Correlação. Ivan Bezerra Allaman

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1 Correlação Ivan Bezerra Allaman Introdução Vamos supor que um inspetor de segurança queira determinar se eiste uma relação entre o número de horas de treinamento de um empregado e o número de acidentes envolvendo aquele empregado. Ou ainda, que um psicólogo esteja interessado em saber se eiste uma relação entre o número de horas que uma pessoa dorme por noite e o tempo de reação desta pessoa. Como então determinar se estas relações eistem? Neste assunto iremos abordar a técnica de correlação, que neste caso é utilizada para determinar a relação linear entre duas variáveis quantitativas e também se esta relação é significativa. Eistem outras medidas de associação que não serão abordadas. Coeficiente de correlação (Pearson) O coeficiente de correlação amostral r foi introduzido por Karl Pearson para avaliar a associação entre duas variáveis quantitativas. Na população, o parâmetro da correlação é representado pela letra grega rho (ρ). Quando Pearson propôs o coeficiente de correlação, já eistia uma medida de associação chamada de covariância. A covariância é uma medida cujo domínio varia de à + e é dependente da unidade de medida, sendo difícil avaliar a força de associação entre duas variáveis numericamente. Vamos supor duas variáveis e y. <- c(6,5,9,10,3,4,8,7,6,2) y <- c(7,6,10,9,2,3,9,5,6,3) plot(,y) y Podemos observar graficamente que há uma forte relação entre as variáveis. 1

2 No entanto, o quão forte é esta relação? Utilizando a covariância (função cov do R) para ter uma medida numérica desta relação, obteremos o seguinte resultado (a epressão matemática fica como tarefa de casa!): cov(,y) ## [1] Podemos notar que a relação é positiva e graficamente já era de se esperar isto. No entanto, 6, 56 é um valor que epressa fortemente a relação entre as variáveis em quais intervalos? 0 a 10? 0 a 100? 0 a 1000? A dúvida então permanece! Vamos agora mudar a unidade de medida da variável y e verificar se o valor permanece o mesmo da covariância. y1 <- y * 100 y2 <- y/100 cov(,y1) ## [1] cov(,y2) ## [1] O eemplo acima mostra claramente a dependência da medida covariância da unidade de mensuração. Ou seja, não conseguimos epressar numericamente por meio da covariância o quão forte estão relacionadas as variáveis. O coeficiente de correlação de Pearson contorna os inconvenientes mencionados acima, sendo o cálculo efetuado da seguinte maneira: r y = cov y s s y Utilizando os mesmos eemplos, veremos como se comporta o coeficiente de correlação. A função do R é a cor. cor(,y) ## [1] cor(,y1) ## [1]

3 cor(,y2) ## [1] Tipos de relação entre variáveis Os valores do coeficiente de correlação se situam entre os intervalos 1 e +1, sendo que 1 representa uma relação perfeita e 0 ausência de relação entre as variáveis. O sinal negativo indica uma relação contrária e positivo uma relação favorável entre as variáveis. Relação linear positiva Relação linear negativa y z Ausência de relação Relação não linear O r não quantifica esta relação u r 0 10 Eemplo 1. Um estudo do departamento de transportes sobre a velocidade ao volante e a milhagem de automóveis de tamanho médio resultou nos seguintes dados: Velocidade ao Volante Milhagem O primeiro passo é verificarmos o tipo de relação eistentes entre as variáveis, ou seja, se é linear ou de outra natureza. Uma maneira de verificarmos isto é por meio do gráfico de dispersão. 3

4 velocidade milhagem <- c(30,50,40,55,30,25,60,25,50,55) <- c(28,25,25,23,30,32,21,35,26,25) plot(velocidade,milhagem) milhagem velocidade Percebe-se que a relação é linear, logo, podemos utilizar o coeficiente de correlação de Pearson. cor(velocidade,milhagem) ## [1] Portanto, podemos concluir que a relação entre as variáveis é fortemente negativa (contrária), ou seja, a medida que aumentamos a velocidade ao volante a milhagem diminui. Teste de hipótese para ρ = 0 Uma vez que estamos interessados em saber a correlação entre as variáveis na população, e para isso, utilizamos um coeficiente amostral, devemos nos perguntar se aquele valor retornado pelo coeficiente de correlação de Pearson ocorreu por mero acaso ou se com uma determinada probabilidade esperaríamos aquela associação. Logo, é pertinente testarmos se o coeficiente de correlação é igual a zero ou diferente, maior ou menor que zero. No entanto, para realizarmos inferências sobre o coeficiente de correlação de Pearson, precisamos supor que a distribuição dos dados é normal bivariada. Portanto, tem-se as seguintes hipóteses: 4

5 Logo, tem-se a seguinte estatística de teste: t = r n 2 1 r 2 Em que t é a distribuição t de Student com n 2 graus de liberdade. Eemplo 1. Considerando o eemplo anterior, vamos testar a hipótese de que ρ 0. r = cor(velocidade,milhagem) # coeficiente de correlação n = length(velocidade) # tamanho da amostra t_calc = (r*sqrt(n - 2))/sqrt(1-r^2) # estatística de teste t_calc ## [1] pvalor = pt(t_calc, n-2) * 2 pvalor ## [1] # Utilizando uma função do R cor.test(velocidade,milhagem) ## ## Pearson's product-moment correlation ## ## data: velocidade and milhagem ## t = , df = 8, p-value = ## alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0 ## 95 percent confidence interval: ## ## sample estimates: ## cor ## Adontando um α = 0, 01, podemos afirmar com 99% de confiança que eiste associação entre as variáveis velocidade e milhagem. 5

6 Aplicação 1. A Média Industrial Dow Jones (DJIA) e o Standard & Poor s 500 (S&P500) são ambos utilizados como medidas do movimento global no mercado financeiro. A DJIA baseia-se no movimento de preços de 30 grandes empresas; o S&P500 é um índice composto de 500 títulos financeiros. Alguns dizem que o S&P500 é uma medida melhor do desempenho do mercado financeiro porque ele tem uma base mais ampla. Os preços de fechamento da DJIA e do S&P500 correspondentes a dez semanas, com início em 11 de fevereiro de 2000, são mostrados a seguir: Data DJIA S&P de fevereiro de fevereiro de fevereiro de março de março de março de março de março de abril de abril Podemos afirmar que há uma associação entre os dois índices? Ela é significativa? 6