O comportamento conjunto de duas variáveis quantitativas pode ser observado por meio de um gráfico, denominado diagrama de dispersão.

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1 ESTATÍSTICA INDUTIVA 1. CORRELAÇÃO LINEAR 1.1 Diagrama de dispersão O comportamento conjunto de duas variáveis quantitativas pode ser observado por meio de um gráfico, denominado diagrama de dispersão. Exemplo 1. Suponha que um professor de Educação Física esteja interessado em observar a relação entre o peso e a altura dos alunos de uma academia. Para tal análise, ele colhe uma amostra de 10 alunos e obtém os seguintes resultados descritos na tabela 1. Tabela1. Altura e peso de dez alunos da Academia Boa Forma. Podemos representar os resultados por meio de um diagrama de dispersão. Veja a seguir: 1.2 Correlação linear

2 A correlação é um parâmetro que indica a relação entre duas variáveis (x, y). Ela é denominada Correlação Linear quando os pontos dispostos nos pares ordenados (x, y) se ajustam a uma reta. A medida do grau de correlação linear entre duas variáveis é denominada coeficiente de Correlação de Pearson, indicado por r e calculado através da fórmula: Onde n é o número de pares das variáveis em estudo. xi e yi são as variáveis em estudo. Os possíveis valores de correlação linear estão no intervalo -1 r 1. Quando r=1 temos uma correlação perfeita positiva. Quando r=-1 temos uma correlação perfeita negativa. Na correlação positiva, as variáveis alteram-se em um mesmo sentido: se x cresce, y tende a crescer, ou se x decresce, y tende a decrescer. Na correlação negativa, as variáveis em estudo alteram-se em sentidos opostos: se x cresce, y tende a decrescer, ou se x decresce, y tende a crescer. Devemos lembrar que a correlação não é conclusiva a respeito da relação de causa e efeito entre duas variáveis. Um elevado grau de correlação não significa, necessariamente, que um seja a causa e outro, o efeito. A seguir, temos alguns exemplos, mostrados por meio dos diagramas de dispersão Correlação positiva

3 Suponha, agora, que o professor de Educação Física da Academia Boa Forma queira medir o grau de correlação entre as variáveis peso e altura de seus alunos. Para atingir seu objetivo, ele procede da seguinte forma: xi: peso dos alunos em kg. yi: altura dos alunos em cm. No exemplo 1, temos que n = 10 (10 pares em estudo). Nesse caso, temos uma correlação positiva (r=0,910), pois as variáveis em questão mudam no mesmo sentido Correlação negativa Exemplo 2. Na tabela, a seguir, temos a taxa de analfabetismo e a renda per capita em 10 estados brasileiros, segundo o IBGE (2004). Existe alguma correlação entre estas duas variáveis? Tabela 2. Taxa de Analfabetismo e PIB de Estados Brasileiros em 2004.

4 O diagrama de dispersão da tabela 2 é: Qual é o coeficiente de correlação linear? onde: Para calcular o coeficiente de correlação linear, construímos uma tabela, xi: taxa de analfabetismo. yi: PIB 2004.

5 O número de pares é igual a 10, portanto temos n=10. Nesse caso, temos uma correlação negativa (r=-0,944), pois as variáveis em questão não mudam no mesmo sentido Correlação perfeita positiva Exemplo 3. Encontre o coeficiente de correlação para o conjunto de dados indicados na tabela a seguir: Tabela 3. Correlação Perfeita Positiva.

6 O diagrama de dispersão é: Calculando o coeficiente de correlação de Pearson, temos: Nesse caso, temos uma correlação perfeita positiva com r= Correlação perfeita negativa Exemplo 3. Encontre o coeficiente de correlação para o conjunto de dados indicados na tabela a seguir: Tabela 4. Correlação Perfeita Negativa.

7 O diagrama de dispersão é: Calculando o coeficiente de correlação de Pearson, temos:

8 Nesse caso, temos uma correlação perfeita negativa com r= Regressão linear A regressão linear é procedimento amplamente utilizado, que consiste em mostrar o comportamento conjunto entre duas variáveis, na forma de uma função linear. Observe os dados apresentados na tabela 1. Podemos dizer que o peso varia em função da altura. Por meio do diagrama de dispersão, podemos perceber que os pontos estão praticamente sobre uma reta; assim a variação do peso em função da altura pode ser descrita por meio de uma reta, denominada reta de regressão. Para ajustar uma reta por regressão linear simples, necessitamos determinar o coeficiente angular e o coeficiente linear da reta. Equação geral de regressão:, onde:. y*: valor aproximado, obtido pela equação de regressão linear. Média aritmética e desvio-padrão de xi. Média aritmética e desvio-padrão de yi.

9 A reta de regressão linear para o exemplo 1 é calculada da seguinte maneira: Primeiramente calculamos a média e o desvio-padrão de x. Calculamos, agora, a média e o desvio-padrão de y: Finalizando, calculamos o coeficiente angular :

10 e o coeficiente linear : 80,7-1,23.170,6= -129,14. A reta de regressão linear é: y*= 1,23xi - 129,14. A equação da reta de regressão permite calcular os valores para y para quaisquer valores de x (dentro do intervalo em estudo), mesmo que esses valores não existam na amostra. Para determinarmos a reta de regressão linear para o exemplo 2, devemos fazer os mesmos procedimentos anteriores. Veja a seguir:

11 Coeficiente linear: A reta de regressão linear é y*= -541,15xi , Exercícios resolvidos 1. A tabela, a seguir, mostra o número de livros lidos no decorrer do ano de 2007 de adolescentes do sexo masculino e o número de horas que passaram jogando videogame.

12 Tabela 5. Número de livros lidos e número de horas de jogo no videogame. a. Determine o coeficiente de correlação linear. b. Represente esses dados em um diagrama de dispersão. c. Encontre a reta de regressão linear. d. Represente graficamente a reta de regressão linear. a) Para encontrarmos o coeficiente de correlação linear utilizamos a tabela a seguir: xi: Números de livros lidos. yi: Número de horas jogando videogame. n = 6 pares (6 adolescentes entrevistados).

13 A correlação é negativa (r=-0,985). b) Diagrama de Dispersão. c) Reta de Regressão Linear: Primeiro Passo: Encontrar a média e desvio-padrão de xi.

14 Passo 2: Calcular a média e o desvio-padrão de yi. Coeficiente linear: A reta de regressão linear é: y*= 141,98xi ,94 d) Gráfico da Reta de Regressão Linear.

15 2. Em uma clínica de Endocrinologia foi feita uma pesquisa com 5 mulheres de 50 anos de idade. Nessa pesquisa foram feitas duas perguntas. Qual é o nível de HDL Colesterol em seu sangue? Quantas horas semanais você pratica exercícios físicos? Os resultados estão descritos na tabela a seguir. Tabela 6. HDL (em mg/dl) e número de horas de prática de exercícios físicos. Observação: No exame de colesterol estão incluídas a fração HDL (bom colesterol) e a fração LDL (mau colesterol). Estudos apontam que, nas pessoas com HDL aumentado ou nas faixas superiores do que é considerado normal (>50 mg/dl), a ocorrência de doenças cardiovasculares é menor. Determine: a. O coeficiente de correlação de Pearson. b. O diagrama de dispersão. c. A reta de regressão linear. d. O gráfico da reta de regressão linear. a) Para encontrarmos o coeficiente de correlação linear utilizamos a tabela abaixo: xi: quantidade de HDL Colesterol, em mg/dl.

16 yi: número de horas semanais gastos na prática de exercícios físicos. n = 5 pares (5 mulheres entrevistadas). A correlação é positiva r=0,988. b) Diagrama de Dispersão. c) Reta de Regressão Linear: Primeiro Passo: Encontrar a média e desvio-padrão de xi.

17 Passo 2: Calcular a média e o desvio-padrão de yi. Coeficiente linear:

18 A reta de regressão linear é: y*= 0,23xi - 9,42 d) Gráfico da Reta de Regressão Linear. 3. Num experimento de Eletricidade, foi medida a tensão em relação à intensidade de corrente que percorre um componente elétrico. Os resultados obtidos estão descritos a seguir: Tabela 7. Tensão em relação à intensidade de corrente. xi: intensidade de corrente, em ampère. yi: tensão, em volt. Determine: a. O coeficiente de correlação de Pearson. b. O diagrama de dispersão. c. A reta de regressão linear. d. O gráfico da reta de regressão linear. a)

19 n= 6 pares em estudo. b) Diagrama de Dispersão. c) Reta de Regressão Linear: Primeiro Passo: Encontrar a média e desvio-padrão de xi.

20 Passo 2: Calcular a média e o desvio-padrão de yi. A reta de regressão linear é: y*= 5xi

21 d) Gráfico da Reta de Regressão Linear. 2. INTERVALOS DE CONFIANÇA 2.1 Conceitos básicos Parâmetro e estatística Parâmetro é a descrição numérica de uma característica da população. Estatística é a descrição numérica de uma característica da amostra. Na Estatística Indutiva, fazemos afirmações sobre os parâmetros da população a partir de estatísticas obtidas de amostras da população. Em geral, os valores obtidos da média amostral e do desviopadrão amostral são diferentes dos valores da média populacional e do desvio-padrão populacional, respectivamente Estimativa pontual e intervalar Estimativa pontual é a estimativa de um único valor para um parâmetro populacional. Estimativa Intervalar é um intervalo de valores para estimar um parâmetro populacional Nível de confiança

22 Nível de confiança é a probabilidade de que um intervalo estimado contenha o parâmetro populacional. 2.2 Intervalos de confiança para a média Considerando uma amostra casual simples com n elementos, dizemos que a média dos dados da amostra é uma estimativa da média da população. Para termos uma idéia mais precisa dessa estimativa, devemos encontrar um intervalo de confiança para a média Intervalos de confiança para a média (n 30) Para determinar um intervalo de confiança para a média populacional, devemos primeiramente estabelecer um nível de confiança. Para dado tamanho da amostra: Quanto maior o nível de confiança, maior será o intervalo. Quanto maior o intervalo, menor será a precisão da estimativa Erro para a média Dado um nível de confiança, o erro (E) da estimativa é a maior distância possível entre a estimativa pontual e o valor do parâmetro a ser estimado. Para calcularmos esse erro, usamos a fórmula: Zc: valor crítico. : desvio-padrão populacional. n: número de elementos da amostra. Encontramos o valor crítico na tabela de distribuição normal reduzida. Tabela 1. Distribuição Normal Reduzida. No caso em que n 30, substituímos (desvio-padrão populacional) por s (desvio-padrão amostral). Um intervalo de confiança c para a média populacional é dado por:

23 Nesse caso, dizemos que a probabilidade de que o intervalo de confiança contenha a média populacional é c. Leitura Complementar: Distribuição Normal: A distribuição normal é amplamente utilizada para modelar medidas biológicas, medidas de produtos fabricados em série, etc. Características da Distribuição Normal I. A variável aleatória pode assumir qualquer valor real. II. O gráfico é uma curva em forma de sino. A curva é simétrica em relação à média ( ). III. A área sob a curva normal é igual a 1. Essa área corresponde à probabilidade de a variável aleatória assumir qualquer valor real. Teorema do Limite Central: Quando são retiradas amostras (com 30 ou mais elementos) de uma população qualquer, a distribuição amostral das médias das amostras terá uma distribuição aproximadamente normal, mesmo quando os dados da população não forem normalmente distribuídos. Devemos observar que, quanto maior o tamanho da amostra, melhor será a aproximação. Exemplo 1. Uma amostra aleatória de 40 elementos retirados de uma população aproximadamente normal forneceu média de x =12,45 e desviopadrão s=2,15. Construir um intervalo de confiança de 95% para a média dessa população.

24 Para encontrarmos o erro, utilizamos a fórmula: pois n 30 e s. c= 95%, então Zc =1,96 (vide tabela anterior). n=40 s=2,15 O intervalo de confiança é dado por: 12,45-0,67 < < 12,45 + 0,67 11,78 < < 13,12. Portanto, com 95% de confiança, podemos dizer que a média populacional está entre 11,78 e 13, Intervalos de confiança para a média (n < 30) Quando desconhecemos o desvio-padrão da população e também não temos acesso a uma amostra com 30 ou mais elementos, construímos um intervalo de confiança para a média utilizando a distribuição t de Student. Leitura Complementar. Distribuição t de Student. As propriedades da curva t são: A curva tem a forma de um sino. A área total sob a curva é igual a 1. A curva t é simétrica em torno da média. A distribuição t é uma família de curvas; cada uma delas depende de um parâmetro denominado grau de liberdade. Quando usamos a distribuição t para estimar a média populacional, o número de graus de liberdade é igual ao tamanho da amostra menos 1 (g.l.=n-1).

25 A distribuição t é uma família de curvas. Cada uma delas depende de um parâmetro denominado grau de liberdade. Quando utilizamos a distribuição t para estimar a média populacional, o número do grau de liberdade é igual ao tamanho da amostra menos 1. (g.l.=n-1). Para encontrarmos o erro, utilizamos a fórmula: valor de tc é encontrado na tabela da distribuição t., onde o Tabela 2. Distribuição t.

26 O valor de tc é visualizado na intersecção da linha (que representa o grau de liberdade) e da coluna (que representa o valor de c). Veja, a seguir, o caso em que n=10 (g.l=10-1=9) e c=90%.

27 Exemplo 2. Uma amostra de 10 elementos, extraída de uma população com distribuição normal, forneceu média x =3,45 e desvio-padrão s=0,75. Construir um intervalo de confiança de 90% para a média dessa população. Para encontrarmos o erro, utilizamos a fórmula: s=0,75 c=90% n=10 e grau de liberdade=10-1=9. tc = 1,833 (veja a tabela a seguir). O intervalo de confiança é dado por: 3,45-0,43 < < 3,45 + 0,43 3,02 < < 3,88. Portanto, com 90% de confiança, podemos dizer que a média populacional está entre 3,02 e 3, Intervalos de confiança para a variância e desvio-padrão

28 Muitas vezes, o pesquisador pode estar interessado em verificar a variabilidade de um determinado processo. Para essa necessidade, utiliza a distribuição 2 (lê-se qui-quadrado). Leitura Complementar: Distribuição qui-quadrado: A distribuição qui-quadrado é uma família de curvas, cada uma das quais determinada pelo número de graus de liberdade. Quando usamos a distribuição para estimar a variância populacional, o número de graus de liberdade é igual ao tamanho da amostra menos 1 (g.l.= n-1). A área sob cada uma das curvas é igual a 1. Para encontrarmos um intervalo de confiança para a variância, devemos encontrar os valores de na tabela de distribuição qui-quadrado. Calculamos conforme o grau de liberdade, encontramos o valor de na tabela. Calculamos e, conforme os graus de liberdade encontramos o valor de na tabela. Tabela 3. Distribuição (qui-quadrado).

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30 Veja um exemplo para o cálculo de. Para um nível de confiança de 90% (c=90%) e amostra n=20, temos: Grau de liberdade =n-1=20-1=19. Logo, o valor de =30,144 Grau de liberdade =n-1=20-1=19. Logo o valor de = 10,117. Após encontrarmos os valores de seguir para determinarmos os intervalos., utilizamos as fórmulas a (variância populacional). (desvio-padrão populacional).

31 Exemplo 3. Uma amostra de 15 elementos, extraída de uma população com distribuição normal, forneceu desvio-padrão de 0,89. Construir intervalos de confiança de 95% para a variância populacional e o desvio-padrão populacional. Para um nível de confiança de 95% (c=0,95) e amostra n=15, temos: Grau de liberdade=n-1=15-1=14. Logo, o valor de = 26,119. Graus de liberdade =n-1=15-1=14. Logo, o valor de = 5,629. Para encontrarmos um intervalo de confiança para a variância, utilizamos a fórmula:

32 Portanto, com 95% de confiança, podemos dizer que a variância populacional está entre 0,42 e 1,97. Para encontrarmos um intervalo de confiança para o desvio-padrão populacional, utilizamos a fórmula: Portanto, com 95% de confiança, podemos dizer que o desvio-padrão populacional está entre 0,65 e 1, Exercícios resolvidos 1. A altura dos alunos de uma academia apresenta uma distribuição aproximadamente normal. Para estimar a altura média dessa população, foi observada a altura de 30 alunos, obtendo-se x =175 cm e s=15 cm. Determine: a. Um intervalo de confiança de 99% para a média populacional. b. Um intervalo de confiança de 99% para a variância. c. Um intervalo de confiança de 99% para o desvio-padrão populacional. a) Para encontrarmos o erro, utilizamos a fórmula:, pois n 30 e s.

33 c= 99%, então ZC=2,575 (vide tabela1). n=30 s=15 cm. O intervalo de confiança é dado por: 175 7, ,05 167,95 182,05. Portanto, com 99% de confiança, podemos dizer que a média populacional está entre 167,95 cm e 182,05 cm. b) Para um nível de confiança de 99% (c=0,99) e amostra n=30, temos: Grau de liberdade=n-1=30-1=29. Logo, o valor de =52,336. Grau de liberdade=n-1=30-1=29. Logo o valor de =13,121.

34 Para encontrarmos um intervalo de confiança para a variância, utilizamos a fórmula: Portanto, com 99% de confiança, podemos dizer que a variância populacional está entre 124,68 cm2 e 497,29 cm2. Para encontrarmos um intervalo de confiança para o desvio-padrão populacional, utilizamos a fórmula: Portanto, com 99% de confiança, podemos dizer que o desvio-padrão populacional está entre 11,17 cm e 22,3 cm. 2. Os salários dos funcionários de uma fábrica de tecidos têm uma distribuição aproximadamente normal. Para estimar o salário médio desta

35 população, foram observados os salários de 20 funcionários, obtendo-se x = 850 reais e s = 120 reais. Determine: a. Um intervalo de confiança de 95% para a média populacional. b. Um intervalo de confiança de 95% para a variância. c. Um intervalo de confiança de 95% para o desvio-padrão populacional. a) Para encontrarmos o erro utilizamos a fórmula:. s=120 reais c=95% n=20 e graus de liberdade=20-1=19. tc= 2,093 (veja a tabela a seguir). Portanto, com 95% de confiança, podemos dizer que a média populacional dos salários está entre 793,84 reais e 906,16 reais. b) Para um nível de confiança de 95% (c=0,95) e amostra n=20, temos: Grau de liberdade=n-1=20-1=19. Logo, o valor de =32,852.

36 Grau de liberdade=n-1=30-1=29. Logo, o valor de = 8,907. Para encontrarmos um intervalo de confiança para a variância, utilizamos a fórmula: Portanto, com 95% de confiança, podemos dizer que a variância populacional está entre 8.328,26 reais² e ,41 reais². Para encontrarmos um intervalo de confiança para o desvio-padrão utilizamos a fórmula:

37 Portanto, com 95% de confiança, podemos dizer que o desvio-padrão populacional está entre 91,26 reais e 175,26 reais. 3. Em certo dia, numa maternidade foi feita uma pesquisa sobre altura em centímetros, em 10 bebês recém-nascidos do sexo masculino. Os resultados estão listados a seguir. a. Determine um intervalo de confiança de 90% para a média populacional. b. Determine um intervalo de confiança de 90% para a variância populacional. c. Determine um intervalo de confiança de 90% para o desvio-padrão populacional. a) Primeiramente, devemos calcular a média amostral e o desvio-padrão amostral utilizando as fórmulas: e.

38 Para encontrarmos o erro, utilizamos a fórmula:. s=3,89 c=90% n=10 e grau de liberdade=10-1=9. tc= 1,833 (veja a tabela abaixo). O intervalo de confiança é dado por: 48 2, ,26 45,74 50,26

39 Portanto, com 90% de confiança, podemos dizer que a média populacional está entre 45,74 e 50,26 cm. b) Para um nível de confiança de 90% (c=0,90) e amostra n=10, temos: Grau de liberdade=n-1=10-1=9. Logo, o valor de =16,919. Grau de liberdade=n-1=10-1=9. Logo, o valor de =3,325. Para encontrarmos um intervalo de confiança para a variância, utilizamos a fórmula:

40 Portanto, com 90% de confiança, podemos dizer que a variância populacional está entre 8,05 e 40,96 (cm²). c) Para o desvio-padrão populacional basta usar a fórmula: Portanto, com 90% de confiança, podemos dizer que o desvio-padrão populacional está entre 2,84 e 6,40 cm. 3. TESTES DE HIPÓTESES Na grande maioria das vezes, o pesquisador tira conclusões para toda uma população, tendo observado apenas uma amostra. Este processo é denominado inferência. Tomar decisões para uma população tendo como base apenas uma amostra pode ocasionar erros. Para atenuar esses erros, aplicamos testes de hipóteses.

41 O teste de hipótese deve ser utilizado para tomar decisões sobre o valor de um parâmetro de uma população, tais como a média, a variância e o desviopadrão. Em um teste de hipótese, existem duas hipóteses a serem analisadas: Hipótese Nula (H0): Hipótese a ser testada. Hipótese Alternativa (Ha): Hipótese a ser considerada como uma alternativa à hipótese nula. A aplicação de um teste de hipóteses pode levar a erros que podem ser classificados como: Erro tipo I: Ocorre quando rejeitamos a hipótese nula e aceitamos a hipótese alternativa, porém a hipótese nula era a verdadeira. Erro tipo II: Ocorre quando aceitamos a hipótese nula quando ela é falsa. Ao testar uma hipótese, a probabilidade máxima de ocorrer um erro do tipo I é chamada de nível de significância (α). Usualmente utilizamos níveis de significância de 10%, 5% ou 1%. Existem diversos testes utilizados na Estatística Indutiva; fica a critério do pesquisador utilizar o mais apropriado para a situação. 3.1 Teste de Qui-Quadrado 2 O teste de Qui-Quadrado ( 2 ) verifica as hipóteses de Aderência e de Independência Teste de Qui-Quadrado ( 2 ) Aderência Neste caso, o pesquisador verifica se os dados coletados experimentalmente, numa população, estão de acordo com os dados que seriam obtidos em uma determinada teoria. Para a aplicação do teste de Qui-Quadrado ( 2 ) de Aderência, seguimos os seguintes passos: 1. Estabelecemos um nível de significância. 2. Calculamos o valor do qui-quadrado, dado pela fórmula:

42 Oi: representa as freqüências observadas e Ei: representa as freqüências esperadas. 3. Comparamos o valor calculado de 2 com o valor da tabela, ao nível de significância estabelecida e com n-1 graus de liberdade. Em geral, o teste de aderência indica: Se o valor de 2 c calculado for maior que o 2 t tabelado, a hipótese nula (HO) é rejeitada. Se o valor de 2 c calculado for menor que o 2 t tabelado, a hipótese nula (H0) não é rejeitada. Tabela 1. Tabela de Qui-quadrado.

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44 Veja o exemplo a seguir: Exemplo 1. Em um período de seis meses, uma empresa de autopeças teve 80 acidentes de trabalho. O responsável pelo setor de segurança do trabalho deseja verificar se o número de acidentes de trabalho muda conforme o dia da semana. O número de acidentes de trabalho para cada dia da semana está listado a seguir: Tabela 2. Número de acidentes por dia da semana. Quais as conclusões que podem ser obtidas desses dados ao nível de significância α=5%? Vamos, primeiramente, verificar as hipóteses a serem testadas. H0: O número de acidentes não muda conforme o dia da semana. Ha: O número de acidentes muda conforme o dia da semana. O total de acidentes por semana é de 80, o valor esperado para cada dia da semana é:.

45 Para encontrar o valor de 2 t utilizamos a tabela 1, com g.l=5-1=4 com α=5%. 2 t = 9,488. Como 2 c (0,625)< 2 t (9,488), a hipótese nula não é rejeitada (ou seja, o número de acidentes não muda conforme o dia da semana) Teste de Qui-Quadrado ( 2 ) Independência Por meio do Teste de Qui-Quadrado, é possível verificar se existe dependência entre duas variáveis.

46 O teste de independência é semelhante ao de aderência, porém no caso de independência são utilizadas tabelas de dupla entrada com a intenção de estudar a relação entre duas variáveis. Quanto maior for o valor de 2 c, maior a dependência entre as duas variáveis. O número de graus de liberdade para o teste de independência é calculado pelo produto entre o número de linhas (m) da tabela menos um e o número de colunas (n) menos um. Grau de Liberdade=(m - 1) x (n - 1). Veja o exemplo a seguir: Exemplo 2. A tabela abaixo indica o número de telespectadores de 2 emissoras de Televisão X e Y em cada um dos dois tipos de programação: Novela e Noticiário. Ao nível de 5% de significância, testar a independência entre a escolha da emissora pelos telespectadores e sua programação. Tabela 3. Programação por emissora. Vamos, primeiramente, verificar as hipóteses a serem testadas. H0: A escolha da emissora não depende da programação. Ha: A escolha da emissora depende da programação. Pela tabela podemos verificar que de um total de 100 telespectadores, 52 preferem novelas. Ou seja ou 52% dos telespectadores preferem novela. Caso esta proporção seja mantida, seriam esperados 46x0,52=23,92 telespectadores da Emissora X e 48x0,52=24,96 telespectadores da Emissora Y. Podemos verificar os resultados a seguir:

47 Para encontrarmos o valor de 2 t utilizamos a tabela 1. Como 5 o número de linhas da tabela é igual a 2 e o número de colunas da tabela é igual a 2, temos: grau de liberdade =(2-1) x (2-1)=1 com α=5%=0,05. 2 t = 3,841.

48 Como 2 c (0,00104)< 2 t (3,841) a hipótese nula não é rejeitada (ou seja a escolha da emissora não depende do programa). Exemplo 2. Os conceitos obtidos nas disciplinas Física e Matemática foram os seguintes, para um grupo de 500 estudantes do Ensino Médio. Tabela 4. Conceitos em Física e Matemática. Os conceitos em Matemática e Física são dependentes (usar α = 10%)? Vamos, primeiramente, verificar as hipóteses a serem testadas. H0: Os conceitos em Matemática e Física não são dependentes. Ha: Os conceitos em Matemática e Física são dependentes.

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50 Para encontrarmos o valor de 2 t utilizamos a tabela 1. Como o número de linhas da tabela é igual a 3 e o número de colunas da tabela é igual a 3, temos: grau de liberdade =(3-1) x (3-1)=4 com α =10%=0,10. 2 t = 7,779.

51 Como 2 c (128,4578)> 2 t (7,779) a hipótese nula é rejeitada (ou seja, os conceitos são dependentes). 3.2 Exercícios resolvidos 1. Em 30 lançamentos de uma moeda, foram observados os seguintes resultados: 10 caras e 20 coroas. Teste com nível de significância α = 10% se a moeda é considerada honesta. Neste exemplo, devemos lembrar que no lançamento de uma moeda a probabilidade de sair cara é de 50% e a probabilidade de sair coroa é de 50%. Em 30 lançamentos, temos: 50% de 30 = 15 caras e 15 coroas (esses são os dados esperados para que uma moeda seja considerada honesta). Para calcular o valor de seguir:, utilizaremos a tabela a

52 Para encontrarmos o valor de 2 t, utilizamos a tabela 1. Como o número de linhas da tabela é igual a 2, temos grau de liberdade = 2-1=1 com α =10%=0,10. 2 t = 2,706. Como 2 c (3,34)> 2 t (2,706), a hipótese nula é rejeitada (ou seja, a moeda não pode ser considerada honesta para o nível de significância de 10%). 2. Em 60 lançamentos de uma moeda, foram observados os seguintes resultados: 32 caras e 28 coroas. Teste com nível de significância α =5% se a moeda é considerada honesta. Neste exemplo, devemos lembrar que no lançamento de uma moeda a probabilidade de sair cara é de 50% e a probabilidade de sair coroa é de 50%. Em 60 lançamentos temos: 50% de 60 = 30 caras e 30 coroas (esses são os dados esperados para que uma moeda seja considerada honesta).

53 Para calcular o valor de tabela a seguir:, utilizaremos a Para encontrarmos o valor de 2 t, utilizamos a tabela 1. Como o número de linhas da tabela é igual a 2, temos graus de liberdade = 2-1=1 com α =5%=0,05. 2 t = 3,841. Como 2 c (0,26)< 2 t (3,841), a hipótese nula não é rejeitada (ou seja, a moeda pode ser considerada honesta para o nível de significância de 5%). 3. Em uma academia foi feita uma pesquisa com 120 pessoas sobre o tipo de esporte praticado. Os resultados obtidos estão listados a seguir. Tabela 5. Esporte praticado

54 Testar se o esporte praticado depende do sexo do entrevistado, usando α = 5%. Vamos, primeiramente, verificar as hipóteses a serem testadas. H0: A escolha do esporte praticado não dependente do sexo. Ha: A escolha do esporte praticado dependente do sexo.

55 Para encontrarmos o valor de 2 t, utilizamos a tabela 1. Como o número de linhas da tabela é igual a 2 e o número de colunas da tabela é igual a 2, temos: graus de liberdade = (2-1) x (2-1) =1 com α = 5% = 0,05. 2 t = 3,841. Como 2 c (16,0827)> 2 t (3,841), a hipótese nula é rejeitada (ou seja, a escolha do esporte dependente do sexo). 4. Estão sendo estudados os defeitos em peças fabricadas pela Empresa x. Há 3 tipos de defeitos: A, B e C. A empresa trabalha em 2 turnos: diurno e noturno. Para essa finalidade foi recolhida uma amostra com 80 peças defeituosas, e os resultados obtidos estão descritos a seguir: Tabela 6. Quantidade de defeitos por tipo e turno. Teste a independência entre o número de defeitos e o turno trabalhado. Use α = 1%. Vamos, primeiramente, verificar as hipóteses a serem testadas. H0: O número de defeitos não depende do turno de trabalho. Ha: O número de defeitos depende do turno de trabalho.

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57 Para encontrarmos o valor de 2 t utilizamos a tabela 1. Como o número de linhas da tabela é igual a 2 e o número de colunas da tabela é igual a 3, temos: grau de liberdade = (2-1) x (3-1) =2 com α =1%=0,01. 2 t = 9,210. Como 2 c (1,4079)< 2 t (9,210), a hipótese nula não é rejeitada (ou seja, o número de defeitos não depende do turno. Referências Bibliográficas LARSON e FARBER. Estatística Aplicada. São Paulo: Prentice Hall, 2004.

58 LEVIN, J. e FOX, J.A. Estatística para ciências humanas. São Paulo: Prentice Hall, MOORE, D. A Estatística Básica e sua prática. Rio de Janeiro: LTC, NEUFELD, J. L. Estatística aplicada à Administração usando excel. São Paulo: Pearson Prentice Hall, PEREIRA, P. H. Noções de Estatística. São Paulo: Papirus, SPIEGEL, M. R. Estatística. São Paulo: Makron Books, VIEIRA, S. Introdução à Bioestatística. Rio de Janeiro: Campus, 1980.

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