CAPÍTULO 6 TRANSFORMAÇÃO LINEAR

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1 INODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBA LINEA CAPÍULO 6 ANSFOMAÇÃO LINEA Introdução Muitos problemas de Matemática Aplicada envolvem o estudo de transformações, ou seja, a maneira como certos dados de entrada são transformados em dados de saída Em geral, o estudante está familiarizado com funções, tais como funções reais de uma variável real, as quais têm por domínio e contradomínio o conjunto dos números reais (ou subconjuntos de ), como, por exemplo, a função f indicada a seguir: f : x a f ( x) = x Essa função transforma um número real x qualquer em outro número real, no caso, seu cubo, isto é, x Estudam-se, ainda, funções com outros domínios e contradomínios, como, por exemplo: f : A ( x,y) a f( x,y) = x + y Neste capítulo, serão estudadas funções cujos conjuntos domínio e contradomínio são espaços vetoriais Como os elementos de um espaço vetorial são chamados, de modo geral, de vetores, essas funções associarão vetores do conjunto domínio com vetores do conjunto contradomínio Definição: Dados dois espaços vetoriais V e W, sendo V φ, uma função ou transformação de V para W é uma lei que associa a todo vetor x de V um único vetor em W, denotado por ( x) O vetor ( x) de W é chamado imagem de x V pela transformação Exemplo: considerando-se os espaços vetoriais reais definida por: : ( x,y, z) a ( x,y, z) = ( x + y,y z) 0,, no vetor: vê-se que leva o vetor ( ) ( 0,, ) = ( 0 +, ( ) ) = (, ), V = e W = e a transformação ransformação Linear

2 INODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBA LINEA Definição: Sejam V e W espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K Uma função uma transformação linear se: (a) ( v v ) = ( v ) + ( v ), v,v V α + = α α (b) ( v) ( v), v V, K : V W é Observações: ) Na transformação linear : V W, V é chamado espaço de saída e W é chamado espaço de chegada da transformação ) A transformação linear : V W é também chamada de aplicação linear; ela preserva a adição de vetores e a multiplicação de um vetor por um escalar ) A transformação linear : V V (isto é, W = V ) é chamada de operador linear Exemplos: ) Considere-se a aplicação definida por: : ( x,y) a( x,y) = ( x,y) é uma transformação linear (ou operador linear), como se mostrará a seguir (a) sejam v = ( x, ) e ( x, ) y v = y dois vetores do ( v v ) = [ ( x,y ) + ( x,y )] = [ ( x + x,y + )] = + y ; tem-se: ( ( x + x ),y + y ) = ( x x,y + y ) = ( x,y ) + ( x,y ) = ( v ) + ( ) v (b) considerando-se um vetor ( ) v = x, y e um número real α, tem-se: ( α v) = [ α( x,y) ] = ( αx, αy) = ( αx, αy) = α( x,y) = α( x,y) = α( v) FIGUA 9 É possível visualizar geometricamente a ação da transformação linear no plano de coordenadas cartesianas ortogonais, que representa geometricamente o espaço vetorial real Considerando-se, por exemplo, o vetor (,4) v =, que é o vetor-posição do ponto ( 4),,

3 tem-se: ( v) (, 4) = (, 4) = INODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBA LINEA Vê-se, na Figura 9, que a transformação promove uma rotação do vetor em torno do eixo Oy ) Seja :, definida por ( x,y, z) = ( x + z, y z) Mostrar que é uma transformação linear Mostrar-se-á que são satisfeitas as condições da definição: (a) Sejam v = ( x,y, ) e ( x,y, ) z v = z dois vetores do Então: ( v v ) = [ (( x,y, z ) + ( x,y, z ))] = ( x + x,y + y, z + ) = + z (( x + x ) + ( z + z ), ( y + y ) ( z + )) = = z ( x + x + z + z, y + y z z ) = = ( x + z, y z ) + ( x + z, y z ) = = ( x,y, z ) + ( x,y, z ) = ( v ) ( ) = + v v = x,y, z e α em-se: (b) Sejam ( ) ( αv) = [ α( x,y, z) ] = ( αx, αy, αz) = ( αx + αz, αy αz) ( x + z, y z) = α( x,y, z) α( v) = α = ) Sejam : V W 0 a aplicação nula, definida por 0 ( ) = 0 identidade, definida por ( v) são lineares v, v V, e Id:V V a aplicação Id = v, v V O leitor poderá verificar que essas transformações 4) Seja :, definida por ( x,y) = ( x,y,) Mostrar que não é uma transformação linear Deve-se mostrar que pelo menos uma das condições da definição não é satisfeita em-se: (a) Sejam v = ( x, ) e ( x, ) = y v = y dois vetores do ( v v ) = [ ( x,y ) + ( x,y )] = ( x + x,y + ) = + y ( x + x,y + y, ) = ( x,y, ) + ( x,y, ) ( v ) + ( v ) 0 Conclui-se, assim, que não é transformação linear em-se: 5) As seguintes transformações apresentam uma visão geométrica: (a) Expansão: : ( x,y) a( x,y) = α( x,y), sendo α Na Figura 0, mostram-se, para exemplificar, o vetor v = (,) e o vetor ( v) v ( v) (, ) = (, ) (, 4) = =, onde se considerou α = =, ou seja, (b) eflexão em torno do eixo Ox:

4 : ( x,y) a( x,y) = ( x, y) INODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBA LINEA Considerando-se, por exemplo, o vetor v = (, ), tem-se que ( v) (, ) = (, ) vetores são mostrados na Figura = Esses FIGUA 0 FIGUA (c) eflexão na origem: : ( x,y) a( x,y) = ( x, y) A imagem do vetor v = (,) por essa transformação é ( v) = (, ) = (, ) vê na Figura, conforme se d) otação de um ângulo θ no sentido anti-horário: : ( x,y) a ( x,y) = ( xcosθ ysenθ,ycosθ + xsenθ)

5 INODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBA LINEA omando-se, novamente, o vetor v = (,) e considerando-se um ângulo de rotação tem-se: ( x,y) ( cos( 60 ) sen( 60 ), cos( 60 ) + sen( 60 ) =, ou seja, tem-se o vetor ( ), =, +, mostrado na Figura 0 = 60 θ, FIGUA FIGUA (e) eflexão em torno da reta : ( x,y) a( x,y) = ( y,x) y = x: Considerando-se, agora, o vetor v = (,), obter-se-á, pela transformação, o vetor ( v) (,) =, os quais são simétricos em relação à reta y = x, como mostra a Figura 4 6) Sejam: ( ) ( ) M n o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem n sobre o corpo e B uma matriz fixa Verificar se é linear a transformação M n

6 : Mn A ( ) Mn( ) a( A) = AB BA INODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBA LINEA Verificar-se-á se são satisfeitas as condições da definição (a) Sejam A e C duas matrizes de M ( ) ( A) = AB BA e ( C) CB BC então: = ; n em-se: ( A + C) = ( A + C) B B( A + C) = AB + CB BA BC = ( AB BA) + ( CB BC) = ( A) + ( C) (b) Sejam A M ( ) e α em-se: n ( α A) = ( αab ) B( αa) = α( AB) α( BA) = α( AB BA) = α( A) Conclui-se, de (a) e (b), que é uma transformação linear 7) Considere-se a aplicação : P ( ) M ( ) Figura 4, definida por: ( ) a0 + a a a0 + at + at = a a a Mostrar que é uma transformação linear Deve-se mostrar que são satisfeitas as condições da definição (a) Sejam p ( t) = a + at + a e p ( t) = b + b t + b dois elementos de P ( ) 0 t 0 t Então: ( p ( t) + p ( t) ) = ( a + at + a t + b + bt + b )= = ( a + b ) + ( a + b ) t + ( a + b ) 0 0 t a0 + a + b0 + b a = a + b a + b a ( p ( t) ) ( p ( t) ) = + Assim, ( p ( t) + p ( t) ) = ( p ( t) ) ( p ( t) ) + + b a0 + a = b a (b) Sejam p ( t) = a + at + a um elemento de ( ) 0 t [ 0 0 t ] = a b0 + b b + = a a b b b P e α em-se:

7 INODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBA LINEA αa0 + αa αa αat + αat = αa αa αa ( α pt ( )) = ( αa + ) = a0 + a a = α = α a a a 0 ( pt ( )) De (a) e (b), conclui-se que é uma transformação linear eorema: Sejam V e W dois espaços vetoriais reais e B { v,v, L } de V Dados =,v n uma base ordenada w,w, L,wn elementos arbitrários de W, existe uma única transformação linear :V W tal que ( v ) w Demonstração: Hipóteses: B { v,v, L } =, ( v ) = w,, ( v n ) wn = =,v n é base de V; w,w, L,wn são elementos arbitrários de W ese: existe uma única transformação linear ( v n ) = wn (i) Existência Seja :V W tal que ( v ) w v V Então, existem números reais α, α, L, αn tais que: v = α v + α v + L + α n v n Define-se a seguinte transformação: : V v W ( v ) = α w + α w + L + αn w n a =, ( v ) w =,, Observe-se que está bem definida, pois α, α, L, αn são únicos Além disso, tem-se: ( v) = ( α v + α v + + α v ) = α ( v ) + α ( v ) + L + α ( v ) L n n n n ; conclui-se, assim, que, para i =,, L, n, tem-se ( v i ) = wi (ii) Unicidade Suponha-se que existe uma transformação linear : V W tal que ( v i ) = wi, para i =,, L,n Então, vem: ( v) = ( α v + α v + + α v ) = α ( v ) + α ( v ) + L + α ( v ) = L n n n n = α w + αw + L + αn wn = ( v), de onde se segue que = Observação: com este teorema, pode-se afirmar que as transformações lineares são determinadas conhecendo-se apenas seu valor nos elementos de uma base de seu espaço de saída Propriedades das ransformações Lineares Para toda transformação linear ( P ) ( 0 ) = 0 :V W, são válidas as seguintes propriedades:

8 De fato, tem-se: ( 0 ) = ( 0 v) = 0 ( v) = 0, v V ( P ) ( v) = ( v), v V De fato, tem-se: ( v) = ( v) = ( v) = ( v) ( P ) ( v v) = ( v) ( v) INODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBA LINEA, v,v V Com efeito, tem-se: ( v v ) = ( v + ( v )) = ( v ) + ( v ) = ( v ) ( ) v n ( P 4) ivi = αi( vi ) i = De fato, tem-se: n i= n α, v i V, α i K; i =,, L, n i= α ivi = ( α v + α v + L + α v ) = ( α v ) + ( α v ) + L + ( α v ) = ( v ) + α ( v ) + + α ( v ) = ( v ) n n n = α L n n αi ( P 5) Se i= i U V como subespaço vetorial, então ( U) W como subespaço vetorial Sugere-se demonstrar a afirmação Observações: ) Da ª propriedade, decorre que, se uma transformação é tal que ( 0) 0, então não é linear essalte-se, no entanto, que a condição de que ( 0 ) = 0 não é suficiente para que seja linear ) A 4ª propriedade mostra que a transformação linear preserva combinações lineares Diz-se, então, que a transformação linear satisfaz o princípio de superposição Exemplo: considere-se uma transformação linear : P ( ) 0 t condições: (,, ) = t, (,, ) = + t e (,, ) t + satisfazendo as seguintes 00 = t Determinar a expressão de De acordo com os espaços de saída e de chegada de, esta transforma vetores do em polinômios de grau menor ou igual a, com coeficientes reais Para que seja possível construir x,y, z a expressão de aplicada em um vetor ( ), é preciso conhecê-la aplicada nos

9 INODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBA LINEA vetores de uma base do seu espaço de saída, no caso, o É possível mostrar que o conjunto {(,, ),( 0,, ),( 0,, 0) } B = é uma base deste espaço e, portanto, são conhecidas as imagens desses vetores, pela transformação x,y, z omando um vetor genérico ( ) B e, portanto, pode-se escrever: ( x,y, z) a(,, ) + b( 0,, ) + c( 0,, 0) ou seja, =, ( x,y, z) ( a + b + c,a + b,a) =, de onde se segue que x = a + b + c y = a + b, z = a e, portanto, a = z b = y z c = x y Logo, pode-se escrever: ( x,y, z) z(,, ) + ( y z)( 0,, ) + ( x y)( 00,, ) =, este é uma combinação linear dos vetores da base Aplicando-se a transformação em ambos os lados desta igualdade, vem: ( x,y, z) ( z(,, ) + ( y z)( 0,, ) + ( x y)( 0,, 0) ) = Pela propriedade ( P ), tem-se: ( x,y, z) = z(,, ) + ( y z) ( 0,, ) + ( x y) ( 0,, 0) = ( t) + ( y z)( + t t ) + ( x y)( t t ) = z + ( y + z) + ( x 4z) t + ( x y + z) t = x,y, z Assim, para qualquer vetor ( ) ( x,y, z) ( y + z) + ( x 4z) t + ( x y z) t = +,, tem-se que que é a expressão procurada da transformação 4 Núcleo e Imagem Definição: O conjunto imagem de uma transformação linear ( ) { w W; v V / ( v) w} Im = = : V W é o conjunto: Assim, a imagem de é constituída dos vetores de W que são imagem de pelo menos um vetor de V, através da aplicação É claro que, de maneira geral, tem-se que ( ) pode ocorrer, entretanto, que Im ( ) = W Im W ; Definição: O núcleo de uma transformação linear : V W é o conjunto:

10 INODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBA LINEA Ker = v V / v = 0 ( ) { ( ) } Observações: ) A notação Ker ( ) para núcleo de deve-se à palavra inglesa kernel, que significa núcleo ) O núcleo de é um subconjunto de V, isto é, Ker( ) V ) ambém se pode fazer referência ao núcleo de como nulidade de, com a notação Nul ( ) 4) Quando se consideram funções da forma: f : A x a B y = f ( x), ou seja, funções reais de uma variável real, o conjunto dos elementos de A tais que ( x) = 0 o conjunto dos zeros da função f, ou seja, das raízes reais da equação f ( x) = 0 f é Esses são os valores da variável x que anulam a função f, de onde se origina a expressão nulidade da função No caso de transformações lineares, não se utiliza a expressão zero da transformação para um vetor v tal que ( v) = 0 levado por ela ao vetor nulo do espaço de chegada Diz-se, apenas, que v pertence ao núcleo de e, portanto, é A Figura 5 mostra a representação gráfica de uma transformação linear conjuntos Ker( ) V, no qual se mostra um vetor u tal que ( u) = 0, e Im( ) W mostram os vetores w, imagem de um vetor : V W, com os, no qual se v V, e o vetor nulo 0, imagem do vetor u V FIGUA 5 Exemplos: ) Considere-se a transformação linear, definida por: : ( x,y) a ( x,y) = ( x y, x y, 0) Determinar os conjuntos Ker ( ) e ( ) Im Para que um vetor v = ( x,y) pertença ao núcleo de, é preciso que ( v) = 0, ou seja, deve-se

11 INODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBA LINEA x,y = 0, 00, Assim, vem: ter: ( ) ( ) ( x y, x y, 0) = ( 000,, ), de onde se segue que { / y = x} ( ) ( x,y) Ker =, isto é, são os pares ordenados ( ) O conjunto imagem de é: ( ) = w ; v / ( v) y = x Portanto, o núcleo de é o conjunto: { w} Im = x,y que pertencem à reta de equação y = x ou seja, são as ternas ( x,y, z) do tipo ( x y, x y, 0) Um sistema de geradores para o conjunto imagem é [(,, 0),(, 0, )], Como esses dois vetores são LD, pois são múltiplos um do outro, pode-se retirar um deles, por exemplo, (, 0, ) Então, conclui-se que Im ( ) = [(,, 0) ], ou seja, Im ( ) ( x,y, z) imagem geométrica desse conjunto é a reta do y = x z = 0 Da análise efetuada, têm-se as seguintes conclusões: () os pares ordenados do que pertencem à reta de equação: são levados, por esta transformação, a elemento ( ) { / y = xe = 0} = z A y = x pertencem ao núcleo de, isto é, 0, 0, 0 ; () os demais elementos do são levados, por, à reta do Essas conclusões são mostradas na Figura 6 de equação y z = x = 0 FIGUA 6 ) Considere-se a transformação linear : ( x,y, z) a ( x,y, z) = ( x,y, 0)

12 INODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBA LINEA x,y,z v = Para que um vetor v = ( ) pertença ao núcleo de, é preciso que ( ) 0, ou seja, devese ter: ( x,y,z) ( 0, 0, 0) = Assim, vem: (,y, 0 ) ( 0, 0, 0) x =, de onde se conclui que x = y = 0 e z pode ser qualquer número real Portanto, o núcleo de é o conjunto: ( ) = {(,,z)/ z } Ker 0 0 O conjunto imagem de é: { w} ( ) = w ; v / ( v) Im = ou seja, são as ternas ( x,y, z) do tipo (,y,0) Portanto, ( ) = {( x,y, )/ x, y } Im 0, x eorema: Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K e linear Então: (a) Ker ( ) é um subespaço vetorial de V (b) Im ( ) é um subespaço vetorial de W :V W uma transformação Demonstração: Hipótese: :V W uma transformação linear eses: (a) Ker ( ) é um subespaço vetorial de V (b) Im ( ) é um subespaço vetorial de W (a) Para provar que Ker ( ) é um subespaço vetorial de V, devem-se mostrar que são verdadeiros os três axiomas da definição de espaço vetorial De fato, tem-se: () como ( 0 ) = 0, segue-se que 0 Ker( ) () sejam u e u dois elementos de Ker ( ) Então, ( u) = 0 e ( u' ) = 0 transformação linear, vem: ( u + u' ) = ( u) + ( u' ) = = 0 e, portanto, u u' Ker( ) + u e K () sejam Ker( ) como é uma transformação linear, vem: ( αu) = α( u) = α0 = 0, de onde se conclui que u Ker( ) Assim, sendo uma α Sendo u um elemento de Ker ( ), segue-se que ( u) = 0 α Então, De (), () e (), conclui-se que Ker ( ) é um subespaço vetorial de V Escreve-se: Ker( ) V (b) Mostrar-se-á, agora, que Im ( ) é um subespaço vetorial de W () Como ( 0 ) = 0, segue-se que 0 Im ( ) () Sejam w e w dois elementos de Im ( ) Então, existem elementos u e u em V tais que ( u) = w e ( u' ) w' ( u + u' ) = ( u) + ( u' ) = w + w' = Assim, sendo uma transformação linear, vem: se

13 INODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBA LINEA w + w' Im e, portanto, ( ) w e K () Sejam Im ( ) ( u) = w ( α u) α( u) = αw α Se Im ( ) Por hipótese, é transformação linear; então: =, de onde se conclui que α w Im ( ) w, segue-se existe um elemento u V tal que De (), () e (), conclui-se que Im ( ) é um subespaço vetorial de W Escreve-se: Im ( ) W se Definição: Seja dim Im ( ) = posto de ; Ker( ) = dim nulidade de :V W uma transformação linear Define-se: Exemplos: : M ) Considere-se a transformação linear ( ) a b = ( a b c,a + c,b + d) c d 5 Determinar Ker ( ) e ( ) a c b d Seja Ker( ) a b = c d ou seja, ( 0, 0, 0) ( a 5b c,a + c,b + d) = ( 0, 0, 0),, de onde vem que: a 5b c = 0 a + c = 0 b + d = 0, definida por: Im, assim como as dimensões desses espaços Por definição do núcleo de, tem-se: esolvendo-se esse sistema linear, obtêm-se: a b c = d = d = d Assim: a b Ker( ) = M ( ) / a = b = d e c = d, d, c d ou, equivalentemente, d d Ker( ) = M ( ) / d d d Encontrar-se-á uma base para esse espaço

14 INODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBA LINEA d d Ker d d, pode-se escrever: omando-se um elemento ( ) d d d = d d Então, = B é base de Ker ( ) e, portanto, Ker( ) = dim Os elementos ( x,y, z) que pertencem ao conjunto ( ) do tipo ( a 5b c,a + c,b + d) Im, pela própria definição de, são, onde a, b, c e d são os elementos da matriz a b c d Para encontrar uma base para Im ( ), escreve-se: ( a 5b c,a + c,b + d) = a( 0,, ) + b( 50,, ) + c( 0,, ) + d( 0, 0, ) Assim, S = {(, 0, ),( 50,, ),( 0,, ),( 0, 0, )} é um sistema de geradores para ( ) Im Para encontrar uma base desse espaço, a partir desse sistema de geradores, conforme se viu anteriormente, constrói-se uma matriz com os vetores do conjunto de geradores e escalona-se a matriz As linhas não nulas da matriz resultante do escalonamento serão vetores LI, os quais formarão a base procurada Então: L + L 5 0 L L L L L L Então B ' = {(, 0, ),( 05,, ),( 0, 0, )} é base de Im ( ) e, portanto, Im ( ) = dim [ ] ) Determinar um operador linear : tal que Im( ) = (,, ),(,, ) Observe-se que os vetores (,, ) e (,, ) são LI Considere-se a base canônica { e,e, } do e seja x,y, z tomando ( ) : tal que ( e ) (,, ), tem-se: ( x,y, z) x(, 0, 0) + y( 00,, ) + z( 0, 0, ) = xe + ye + ze Então: = 0 0 =, ( e ) = (, ) e ( e ) ( 0, 0 0), ( x,y, z) ( xe + ye + ze ) = ( xe ) + ( ye ) + ( ze ) = x( e ) + y( e ) + z( ) = = e (,, ) y(,, ) + z( 0, 0, 0) = ( x + y, x y, x + y) x + Assim, ( x,y, z) ( x + y, x y, x + y) = e =, Logo, ) Seja : a transformação linear definida por ( x,y, z) = ( x + y, x y + z) (a) Determinar uma base e a dimensão de Ker ( ) Por definição, tem-se: { } ( ) ( x,y, z) / ( x,y, z) ( 00, ) Ker = =

15 INODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBA LINEA da seguinte forma: Assim, Ker ( ) é constituído dos vetores do ( x,y, z) ( x + y, x y + z) ( 0, 0) = =, ou seja, x + y = 0 x y + z, = 0 de onde se conclui que y = x e z = x Portanto, os vetores do que pertencem ao x, x, x, x, isto é, núcleo de são da forma ( ) ( ) = {( x, x, x) / x } = { x(,, ) / x } = [(,, ) ] Logo, {(,, ) } é uma base de Ker ( ) e dim Ker( ) = Ker (b) Determinar uma base e a dimensão de Im ( ) em-se, por definição: ( ) = {( x + y, x y + z) / x,y, z } = { x(, ) + y(, ) + z( 0, )/ x,y, z } Im Assim, S = [(, ),(, ),( 0, )] é um sistema de geradores para ( ) Im Para encontrar uma base desse espaço, a partir desse sistema de geradores, constrói-se uma matriz com os vetores do conjunto de geradores e escalona-se a matriz As linhas não nulas da matriz resultante do escalonamento serão vetores LI, os quais formarão a base procurada Então: 0 L L L 0 L L 0 L Então B ' = {(, ),( 0, )} é base de Im ( ) e, portanto, Im ( ) = 0 dim 5 Operações com ransformações Lineares ) Adição Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K e lineares Chama-se adição de F com G a aplicação ( F G)( v) = F( v) + Gv ( ), v V + F : V W e G :V W transformações F + G:V W tal que Propriedades: dadas as transformações lineares operação de adição satisfaz as propriedades: a) Comutativa: F + G = G + F b) Associativa: F + ( G + H) = ( F + G) + H c) Elemento Neutro: é a transformação linear nula : V W satisfazendo: F + N = N + F = F F : V W, G : V W e H : V W, a N, definida por N( v), v V = 0, d) Elemento Oposto: considerada a transformação linear F : V W, o elemento oposto da operação de adição é a transformação ( F ): V W, definida por ( F)( v) = v, v V, que

16 INODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBA LINEA F + F = F + F = satisfaz: ( ) ( ) N Proposição: Sejam: V e W espaços vetoriais sobre um corpo K e duas transformações lineares Então Demonstração: Hipótese: F e G são transformações lineares ese: F + G é transformação linear F + G é uma transformação linear (a) Sejam u e v dois elementos de V em-se, por definição, que: ( F + G)( u + v) = F( u + v) + Gu ( + v) Como, por hipótese, F e G são transformações lineares, pode-se escrever: ( F + G)( u + v) = F( u + v) + Gu ( + v) = [ F( u) + F( v) ] + [ Gu ( ) + G( v) ] = = [ F ( u) + G( u) ] + [ F( v) + Gv ( )] = ( F + G)( u) + ( F + G)( v) Assim, ( F + G)( u + v) = ( F + G)( u) + ( F + G)( v) (b) Sejam u V e α K ; tem-se: ( F + G)( αu) = F( αu) + G( αu) = αf( u) + αgu ( ) = α[ F( u) + Gu ( )] = α[ ( F + G)( u) ] De (a) e (b), conclui-se que F + G é uma transformação linear F : V W e G : V W ) Subtração Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K e lineares Chama-se subtração das transformações F e G a aplicação ( F G)( v) = F( v) Gv ( ), v V F : V W e G :V W transformações F G :V W tal que A subtração de F e G é a adição de F com a transformação oposta de G, ou seja, com G; assim, a subtração de F e G é obtida fazendo-se: F G = F + ( G) É claro que esta operação satisfaz as mesmas propriedades da adição de transformações ambém é possível demonstrar que é verdadeira a proposição enunciada a seguir Proposição: Sejam: V e W espaços vetoriais sobre um corpo K e duas transformações lineares Então F G é uma transformação linear F : V W e G : V W ) Multiplicação de uma transformação linear por um escalar Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K, K F : V Wuma transformação linear e α Chama-se multiplicação da transformação F pelo número α a aplicação ( α F) : V W tal que ( F)( v) = αf( v), v V α Propriedades: dadas as transformações lineares β, a operação de multiplicação por escalar satisfaz as propriedades: F : V We G : V W e os escalares α e

17 INODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBA LINEA α βf = β αf = αβ a) ( ) ( ) ( )F α α + α b) ( F + G) = F G α β α + β c) ( + ) F = F F d) F = F É possível demonstrar que é verdadeiro o resultado seguinte Proposição: Sejam: V e W espaços vetoriais sobre um corpo K, α F é uma transformação linear F : V W e α K Então 4) Composição de ransformações Lineares Sejam: V, U e W espaços vetoriais sobre um corpo K e F :V U e G: U W transformações lineares Chama-se transformação composta de G com F, denotada por a aplicação G o F :V W, definida por: ( G o F)( v) = G( F( v) ), v V A representação gráfica é mostrada na Figura 7 G o F, FIGUA 7 Assim, tem-se: FIGUA 8 Observação: a composição de G com F, denotada por Go F, é lida G composta com F ou, então, G bola F Não se trata, evidentemente, do produto de G por F, denotado por Além disso, tem-se, em geral, que ( G F)( v) ( F og)( v) G F o, ou seja, G composta com F é diferente, em geral, de F composta com G Portanto, a composição de transformações lineares não é comutativa

18 INODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBA LINEA Proposição: Sejam: V, U e W espaços vetoriais sobre um corpo K e F :V U e G: U W transformações lineares Então, Demonstração: Hipótese: F e G são transformações lineares ese: G o F é transformação linear G o F :V W é uma transformação linear (a) Sejam u e v dois elementos de V em-se, por definição, que: ( G F)( u + v) = G( F( u + v) ) o Como, por hipótese, F é uma transformação linear, pode-se escrever: ( G F)( u + v) = G( F( u + v) ) = G( F( u) + F( v) ) o Por sua vez, G é uma transformação linear; então: G ( F( u) + F( v) ) = G( F( u) ) + G( F( v) ) = ( G o F)( u) + ( G of)( v) Assim, ( G o F)( u v) = ( G of)( u) + ( G of)( v) (b) Sejam + u V e α K; tem-se: ( G of)( α u) = G( F( αu) ) = G( αf( u) ) = αg( F( u) ) = α( G of)( u) De (a) e (b), conclui-se que G o F é uma transformação linear Para o caso dos operadores lineares, são válidas as propriedades que se seguem Propriedades: Sejam: V, um espaço vetorial sobre um corpo K; F :V V, G:V V e H:V V operadores lineares Então, são válidas as propriedades: o o = a) Associativa: F ( G H) ( F G) H o o b) Elemento Neutro: é o operador linear identidade Id : V V, definido por Id ( v) v, v V =, satisfazendo: F o Id = Id of = F c) Distributiva: - à esquerda: F o ( G + H) = F og + F oh - à direita: ( G + H) o F = G of + H of d) Elemento Inverso: considerado o operador linear inversível F : V V, o elemento inverso da composição de transformações é o operador F :V V tal que F of = F of = Id Observação: as transformações lineares inversíveis serão estudadas no Capítulo 7 Exemplo: dadas as transformações lineares: F :, G : e H :, definidas por: F ( x,y) = ( x + y, x y, x), G ( x,y, z) = ( x y, x + z) e H( x,y) ( x y,y, x + y) =, determinar:

19 (a) = F + H em-se: INODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBA LINEA ( x,y) = F( x,y) + h( x,y) = ( x + y, x y, x) + ( x y,y, x + y) = ( 7 x + y, x y, 5x + 4y) (b) G o F ( G o F)( x,y) = G( F( x,y) ) = G( x + y, x y, x) = ( x + y x + y, x + y + x) = ( y, x + y) (c) F F = F of ( x,y) = ( F of)( x,y) = F( F( x,y) ) = F( x + y, x y, x) = ( x + y + x y, x + y x + y, x + y) = ( x, y, x + y) = Exercícios Propostos ) Seja ( ) M n o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem n e B uma matriz fixa deste espaço Mostrar que a aplicação F : M n ( ) M ( ), definida por: ( X) BX, X M ( ) um operador linear n F é = n ) Sabendo que é um operador linear do tal que (, ) = (, ) e ( 0, ) (, ) determinar a expressão de ( x,y) : ( x,y) = ( x + y, 5 x + y) =, ) Considere-se a transformação linear definida por: ( x,y, z,t) = ( x + y z, x y + z t, x + z t) Determinar uma base e a dimensão para Im ( ) e Ker ( ) : Base de Im ( ) :{(,, ),( 0,, )}; dim Im ( ) = Base de Ker ( ) : {(, 0,, ),( 04,,, )}; dim Ker( ) = 4) Determinar um operador do y = x z = 0 cujo núcleo é constituído pelos pontos da reta de equação e cuja imagem é constituída pelos pontos do plano de equação x + y + z = 0 5) Sendo ( x,y) = ( x y, x + y, x y) e G( x,y,z) ( x y + z, x z) lineares, determine a dimensão de Ker( G o ) e de ( G ) : ( x,y, z) = ( 4 x y z, x + y, z) = duas transformações Im o : dimker( G o ) = 0 e dimimg ( o ) =