PROBABILIDADE. Aula 5

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1 Curso: Psicologia Disciplina: Métodos Quantitativos Profa. Valdinéia Data: 28/10/15 PROBABILIDADE Aula 5 Geralmente a cada experimento aparecem vários resultados possíveis. Por exemplo ao jogar uma moeda, há dois resultados possíveis: cara ou coroa; No lançamento de um dado, existem 6 resultados possíveis: 1,2,3,4,5,6. O conjunto destes resultados recebe o nome de espaço amostral ou conjunto universo, representado por S. Espaço amostral(ω) x Evento(E) Um valor específico pertencente a um espaço amostral é denominado ponto amostral. Dentro do espaço amostral Ω(ômega) existem os eventos (E). Qualquer subconjunto de um espaço amostral é denominado evento (E). A chance de ocorrência de determinado evento é obtido utilizando a probabilidade. No lançamento de um dado o espaço amostral é: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Obter um número par na face superior do dado é um evento que - quando ocorrer - pode aparecer os seguintes números: 2, 4, ou 6. Então tanto o número 2, quanto o número 4, quanto o número 6, são eventos possíveis (E) dentro do espaço amostral (Ω). A probabilidade é um valor numérico, compreendido no intervalo de [0,1]. Quanto mais próximo de 0, menor é a chance de ocorrência de um evento; quanto mais próximo de 1, maior é a chance de ocorrência. - A probabilidade de cada valor da variável aleatória discreta é entre 0 e 1, inclusive 0 P(x) 1 - A soma de todas as possibilidades é 1 Σ P(x) = 1 Vamos ao que interessa! Descobrir a probabilidade de um evento acontecer.

2 Exemplos: probabilidade de chuva; probabilidade de tirar um 4 paus dentre as cartas de um baralho; probabilidade de tirar uma cara no jogo de uma moeda; probabilidade de obter um 1 e 5 na jogada de dois dados; probabilidade de ganhar na mega sena. Probabilidade de um evento Ω = espaço amostral ou universo de possibilidades E = evento Fórmula: P(E) = n(e) número de elementos de E n(ω) número de elementos de Ω No lançamento de uma moeda, o espaço amostral (S) é cara ou coroa e obter cara (E) é igual a 1 possibilidade. P(E) = 1 = 50% de chance de aparecer cara 2 No lançamento de um dado qual a probabilidade de se obter um número par? Ω = 1, 2, 3, 4, 5 e 6 E = 2, 4, 6 P(E) = n(e) = 3 = 1 n(ω) 6 2 E qual a probabilidade de tirar um número 4? Ω = 1, 2, 3, 4, 5 e 6 E = 4 P(E) = n(e) = 1 aproximadamente 0,167 n(ω) 6 Tipos de Probabilidades Probabilidade clássica ou teórica: é usada quando cada resultado de um espaço amostral é igualmente possível de ocorrer. A probabilidade clássica de um evento E é dado por: P(E)= número de resultados do evento núm. de resultados no espaço amostral No lançamento de um dado qual a probabilidade de se obter um número 4: Ω = 1, 2, 3, 4, 5 e 6 A = 4 P(E) = n(e) = 1 aproximadamente 0,167 n(ω) 6 Probabilidade empírica ou estatística: quando um experimento é repetido muitas vezes, ocorrem padrões regulares, que permitem encontrar a probabilidade empírica, que pode ser usada quando cada resultado de um evento não possui a mesma chance de ocorrer. A probabilidade empírica de um evento (E) é a frequência relativa do evento:

3 P(E)= frequência do evento frequência total Exemplo de probabilidade empírica ou estatística: Existem 4200 estudantes em um curso pré-vestibular. O gráfico de pizza mostra os cursos pretendidos por estes alunos. Se um estudante qualquer deste curso é aleatoriamente escolhido, qual a probabilidade do curso de sua escolha ser de direito? P(E) = número de estudantes que escolheram Direito núm. de estudantes do curso pré-vestibular Outros 630 Engenh aria 840 Direito 966 Medicin a 1764 P(E) = 966 = 23 = 0, Probabilidade Subjetiva: resulta da intuição, de suposições fundamentadas e estimativas. Exemplo 1: De acordo com a extensão dos ferimentos, um médico pode prever que o paciente pode ter 90% de chance de recuperação; Exemplo 2: Um analista de negócios pode prever que a chance dos funcionários de certa empresa entrarem em greve é de 0,25. Eventos complementares Dentro de um espaço amostral um evento pode ocorrer ou não, onde p é a probabilidade de ocorrência e q a probabilidade de não ocorrer, então para um evento sempre existe a relação: p + q = 1 (ocorrência) q = 1 p (não ocorrência) Assim se a probabilidade de tirar um número 4 é? P(E) = n(e) = 1 n(ω) 6 A probabilidade de não tirar um 4 é: q = 1 - p 1 1 = 1 1 = 6 1 = Eventos independentes Quando a realização de um evento não afeta a realização de outro evento. Por exemplo, ao lançar dois dados, o resultado obtido em um dos eventos, não afeta a probabilidade da realização do outro e vice e versa. Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de realização dos dois eventos. p = p1 x p2 No lançamento de dois dados, a probabilidade de obter um número 1 no primeiro dado e um número 5 no segundo dado é: 1 x 1 = 1

4 Eventos mutuamente exclusivos Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização do(s) outro(s). Por exemplo, no lançamento de uma moeda, o evento tirar cara e o evento tirar coroa são mutuamente exclusivos, já que não acontecem ao mesmo tempo. Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de um ou outro acontecer é igual a soma das probabilidades de que cada um deles se realize, então: p = p1 + p2 No lançamento de um único dado, a probabilidade de tirar um 3 ou um cinco é: p = = 2 = Distribuição normal A área em azul escuro está a menos de um desvio padrão (σ) da média. Em uma distribuição normal, isto representa cerca de 68% do conjunto, enquanto dois desvios padrões desde a média (azul médio e escuro) representam cerca de 95%, e três desvios padrões (azul claro, médio e escuro) cobrem cerca de 99.7%. Este fato é conhecido como regra , ou a regra empírica, ou a regra dos 3-sigmas. A distribuição normal é uma das mais importantes distribuições da estatística, conhecida também como Distribuição de Gauss ou Gaussiana. Além de descrever uma série de fenômenos físicos e financeiros, possui grande uso na estatística inferencial. É inteiramente descrita por seus parâmetros de média e desvio padrão, ou seja, conhecendo-se estes valores consegue-se determinar qualquer probabilidade em uma distribuição Normal. Variáveis com distribuição normal são muito comuns na natureza. Um dos principais estudiosos a observá-las foi Carl Friedrich Gauss ( ) em seus trabalhos sobre astronomia por volta de Motivo pelo qual alguns autores também denominam gaussiana essa distribuição. A probabilidade de ocorrência de um evento está diretamente ligada aos parâmetros μ(média) e (desvio padrão) provenientes da população. Conhecendo esses valores, considerando dada variável com distribuição normal e um evento A, é possível calcular a probabilidade de ocorrência de A por meio do cálculo de uma área.

5 Quando se tem uma variável aleatória com distribuição normal, a probabilidade assume um valor em um determinado intervalo. A distribuição normal possui as seguintes propriedades: 1º. A variável aleatória X pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo; 2º. A representação gráfica da distribuição normal é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da média (µ), que recebe o nome de curva normal ou de Gauss. 3º. A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abcissas, isto é, aproxima-se indefinidamente do eixo das abcissas sem, contudo, alcançá-los 4º. Como a curva é simétrica em torno da µ, a probabilidade de ocorrer um valor maior do que a média é igual à probabilidade de ocorrer um valor menor que a média, isto é, ambas as probabilidades são iguais a 0,5. Exemplo: Uma máquina produz agulhas com comprimento que possui uma distribuição normal e média (µ) = 2cm e desvio padrão (σ) = 0,04 cm. Qual a probabilidade de se obter agulhas com tamanho entre 2 e 2,05 cm. P(2<X<2,05) 1º passo: converter para distribuição normal reduzida P(0<Z<z) e aplicar a seguinte fórmula: z = x - µ σ P(µ<X<x) converter para P(0<Z<z) 2º passo: encontrar o valor de z usando a fórmula. z = x - µ z= 2,05 2,0 z= 0,05 z = 1,25 σ 0,04 0,04 3º passo: fazer a equivalência P(2<X<2,05) = P(0<Z<1,25) 4º passo: Localizar o número 1,25 na tabela de distribuição normal, onde 1,25 equivale a 0,8944. Então a P(0<Z<1,25) = 0,8944 Inferência: A probabilidade de uma agulha fabricado por essa máquina apresentar um tamanho entre 2 e 2,05 é 89,44% Simbologia Obs.: Alguns autores também denotam a variância amostral por s2 e o desvio padrão amostral por s.

6 Sugestões de vídeos: Aula 5 - Exercício prático: Considerando a Figura 3.1, qual é a probabilidade de, em um sorteio ao acaso, selecionarmos um funcionário da empresa M que possua altura maior ou igual a 1,85 m e menor que 1,90 m? Figura 3.1 Alturas ƒ Ainda considerando a Figura 3.1, calcule: a) P(1,60 X < 1,70) b) P(1,65 X < 1,90) c) P(X 2,00) d) P(1,50 X < 2,00)

7 1. Assinale a alternativa INCORRETA. a) A probabilidade é igual à razão entre o número de resultados favoráveis a um evento pelo total de resultados possíveis no espaço amostral. b) Denominamos evento qualquer subconjunto de um espaço amostral. c) Um ponto amostral é um valor específico de Ω. d) Quando a probabilidade de ocorrência de um evento é igual a zero, dizemos que o evento é certo. e) Quanto mais próxima de 1, maior a probabilidade de ocorrência de um evento. 2. Considere Ω = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l} e um evento A = {b, d, f}. Assinale a alternativa que contém P(A). a) 0,20 b) 0,25 c) 0,30 d) 0,35 e) 0,40 3. Sendo Y~N(0,1), assinale a alternativa que contém o valor de P(Y > 1,6). a) 0,945 b) 0,055 c) 1,000 d) 0,000 e) 0, Considere Z~N(0,1) e um ponto amostral z > 0 tal que P( z < Z < z) = 95,4%. Assinale a alternativa que contém o valor de z. a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e) 3,0 5. Sendo X~N(15,9), assinale a alternativa que contém o valor de P(12 < X < 18). a) 15,9% b) 84,1% c) 62,8% d) 42,9% e) 68,2% 6. Considerando X~N(50,16) e Y~N(100,25), qual o evento mais provável: sortear um valor de X menor que 48 ou um valor de Y maior que 102? 7. Em determinada linha de produção, um produto é descartado se seu peso for menor que 4,9 kg. Sabese que a variável peso (X) nessa linha de produção possui distribuição normal com média de 5 kg e desvio padrão de 0,06 kg. Nessas condições, qual é a probabilidade de se descartar um produto? 8. Classifique cada afirmação a seguir como: probabilidade clássica, empírica ou subjetiva. a) a probabilidade de uma pessoa se casar aos 30 anos é de 0,5. b)a probabilidade de que um eleitor escolhido aleatoriamente irá votar na senadora Marina Silva, para presidente é de 0,45. c) a probabilidade de ganhar no bingo com cartelas é de 10/1000.

8 d) De acordo com os registros de uma empresa, a probabilidade de que uma máquina de lavar precise de reparos durante o período de 6 anos é de 0,10.