da função composta. Dessa forma,. c) Sendo, queremos encontrar sua derivada. Entretanto, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos que

118 onde F é uma qualquer primitiva de, isto é,. Logo, pois usamos a Regra da Cadeia, ou da derivada da função composta. Dessa forma, d) Sendo, queremos encontrar sua derivada. Entretanto, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos que isto é, onde F é uma qualquer primitiva de, Logo,. da Cadeia, ou da derivada da função composta. pois usamos a Regra Dessa forma,

119 e) Sendo, queremos encontrar sua derivada. Entretanto, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos que, onde F é uma qualquer primitiva de, isto é, Logo, pois usamos a Regra de Cadeia, ou da derivada da função composta. Dessa forma, 5- Encontrar o valor das integrais definidas. a) b) c) d) e), sendo Solução: a)

120 Observemos que, dada uma função f, para encontrar uma primitiva qualquer, precisamos pensar "ao contrário" de quando derivamos, pois buscamos uma função cuja derivada é a função f. b) Observemos que, dada uma função f, para encontrar uma primitiva qualquer, precisamos pensar "ao contrário" de quando derivamos, pois buscamos uma função cuja derivada é a função f. c) Cálculo de: Como =sen x, para e, para ou, podemos escrever: Observa-se que, dada uma função f, para encontrar uma qualquer primitiva, precisamos pensar "ao contrário" de quando derivamos, pois precisamos encontrar uma função cuja derivada é a função f.

121 d) pois e) sendo Observemos que f é contínua no intervalo [1,3]. Dessa forma, podemos escrever: Revisando: O teorema fundamental do cálculo (TFC) estabelece uma relação entre os conceitos de derivada e integral. Função definida por uma Integral Dada uma função contínua f : [a; b]! R, podemos definir

122 Exemplo: Use a definição de integral para encontrar uma expressão para a função Solução: Observação: Note que g (x) = f(x), ou seja, g é uma primitiva de f. Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1

123 Ideia da Demonstração:

124 Exemplo: Encontre a derivada da função. Solução: Exemplo: Determine. Solução:

125 Teorema Fundamental do Cálculo Parte 2 Exemplo: Solução: Exemplo: Determine a área sob a parábola y = x² de 0 a 1. Exemplo: Calcule. Solução:

Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro De Ciências Exatas e da Terra. Departamento de Física Teórica e Experimental

Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro De Ciências Exatas e da Terra. Departamento de Física Teórica e Experimental Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro De Ciências Exatas e da Terra Departamento de Física Teórica e Experimental Programa de Educação Tutorial Curso de Nivelamento: Pré-Cálculo PET DE FÍSICA:

Leia mais

Capítulo 5: Aplicações da Derivada

Capítulo 5: Aplicações da Derivada Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Capítulo 5: Aplicações da Derivada 5- Acréscimos e Diferenciais - Acréscimos Seja y f

Leia mais

por séries de potências

por séries de potências Seção 23: Resolução de equações diferenciais por séries de potências Até este ponto, quando resolvemos equações diferenciais ordinárias, nosso objetivo foi sempre encontrar as soluções expressas por meio

Leia mais

Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z

Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel. 04-98/4-98 Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Podemos epressar o produto de quatro fatores iguais a.... por meio de uma potência de base e epoente

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire

Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA - CAMPUS JOINVILLE CENTRO DE ENGENHARIAS DA MOBILIDADE Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire MARÇO / 2015 Sumário 1. Introdução... 5 2. Conjuntos...

Leia mais

CURSO DE CÁLCULO MÓDULO 3: DERIVADAS

CURSO DE CÁLCULO MÓDULO 3: DERIVADAS CURSO DE CÁLCULO MÓDULO 3: DERIVADAS SUMÁRIO Unidade 1- Derivadas 1.1 Introdução 1.2 - A Derivada Como função 1.2.1- Diferenciabilidade e Continuidade 1.2.2- Continuidade de uma Função Diferenciável 1.3

Leia mais

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante Capítulo 2 Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante 2.1 Introdução Neste capítulo, chamamos atenção para o fato de que o conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, e portanto

Leia mais

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas Resolução dos Eercícios sobre Derivadas Eercício Utilizando a idéia do eemplo anterior, encontre a reta tangente à curva nos pontos onde e Vamos determinar a reta tangente à curva nos pontos de abscissas

Leia mais

Curvas em coordenadas polares

Curvas em coordenadas polares 1 Curvas em coordenadas polares As coordenadas polares nos dão uma maneira alternativa de localizar pontos no plano e são especialmente adequadas para expressar certas situações, como veremos a seguir.

Leia mais

1 A Integral por Partes

1 A Integral por Partes Métodos de Integração Notas de aula relativas aos dias 14 e 16/01/2004 Já conhecemos as regras de derivação e o Teorema Fundamental do Cálculo. Este diz essencialmente que se f for uma função bem comportada,

Leia mais

Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU

Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Prof. Dr. Sergio Pilling (IPD/ Física e Astronomia) II Métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais. Objetivos:

Leia mais

PSAEN 2007/08 Primeira Fase - Matemática

PSAEN 2007/08 Primeira Fase - Matemática PSAEN 007/08 Primeira Fase - Matemática : Caio Guimarães, Rodolpho Castro, Victor Faria, Paulo Soares, Iuri Lima Digitação: Caio Guimarães, Júlio Sousa. Comentário da Prova: A prova de matemática desse

Leia mais

7 AULA. Curvas Polares LIVRO. META Estudar as curvas planas em coordenadas polares (Curvas Polares).

7 AULA. Curvas Polares LIVRO. META Estudar as curvas planas em coordenadas polares (Curvas Polares). 1 LIVRO Curvas Polares 7 AULA META Estudar as curvas planas em coordenadas polares (Curvas Polares). OBJETIVOS Estudar movimentos de partículas no plano. Cálculos com curvas planas em coordenadas polares.

Leia mais

Introdução ao estudo de equações diferenciais

Introdução ao estudo de equações diferenciais Matemática (AP) - 2008/09 - Introdução ao estudo de equações diferenciais 77 Introdução ao estudo de equações diferenciais Introdução e de nição de equação diferencial Existe uma grande variedade de situações

Leia mais

Exercícios Teóricos Resolvidos

Exercícios Teóricos Resolvidos Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Exercícios Teóricos Resolvidos O propósito deste texto é tentar mostrar aos alunos várias maneiras de raciocinar

Leia mais

28 de agosto de 2015. MAT140 - Cálculo I - Derivação Impĺıcita e Derivadas de Ordem Superior

28 de agosto de 2015. MAT140 - Cálculo I - Derivação Impĺıcita e Derivadas de Ordem Superior MAT140 - Cálculo I - Derivação Impĺıcita e Derivadas de Ordem Superior 28 de agosto de 2015 Derivação Impĺıcita Considere o seguinte conjunto R = {(x, y); y = 2x + 1} O conjunto R representa a reta definida

Leia mais

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS GRUPO Educação adistância Caderno de Estudos EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Prof. Ruy Piehowiak Editora UNIASSELVI 2012 NEAD Copyright Editora UNIASSELVI 2012 Elaboração: Prof. Ruy Piehowiak Revisão, Diagramação

Leia mais

Representação de números em máquinas

Representação de números em máquinas Capítulo 1 Representação de números em máquinas 1.1. Sistema de numeração Um sistema de numeração é formado por uma coleção de símbolos e regras para representar conjuntos de números de maneira consistente.

Leia mais

Exercícios Resolvidos Integrais de Linha. Teorema de Green

Exercícios Resolvidos Integrais de Linha. Teorema de Green Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Exercícios Resolvidos Integrais de Linha. Teorema de Green Exercício 1 Um aro circular de raio 1 rola sem deslizar ao longo

Leia mais

APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II z t t C C α y β y Colaboradores para elaboração da apostila: Elisandra Bär de Figueiredo, Enori Carelli, Ivanete Zuchi Siple, Marnei Luis Mandler, Rogério

Leia mais

Matemática. Euclides Roxo. David Hilbert. George F. B. Riemann. George Boole. Niels Henrik Abel. Karl Friedrich Gauss.

Matemática. Euclides Roxo. David Hilbert. George F. B. Riemann. George Boole. Niels Henrik Abel. Karl Friedrich Gauss. Matemática Jacob Palis Álgebra 1 Euclides Roxo David Hilbert George F. B. Riemann George Boole Niels Henrik Abel Karl Friedrich Gauss René Descartes Gottfried Wilhelm von Leibniz Nicolaus Bernoulli II

Leia mais

UNIDADE 4 FUNÇÕES 2 MÓDULO 1 FUNÇÃO QUADRÁTICA 1 - FUNÇÃO QUADRÁTICA. 103 Matemática e Lógica Unidade 04. a > 0 a < 0 > 0

UNIDADE 4 FUNÇÕES 2 MÓDULO 1 FUNÇÃO QUADRÁTICA 1 - FUNÇÃO QUADRÁTICA. 103 Matemática e Lógica Unidade 04. a > 0 a < 0 > 0 1 - FUNÇÃO QUADRÁTICA UNIDADE 4 FUNÇÕES 2 MÓDULO 1 FUNÇÃO QUADRÁTICA 01 É toda função do tipo f(x)=ax 2 +bx+c, onde a, b e c são constantes reais com a 0. Ou, simplesmente, uma função polinomial de grau

Leia mais

Coordenadas Polares Mauri C. Nascimento Dep. De Matemática FC Unesp/Bauru

Coordenadas Polares Mauri C. Nascimento Dep. De Matemática FC Unesp/Bauru Coordenadas Polares Mauri C. Nascimento Dep. De Matemática FC Unesp/Bauru Dado um ponto P do plano, utilizando coordenadas cartesianas (retangulares), descrevemos sua localização no plano escrevendo P

Leia mais

Karine Nayara F. Valle. Métodos Numéricos de Euler e Runge-Kutta

Karine Nayara F. Valle. Métodos Numéricos de Euler e Runge-Kutta Karine Nayara F. Valle Métodos Numéricos de Euler e Runge-Kutta Professor Orientador: Alberto Berly Sarmiento Vera Belo Horizonte 2012 Karine Nayara F. Valle Métodos Numéricos de Euler e Runge-Kutta Monografia

Leia mais

MATEMÁTICA TIPO A GABARITO: VFFVF. Solução: é a parábola com foco no ponto (0, 3) e reta diretriz y = -3.

MATEMÁTICA TIPO A GABARITO: VFFVF. Solução: é a parábola com foco no ponto (0, 3) e reta diretriz y = -3. 1 MATEMÁTICA TIPO A 01. Seja o conjunto de pontos do plano cartesiano, cuja distância ao ponto é igual à distância da reta com equação. Analise as afirmações a seguir. 0-0) é a parábola com foco no ponto

Leia mais

12) A círculo = π r 2. 13) A lateral cone = π.r.g. 16) V esfera = 18) A lateral pirâmide = 19) (y y 0 ) = m(x x 0 ) 20) T p+1 = a

12) A círculo = π r 2. 13) A lateral cone = π.r.g. 16) V esfera = 18) A lateral pirâmide = 19) (y y 0 ) = m(x x 0 ) 20) T p+1 = a MATEMÁTICA FORMULÁRIO 0 o 45 o 60 o sen cos tg base altura ) A triângulo = ) A círculo = π r x y ) A triângulo = D, onde D = x y x y ) A lateral cone = π.r.g ) sen (x)+ cos (x)= 4) A retângulo = base altura

Leia mais

Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de extremos

Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de extremos Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de etremos O Teorema de Taylor estabelece que sob certas condições) uma função pode ser aproimada na proimidade de algum ponto dado) por um polinómio, de modo

Leia mais

Aula 9 Plano tangente, diferencial e gradiente

Aula 9 Plano tangente, diferencial e gradiente MÓDULO 1 AULA 9 Aula 9 Plano tangente, diferencial e gradiente Objetivos Aprender o conceito de plano tangente ao gráfico de uma função diferenciável de duas variáveis. Conhecer a notação clássica para

Leia mais

Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y

Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y Capítulo Funções, Plano Cartesiano e Gráfico de Função Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos

Leia mais

Resolução da Prova da Escola Naval 2009. Matemática Prova Azul

Resolução da Prova da Escola Naval 2009. Matemática Prova Azul Resolução da Prova da Escola Naval 29. Matemática Prova Azul GABARITO D A 2 E 2 E B C 4 D 4 C 5 D 5 A 6 E 6 C 7 B 7 B 8 D 8 E 9 A 9 A C 2 B. Os 6 melhores alunos do Colégio Naval submeteram-se a uma prova

Leia mais

I. Cálculo Diferencial em R n

I. Cálculo Diferencial em R n Análise Matemática II Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Ano Lectivo 2010/2011 2 o Semestre Exercícios propostos para as aulas práticas I. Cálculo Diferencial em R n Departamento

Leia mais

É usual representar uma função f de uma variável real a valores reais e com domínio A, simplesmente por y=f(x), x A

É usual representar uma função f de uma variável real a valores reais e com domínio A, simplesmente por y=f(x), x A 4. Função O objeto fundamental do cálculo são as funções. Assim, num curso de Pré-Cálculo é importante estudar as idéias básicas concernentes às funções e seus gráficos, bem como as formas de combiná-los

Leia mais

Lista de Exercícios sobre trabalho, teorema de Green, parametrizações de superfícies, integral de superfícies : MAT 1153-2006.1

Lista de Exercícios sobre trabalho, teorema de Green, parametrizações de superfícies, integral de superfícies : MAT 1153-2006.1 Lista de Exercícios sobre trabalho, teorema de Green, parametrizações de superfícies, integral de superfícies : MAT 1153-2006.1 1. Fazer exercícios 1, 4, 5, 7, 8, 9 da seção 8.4.4 pgs 186, 187 do livro

Leia mais

CADERNO DE ATIVIDADES UMA PROPOSTA METODOLÓGICA PARA O ESTUDO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS POR MÉTODOS NUMÉRICOS.

CADERNO DE ATIVIDADES UMA PROPOSTA METODOLÓGICA PARA O ESTUDO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS POR MÉTODOS NUMÉRICOS. 1 CADERNO DE ATIVIDADES UMA PROPOSTA METODOLÓGICA PARA O ESTUDO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS POR MÉTODOS NUMÉRICOS. PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS MESTRADO EM ENSINO DE CIÊNCIAS

Leia mais

QUESTÕES COMENTADAS E RESOLVIDAS

QUESTÕES COMENTADAS E RESOLVIDAS LENIMAR NUNES DE ANDRADE INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA: QUESTÕES COMENTADAS E RESOLVIDAS 1 a edição ISBN 978-85-917238-0-5 João Pessoa Edição do Autor 2014 Prefácio Este texto foi elaborado para a disciplina Introdução

Leia mais

Matemática Aplicada II

Matemática Aplicada II Matemática Aplicada II 010G Cópia não autorizada. Reservados todos os MATEMÁTICA direitos APLICADA autorais. II 5E Editora Aline Palhares Desenvolvimento de conteúdo, mediação pedagógica e design gráfico

Leia mais

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL PARTE FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL.1 Funções Vetoriais de Uma Variável Real Vamos agora tratar de um caso particular de funções vetoriais F : Dom(f R n R m, que são as funções vetoriais de uma

Leia mais

Conjuntos numéricos. Notasdeaula. Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming. Dr. Régis Quadros

Conjuntos numéricos. Notasdeaula. Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming. Dr. Régis Quadros Conjuntos numéricos Notasdeaula Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming Dr. Régis Quadros Conjuntos numéricos Os primeiros conjuntos numéricos conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos

Leia mais

Aula 3 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS EM PAPEL DILOG. Menilton Menezes. META Expandir o estudo da utilização de gráficos em escala logarítmica.

Aula 3 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS EM PAPEL DILOG. Menilton Menezes. META Expandir o estudo da utilização de gráficos em escala logarítmica. Aula 3 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS EM PAPEL DILOG META Expandir o estudo da utilização de gráficos em escala logarítmica. OBJETIVOS Ao final desta aula, o aluno deverá: Construir gráficos em escala di-logarítmica.

Leia mais

AV1 - MA 12-2012. (b) Se o comprador preferir efetuar o pagamento à vista, qual deverá ser o valor desse pagamento único? 1 1, 02 1 1 0, 788 1 0, 980

AV1 - MA 12-2012. (b) Se o comprador preferir efetuar o pagamento à vista, qual deverá ser o valor desse pagamento único? 1 1, 02 1 1 0, 788 1 0, 980 Questão 1. Uma venda imobiliária envolve o pagamento de 12 prestações mensais iguais a R$ 10.000,00, a primeira no ato da venda, acrescidas de uma parcela final de R$ 100.000,00, 12 meses após a venda.

Leia mais

INSTITUTO TECNOLÓGICO

INSTITUTO TECNOLÓGICO PAC - PROGRAMA DE APRIMORAMENTO DE CONTEÚDOS. ATIVIDADES DE NIVELAMENTO BÁSICO. DISCIPLINAS: MATEMÁTICA & ESTATÍSTICA. PROFº.: PROF. DR. AUSTER RUZANTE 1ª SEMANA DE ATIVIDADES DOS CURSOS DE TECNOLOGIA

Leia mais

Notas de Cálculo Numérico

Notas de Cálculo Numérico Notas de Cálculo Numérico Túlio Carvalho 6 de novembro de 2002 2 Cálculo Numérico Capítulo 1 Elementos sobre erros numéricos Neste primeiro capítulo, vamos falar de uma limitação importante do cálculo

Leia mais

Funções. Funções. Você, ao longo do curso, quando apresentado às disciplinas de Economia, terá oportunidade de fazer aplicações nos cálculos

Funções. Funções. Você, ao longo do curso, quando apresentado às disciplinas de Economia, terá oportunidade de fazer aplicações nos cálculos Funções Funções Um dos conceitos mais importantes da matemática é o conceito de função. Em muitas situações práticas, o valor de uma quantidade pode depender do valor de uma segunda. A procura de carne

Leia mais

FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO. Caracterizar e mostrar o campo magnético produzido por uma carga a velocidade constante.

FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO. Caracterizar e mostrar o campo magnético produzido por uma carga a velocidade constante. FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO META Aula 8 Caracterizar e mostrar o campo magnético produzido por uma carga a velocidade constante. Mostrar a lei da circulação de Ampère-Laplace e a lei de Biot-Savart. Estudar

Leia mais

Equações Diferenciais Ordinárias

Equações Diferenciais Ordinárias Equações Diferenciais Ordinárias Uma equação diferencial é uma equação que relaciona uma ou mais funções (desconhecidas com uma ou mais das suas derivadas. Eemplos: ( t dt ( t, u t d u ( cos( ( t d u +

Leia mais

Notas de aulas. André Arbex Hallack

Notas de aulas. André Arbex Hallack Cálculo I Notas de aulas André Arbex Hallack Julho/007 Índice 0 Preliminares 0. Números reais.................................... 0. Relação de ordem em IR.............................. 3 0.3 Valor absoluto....................................

Leia mais

APLICAÇÕES DA DERIVADA

APLICAÇÕES DA DERIVADA Notas de Aula: Aplicações das Derivadas APLICAÇÕES DA DERIVADA Vimos, na seção anterior, que a derivada de uma função pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta tangente ao seu gráfico. Nesta,

Leia mais

Notas Para um Curso de Cálculo. Daniel V. Tausk

Notas Para um Curso de Cálculo. Daniel V. Tausk Notas Para um Curso de Cálculo Avançado Daniel V. Tausk Sumário Capítulo 1. Diferenciação... 1 1.1. Notação em Cálculo Diferencial... 1 1.2. Funções Diferenciáveis... 8 Exercícios para o Capítulo 1...

Leia mais

PUCRS FAMAT Exemplos de Equações Diferenciais Parciais- Prof. Eliete

PUCRS FAMAT Exemplos de Equações Diferenciais Parciais- Prof. Eliete PUCRS FAMAT Exemplos de Equações Diferenciais Parciais- Prof. Eliete Equação diferencial parcial (EDP) é a uma equação que envolve duas ou mais variáveis independentes ( x, y,z,t, K ) e derivadas parciais

Leia mais

Definição. A expressão M(x,y) dx + N(x,y)dy é chamada de diferencial exata se existe uma função f(x,y) tal que f x (x,y)=m(x,y) e f y (x,y)=n(x,y).

Definição. A expressão M(x,y) dx + N(x,y)dy é chamada de diferencial exata se existe uma função f(x,y) tal que f x (x,y)=m(x,y) e f y (x,y)=n(x,y). PUCRS FACULDADE DE ATEÁTICA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PROF. LUIZ EDUARDO OURIQUE EQUAÇÔES EXATAS E FATOR INTEGRANTE Definição. A diferencial de uma função de duas variáveis f(x,) é definida por df = f x (x,)dx

Leia mais

Universidade Federal de São João Del Rei - UFSJ

Universidade Federal de São João Del Rei - UFSJ Universidade Federal de São João Del Rei - UFSJ Instituída pela Lei 0.45, de 9/04/00 - D.O.U. de /04/00 Pró-Reitoria de Ensino de Graduação - PROEN Disciplina: Cálculo Numérico Ano: 03 Prof: Natã Goulart

Leia mais

Possibilitar ao candidato condições para que ele possa fazer uma breve revisão dos conteúdos no ensino fundamental.

Possibilitar ao candidato condições para que ele possa fazer uma breve revisão dos conteúdos no ensino fundamental. INTRODUÇÃO Esse trabalho abordará alguns conceitos importantes sobre a Matemática no Ensino Fundamental. Além desse material, indicamos que você leia livros, acesse sites relacionados à Matemática para

Leia mais

Métodos Quantitativos Prof. Ms. Osmar Pastore e Prof. Ms. Francisco Merlo. Funções Exponenciais e Logarítmicas Progressões Matemáticas

Métodos Quantitativos Prof. Ms. Osmar Pastore e Prof. Ms. Francisco Merlo. Funções Exponenciais e Logarítmicas Progressões Matemáticas Métodos Quantitativos Prof. Ms. Osmar Pastore e Prof. Ms. Francisco Merlo Funções Exponenciais e Logarítmicas Progressões Matemáticas Funções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas Objetivos

Leia mais

(Versão 1/09) Mauro Patrão. UnB - Departamento de Matemática

(Versão 1/09) Mauro Patrão. UnB - Departamento de Matemática Cálculo 1 (Versão 1/09) Mauro Patrão UnB - Departamento de Matemática 2 É permitido copiar e distriuir cópias verbatim (completas e idênticas) deste livro, mas qualquer modificação do mesmo é proibida.

Leia mais

2 A Derivada. 2.1 Velocidade Média e Velocidade Instantânea

2 A Derivada. 2.1 Velocidade Média e Velocidade Instantânea 2 O objetivo geral desse curso de Cálculo será o de estudar dois conceitos básicos: a Derivada e a Integral. No decorrer do curso esses dois conceitos, embora motivados de formas distintas, serão por mais

Leia mais

Tópico 3. Limites e continuidade de uma função (Parte 2)

Tópico 3. Limites e continuidade de uma função (Parte 2) Tópico 3. Limites e continuidade de uma função (Parte 2) Nessa aula continuaremos nosso estudo sobre limites de funções. Analisaremos o limite de funções quando o x ± (infinito). Utilizaremos o conceito

Leia mais

Capítulo 5 - Funções Reais de Variável Real

Capítulo 5 - Funções Reais de Variável Real Capítulo 5 - Funções Reais de Variável Real Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática I - 1 o Semestre 2011/2012 Matemática I 1/

Leia mais

Álgebra. SeM MiSTéRio

Álgebra. SeM MiSTéRio Álgebra SeM MiSTéRio Série SeM MiSTéRio Alemão Sem Mistério Álgebra Sem Mistério Cálculo Sem Mistério Conversação em Alemão Sem Mistério Conversação em Espanhol Sem Mistério Conversação em Francês Sem

Leia mais

3º Ano do Ensino Médio. Aula nº10 Prof. Daniel Szente

3º Ano do Ensino Médio. Aula nº10 Prof. Daniel Szente Nome: Ano: º Ano do E.M. Escola: Data: / / 3º Ano do Ensino Médio Aula nº10 Prof. Daniel Szente Assunto: Função exponencial e logarítmica 1. Potenciação e suas propriedades Definição: Potenciação é a operação

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBULAR 2011 1 a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBULAR 2011 1 a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBULAR a Fase Profa. Maria Antônia Gouveia. Questão. Considerando-se as funções f: R R e g: R R definidas por f(x) = x e g(x) = log(x² + ), é correto afirmar: () A função

Leia mais

Figura 2.1: Carro-mola

Figura 2.1: Carro-mola Capítulo 2 EDO de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes 2.1 Introdução - O Problema Carro-Mola Considere um carro de massa m preso a uma parede por uma mola e imerso em um fluido. Colocase o carro

Leia mais

FUNÇÕES E SUAS PROPRIEDADES

FUNÇÕES E SUAS PROPRIEDADES FUNÇÕES E SUAS PROPRIEDADES Í N D I C E Funções Definição... Gráficos (Resumo): Domínio e Imagem... 5 Tipos de Funções... 7 Função Linear... 8 Função Linear Afim... 9 Coeficiente Angular e Linear... Função

Leia mais

NO ESTUDO DE FUNÇÕES

NO ESTUDO DE FUNÇÕES 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO À DOCÊNCIA SEMANA DA MATEMÁTICA 2014 UTILIZAÇÃO DE SOFTWARES GRÁFICOS NO ESTUDO DE FUNÇÕES PIBID MATEMÁTICA 2009 CURITIBA

Leia mais

36 a Olimpíada Brasileira de Matemática Nível Universitário Primeira Fase

36 a Olimpíada Brasileira de Matemática Nível Universitário Primeira Fase 36 a Olimpíada Brasileira de Matemática Nível Universitário Primeira Fase Problema 1 Turbo, o caracol, está participando de uma corrida Nos últimos 1000 mm, Turbo, que está a 1 mm por hora, se motiva e

Leia mais

MATEMÁTICA 3. Resposta: 29

MATEMÁTICA 3. Resposta: 29 MATEMÁTICA 3 17. Uma ponte deve ser construída sobre um rio, unindo os pontos A e, como ilustrado na figura abaixo. Para calcular o comprimento A, escolhe-se um ponto C, na mesma margem em que está, e

Leia mais

A integral também é conhecida como antiderivada. Uma definição também conhecida para integral indefinida é:

A integral também é conhecida como antiderivada. Uma definição também conhecida para integral indefinida é: Integral Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. No cálculo, a integral de uma função foi criada para originalmente determinar a área sob uma curva no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas

Leia mais

Cálculo em Computadores - 2007 - trajectórias 1. Trajectórias Planas. 1 Trajectórias. 4.3 exercícios... 6. 4 Coordenadas polares 5

Cálculo em Computadores - 2007 - trajectórias 1. Trajectórias Planas. 1 Trajectórias. 4.3 exercícios... 6. 4 Coordenadas polares 5 Cálculo em Computadores - 2007 - trajectórias Trajectórias Planas Índice Trajectórias. exercícios............................................... 2 2 Velocidade, pontos regulares e singulares 2 2. exercícios...............................................

Leia mais

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS DA NATUREZA CRITÉRIOS ESPECÍFICOS DE AVALIAÇÃO

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS DA NATUREZA CRITÉRIOS ESPECÍFICOS DE AVALIAÇÃO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS DA NATUREZA CRITÉRIOS ESPECÍFICOS DE AVALIAÇÃO (Aprovados em Conselho Pedagógico de 27 de outubro de 2015) AGRUPAMENTO DE CLARA DE RESENDE CÓD. 152 870 No caso específico

Leia mais

FÍSICA. Exatas/Tarde Física e Matemática Prova A Página 1

FÍSICA. Exatas/Tarde Física e Matemática Prova A Página 1 FÍSICA 01 - A figura a seguir representa um eletroímã e um pêndulo, cuja massa presa à extremidade é um pequeno imã. Ao fechar a chave C, é correto afirmar que C N S (001) o imã do pêndulo será repelido

Leia mais

Métodos Matemáticos para Engenharia de Informação

Métodos Matemáticos para Engenharia de Informação Métodos Matemáticos para Engenharia de Informação Gustavo Sousa Pavani Universidade Federal do ABC (UFABC) 3º Trimestre - 2009 Aulas 1 e 2 Sobre o curso Bibliografia: James Stewart, Cálculo, volume I,

Leia mais

3.4 Movimento ao longo de uma curva no espaço (terça parte)

3.4 Movimento ao longo de uma curva no espaço (terça parte) 3.4-41 3.4 Movimento ao longo de uma curva no espaço (terça parte) Antes de começar com a nova matéria, vamos considerar um problema sobre o material recentemente visto. Problema: (Projeção de uma trajetória

Leia mais

Um estudo sobre funções contínuas que não são diferenciáveis em nenhum ponto

Um estudo sobre funções contínuas que não são diferenciáveis em nenhum ponto Um estudo sobre funções contínuas que não são diferenciáveis em nenhum ponto Maria Angélica Araújo Universidade Federal de Uberlândia - Faculdade de Matemática Graduanda em Matemática - Programa de Educação

Leia mais

Aula 6 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente

Aula 6 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente Aula 6 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente MA211 - Cálculo II Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual

Leia mais

Lista 4. 2 de junho de 2014

Lista 4. 2 de junho de 2014 Lista 4 2 de junho de 24 Seção 5.. (a) Estime a área do gráfico de f(x) = cos x de x = até x = π/2 usando quatro retângulos aproximantes e extremidades direitas. Esboce os gráficos e os retângulos. Sua

Leia mais

. Determine os valores de P(1) e P(22).

. Determine os valores de P(1) e P(22). Resolução das atividades complementares Matemática M Polinômios p. 68 Considere o polinômio P(x) x x. Determine os valores de P() e P(). x x P() 0; P() P(x) (x x)? x (x ) x x x P()? 0 P() ()? () () 8 Seja

Leia mais

ANÁLISE NUMÉRICA DEC - 1996/97

ANÁLISE NUMÉRICA DEC - 1996/97 ANÁLISE NUMÉRICA DEC - 996/97 Teoria de Erros A Teoria de Erros fornece técnicas para quantificar erros nos dados e nos resultados de cálculos com números aproximados. Nos cálculos aproximados deve-se

Leia mais

Prova 3 - Matemática

Prova 3 - Matemática Prova 3 - QUESTÕES OBJETIIVAS N ọ DE ORDEM: N ọ DE INSCRIÇÃO: NOME DO CANDIDATO: IINSTRUÇÕES PARA A REALIIZAÇÃO DA PROVA. Confira os campos N ọ DE ORDEM, N ọ DE INSCRIÇÃO e NOME, que constam na etiqueta

Leia mais

NIVELAMENTO 2007/1 MATEMÁTICA BÁSICA. Núcleo Básico da Primeira Fase

NIVELAMENTO 2007/1 MATEMÁTICA BÁSICA. Núcleo Básico da Primeira Fase NIVELAMENTO 00/ MATEMÁTICA BÁSICA Núcleo Básico da Primeira Fase Instituto Superior Tupy Nivelamento de Matemática Básica ÍNDICE. Regras dos Sinais.... Operações com frações.... Adição e Subtração....

Leia mais

Somatórias e produtórias

Somatórias e produtórias Capítulo 8 Somatórias e produtórias 8. Introdução Muitas quantidades importantes em matemática são definidas como a soma de uma quantidade variável de parcelas também variáveis, por exemplo a soma + +

Leia mais

Onde usar os conhecimentos os sobre função?

Onde usar os conhecimentos os sobre função? II FUNÇÃO E LOGARITMO Por que aprender função?... As funções exponenciais e logarítmicas estão presentes no estudo de fenômenos que envolvem taxas de crescimento e de decrescimento. Onde usar os conhecimentos

Leia mais

Departamento de Matemática - UEL - 2010. Ulysses Sodré. http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.

Departamento de Matemática - UEL - 2010. Ulysses Sodré. http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010. Matemática Essencial Extremos de funções reais Departamento de Matemática - UEL - 2010 Conteúdo Ulysses Sodré http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.

Leia mais

Aplicações de Derivadas

Aplicações de Derivadas Aplicações de Derivadas f seja contínua no [a,b] e que f '(x) exista no intervalo aberto a x b. Então, existe pelo menos um valor c entre a eb, tal que f '(c) f (b) f (a) b a. pelo menos um ponto c (a,

Leia mais

Cap. 7 - Fontes de Campo Magnético

Cap. 7 - Fontes de Campo Magnético Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física Física III 2014/2 Cap. 7 - Fontes de Campo Magnético Prof. Elvis Soares Nesse capítulo, exploramos a origem do campo magnético - cargas em movimento.

Leia mais

Resumo com exercícios resolvidos do assunto: Funções de duas ou mais variáveis.

Resumo com exercícios resolvidos do assunto: Funções de duas ou mais variáveis. www.engenhariafacil.weebly.com Resumo com exercícios resolvidos do assunto: (I) (II) (III) Funções de duas ou mais variáveis; Limites; Continuidade. (I) Funções de duas ou mais variáveis. No Cálculo I

Leia mais

Truques e Dicas. = 7 30 Para multiplicar fracções basta multiplicar os numeradores e os denominadores: 2 30 = 12 5

Truques e Dicas. = 7 30 Para multiplicar fracções basta multiplicar os numeradores e os denominadores: 2 30 = 12 5 Truques e Dicas O que se segue serve para esclarecer alguma questão que possa surgir ao resolver um exercício de matemática. Espero que lhe seja útil! Cap. I Fracções. Soma e Produto de Fracções Para somar

Leia mais

Notas para um curso de Cálculo 1 Duilio T. da Conceição

Notas para um curso de Cálculo 1 Duilio T. da Conceição Notas para um curso de Cálculo 1 Duilio T. da Conceição 1 2 Sumário 1 WOLFRAM ALPHA 5 1.1 Digitando Fórmulas e Expressões Matemáticas......... 6 1.1.1 Expoentes......................... 6 1.1.2 Multiplicação.......................

Leia mais

Exercícios Adicionais

Exercícios Adicionais Exercícios Adicionais Observação: Estes exercícios são um complemento àqueles apresentados no livro. Eles foram elaborados com o objetivo de oferecer aos alunos exercícios de cunho mais teórico. Nós recomendamos

Leia mais

Coordenadas Polares. Prof. Márcio Nascimento. marcio@matematicauva.org

Coordenadas Polares. Prof. Márcio Nascimento. marcio@matematicauva.org Coordenadas Polares Prof. Márcio Nascimento marcio@matematicauva.org Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Matemática

Leia mais

Estudaremos métodos numéricos para resolução de sistemas lineares com n equações e n incógnitas. Estes podem ser:

Estudaremos métodos numéricos para resolução de sistemas lineares com n equações e n incógnitas. Estes podem ser: 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Departamento de Matemática - CCE Cálculo Numérico - MAT 271 Prof.: Valéria Mattos da Rosa As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia

Leia mais

Cálculo. Álgebra Linear. Programação Computacional. Metodologia Científica

Cálculo. Álgebra Linear. Programação Computacional. Metodologia Científica UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL Cálculo Álgebra Linear Programação Computacional Metodologia Científica Realização: Fortaleza, Fevereiro/2012 UNIVERSIDADE

Leia mais

Plano de Aula. 1 - Como abrir o programa KmPlot

Plano de Aula. 1 - Como abrir o programa KmPlot Plano de Aula Aluno(a):PIBID MATEMÁTICA Escola: Escola Estadual de Ensino Médio Mestre Santa Bárbara Disciplina: Matemática Conteúdo: Função quadrática Assunto: Gráficos, coeficientes da função Público

Leia mais

Universidade Federal de São Carlos Departamento de Matemática 083020 - Curso de Cálculo Numérico - Turma E Resolução da Primeira Prova - 16/04/2008

Universidade Federal de São Carlos Departamento de Matemática 083020 - Curso de Cálculo Numérico - Turma E Resolução da Primeira Prova - 16/04/2008 Universidade Federal de São Carlos Departamento de Matemática 08300 - Curso de Cálculo Numérico - Turma E Resolução da Primeira Prova - 16/0/008 1. (0 pts.) Considere o sistema de ponto flutuante normalizado

Leia mais

Equações Diferenciais Ordinárias

Equações Diferenciais Ordinárias Capítulo 8 Equações Diferenciais Ordinárias Vários modelos utilizados nas ciências naturais e exatas envolvem equações diferenciais. Essas equações descrevem a relação entre uma função, o seu argumento

Leia mais

v m = = v(c) = s (c).

v m = = v(c) = s (c). Capítulo 17 Teorema do Valor Médio 17.1 Introdução Vimos no Cap. 16 como podemos utilizar a derivada para traçar gráficos de funções. Muito embora o apelo gráfico apresentado naquele capítulo relacionando

Leia mais

FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA. Cursos de Engenharia. Prof. Álvaro Fernandes Serafim

FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA. Cursos de Engenharia. Prof. Álvaro Fernandes Serafim FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA Cursos de Engenharia Prof. Álvaro Fernandes Serafim Última atualização: //7. Esta apostila de Álgebra Linear foi elaborada pela Professora Ilka Rebouças Freire. A formatação

Leia mais

Lista de Exercícios - Integrais

Lista de Exercícios - Integrais Lista de Exercícios - Integrais 4) Calcule as integrais indefinidas: 5) Calcule as integrais indefinidas: 1 6) Suponha f(x) uma função conhecida e que queiramos encontrar uma função F(x), tal que y = F(x)

Leia mais

Introdução aos Modelos Biomatemáticos - aulas

Introdução aos Modelos Biomatemáticos - aulas Introdução aos Modelos Biomatemáticos - aulas Teórico-Práticas Mestrado em BBC, 2008/2009 1 Capítulo 1 Nos exercícios 1) e 2) suponha que o crescimento é exponencial. 1. Entre 1700 e 1800 a população humana

Leia mais

Unidade 3 Função Logarítmica. Definição de logaritmos de um número Propriedades operatórias Mudança de base Logaritmos decimais Função Logarítmica

Unidade 3 Função Logarítmica. Definição de logaritmos de um número Propriedades operatórias Mudança de base Logaritmos decimais Função Logarítmica Unidade 3 Função Logarítmica Definição de aritmos de um número Propriedades operatórias Mudança de base Logaritmos decimais Função Logarítmica Definição de Logaritmo de um número Suponha que certo medicamento,

Leia mais

Aula 13 Técnicas de Integração

Aula 13 Técnicas de Integração Aula 13 Técnicas de Integração Objetivos da Aula Estudar técnicas especiais de integração: integração por substituição e por partes, mostrando que estes processos são ferramentas poderosas para facilitar

Leia mais

Teorema de Taylor. Prof. Doherty Andrade. 1 Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange. 2 Exemplos 2. 3 Exercícios 3. 4 A Fórmula de Taylor 4

Teorema de Taylor. Prof. Doherty Andrade. 1 Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange. 2 Exemplos 2. 3 Exercícios 3. 4 A Fórmula de Taylor 4 Teorema de Taylor Prof. Doherty Andrade Sumário 1 Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange 1 2 Exemplos 2 3 Exercícios 3 4 A Fórmula de Taylor 4 5 Observação 5 1 Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange

Leia mais