Universidade Federal de São Carlos Departamento de Matemática Curso de Cálculo Numérico - Turma E Resolução da Primeira Prova - 16/04/2008

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1 Universidade Federal de São Carlos Departamento de Matemática Curso de Cálculo Numérico - Turma E Resolução da Primeira Prova - 16/0/ (0 pts.) Considere o sistema de ponto flutuante normalizado F (, 6,, ) = {±(0.b 1 b b 3 b b 5 b 6 ) e b i = 0 ou 1 para todo i e e }. Note que num sistema normalizado, se o número representado for diferente de zero, então necessariamente b 1 0. (a) Qual o menor número positivo e o maior número positivo representáveis? Resposta: Menor positivo representável: +( ) = 1 = 1 8 = 0.15 Maior positivo representável: +( ) = ( ) = = (b) Quantos números no total podem ser representados nesse sistema? Resposta: Se o número não é o zero, temos possibilidades para o sinal, 1 possibilidade para b 1, duas possibilidades para cada um dentre b, b 3, b, b 5 e b 6 e ( ) + 1 = 5 possibilidades para o expoente. Além disso, temos o zero. Isso dá um total de = = 31 números representáveis. (c) Represente, se possível, o número (0.) 10 nesse sistema. Justifique sua resposta. Resposta: (0.) 10 +( ). Não é igualdade, pois esse número é representado como uma dízima periódica em base. (d) Represente, se possível, o número (0.1) 10. Justifique sua resposta. Resposta: Como (0.1) 10 = (0.) 10 /, sua representação só poderia ser +( ) 3. No entanto, o expoente 3 está abaixo do limite inferior e portanto temos a condição de underflow. Esse número seria representado como zero.. (0 pts.) Mostre que a equação x +ln x = 0 possui exatamente uma raiz. Use bisecção para encontrar uma aproximação para essa raiz com duas casas decimais exatas. Para facilitar suas contas, use a tabela no verso desta folha. Resposta: Para mostrar que essa equação tem apenas uma solução, poderíamos usar o método do gráfico, plotando os gráficos de x e de ln x para x > 0. Nesse intervalo, x é estritamente crescente, enquanto que ln x é estritamente decrescente, logo os gráficos dessas funções somente podem se intersectar no máximo uma vez. Como para x próximo de zero temos x próximo de zero e ln x positivo e grande, podemos concluir que os gráficos vão se intersectar exatamente uma vez. Há portanto uma única raiz. Outra maneira de ver isso é calcular a derivada de f(x) = x + ln x, que é f (x) = x + 1 x. Esta é estritamente positiva quando x > 0 e portanto f(x) é estritamente crescente nesse intervalo. Como para x próximo de zero temos f(x) < 0, concluímos que o gráfico de f(x) vai intersectar o eixo-x exatamente uma vez e portanto a equação f(x) = 0 tem exatamente uma raiz. Para um intervalo contendo a raiz temos: f(0.5) 0. < 0 e f(1) = 1 > 0, logo a raiz está no intervalo [0.5, 1]. Usando o método da bissecção, cujos dados se encontram na tabela, vemos que α 0.65 com duas casas decimais exatas (isto é, com erro absoluto inferior a ) como requerido.

2 3. (0 pts.) Mostre que a equação x x + = 0 tem exatamente uma raiz real. Usando A(x) = 1 encontre um intervalo contendo a raiz e α 0 = 0.5 para que o MIL tenha garantia de convergência. Em seguida, use o MIL para encontrar uma aproximação para a raiz com casas decimais de exatidão. Use a tabela no verso desta folha. Resposta: Seja f(x) = x x +. Para esta questão vamos precisar de um pouco de Cálculo. Usando o método do gráfico como na questão anterior, vemos que os gráficos de x e somente podem se intersectar uma vez, e isso acontece x + em algum ponto do intervalo [0, 1], pois f(0) = 1 < 0 e f(1) = 1 3 > 0. Como esta questão requer o MIL, devemos usar ϕ(x) = x + A(x)f(x), onde A(x) = 1 foi dado. A aproximação inicial α 0 = 0.5 também foi dada. Devemos, portanto, encontrar um intervalo I grande o bastante para conter α perto do seu centro e conter também α 0. Para todo x nesse intervalo, precisamos ter ϕ (x) M < 1 para alguma constante M que devemos encontrar. Mas qual será esse intervalo? Primeiro vamos encontrar ϕ (x). Como ϕ(x) = x 1 f(x), então ϕ (x) = 1 1 f (x). Mas f (x) = x + (x + ), logo 1 ϕ (x) = 1 x (x + ). Vamos estudar o comportamento de ϕ no intervalo [0, 1]. De fato, para garantir que haja um intervalo centrado na raiz, por causa de α 0 = 0.5 será preciso que o extremo superior do intervalo seja maior ou igual a 1. (por que?). Como ϕ (x) = 1 + (x+), vemos que ϕ (x) < 0 quando x está no intervalo 3 [0, 1.], e portanto ϕ (x) é estritamente decrescente nesse intervalo. Assim, o seu valor máximo em módulo somente pode estar nas extremidades do intervalo dado. Como ϕ (0) = 3 e ϕ (1.) = vemos que o máximo em módulo é 3. Portanto podemos tomar M = 3. Como esse número é menor do que 1, segue que existe um intervalo centrado em α com as propriedades desejadas e portanto está garantida a convergência do MIL. Usando ϕ(x) = x 1 f(x) como está (melhor não expandir, pois a função ficará mais complicada de calcular), fazemos as iterações conforme a tabela. Usamos ε = e pelo menos 6 dígitos significativos na mantissa. Disto concluímos que α com casas decimais exatas (isto é, com erro inferior a ).. (0 pts.) A equação x x = 0 possui duas raízes positivas óbvias: α = e α =. (a) Verifique que esta equação tem uma terceira raiz no intervalo [-1,0] e mostre que não tem mais nenhuma outra raiz além dessas três. Resposta: seja f(x) = x x. Como f( 1) = 1 1 < 0 e f(0) = 1 > 0 e f é contínua, segue que há uma raiz nesse intervalo. (b) Tomando como aproximação inicial para a raiz negativa o valor α 0 = 0.7, está garantida a convergência pelo teste específico para o Método de Newton? Justifique sua resposta. Resposta: Para α 0 = 0.7, temos f(α 0 )f (α 0 ) < 0, logo não temos garantia de convergência pelo critério próprio do Método de Newton.

3 (c) Considerando o Método de Newton como um MIL, o mesmo α 0 e o intervalo [ 1, 0.5], está garantida a convergência? Justifique sua resposta. Dica: a função ϕ é decrescente nesse intervalo. Resposta: Temos ϕ(x) = x f(x) f é a função de iteração do Método de Newton (x) e também do MIL. Calculando a sua derivada ϕ (x) = f(x)f (x) [f (x)], onde f (x) = (ln ) x x e f (x) = (ln ) x. Usando a dica que ϕ (x) é decrescente e que ϕ ( 1) 0.16 e ϕ ( 0.3) 0.86, vemos que para todo x no intervalo [ 1, 0.3], vale ϕ (x) 0.86 < 1. Além disso, observando que f não se anula nesse intervalo, segue que ϕ é contínua nesse intervalo. Pela fórmula do quociente para derivada, vemos f é o único denominador de ϕ e portanto esta também é contínua nesse intervalo. Isso basta para garantir a convergência do MIL para α 0 = 0.7. (d) Usando o Método de Newton com a aproximação inicial α 0 dada, encontre uma aproximação para a raiz negativa erro inferior a No verso desta folha você encontrará uma tabela que lhe será muito útil. Use-a. Resposta: Queremos 5 dígitos exatos, por isso vamos trabalhar com ε = e com pelo menos 7 dígitos na mantissa. Partindo da solução inicial dada e fazendo as iterações usando a tabela fornecida, encontramos α com a exatidão requerida. 5. (0 pts.) Considere o polinômio p(x) = x 3 11x 75x (a) Encontre um intervalo contendo uma raiz para o qual haja garantia de convergência com α 0 = 1.5. Resposta: Vamos usar o teste intrínseco do Método de Newton. Como p(α 0 )p (α 0 ) = ( )( 13) > 0, e podemos ver facilmente que p e p não mudam de sinal no intervalo [0, ] e este contém α e α 0, segue que a convergência está garantida. (b) Usando o Método de Newton para Polinômios e a aproximação inicial α 0, calcule uma aproximação para a raiz do item (a) com erro inferior a Para sua conveniência, você poderá usar a tabela no verso desta folha. Resposta: A tabela no verso da folha é um modo conveniente de calcular o valor de p(x) e de p (x) usando Briot-Ruffini-Horner e ao mesmo tempo calcular ϕ(x) = x p(x) p (x). Iniciando com o valor α 0 = 1.5 realizamos as iterações com pelo menos 8 casas na mantissa (já que queremos 6 na resposta). Com isso, obtemos α com erro inferior a [Calculando com Maple e com 1 dígitos na mantissa encontramos α e isso nos diz que os demais dígitos na nossa tabela estão corretos, mas não contávamos com isso.] 3

4 Tabela para a questão Como desejamos duas casas decimais exatas, vamos usar ε = e trabalhar com pelo menos dígitos significativos na mantissa. Usando b 0 = 1, temos as seguintes iterações: k a k b k α k (b k a k )/ Paramos na sexa iteração pois, nesse momento, o erro absoluto deve ser inferior a 0.00 < ε = Obs: na coluna do erro relativo, estamos usando arredondamento para cima. Tabela para a questão 3 Como a precisão desejada são casas decimais exatas, usamos ε = e trabalhamos com pelo menos 6 dígitos significativos. Além disso, para minimizar os erros vamos trabalhar com arredondamento. k α k f(α k ) E R (α k, α k 1 ) < < < < < < ε = Nota: nesta questão é muito melhor trabalhar com a expressão ϕ(x) = x + A(x)f(x) = x 1 f(x) tal como está, pois é mais fácil calcular f(x) a cada iteração (e é para isso a coluna central da tabela acima) do que calcular a expressão algebrica resultante da expansão de ϕ(x), ou seja, x3 x. x + Tabela para a questão k α k f(α k ) f (α k ) E R (α k, α k 1 ) < < < Com 5 algarismos exatos, encontramos α Usando o Maple com 1 dígitos significativos exatos, obtemos α (Note que os demais dígitos da nossa resposta também estão exatos, mas não estávamos contando com isso). Tabela para a questão 5.

5 α α k E R (α k, α k 1 ) ///////////////////// < ///////////////////// < ///////////////////// < < ε ///////////////////// ///////////////////// Talvez você queira usar E R (a, b) = A(x)f(x) onde achar conveniente. a b, ϕ(x) = x f(x) a f (x), ϕ(x) = x + 5

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