Matemática Básica Função Logarítmica

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1 Matemática Básica Função Logarítmica 08 Versão: Provisória 0. Introdução Quando calculamos as equações exponenciais, o método usado consistia em reduzirmos os dois termos da equação à mesma base, como no exemplo: x 8 x x Mas, com este método, a solução de uma equação como x ainda é muito difícil! Podemos perceber que e, logo o valor procurado de x está entre e, mas não temos o valor exato. Para resolver este tipo de equação é preciso determinar qual é o expoente (x ao qual deveremos elevar a base (a para que obtenhamos o resultado, ou seja, precisamos encontrar uma função que seja inversa à função exponencial. x log x log x log log x log log x,5896. Definição O logaritmo de um número real e positivo b, na base a, positiva e diferente de um, é o número c ao qual se deve elevar a para se obter b. Abrevia-se logaritmo por log. log a b c b >0 0 < a pg. /9 ac c

2 Exemplos: a é o logaritmo de 8 na base. 8 b ( c 6 9 é o logaritmo de na base. 6 - é o logaritmo de na base. 9 (a Nomenclatura O logaritmando também é chamado de antilogaritmo. Para os exemplos dados anteriormente: a b c 8 ( a b8 c log log 6 b 6 c log 9 a a b 9 c (b Representações especiais de logaritmos log 0 a log a log e a ln a As calculadoras científicas normalmente possuem as funções log x, 0x, ln x, ex. pg. /9

3 (c Condições de existência do logaritmo log a b c 0 < a b >0 ac c a A que expoente devo elevar o número para obter qualquer real diferente de? A equação x b só é verdadeira para b! Por exemplo: a que expoente devo elevar para obter o resultado? x x a>0 A que expoente devo elevar o número 0 para obter qualquer número diferente de 0? A equação 0 x b só é verdadeira para b 0! Por exemplo: a que expoente devo elevar 0 para obter o resultado? x x 0 De forma semelhante, verificamos a impossibilidade de valores de a negativos: b>0 A que número deve-se elevar a para que se obtenha zero? Para comprovar a impossibilidade, basta tentar encontrar o valor de x que faça a igualdade x x a 0 (por exemplo: 8 0, logo, log a 0 não existe; Para valiarmos a impossibilidade de b < 0 (logaritmando negativo, devemos lembrar que 0 < a, assim, teríamos log a b c, ou seja, ac b, o que é impossível se a> 0. (d Exemplos Calcular log 8 (lê-se logaritmo de 8 na base ou, simplesmente log de 8 na base : c c 8 ⁴ x Calcular 0 valor de a em: log a 8 : log a 8 a ± 8 a ± mas, pela condição de existência dos lagarítmos, a > 0, logo: a Calcular o valor de x em log x (lê-se log de x na base : log x x x 8 Calcular o valor de x para que a expressão log ( x exista: pg. /9

4 log a b se b > 0, ou seja : log ( x se ( x > 0, x >0 x > x > x ℝ x> { assim : } Calcular o valor de x para que log x 5 5 exista: log a b se 0 < a, ou seja: a deve cumprir as duas condições. log x 5 5 se ( x 5 > 0 assim : ( x 5 { } ( x 5 > 0 ( x 5 x 6 x >5 x> 5 x { x ℝ x > 5, x } Calcular log 6 : log 6 x 6 x ( x x 6 6 x x x 6 (e Resumindo: O logaritmo nos permite responder à pergunta: A que expoente x se deve elevar o número a para se obter o valor b? pg. /9

5 . Consequências da definição Sendo: log a b c b>0 0 < a c>0 α ℝ ac b poderemos afirmar: log a b a b log a 0 qualquer número elevado a zero é igual a. log a a qualquer número elevado à unidade é igual a ele mesmo. b c log a a α número ao qual se deve elevar a base a para obter b. loga b log a c α (a Exemplos: log 5 5 log 5 resulta no número ao qual deve-se elevar para obter 5, ora, se elevamos este número, encontramos 5. log log log 5 x log5 log 5 5 x 5 5. Propriedades dos logaritmos (a Logaritmo do produto O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores: log a ( b c log a b + log a c b >0 c>0 0 < a Exemplo: log log (8 log 8 + log + 5 pg. 5/9

6 (b Logaritmo do quociente b log a b log a c c b>0 c>0 0 < a log a ( Exemplo: log 5 log log log ' ' log 5 ' (c Logaritmo de uma potência O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência: n log a b n log a b b>0 0 < a Exemplos: a log 9 log 9 6 ou log 79 log 6 6 b log 8 log 8 log 8 (d Exemplos Dados: log b a, log b c 6 e log b d, calcular: log b a c : d log b (a c log b d log b a + log b c log b d + 6 ( Dados log x e log y, calcular: a log log ( 8 log ( log +' log y + x b log( 9 8 log 9 + log 8 log + log ( log + pg. 6/9 x log y +

7 Dados log x a 8, log x b e log x c, calcular log x ( a b c : log x a log x ( b c log x a (log x b + log x c log x a ( log x b + log x c 8 ( + 6 Dado log x A log x m + log x n, determinar o valor de A em função de m e n: log x A log x m + log x n log x m + log x n log x (m n se log x A log x (m n, então: A m n. Equações logarítmicas Toda equação que apresente a incógnita em logaritmo. A solução da equação normalmente é obtida usando as propriedades dos logaritmos, mas sempre deverão ser verificadas as condições de existência dos logaritmos. Exemplo: Determinar a solução da equação log x ( x x As condições de existência do logaritmo nesta igualdade são: ( x ² x > 0 x > 0 e x Aplicando a definição de logaritmo, teremos: log x ( x x x ( x x x x 0 Resolvendo a equação do segundo grau: x ( x 0 { } x 0 x pg. 7/9

8 Verificando as condições de existência: Para x Para x 0 ( x ² x > 0 ( ( Falso ( x ² x > 0 ( > 0 > 0 (Verdadeiro ( x > 0 x > 0 x 0 0 > 0 (Falso x > 0 (Verdadeiro x x x 0 0 x (Verdadeiro (Verdadeiro Assim, a única condição que satisfaz a equação é: S { } pg. 8/9

9 5. Cologaritmo O logaritmo do inverso de um número é igual ao simétrico do logaritmo do número inicial: log a log a b 0 log a b loga b colog a b b log a Sendo: b>0 0< a Exemplos de uso do colog: Calcular o valor do colog 6 colog 6 log 6 colog 6 log 6 log 6 colog 6 6 Resolver a equação: log 5 x log 5 + colog 5 : condição de existência: x > 0 log 5 x log 5 + colog 5 log 5 x log 5 x log 5 x log 5 log 5 como a condição de existência x > 0 é satisfeita, temos: S pg. 9/9 { }

10 6. Mudança de base Se: e: log a b x b ax log c b x b cx Então: { x b a b cy log c a x logc c y } logo : x log c a y log c c x y a c, assim : substituindo x log c b e y log c b, teremos : log a b log c a log c b log c b loga b log c a log c b log c a log a b b>0 0<a 0 <c (a Logaritmos na base decimal (base 0 log0 b c representa se: log b c c 0 b ou: O expoente ao qual devemos elevar 0 para obtermos b. pg. 0/9

11 (b Logaritmos na base natural (base e O valor de e Na matemática, número de Euler, assim chamado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é a base dos logaritmos naturais. As variantes do nome do número incluem: número de Napier, constante de Néper, número neperiano, constante matemática e número exponencial, etc. A primeira referência à constante foi publicada em 68 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. e lim ( + h h h 0 e lim + h h ( ou h O valor de e determinado no software Maple (maplesoft.com: > evalf(exp(, 75; loge b c representa se : ln b c c e b lê-se: logaritmo neperiano de b ou, simplesmente neperiano de b. (c Exemplos: Dados log 0, e log '' 0,, calcular log 6 : log 6 log 6 log + log 0, + 0, 0,7 log log 0, 0, log verificação: se log 6 7, então: 6. 7 mas, usando a calculadora encontramos: porque log 0,00 5, - porque?? e log 0,77 se usarmos os valores com as quatro casas decimais teremos: 0,00 + 0,77 0,00,589 6,00 pg. /9

12 CUIDADO PARA NÃO ERRAR!! log 8 8 log!!! log 6 log!!!! 6 log 8 log log (d Exemplos de uso da calculadora para mudança de base: Usando a calculadora para determinar logaritmos e para verificar os resultados encontrados: a log 7 : como a calculadora não dispõe da função logaritmo na base dois, usamos a base 0: log 7 log 7 log log 7 log7 0,85098,80755 log 0,000 e usamos a calculadora para determinar os valores E podemos verificar o resultado encontrado fazendo (na própria calculadora:, ,00 b log 7 : como a calculadora não dispõe da função logaritmo na base sete, neste exemplo usaremos a base natural (e: log 7 ln ln 7 log 7 ln 0,697 0,5607 ln 7,9590 e usamos a calculadora para determinar os valores E podemos verificar o resultado encontrado fazendo (na própria calculadora: 70,5607,00 pg. /9

13 c log : como a calculadora não dispõe da função logaritmo na base quatro, neste exemplo usaremos a base 0: log log log log log 0,000 0,50 log 0,60060 e usamos a calculadora para determinar os valores ou E podemos verificar o resultado encontrado fazendo (na própria calculadora:,00 7. Inequações logarítmicas Uma inequação que possui pelo menos um termo envolvendo logaritmo é dita uma inequação logarítmica e a sua solução é feita impondo-se e resolvendo as condições de existência, após isso, são construídos gráficos para comparação das bases ou dos logaritmandos (a Propriedades importantes na solução de inequações logarítmicas a > x > x 0 < a log a x > log a x o sentido da desigualdade se conserva x > x log a x < log a x o sentido da desigualdade se inverte Mais detalhes sobre a representação gráfica da função logarítmica serão vistos mais adiante. pg. /9

14 Exemplos Resolver a inequação log (5 x > log : Pela condição de existência: (5 x > 0 Resolvendo a condição de existência: (5 x > 0 5x > x > 5 ① Esboçando o gráfico: base > 0 função crescente. Pela observação do gráfico confirma-se que a função é crescente, logo, o sentido da desigualdade se conserva. Relacionando os logaritmandos: 5x > 5x > + x > ➁ Representando os intervalos na reta real: Assim: S { x ℝ x > } pg. /9

15 Resolver a inequação log ( x log : Pela condição de existência: (x > 0 Resolvendo a condição de existência: (x > 0 ① x > Esboçando o gráfico: base < 0 função decrescente. Pela observação do gráfico confirma-se que a função é decrescente, logo, o sentido da desigualdade se inverte. Relacionando os logaritmandos: log ( x log - o sentido da desigualdade se inverte, assim: x x + x 7 ➁ Representando os intervalos na reta real: Assim: S { x ℝ < x 7 } pg. 5/9

16 8. Função logarítmica (a Definição A função exponencial ( a x admite uma função inversa: f ( x a x f ( x log a x x ay forma exponencial: forma logarítmica: log a x y Chama-se função logarítmica à função real de variável real tal que: f :ℝ ℝ f ( x log a g( x sendo: g( x > 0 0 < a Exemplos: f (x log ( x 7 g( x ln x h(t log t t D(I 0 log ( II r pg. 6/9

17 A função logarítmica é a função inversa da função exponencial: f-(x f(x x f ( x x x f ( x log x NOTE QUE OS PARES ORDENADOS SE INVERTEM Representando graficamente as duas funções, teremos: Dm(f : (, Im( f Im( f : ( 0, Dm( f pg. 7/9

18 (b Gráficos da função logarítmica Exemplos: Completar a tabela e construir o gráfico correspondente: x f ( x log x 8 8 pg. 8/9

19 Completar a tabela e construir o gráfico correspondente: x f ( x log x 8 8 pg. 9/9

20 (c Observações sobre a função logarítmica (com base nos gráficos O gráfico da função é contínuo em todo o seu domínio; É um gráfico suave - não possui cantos vivos em sua representação; Domínio da função logarítmica: ℝ+ (reais positivos graficamente: está totalmente representado à direita do eixo y (ao qual é assintótico; Imagem da função logarítmica: Intercepta eixo y? NÃO Intercepta eixo x? Na abcissa Ou seja: passa pelo ponto (, 0; Assíntota: É crescente para a > 0 e decrescente para 0 < a ; Intercepta qualquer linha horizontal em exatamente um ponto, ou seja, para cada valor de x corresponde um valor de y e vice-versa; Comportamento em pontos extremos: * ℝ x 0 y log a x, para b > y log a x, para b < para x 0: para x 0: para x : para x : pg. 0/9

21 Exemplo: Representar no mesmo par de eixos ordenados as funções f (x e x, g(x ln x, h( x x : Determinar a ordenada do ponto de abcissa (o par ordenado! em f(x; Determinar a abcissa do ponto de ordenada (o par ordenado! em g(x; Observar os pontos importantes do gráfico. 9. Aplicações da função logarítmica Modelagem logarítmica Os logaritmos são usados para proporcionar maios de tratamento a escalas numéricas MUITO amplas como, por exemplo, a escala da audição humana, na qual a diferença no som de um murmúrio para uma explosão pode ser maior que 0. Outras escalas que usam logaritmos são a escala de ph e a escala Richter. (a Definição do decibel (db O decibel é definido como: pg. /9

22 D 0 log I Ir ( Sendo: D o nível do som em decibéis (db; I é a intensidade do som, medida em Watts por metro quadrado (W/m²; Ir é o limite inferior de audição humana ( I r 0 W /m ; Notar que, quando I Ir, teremos: D 0 log 0 db Tabela ilustrativa: Intensidade do som (W/m² db Limiar da audição,0 0 0 db Aspirador de pó (tipo silencioso, db ipod, db Turbina de avião, db Fonte do Som Exemplos: Na apresentação de um determinado grupo de rock, a intensidade típica do som é de I 0 W /m. A quantos db isto corresponde? D 0 log I Ir ( 0 log (,0 0,0 0 0 log, D 00 db Qual é a intensidade sonora correspondente a um nível de 80 db? I 80 0 (log I log,0 0, (log I + log I + log I 0 I,0 0 W / m² D 0 log I Ir ( 80 0 log ( pg. /9

23 (b A escala Richter A magnitude M de um terremoto é medida através da escala Richter e pode ser obtida através de: M E log E0 ( Sendo: M a magnitude do terremoto; E é a energia sísmica liberada pelo terremoto ( em Joules; E0 é a energia sísmica liberada pelo terremoto de referência ( E0 0, J ; Exemplos: Um dado terremoto liberou uma energia equivalente a, 0 5 Joules. Determinar a magnitude deste terremoto. M E log E0 ( 5 (, 0 log,,0 0 0,6 log (, 0 M 7, (c O ph de uma solução O ph de uma solução é a medida molar da concentração de íons de hidrogênio (H+, em moles por litro, na solução. PH significa potencial de hidrogênio e seu valor numérico pode ser calculado através de: ph log [ H + ] Soluções muito ácidas têm ph perto de, Soluções neutras têm ph perto de 7 e Soluções muito alcalinas (básicas têm ph próximo de. Exemplo: O produto Pepto-Bismol possui uma concentração de íons de hidrogênio de 5,0 0 moles /litro. Calcular o seu ph: + ph log [ H ] log [5,0 0 ph,7 ] 0. Exercícios. Aplicar a definição de logaritmos para calcular as expressões a seguir: (a log 5 5 pg. /9

24 (b log 5 5 (c log 6 (d log 6 (e log 8 (f log (g log 5 0, (h log 5 0, (i log 0,5 (j log 6 (k log 8 (l log 5 0,00006 (m log (n log 6 (o log (p log 5 8 (q log 65 5 (r log 5 65 (s log a a. Calcular o valor de b: (a log b (b log b (c log b 0 (d log 5 b (e log b. Calcular o valor da base: (a log a 6 (b log a 6 pg. /9

25 6 8 (c log a (d log a 8 6 (e log a. Calcular o valor da soma em cada um dos casos: (a S log0 0,00 + log log 8 (b S log 5 + log 7 log 5 9 (c S log 8 log 7 + log 0 6 (d S log ( log 6 log ( log 8 (e S log 8 log 0 0,0 + log 8 5. Resolver as equações: (a log x ( x x (b log x + ( x (c log (x + + log (x (d log 7 x log 7 x + log 7 6 (e log ( x ² + x log ( x + x 5 (f log { log ( log (x + } 0 6. Calcular: (a 5log 5 (b log (c log Dados log b a e log b c, determinar: (a log b (a c a (b log b ( c (c log b (a c (d log b ( a c pg. 5/9

26 8. Dados log x a 5, log x b e log x c, determinar: (a log x (a b c (b log x ( a b c 9. Sabendo que log 0,00 e log 0,77, resolver a equação x + x Dados log c a 5 e log c b, determinar log c a b c. Dado log b a, determinar o valor de log a b 6. Resolver a equação: log x + log 8 x 8. Usando as propriedades dos logaritmos e/ou mudança de bases, determine o valor das expressões (dados: log 0,0, log 0,77 e log 5 0,699 - dê as respostas com decimais e apresente o desenvolvimento completo da solução proposta. (a log (b log 6 5 (c log Resolver as inequações: (a log ( x 6 > log 5 (b log ( a a+ < (c log (x ² (d log 7 ( x 9 x+8 > log 7 (x 8 x +7 ( (e log x > (f log x < log 5 5. Nas seguintes expressões, identifique aquela que está correta e, para as que estão erradas, identifique o erro, usando as propriedades e/ou regra de conversão de base dos logaritmos: (a log 5log log 5 (b log 8 log 9 pg. 6/9

27 (c ln 9( ln 7 (d log 7 6. Assinalar a opção verdadeira justifique, indicando o erro nas opções descartadas: (a log log 8 (b log 9 log (c log log 6 log (d log 6 log + log 7. Uma determinada grandeza física é dada pela função logarítmica sui o valor 5, 0, qual é o valor da grandeza? f ( x log 0 (x. Se x pos- 8. Na figura a seguir, determinar as coordenadas dos pontos A, B, C e D. Justifique o valor de cada uma das coordenadas (mostre como determinou o valor obtido. 9. Usar a figura s seguir para determinar as coordenadas, na forma P(x, y, dos pontos A, B, C e D: pg. 7/9

28 0. Na figura estão representadas as oito funções seguintes. Identificar, no gráfico, cada uma das funções e construir uma tabela relacionando cada uma delas com a sua função inversa. Funções representadas: f ( x f ( x f (x ln x g( x ln x h( x e x i( x e x j( x k (x ex ex ( l( x ln( x m(x ln( x pg. 8/9

29 . Um dado terremoto liberou uma energia equivalente a, 0 Joules. Determinar a magnitude deste terremoto.. Qual a energia (em Joules liberada por um terremoto de magnitude 9,0 na escala Richter?. Em 956 os geólogos Richter e Gutenberg desenvolveram a seguinte fórmula para estimar a quantidade de energia liberada em um terremoto: log 0 E, + (,5 M, sendo E a energia em Joules liberada e M a intensidade o terremoto na escala Richter. Agora, usando a tabela a seguir e sendo E a energia do terremoto ocorrido nas Filipinas e E a energia liberada pelo terremoto de E Washington. Determine a razão para comparar as energias liberadas pelos dois terremotos: E Localização Data Magnitude na escala Richter Mindanao, Filipinas 0 janeiro de 00 7,5 Washington 8 de fevereiro de 00 6,8. A água sanitária comum possui uma concentração de íons de hidrogênio de aproximadamente 5,0 0 moles / litro. Calcular o seu ph. 5. Numa conversa normal, a intensidade típica do som chega a I 0 6 W /m. A quantos db isto corresponde? 6. Uma campainha de porta gera uma intensidade típica do som chega a I 0,5 W /m. A quantos db isto corresponde? 7. Se $ 8000 são investidos à uma taxa de 9 % ao ano, computada continuamente, quanto tempo levará para que o investimento chegue a $ 0000? 8. Quanto tempo leva para que um investimento de $ atinja o valor de $ se for aplicado a uma taxa de 5% ao ano, computada continuamente? 9. Qual será a taxa de juros computada continuamente necessária para que um investimento de $ 0 atinja o valor de $ 50 em anos? pg. 9/9