CURSO DE GESTÃO EMPRESARIAL Disciplina: Aplicações Estatísticas no Processo Gerencial

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1 CURSO DE GESTÃO EMPRESARIAL Disciplina: Aplicações Estatísticas no Processo Gerencial Professor Leonardo A. M. Moraes, M.Mat.

2 Conteúdo do Curso Introdução Datas, Bibliografia recomendada, Avaliação 1. Estudo das Probabilidades O que é probabilidade? Por que precisamos estudar probabilidade? Exemplos de probabilidade no nosso dia a dia 2. Conceituação de População e Amostras População Amostras Frequência Relativa Curva Normal ou Gaussiana 3. Métodos de Amostragem Principais Métodos de Amostragem Tamanho da Amostra

3 Conteúdo do Curso 4. Medidas Estatísticas Principais Medidas Estatísticas Média Moda Mediana Desvio Padrão (e Variância) 5. Regressão Linear como Ferramenta de Gestão 6. Modelagem de Problemas O Problema do Café Programação Linear História Variáveis de Decisão Função Objetivo Restrições

4 Conteúdo do Curso 7. Programação Linear Aplicações Práticas Problema de Alocação de Recursos 8. Aplicações de Recursos de Planilha Eletrônica para Otimização do Processo de Tomada de Decisão Gerencial

5 Introdução Organização do Curso

6 Introdução Organização do Curso Prof. Leonardo A. M. Moraes, M. Mat. Engenheiro Eletricista (Universidade Federal de Juiz de Fora, 2004) Mestre em Matemática (Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2008) Pesquisador no Centro de Pesquisas em Energia Elétrica/Eletrobras ( ) Analista de Pesquisa Operacional na Petrobras Professor Colaborador na UniverCidade/Gama Filho Professor Colaborador na Estácio Download do material de apoio para a disciplina em:

7 Introdução Organização do Curso Bibliografia Recomendada Avaliações Estatística Elementar Paul G. Hoel, Ed. Atlas. Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências Jay L. Devore, Ed. Thomson. O Andar do Bêbado Leonard Mlodinow, Ed. Zahar. Trabalho 1 Estatística (valor: 50%) Itens 1 a 4 Trabalho 2 Regressão/Programação Linear (valor: 50%) Itens 5 a 8

8 1. Estudo das Probabilidades Mas, afinal, o que é probabilidade? A probabilidade de certo evento ocorrer, nada mais é do que uma medida da chance deste evento ocorrer. O primeiro exemplo sobre probabilidade é a jogada de um dado de 6 faces (não-viciado). Qual a chance que o dado caia no 1? Qual a chance que o dado caia no 2?... Qual a chance que o dado caia no 6? A resposta natural a esta pergunta é 1 em 6. Mas, por quê?

9 1. Estudo das Probabilidades Mas, afinal, o que é probabilidade? Quando respondemos que a chance de um resultado de uma jogada de 1 dado ser 1, ou 2, queremos dizer que, se jogarmos um dado 60 vezes, esperamos que ele caia 10 vezes no número 1, 10 vezes no número 2,... Mas: isto sempre ocorre? Se começarmos a jogar um dado e os resultados forem: 1 na primeira jogada, 2 na segunda, 3 na terceira, 4 na quarta, 5 na quinta, isto significa que o dado cairá no 6 na sexta jogada? Esta regra pode não ter sentido, mas já nos perguntamos quantas vezes acreditamos estar em uma maré de sorte e, só porque ganhamos algumas jogadas acreditamos que vamos continuar ganhando?

10 1. Estudo das Probabilidades O que vamos estudar no curso Neste curso, vamos tentar responder a algumas perguntas, como: Qual a chance de, ao jogar um dado, saia o número 5? A chance de sair 3 é diferente? Qual a chance de, ao jogar 2 dados simultaneamente, a soma dos resultados seja 10? A chance da soma ser 9 é diferente? Qual a chance de alguém tirar o número 1 em 3 jogadas seguidas de um dado? Qual a chance de alguém tirar o número 1 pelo menos 2 vezes em 3 jogadas seguidas de um dado? Embora estas questões envolvendo dados possam parecer distantes da nossa realidade (a menos que viajemos a Las Vegas todo ano), as suas respostas têm a ver como muitas questões do nosso cotidiano, como, qual a chance de um jogador quebrar o recorde do Washington (2004) e fazer mais do que 34 gols em um campeonato Brasileiro?

11 1. Estudo das Probabilidades Artilharia Campeonato Brasileiro Gols Ano

12 1. Estudo das Probabilidades Será que podemos prever alguma coisa olhando para o gráfico anterior? Ele voltará à discussão mais à frente, quando começarmos a falar das distribuições de probabilidade, e de estatística. A estatística está intimamente relacionada com a probabilidade, embora haja uma diferença fundamental: a estatística tenta descobrir parâmetros sobre as fontes de incerteza a partir de uma amostra, ou seja, depois que alguns eventos aleatórios já ocorreram a posteriori. Teremos outras discussões, como qual o tamanho necessário da amostra de dados para que possamos ter alguma certeza nos parâmetros estimados? Por exemplo, no gráfico dos artilheiros, temos apenas 9 anos ( ). Não podemos ter muita certeza olhando apenas 9 anos. Podemos olhar para a média de gols dos artilheiros... aí teremos um período maior de dados para analisarmos.

13 1. Estudo das Probabilidades Média de Gols (Artilheiros) Média (gols/jogo) Ano

14 1. Estudo das Probabilidades Média (gols/jogo) Reinaldo Zico Zico Média de Gols (Artilheiros) Edmundo Guilherme Washington Ano

15 1. Estudo das Probabilidades O que vamos estudar no curso Somente como curiosidade, as respostas são: Qual a chance de, ao jogar um dado, saia o número 5? A chance de sair 3 é diferente? R: Qual a chance de, ao jogar 2 dados simultaneamente, a soma dos resultados seja 10? E a chance da soma ser 9? R: Qual a chance de alguém tirar o número 1 em 3 jogadas seguidas de um dado? R: Qual a chance de alguém tirar o número 1 pelo menos 2 vezes em 3 jogadas seguidas de um dado? R:

16 1. Estudo das Probabilidades O que vamos estudar no curso Somente como curiosidade, as respostas são: Qual a chance de, ao jogar um dado, saia o número 5? A chance de sair 3 é diferente? R: 1/6 e 1/6. Qual a chance de, ao jogar 2 dados simultaneamente, a soma dos resultados seja 10? E a chance da soma ser 9? R: Qual a chance de alguém tirar o número 1 em 3 jogadas seguidas de um dado? R: Qual a chance de alguém tirar o número 1 pelo menos 2 vezes em 3 jogadas seguidas de um dado? R:

17 1. Estudo das Probabilidades O que vamos estudar no curso Somente como curiosidade, as respostas são: Qual a chance de, ao jogar um dado, saia o número 5? A chance de sair 3 é diferente? R: 1/6 e 1/6. Qual a chance de, ao jogar 2 dados simultaneamente, a soma dos resultados seja 10? E a chance da soma ser 9? R: soma 10: 27/216, soma 9: 21/216. (diferentes) Qual a chance de alguém tirar o número 1 em 3 jogadas seguidas de um dado? R: Qual a chance de alguém tirar o número 1 pelo menos 2 vezes em 3 jogadas seguidas de um dado? R:

18 1. Estudo das Probabilidades O que vamos estudar no curso Somente como curiosidade, as respostas são: Qual a chance de, ao jogar um dado, saia o número 5? A chance de sair 3 é diferente? R: 1/6 e 1/6. Qual a chance de, ao jogar 2 dados simultaneamente, a soma dos resultados seja 10? E a chance da soma ser 9? R: soma 10: 27/216, soma 9: 21/216. (diferentes) Qual a chance de alguém tirar o número 1 em 3 jogadas seguidas de um dado? R: 1/216. Qual a chance de alguém tirar o número 1 pelo menos 2 vezes em 3 jogadas seguidas de um dado? R:

19 1. Estudo das Probabilidades O que vamos estudar no curso Somente como curiosidade, as respostas são: Qual a chance de, ao jogar um dado, saia o número 5? A chance de sair 3 é diferente? R: 1/6 e 1/6. Qual a chance de, ao jogar 2 dados simultaneamente, a soma dos resultados seja 10? E a chance da soma ser 9? R: soma 10: 27/216, soma 9: 21/216. (diferentes) Qual a chance de alguém tirar o número 1 em 3 jogadas seguidas de um dado? R: 1/216. Qual a chance de alguém tirar o número 1 pelo menos 2 vezes em 3 jogadas seguidas de um dado? R: 1/16.

20 1. Estudo das Probabilidades Por que precisamos da probabilidade? Muitas vezes precisamos atribuir números a eventos, porque, quando confiamos demais na nossa intuição, podemos ser enganados pelo nosso cérebro. Exemplo: programa de TV americana de 1963 a 1976 chamado Let s Make a Deal. Eis o programa de Monty Hall: o participante tem que escolher uma dentre três portas: atrás de uma dela, há um prêmio; atrás das outras, não há nada. Depois que o participante escolhe uma porta, o apresentador, que sabe o que está atrás de cada uma, abre uma das portas não escolhidas, mostra que não há nada atrás dela e então diz ao participante: Você gostaria de mudar sua escolha? O que fazer?

21 1. Estudo das Probabilidades Por que precisamos da probabilidade? No programa Let s Make a Deal, a melhor opção é trocar de porta. Se o participante opta por trocar de porta, sua chance de ganhar o prêmio é o dobroda chance de não ganhar nada (no programa original os prêmios eram: 1 carro ou 1 cabra). Mas, se restam 2 portas, as chances não são 50% / 50%? Por enquanto, vamos tentar entender sem cálculos.

22 1. Estudo das Probabilidades Paradoxo de Monty Hall O grande detalhe para entendermos este paradoxo é levarmos em consideração que o apresentador sabe o que está por trás de cada porta. Vamos analisar 2 situações: - O participante tinha escolhido a porta certa Neste caso, o apresentador vai abrir qualquer uma das portas restantes. Caso o participante troque de porta, ele perde o prêmio. - O participante tinha escolhido uma porta errada Neste caso, o apresentador vai abrir a outra porta errada. Caso o participante troque de porta, ele ganha o prêmio. Ou seja, ao abrir uma porta errada, o apresentador inverte as coisas: se o participante tivesse escolhido a porta errada de início e trocar, ele ganha. Se tivesse escolhido a porta certa e trocar, ele perde.

23 1. Estudo das Probabilidades Paradoxo de Monty Hall Mas o que é mais provável? Que o participante tenha escolhido a porta certa no início, ou que tenha escolhido a porta errada? Como havia 2 portas erradas e 1 porta certa, a probabilidade de ele ter escolhido a porta errada no início (e, ao trocar, ganhar o prêmio), é 2 vezes maior do que a probabilidade de ele ter escolhido a porta certa (e, ao trocar, perder o prêmio). Pode parecer inacreditável a primeira vista uma discussão aconteceu quando Marilyn vos Savant (maior QI já registrado no mundo) respondeu a esta pergunta em uma revista. Ela recebeu cerca de cartas dizendo que estava errada (inclusive de matemáticos famosos), e que as chances são 50% / 50%. Porém, um QI de 228 não pode ser subestimado...

24 1. Estudo das Probabilidades Onde a probabilidade está presente no nosso dia a dia? Quando vamos ao médico e ele analisa os resultados de um exame; Neste caso, o médico pode confundir o não há indícios que você esteja doente com o você está curado. Quando um advogado tenta provar que a chance de uma pessoa se enquadrar no perfil de um criminoso é tão baixa que, como o réu se enquadra neste perfil, só pode ser ele o criminoso; Neste caso, talvez a pergunta mais relevante a ser feita é: dentre todas as pessoas que se enquadram neste perfil, qual a chance do réu ser o criminoso? E sim, quando vamos jogar na Mega Sena e descartamos a aposta em jogos do tipo , ou A chance destas sequências é a mesma de qualquer outra, mas a chance de vermos uma sequência com um padrão (números em sequência, múltiplos, etc) é muito menor do que a de vermos uma sem padrão.

25 1. Estudo das Probabilidades Aplicações de Estatística no processo de tomada de decisões Como no estudo dos artilheiros, quando há um grande registro histórico de dados, algumas características do processo podem ser levantadas no Capítulo 4 estudaremos algumas delas, como a média, a variância e o desvio padrão. Além destas estatísticas básicas, podem ser levantados gráficos de regressão (Capítulo 5) e curvas características, que permitem, e.g., identificar pontos (consumidores) que fogem do padrão, indicando, por exemplo, irregularidades; busca de hábitos de consumo; etc. Exemplos: comportamento dos usuários de serviços públicos, como energia, água, e telefonia; características de movimentação financeira dos clientes de uma rede bancária; análise de carteira de clientes, buscando inconsistências e analisando hábitos; consumo de combustível de frota de veículos; etc.

26 2. Conceituação de População e Amostras População A situação ideal é a de que, e.g., em uma pesquisa eleitoral todos os eleitores fossem perguntados sobre a sua preferência. Sabendo-se a opinião de toda a população, ter-se-ia uma certeza em relação ao resultado da eleição.

27 2. Conceituação de População e Amostras População É importante diferenciar o objeto da população que se estuda, e a característica de interesse da mesma. A seguir, temos alguns exemplos destes conceitos: Objeto Pessoa Fazenda Luz Lâmpada Elétrica Característica Número, peso, altura Acres, gado Velocidade, índice refração Durabilidade, potência

28 2. Conceituação de População e Amostras Amostra Como (normalmente) não é possível que toda a população seja consultada em uma pesquisa, apenas uma amostra do total de eleitores deve fazer parte da mesma. Veremos no próximo Capítulo como as amostras são obtidas (há diversos processos). Porém, de uma forma geral, para o exemplo de uma pesquisa eleitoral, o que se deseja é que a amostra seja aleatória; não seja estratificada, i.e, não contemple ou exclua um segmento da população; e seja do maior tamanho possível, para se diminuir as margens de erro.

29 2. Conceituação de População e Amostras População e Amostra Representando de uma forma gráfica... Amostra População

30 2. Conceituação de População e Amostras Frequência Relativa Um importante conceito, introdutório à probabilidade, é o da frequência (absoluta ou relativa). Ao coletarmos uma amostra de uma população, podemos pôr em evidência com que frequência um determinado valor ocorre nesta amostra. Como exemplo, suponha que uma fábrica produza barras de ferro que deveriam ter 5cm de comprimento. Como não é possível que se meçam todas as barras produzidas, 50 destas são aleatoriamente escolhidas e seus comprimentos são medidos.

31 2. Conceituação de População e Amostras Frequência Relativa Como resultado desta medição, os seguintes valores (em cm) foram obtidos: 5,11 4,90 5,07 4,86 4,92 4,85 4,85 5,06 4,95 5,00 5,06 4,96 4,91 5,10 4,80 5,13 4,82 4,84 4,97 4,87 5,04 4,97 5,07 4,88 4,98 5,00 4,88 5,05 5,04 4,91 5,09 4,98 5,01 4,96 4,81 4,95 4,83 4,84 5,02 5,08 4,93 4,99 4,93 5,03 4,89 5,02 4,81 4,92 4,99 5,01 Por motivos gerenciais, o diretor de qualidade solicitou uma análise da frequência na qual uma barra produzida qualquer tenha um comprimento entre 4,80 e 4,84cm, entre 4,85 e 4,89cm, 4,90 a 4,94cm,..., 5,10 a 5,14cm.

32 2. Conceituação de População e Amostras Frequência Relativa Pode-se, então, escrever a seguinte tabela: Int. (cm) 4,80 a 4,84 4,85 a 4,89 4,90 a 4,94 4,95 a 4,99 5,00 a 5,04 5,05 a 5,09 5,10 a 5,14 # de medidas 5,11 4,90 5,07 4,86 4,92 4,85 4,85 5,06 4,95 5,00 5,06 4,96 4,91 5,10 4,80 5,13 4,82 4,84 4,97 4,87 5,04 4,97 5,07 4,88 4,98 5,00 4,88 5,05 5,04 4,91 5,09 4,98 5,01 4,96 4,81 4,95 4,83 4,84 5,02 5,08 4,93 4,99 4,93 5,03 4,89 5,02 4,81 4,92 4,99 5,01

33 2. Conceituação de População e Amostras Frequência Relativa Pode-se, então, escrever a seguinte tabela: Int. (cm) 4,80 a 4,84 4,85 a 4,89 4,90 a 4,94 4,95 a 4,99 5,00 a 5,04 5,05 a 5,09 5,10 a 5,14 # de medidas 6 5,11 4,90 5,07 4,86 4,92 4,85 4,85 5,06 4,95 5,00 5,06 4,96 4,91 5,10 4,90 5,13 4,82 4,84 4,97 4,87 5,04 4,97 5,07 4,88 4,98 5,00 4,88 5,05 5,04 4,91 5,09 4,98 5,01 4,96 4,81 4,95 4,83 4,84 5,02 5,08 4,93 4,99 4,93 5,03 4,89 5,02 4,81 4,92 4,99 5,01

34 2. Conceituação de População e Amostras Frequência Relativa Pode-se, então, escrever a seguinte tabela: Int. (cm) 4,80 a 4,84 4,85 a 4,89 4,90 a 4,94 4,95 a 4,99 5,00 a 5,04 5,05 a 5,09 5,10 a 5,14 # de medidas 6 7 5,11 4,90 5,07 4,86 4,92 4,85 4,85 5,06 4,95 5,00 5,06 4,96 4,91 5,10 4,90 5,13 4,82 4,84 4,97 4,87 5,04 4,97 5,07 4,88 4,98 5,00 4,88 5,05 5,04 4,91 5,09 4,98 5,01 4,96 4,81 4,95 4,83 4,84 5,02 5,08 4,93 4,99 4,93 5,03 4,89 5,02 4,81 4,92 4,99 5,01

35 2. Conceituação de População e Amostras Frequência Relativa Pode-se, então, escrever a seguinte tabela: Int. (cm) 4,80 a 4,84 4,85 a 4,89 4,90 a 4,94 4,95 a 4,99 5,00 a 5,04 5,05 a 5,09 5,10 a 5,14 # de medidas ,11 4,90 5,07 4,86 4,92 4,85 4,85 5,06 4,95 5,00 5,06 4,96 4,91 5,10 4,90 5,13 4,82 4,84 4,97 4,87 5,04 4,97 5,07 4,88 4,98 5,00 4,88 5,05 5,04 4,91 5,09 4,98 5,01 4,96 4,81 4,95 4,83 4,84 5,02 5,08 4,93 4,99 4,93 5,03 4,89 5,02 4,81 4,92 4,99 5,01

36 2. Conceituação de População e Amostras Frequência Relativa Pode-se, então, escrever a seguinte tabela: Int. (cm) # de medidas 4,80 a 4,84 4,85 a 4,89 4,90 a 4,94 4,95 a 4,99 5,00 a 5,04 5,05 a 5,09 5,10 a 5, ,11 4,90 5,07 4,86 4,92 4,85 4,85 5,06 4,95 5,00 5,06 4,96 4,91 5,10 4,80 5,13 4,82 4,84 4,97 4,87 5,04 4,97 5,07 4,88 4,98 5,00 4,88 5,05 5,04 4,91 5,09 4,98 5,01 4,96 4,81 4,95 4,83 4,84 5,02 5,08 4,93 4,99 4,93 5,03 4,89 5,02 4,81 4,92 4,99 5,01

37 2. Conceituação de População e Amostras Frequência Relativa Esta tabela indica a frequência absoluta de um certo intervalo de valores. Na grande maioria das vezes, é melhor que se analise a frequência de intervalos, e não de valores isolados. Int. (cm) # de medidas 4,80 a 4,84 4,85 a 4,89 4,90 a 4,94 4,95 a 4,99 5,00 a 5,04 5,05 a 5,09 5,10 a 5, Somando-se todos os valores, devemos ter exatamente o número de observações da amostra, i.e, = 50.

38 2. Conceituação de População e Amostras Frequência Relativa Pode-se, também, calcular as frequências relativas de cada intervalo. Como estes valores foram obtidos a partir de uma amostra de 50 elementos, a seguinte tabela representa a frequência relativa dos intervalos. Int. (cm) # de medidas 4,80 a 4,84 4,85 a 4,89 4,90 a 4,94 4,95 a 4,99 5,00 a 5,04 5,05 a 5,09 5,10 a 5,14 0,12 0,14 0,16 0,20 0,18 0,14 0,06 Estes valores foram obtidos dividindo-se a frequência absoluta pelo número de observações da amostra.

39 2. Conceituação de População e Amostras Frequência Relativa Histograma Mais intuitivo do que a tabela, é o gráfico da distribuição das frequências, chamado histograma. Para construir tal gráfico, colocamos no eixo das abcissas os valores da grandeza medida (intervalos), e no eixo das ordenadas as suas correspondentes frequências de ocorrência.

40 2. Conceituação de População e Amostras Frequência Relativa Histograma A distribuição de frequências tem três características importantes: indica os valores mais prováveis e menos prováveis da grandeza. Os primeiros são os valores que apresentam alta frequência de ocorrência e os segundos são os valores que apresentam baixa frequência de ocorrência. Isto está relacionado com a probabilidade de ocorrência dos valores; indica a tendência de certos valores em se concentrarem em torno de um determinado valor. Isto está relacionado com o valor médio da grandeza; e indica aproximadamente o intervalo no qual se encontra o valor da grandeza. Isto representa a dispersão da grandeza. Vamos rever o histograma para identificar estas características.

41 2. Conceituação de População e Amostras Frequência Relativa Histograma Os valores mais prováveis para o comprimento da barra são de 4,90 a 5,04cm. O intervalo mais provável é de 4,95 a 4,99cm.

42 2. Conceituação de População e Amostras Frequência Relativa Histograma Há uma concentração de valores em torno do intervalo de 4,95 a 4,99cm. Esta é uma indicação do valor médio da grandeza comprimento da barra, neste exemplo.

43 Diz-se que há muita dispersão quando valores afastados da média têm uma frequência ainda alta de ocorrência. No nosso exemplo, há uma grande dispersão, pois, e.g, o intervalo 4,80 a 4,84cm tem uma frequência significativa. Disciplina: Aplicações Estatísticas no Processo Gerencial 2. Conceituação de População e Amostras Frequência Relativa Histograma

44 2. Conceituação de População e Amostras Frequência Relativa Histograma Exemplo de gráfico com baixa dispersão.

45 2. Conceituação de População e Amostras Frequência Relativa Histograma Vimos que esta curva nos mostra que há, normalmente, uma concentração em torno da média do valor medido. Além disto, à medida que os valores se afastam da média, a frequência (absoluta ou relativa) de aparecimento destes valores se reduz rapidamente. Porém, será que este é um comportamento que ocorreu unicamente no exemplo dos comprimentos da barra? A resposta a esta pergunta é não. Diversas medidas têm a mesma forma se seus histogramas forem traçados. Em 1973 um matemático chamado Moivre (amigo de Newton e Halley) verificou que o histograma da altura das pessoas, de seu peso, da sua longevidade, etc, tinham todos a mesma forma. À pessoa próxima às médias ele chamou de pessoa normal. Por isso, atualmente, a curva é chamada de curva Normal, ou Gaussiana (devido aos estudos futuros do matemático Gauss).

46 2. Conceituação de População e Amostras Frequência Relativa Histograma A seguir, um exemplo típico de uma curva normal, ou Gaussiana.

47 2. Conceituação de População e Amostras A Curva Gaussiana no Nosso Cotidiano A curva Gaussiana pode aproximar diversas grandezas, como, por exemplo, Características físicas; Peso; Altura; etc; Erros de medida em experimentos científicos; Tempos de reação em experimentos psicológicos; Medidas de inteligência (QI); Pontuações em testes (concursos, vestibular, provas); e Medidas Econômicas. Discussão: a meritocracia nas empresas através da curva Gaussiana.

48 3. Métodos de Amostragem Introdução Como apresentado no Capítulo 2, a única maneira que se tem para garantir um conhecimento certo sobre alguma característica de uma população é a pesquisa exaustiva, i.e, com todos os indivíduos desta população. Na prática, isto não é possível, obrigando que apenas uma amostra desta população seja analisada, e as características desta amostra são estendidas a toda a população a partir de uma amostra se gera conhecimento acerca da população como um todo. Neste Capítulo, serão apresentadas diferentes maneiras de se obter estas amostras; o Teorema do Limite Central; e uma fórmula para se calcular o tamanho necessário da amostra.

49 3. Métodos de Amostragem Métodos de Amostragem Existem 2 grandes grupos de métodos de amostragem na Estatística, os métodos probabilísticos e os métodos não probabilísticos. Neste curso, iremos focar apenas nos métodos probabilísticos. Uma amostragem através de um método probabilístico se caracteriza por garantir que todo elemento da população possua probabilidade diferente de zero de pertencer à amostra. Os principais métodos são: Amostragem Aleatória Simples Com Reposição Sem Reposição Amostragem Aleatória Estratificada Amostragem Sistemática etc

50 3. Métodos de Amostragem Amostragem Aleatória Simples com Reposição Este é o método mais simples de amostragem, quando, e.g., existem diversas bolas coloridas dentro de uma caixa e o sorteio é realizado da seguinte forma: uma bola é retirada da urna. Sua cor é registrada a bola é devolvida para a urna; outra bola é retirada da urna e o processo volta ao início. Embora ninguém fique sorteando bolas de urnas (ou caixas) costumeiramente, este método representa, por exemplo, a pesquisa eleitoral. Por quê? Porque após responder a pergunta sobre sua preferência, o eleitor volta à urna, tendo chance, inclusive, de ser perguntado novamente na mesma pesquisa (embora a chance seja pequena). O objetivo da AAS (com reposição) é estimar a proporção de bolas de cada cor dentro da caixa, ou, a proporção de eleitores favoráveis a cada candidato.

51 3. Métodos de Amostragem Amostragem Aleatória Simples com Reposição Vamos ilustrar este método com o exemplo da pesquisa eleitoral novamente. A nossa urna, ou caixa, é a população de todos os eleitores da cidade do Rio de Janeiro, que totalizam 4,7 milhões de eleitores. Desejamos estimar quantos votos os candidatos vão ter na eleição, antes que ela ocorra. Um instituto de pesquisa foi à rua e repetiu 1000 vezes a pergunta: em quem o senhor(a) irá votar na eleição para prefeito? As respostas foram Candidato Eleitores Favoráveis A 500 B 250 C 150 nenhum 100

52 3. Métodos de Amostragem Amostragem Aleatória Simples com Reposição Reescrevendo a tabela com a frequência relativa, Candidato Eleitores Favoráveis (%) A 50% B 25% C 15% nenhum 10% Estes resultados indicam alguma coisa?

53 3. Métodos de Amostragem Amostragem Aleatória Simples com Reposição Supondo que a frequência relativa seja mantida entre todos os eleitores da cidade, e supondo que todos os 4,7 milhões de eleitores votassem. Candidato Eleitores Favoráveis (%) Votos Recebidos A 50% B 25% C 15% nenhum 10% Porém, usualmente as pesquisas eleitoras informam não um único percentual de valores, mas uma faixa de valores (+/- 3%). Discutiremos isto no fim deste capítulo.

54 3. Métodos de Amostragem Amostragem Aleatória Simples sem Reposição O nome deste método é autoexplicativo: a única diferença dele em relação ao método anterior é que, após o sorteio de um indivíduo da população, este é retirado da urna (ou caixa) e não pode mais ser sorteado. Como exemplo (simples), temos o jogo de Bingo. Imaginando que haja 70 números na urna, qual a probabilidade do primeiro número sorteado ser o 28?

55 3. Métodos de Amostragem Amostragem Aleatória Simples sem Reposição O nome deste método é autoexplicativo: a única diferença dele em relação ao método anterior é que, após o sorteio de um indivíduo da população, este é retirado da urna (ou caixa) e não pode mais ser sorteado. Como exemplo (simples), temos o jogo de Bingo. Imaginando que haja 70 números na urna, qual a probabilidade do primeiro número sorteado ser o 28? R: Como há 70 números na urna, e queremos que 1 específico seja sorteado, a probabilidade é de 1 em 70.

56 3. Métodos de Amostragem Amostragem Aleatória Simples sem Reposição O nome deste método é autoexplicativo: a única diferença dele em relação ao método anterior é que, após o sorteio de um indivíduo da população, este é retirado da urna (ou caixa) e não pode mais ser sorteado. Como exemplo (simples), temos o jogo de Bingo. Imaginando que haja 70 números na urna, qual a probabilidade do primeiro número sorteado ser o 28? R: Como há 70 números na urna, e queremos que 1 específico seja sorteado, a probabilidade é de 1 em 70. E, supondo que os números 20, 14, 2, 70, e 35 já tenham sido sorteados, qual a probabilidade que o sexto número seja o 28?

57 3. Métodos de Amostragem Amostragem Aleatória Simples sem Reposição O nome deste método é autoexplicativo: a única diferença dele em relação ao método anterior é que, após o sorteio de um indivíduo da população, este é retirado da urna (ou caixa) e não pode mais ser sorteado. Como exemplo (simples), temos o jogo de Bingo. Imaginando que haja 70 números na urna, qual a probabilidade do primeiro número sorteado ser o 28? R: Como há 70 números na urna, e queremos que 1 específico seja sorteado, a probabilidade é de 1 em 70. E, supondo que os números 20, 14, 2, 70, e 35 já tenham sido sorteados, qual a probabilidade que o sexto número seja o 28? R: Neste caso, após 5 números sorteados (20, 14, 2, 70, e 35), restam 65 números na urna. Como queremos 1 específico, a probabilidade é 1 em 65.

58 3. Métodos de Amostragem Amostragem Aleatória Simples sem Reposição Exemplo: O gerente de uma empresa resolveu comprar alguns prêmios para os 10 melhores funcionários de um determinado ano. Porém, no final do ano, 20 funcionários tiveram a mesma (excelente avaliação). O gerente decidiu, então, sortear 10 funcionários entre os 20 para receberem o prêmio. Discussão: O gerente deve realizar um sorteio com ou sem reposição? Por quê? Qual a chance de um destes 20 excelentes funcionários ganhar o prêmio? Já que, como no jogo de bingo, a chance de ser o 10º sorteado, depois de 9 funcionários já terem sido sorteados é maior do que a chance de ser o 1º funcionário, deve-se torcer para ser o 10º e não, e.g., o 5º a sair?

59 3. Métodos de Amostragem Amostragem Aleatória Estratificada Em algumas situações, diferentes grupos de uma população têm características bem distintas entre si. Por exemplo: podemos desejar levantar algumas características das empresas do estado do Rio de Janeiro, mas não convém analisarmos em uma mesma amostra microempresas, empresas de porte médio, grandes empresas, etc. Nestas situações, o seguinte procedimento deve ser adotado: identificar os grupos (ou estratos) da população que fazem sentido (e.g. pequenas empresas, empresas de médio porte, grandes empresas, etc.); realizar uma amostragem aleatória simples por estrato; levantar as características desejadas para cada estrato (e.g. média do número de funcionários das empresas, média do lucro trimestral, etc.).

60 3. Métodos de Amostragem Amostragem Aleatória Estratificada Como exemplo, poderíamos desejar saber o salário médio de um Administrador Jr. no mercado de trabalho em um município. Neste caso, podemos dividir as empresas por setor de atuação e realizarmos a pesquisa. Setor Número de Empresas Comércio Agronegócio 200 Serviços Indústria 100 Total 6.800

61 3. Métodos de Amostragem Amostragem Aleatória Estratificada Neste caso, seria feita uma pesquisa de salário médio de um Administrador Jr. em cada um dos setores, resultando em uma tabela do tipo: Setor Salário Médio Comércio R$ 2.500,00 Agronegócio R$ 1.500,00 Serviços R$ 3.000,00 Indústria R$ 4.000,00 Para cada um dos setores deve ter sido feita uma pesquisa com amostragem aleatória simples.

62 3. Métodos de Amostragem Amostragem Sistemática O método de Amostragem Sistemática é um método não-aleatório de geração de amostras de uma população pois, em vez de escolhermos aleatoriamente os indivíduos da amostra, o fazemos de maneira... sistemática. Exemplo: Uma companhia aérea deseja descobrir o perfil dos passageiros de um determinado voo (sexo, idade, motivo da viagem, etc). Depois de alguma discussão interna, decidiu-se gerar que uma amostra de 30 pessoas, dentre os 300 passageiros de um voo em um Airbus 330. De maneira a se facilitar o trabalho dos comissários (que fariam o trabalho de pesquisa), decidiu-se que a pesquisa seria feita da seguinte forma:

63 3. Métodos de Amostragem Amostragem Sistemática Como se tinham 300 passageiros e a amostra desejada era de 30 passageiros, calculou-se que 1 passageiro em cada grupo de 10 deveria ser consultado; Assim, a cada 10 passageiros que embarcavam na aeronave, no momento do voo, a comissária de bordo entregava um cartão com as perguntas para as quais se desejavam respostas: 1) Qual a sua idade? [ ] até 18 [ ] de 19 a 24 [ ] de 25 a 30 [ ] de 31 a 40 [ ] de 41 a 50 [ ] 51 ou mais 2) Qual é o motivo de sua viagem? [ ] lazer [ ] negócio [ ] ambos Disciplina: Aplicações Estatísticas no Processo Gerencial

64 3. Métodos de Amostragem Amostragem Sistemática Neste exemplo, como o tamanho da população era conhecido (300 passageiros), optou-se por dividi-la de forma uniforme. Porém, a amostragem sistemática pode ser feita sem que o tamanho da população seja conhecido, apenas com a sistemática de pesquisa: pesquisar 1 a cada 10 passageiros do avião, até que o embarque seja encerrado, por exemplo. Para que a média de uma amostra sistemática seja uma estimativa sem tendência da média da população, alguma forma de seleção aleatória deve ser incorporada no processo de amostragem. Porém, a única possibilidade de inserir esta aleatoriedade é a seleção da primeira unidade da amostra sistemática a pesquisa poderia começar com o 1º passageiro, ou o 2º, ou o 3º,...

65 3. Métodos de Amostragem Tamanho da Amostra Independentemente de como a amostra é obtida, uma pergunta fundamental ainda não foi respondida: Qual o tamanho ideal (ou mínimo) da amostra? Além disto, podemos também pensar em responder a outras questões, como: caso a população considerada seja a de pessoas em São Paulo/SP (11,5 milhões habitantes), ou em Boa Vista/RR (300 mil habitantes), a amostra deve ter tamanho diferente? Caso queiramos uma certeza maior no valor que pesquisamos (e.g. altura média das pessoas na cidade), qual a influência desta certeza no tamanho da minha amostra?

66 3. Métodos de Amostragem Erro Amostral Antes de falarmos sobre o tamanho da amostra, precisamos definir um conceito muito importante nesta análise, o de erro amostral. O erro amostral é a diferença entre um resultado amostral e o verdadeiro resultado populacional. Este erro é resultado de flutuações amostrais aleatórias. Como exemplo de erros amostrais, temos as margens de erro de pesquisas eleitorais, normalmente iguais a 3% para mais ou para menos. Uma relação muito conhecida é: se aumentamos o tamanho da amostra, diminuímos o erro amostral. A grande questão é determinar qual o tamanho da amostra que nos leve a um erro amostral aceitável, como os 3% da pesquisa eleitoral.

67 3. Métodos de Amostragem Tamanho da Amostra Tipos de Estatística Para determinarmos o tamanho da amostra a ser consultada, precisamos saber de antemão se queremos estimar a média de algum valor, como, por exemplo, altura das pessoas, salário de funcionários, etc; ou estimar uma proporção, como a porcentagem de habitantes de cidades vizinhas que são atendidas nos postos de saúde do Rio de Janeiro. Para cada um destes 2 casos se tem uma fórmula diferente para o número de indivíduos consultados na amostra.

68 3. Métodos de Amostragem Tamanho da Amostra Independentemente do caso em questão, o número mínimo de indivíduos a serem consultados é dado por uma fórmula que utiliza algumas medidas estatísticas que serão apresentadas apenas no próximo capítulo. Assim, por enquanto, as fórmulas serão apresentadas e cálculos para exemplificar seu uso serão apresentados, embora o significado de alguns dados seja explicado apenas mais adiante.

69 3. Métodos de Amostragem Tamanho da Amostra Estimativa da Média Populacional Em boa parte dos casos práticos, o valor médio de alguma grandeza é uma informação de grande valia. Como exemplo, podemos citar: a altura média das pessoas é um importante dado ao se projetar um novo carro ou o espaçamento entre assentos de um ônibus ou avião; o salário médio de uma profissão é importante para se fazer uma proposta de emprego a um profissional ou negociar um aumento no seu próprio salário; a despesa médica anual média de uma classe de pessoas é um dado importante para um plano de saúde precificar o seu produto; etc.

70 3. Métodos de Amostragem Tamanho da Amostra Estimativa da Média Populacional A fórmula de cálculo do número de indivíduos a se consultar para uma estimativa de média é: onde Z representa um valor vindo da distribuição normal (apresentada no capítulo anterior), α está relacionado ao grau de confiança do valor, σ é o desvio padrão da variável aleatória e E o erro amostral aceito. Vamos ver como calculamos/encontramos estes valores facilmente...

71 3. Métodos de Amostragem Tamanho da Amostra Estimativa da Média Populacional O primeiro valor necessário para este cálculo é Z. Este número está presente na fórmula pois, como vimos anteriormente, boa parte das grandezas que queremos estimar se enquadra na curva normal, ou gaussiana, já apresentada. Esta curva representa o fato que a maioria das grandezas está bem concentrada em torno de seu valor médio e valores extremos são muito difíceis de acontecerem. Por exemplo: supondo que a média de altura dos homens brasileiros seja 1,75m, é relativamente fácil encontrar homens com altura de 1,70m a 1,80m, mas é relativamente difícil encontrar alguém com mais de 2,35m. À medida que nos afastamos da média, fica mais difícil encontrar indivíduos... Já vamos ver como encontrar este valor de Z no Excel, mas antes disso, é importante falarmos sobre a certeza em relação à média que estamos estimando.

72 3. Métodos de Amostragem Tamanho da Amostra Estimativa da Média Populacional (Grau de Confiança) Mesmo que uma pesquisa eleitoral possua uma margem de segurança de, por exemplo, 3%, algumas vezes o resultado eleitoral não se encontra dentro desta margem de segurança. Isto pode ocorrer por diversos motivos, como erro na pesquisa, amostragem não aleatória, etc, mas a principal razão é que mesmo com a margem de segurança, as estimativas de média não são totalmente confiáveis este fato normalmente não é dito no momento da divulgação das pesquisas, e especialistas em política tentam sempre, após as eleições, encontrar razões políticas para o resultado nas urnas ser diferente da pesquisa, quando, na verdade, isto é intrínseco à Estatística.

73 3. Métodos de Amostragem Tamanho da Amostra Estimativa da Média Populacional (Grau de Confiança) Assim, antes de realizarmos a estimativa, sempre devemos escolher (isso mesmo, escolher) qual o grau de confiança que queremos ter no valor estimado, i.e, com quanta certeza queremos que o valor estimado seja certo. Normalmente, escolhe-se um grau de confiança de 95%. Escolhido este valor, o que faltar para 100% é chamado de α. Este valor está na nossa fórmula. Grau Confiança α α/2 90% 10% ou 0,10 0,05 95% 5% ou 0,05 0,025 99% 1% ou 0,01 0,005

74 3. Métodos de Amostragem Tamanho da Amostra Estimativa da Média Populacional (Grau de Confiança) Já vimos o que significa o termo α/2, e vimos que Z α/2 está presente na nossa fórmula de tamanho da amostra. Por enquanto, vamos nos limitar a ver como calculálo no Excel. Depois de escolhermos α, basta usar a seguinte fórmula no Excel: = INV.NORMP(1 α/2) Grau Confiança α/2 Fórmula Resultado (Z α/2 ) 90% 0,05 =INV.NORMP(1 0,05) 1,64 95% 0,025 =INV.NORMP(1 0,025) 1,96 99% 0,005 =INV.NORMP(1 0,005) 2,58

75 3. Métodos de Amostragem Tamanho da Amostra Estimativa da Média Populacional (Desvio Padrão) Relembrando a fórmula para cálculo do número mínimo de observações para a estimativa da média populacional, Já vimos como calcular Z α/2 e que podemos escolher o valor de E, o erro amostral aceito (e.g. 3% numa pesquisa eleitoral). Porém, ainda falta descobrirmos como calcular σ, que é chamado de desvio padrão. No próximo capítulo, descobriremos o que o desvio padrão significa, mas, por enquanto, vamos nos ater a um método mais simples.

76 3. Métodos de Amostragem Tamanho da Amostra Estimativa da Média Populacional (Desvio Padrão) O desvio padrão é uma medida de dispersão do valor que queremos estimar. Algumas vezes já se tem uma ideia de um valor aproximado para o desvio padrão. Se este for o caso, é este o número que deve ser usado na fórmula, no lugar de σ. Porém, caso este valor não esteja disponível, ou não seja confiável, podemos calcular um valor preliminar de 2 formas: i) podemos usar uma fórmula, ou ii) podemos calcular um valor amostral.

77 3. Métodos de Amostragem Tamanho da Amostra Estimativa da Média Populacional (Desvio Padrão) A primeira opção é a mais simplificada, e a forma de calcularmos um valor preliminar para o desvio padrão é: onde z max e z min representam os valores máximos e mínimos que aquela grandeza pode assumir. Por exemplo, sabendo que as alturas dos homens pode variar de 1,60 a 2,05m, o valor que usaríamos para σ é:

78 3. Métodos de Amostragem Tamanho da Amostra Estimativa da Média Populacional (Desvio Padrão) Porém, a aproximação do desvio padrão através da divisão da amplitude por 4 pode ser substituída por uma forma um pouco mais elegante, através do uso de um valor de desvio padrão amostral. Um desvio padrão amostral é, como o próprio nome diz, um valor de desvio padrão calculado a partir de uma (pequena) amostra inicial. O processo é: inicialmente uma pequena amostra é realizada e o valor do desvio padrão desta amostra é calculado (através, e.g., do Excel). Este valor calculado é substituído na fórmula original e o número mínimo de observações a serem feitas é calculado. Vamos ver este processo através de um exemplo.

79 3. Métodos de Amostragem Tamanho da Amostra Estimativa da Média Populacional (Desvio Padrão) Deseja-se conhecer a altura média de um estudante de MBA na Estácio. Porém, é impossível consultar todos estes estudantes de modo a se ter a verdadeira altura média. Assim, decidiu-se por uma estimativa através de uma amostragem. Uma pequena amostra inicial é feita, obtendo-se a altura de 20 estudantes. Estas alturas estão apresentadas na tabela abaixo: 1,54 1,82 1,64 1,72 1,75 1,51 1,71 1,80 1,91 1,79 1,60 1,78 1,72 1,89 1,90 1,64 1,57 1,75 1,74 1,68

80 3. Métodos de Amostragem Tamanho da Amostra Estimativa da Média Populacional (Desvio Padrão) Podemos, então, usar o Excel para o cálculo do desvio padrão desta amostra. Para isto, basta usarmos a função =DESVPAD.A(...)

81 3. Métodos de Amostragem Tamanho da Amostra Estimativa da Média Populacional (Desvio Padrão) Podemos, então, usar o Excel para o cálculo do desvio padrão desta amostra. Para isto, basta usarmos a função =DESVPAD.A(...) = 0,10979 ou 0,11.

82 3. Métodos de Amostragem Tamanho da Amostra Estimativa da Média Populacional (Desvio Padrão) Desta forma, usaremos o valor de 0,11 na fórmula original, no lugar de σ. Os valores para Z α/2 e E devem ser escolhidos de acordo com a precisão que desejamos dar ao estudo. Vamos terminar o nosso exemplo. Porém, antes disto, qual seria o valor de σ caso tivéssemos utilizado a primeira fórmula?

83 3. Métodos de Amostragem Tamanho da Amostra Estimativa da Média Populacional (Desvio Padrão) Já vimos que poderíamos ter aproximado σ pela fórmula: porém precisaríamos definir qual as alturas máxima e mínima dos alunos. Sugestões?

84 3. Métodos de Amostragem Tamanho da Amostra Estimativa da Média Populacional (Desvio Padrão) Já vimos que poderíamos ter aproximado σ pela fórmula: porém precisaríamos definir qual as alturas máxima e mínima dos alunos. Sugestões? 1,85 1,86 1,87 1,88 1,89 1,90 1,91 1,92 1,93 1,94 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99 2,00 1,50 0,088 0,090 0,093 0,095 0,098 0,100 0,103 0,105 0,108 0,110 0,113 0,115 0,118 0,120 0,123 0,125 1,51 0,085 0,088 0,090 0,093 0,095 0,098 0,100 0,103 0,105 0,108 0,110 0,113 0,115 0,118 0,120 0,123 1,52 0,083 0,085 0,088 0,090 0,093 0,095 0,098 0,100 0,103 0,105 0,108 0,110 0,113 0,115 0,118 0,120 1,53 0,080 0,083 0,085 0,088 0,090 0,093 0,095 0,098 0,100 0,103 0,105 0,108 0,110 0,113 0,115 0,118 1,54 0,078 0,080 0,083 0,085 0,088 0,090 0,093 0,095 0,098 0,100 0,103 0,105 0,108 0,110 0,113 0,115 1,55 0,075 0,078 0,080 0,083 0,085 0,088 0,090 0,093 0,095 0,098 0,100 0,103 0,105 0,108 0,110 0,113 1,56 0,073 0,075 0,078 0,080 0,083 0,085 0,088 0,090 0,093 0,095 0,098 0,100 0,103 0,105 0,108 0,110 1,57 0,070 0,073 0,075 0,078 0,080 0,083 0,085 0,088 0,090 0,093 0,095 0,098 0,100 0,103 0,105 0,108 1,58 0,068 0,070 0,073 0,075 0,078 0,080 0,083 0,085 0,088 0,090 0,093 0,095 0,098 0,100 0,103 0,105 1,59 0,065 0,068 0,070 0,073 0,075 0,078 0,080 0,083 0,085 0,088 0,090 0,093 0,095 0,098 0,100 0,103 1,60 0,063 0,065 0,068 0,070 0,073 0,075 0,078 0,080 0,083 0,085 0,088 0,090 0,093 0,095 0,098 0,100

85 3. Métodos de Amostragem Tamanho da Amostra Estimativa da Média Populacional (Desvio Padrão) Já vimos que poderíamos ter aproximado σ pela fórmula: porém precisaríamos definir qual as alturas máxima e mínima dos alunos. Sugestões? 1,85 1,86 1,87 1,88 1,89 1,90 1,91 1,92 1,93 1,94 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99 2,00 1,50 0,088 0,090 0,093 0,095 0,098 0,100 0,103 0,105 0,108 0,110 0,113 0,115 0,118 0,120 0,123 0,125 1,51 0,085 0,088 0,090 0,093 0,095 0,098 0,100 0,103 0,105 0,108 0,110 0,113 0,115 0,118 0,120 0,123 1,52 0,083 0,085 0,088 0,090 0,093 0,095 0,098 0,100 0,103 0,105 0,108 0,110 0,113 0,115 0,118 0,120 1,53 0,080 0,083 0,085 0,088 0,090 0,093 0,095 0,098 0,100 0,103 0,105 0,108 0,110 0,113 0,115 0,118 1,54 0,078 0,080 0,083 0,085 0,088 0,090 0,093 0,095 0,098 0,100 0,103 0,105 0,108 0,110 0,113 0,115 1,55 0,075 0,078 0,080 0,083 0,085 0,088 0,090 0,093 0,095 0,098 0,100 0,103 0,105 0,108 0,110 0,113 1,56 0,073 0,075 0,078 0,080 0,083 0,085 0,088 0,090 0,093 0,095 0,098 0,100 0,103 0,105 0,108 0,110 1,57 0,070 0,073 0,075 0,078 0,080 0,083 0,085 0,088 0,090 0,093 0,095 0,098 0,100 0,103 0,105 0,108 1,58 0,068 0,070 0,073 0,075 0,078 0,080 0,083 0,085 0,088 0,090 0,093 0,095 0,098 0,100 0,103 0,105 1,59 0,065 0,068 0,070 0,073 0,075 0,078 0,080 0,083 0,085 0,088 0,090 0,093 0,095 0,098 0,100 0,103 1,60 0,063 0,065 0,068 0,070 0,073 0,075 0,078 0,080 0,083 0,085 0,088 0,090 0,093 0,095 0,098 0,100

86 3. Métodos de Amostragem Tamanho da Amostra Estimativa da Média Populacional Porém, já que uma primeira amostragem de alunos já foi feita, vamos usar o desvio padrão amostral como valor mais próximo de σ. Como pré-requisito do estudo, deseja-se ter 95% de certeza da altura média dos alunos, com uma margem de erro de +/- 2cm. Quantos alunos devem ter suas alturas consideradas no estudo, então? Já vimos como calcular Z α/2 através do Excel. Segundo nossa tabela, para 95% de certeza, devemos ter Z α/2 = 1,96. Como queremos ter uma margem de erro de 2cm, o valor de E é 0,02. Assim, Ou seja, devemos considerar a altura de 117 alunos.

87 3. Métodos de Amostragem Tamanho da Amostra Estimativa de uma Proporção Neste caso, a fórmula é ligeiramente diferente: onde os termos E e Z α/2 são os mesmos utilizados para a estimativa de uma média populacional. Porém, o que é p?

88 3. Métodos de Amostragem Tamanho da Amostra Estimativa de uma Proporção O valor p se refere à proporção que queremos estimar, i.e, qual a porcentagem de eleitores favoráveis a um determinado candidato, a proporção de produtos defeituosos em uma linha de produção, etc. Mas, uma inconsistência pode aparecer neste momento: queremos saber qual o número mínimo de elementos de uma amostra para podermos ter uma certeza em relação à proporção p, fórmula. porém, precisamos do valor de p para determinar este número, pela O que fazer?

89 3. Métodos de Amostragem Tamanho da Amostra Estimativa de uma Proporção Neste caso, temos 2 opções mais comuns: fazer uma amostragem com um pequeno número de indivíduos e calcular a proporção amostral. Esta proporção amostral deve, então, ser utilizada na fórmula; ou chutar uma proporção p esperada. Neste caso, este valor deve ser utilizado na fórmula após a amostragem e cálculo da proporção amostral, caso esta proporção seja muito distinta daquela esperada, o cálculo deve ser refeito.

90 4. Medidas Estatísticas Principais Medidas Estatísticas Antes de apresentar as principais medidas estatísticas, é importante ressaltar a sua importância: a Estatística tem como principal objetivo a identificação de características de alguma coisa (uma grandeza, um processo eleitoral, a fabricação de algum produto, o consumo de eletricidade,...) baseada em observações. Característica da Amostra Característica da População Já vimos que, para que esta generalização da amostra para a população seja válida, há um certo número mínimo de observações que devemos incluir na nossa amostra.

91 4. Medidas Estatísticas Principais Medidas Estatísticas As medidas estatísticas apresentadas neste capítulo são: Média; Moda; Mediana; e Desvio padrão. Cada uma destas medidas será detalhada a seguir.

92 4. Medidas Estatísticas Principais Medidas Estatísticas Média A média é a medida estatística mais utilizada em nosso cotidiano. É comum encontrar estudos sobre o salário médio de funcionários, ou a média de minutos que as pessoas esperam o atendimento em uma fila de banco, etc. Assim, a definição de média é intuitiva para a maioria das pessoas. Porém, como veremos, a noção de média intuitiva se refere, normalmente, à média aritmética apenas. Sejam, por exemplo, os seguintes números: 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9 Qual é a média (aritmética)?

93 4. Medidas Estatísticas Principais Medidas Estatísticas Média Para o cálculo da média aritmética de uma amostra, basta somar todos os seus valores e dividir pelo número de valores. No nosso exemplo, chamando a média de M,

94 4. Medidas Estatísticas Principais Medidas Estatísticas Média Porém, muitas vezes os números não são apresentados na forma anterior, onde muitos deles aparecem de maneira repetida. Uma forma mais concisa de apresentação é através de uma tabela do tipo Valor Frequência

95 4. Medidas Estatísticas Principais Medidas Estatísticas Média Quando os dados são apresentados na forma de uma tabela como a anterior, para o cálculo da média devemos usar a seguinte fórmula No Excel podemos usar a fórmula =SOMARPRODUTO() para nos ajudar.

96 4. Medidas Estatísticas Principais Medidas Estatísticas Moda A medida estatística chamada moda nada mais é do que a medida que aparece mais vezes, se houver. a moda é. Assim, no nosso exemplo, para os números 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9,

97 4. Medidas Estatísticas Principais Medidas Estatísticas Moda A medida estatística chamada moda nada mais é do que a medida que aparece mais vezes, se houver. a moda é 4. Assim, no nosso exemplo, para os números 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9,

98 4. Medidas Estatísticas Principais Medidas Estatísticas Moda Porém, existe algum valor prático em conhecermos a moda de uma amostra?

99 4. Medidas Estatísticas Principais Medidas Estatísticas Moda Porém, existe algum valor prático em conhecermos a moda de uma amostra? Como exemplo, em certas indústrias pode haver mais trabalhadores trabalhando na faixa de salários mais baixa que em qualquer das outras faixas e, portanto, o sindicato preferirá, naturalmente, usar a moda na descrição da distribuição salarial. Caso a média dos salários fosse usada, poderia haver alguma distorção?

100 4. Medidas Estatísticas Principais Medidas Estatísticas Mediana A última medida estatística de posição que iremos ver neste capítulo é a mediana. A mediana de um conjunto de medidas é definida como a medida do meio, se houver alguma, após arranjarmos as medidas em ordem de grandeza. Usando o mesmo exemplo anterior, para a sequência de valores 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9, temos 13 valores. Assim, a mediana será o 7º número da sequência, pois deixará 6 números à sua esquerda e 6 números à sua direita. Então, a mediana desta sequência de valores é.

101 4. Medidas Estatísticas Principais Medidas Estatísticas Mediana A última medida estatística de posição que iremos ver neste capítulo é a mediana. A mediana de um conjunto de medidas é definida como a medida do meio, se houver alguma, após arranjarmos as medidas em ordem de grandeza. Usando o mesmo exemplo anterior, para a sequência de valores 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9, temos 13 valores. Assim, a mediana será o 7º número da sequência, pois deixará 6 números à sua esquerda e 6 números à sua direita. Então, a mediana desta sequência de valores é 5.

102 4. Medidas Estatísticas Principais Medidas Estatísticas Mediana Porém, e se tivéssemos um número par de observações, por exemplo, 12? Neste caso, não há nenhum item na sequência que deixe um mesmo número de itens à sua esquerda e à sua direita. o que faríamos? Na sequência 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9

103 4. Medidas Estatísticas Principais Medidas Estatísticas Mediana Porém, e se tivéssemos um número par de observações, por exemplo, 12? Neste caso, não há nenhum item na sequência que deixe um mesmo número de itens à sua esquerda e à sua direita. o que faríamos? Na sequência 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9 Neste caso, devemos fazer a média aritmética do 6º e 7º números, i.e, a mediana seria 5,5.

104 4. Medidas Estatísticas Principais Medidas Estatísticas Mediana E na prática? A mediana tem alguma utilidade?

105 4. Medidas Estatísticas Principais Medidas Estatísticas Mediana E na prática? A mediana tem alguma utilidade? Em algumas indústrias, a mediana é uma medida mais realista que a moda ou a média aritmética para descrever o nível salarial. Desde que o salário mediano seja tal que metade dos empregados receba, no mínimo este tanto e metade receba no máximo este outro tanto, geralmente tem-se uma boa ideia do nível salarial pela mediana.

106 4. Medidas Estatísticas Principais Medidas Estatísticas Desvio Padrão O desvio padrão é uma medida da dispersão dos valores. Conforme já foi discutido em outros capítulos, caso boa parte dos valores estejam concentrados em torno da média, o desvio padrão desta amostra é baixo; caso boa parte dos valores estejam concentrados longe da média, o desvio padrão é alto.

107 4. Medidas Estatísticas Principais Medidas Estatísticas Desvio Padrão Qual dos seguintes histogramas representam uma distribuição com maior desvio padrão?

108 4. Medidas Estatísticas Principais Medidas Estatísticas Desvio Padrão Qual dos seguintes histogramas representam uma distribuição com maior desvio padrão?

109 5. Regressão Linear O que é regressão linear? Para que serve? Até este momento, todas as análises feitas serviram para estimarmos (ou descobrirmos) um único valor. Este valor poderia ser o salário médio de funcionários, a porcentagem dos eleitores favoráveis a um candidato, etc. Porém, em diversas situações cotidianas, é importante que possamos ter alguma ideia sobre a influência do valor de uma variável em outra. Por exemplo, uma operadora de cartões de crédito pode querer saber se há alguma relação entre o gasto médio de uma família em relação a algum fator de interesse (salário médio, número de automóveis, etc); um economista pode tentar explicar a procura por automóveis seminovos em razão da taxa de desemprego; ou um agricultor pode suspeitar que a quantidade de fertilizante usado por ele pode influenciar diretamente a safra obtida.

110 5. Regressão Linear O que é regressão linear? Para que serve? Para nos ajudar a descobrir a relação entre diversas variáveis, podemos usar a regressão linear. Como exemplo, seja o problema do agricultor. Ele deseja saber se a quantidade de fertilizante usada por ele tem alguma influência na produção final. Para isto, em um determinado ano, ele divide a sua fazenda em 9 regiões de mesmo tamanho. Em cada uma destas regiões ele usa uma quantidade diferente de fertilizante por m 2.

111 5. Regressão Linear Exemplo Problema do Agricultor

112 5. Regressão Linear Exemplo Problema do Agricultor No momento da colheita, o agricultor separa a produção por região e decide colocar em uma tabela a quantidade de fertilizantes e de grãos produzidos (ambos em kg por m 2 ), tendo o seguinte resultado: Região Fert. (kg/m 2 ) Prod. (kg/m 2 )

113 5. Regressão Linear Exemplo Problema do Agricultor Analisando a tabela, o agricultor deseja responder às perguntas: a produção melhora de acordo com a quantidade de fertilizantes usada? existe alguma relação direta entre a quantidade de fertilizantes usada e a produção na região correspondente? e vale a pena investir em fertilizantes?

114 5. Regressão Linear Exemplo Problema do Agricultor As perguntas anteriores poderiam ser respondidas olhando-se a tabela com os números, mas... será que não é mais fácil se plotarmos os valores em um gráfico? O gráfico que iremos plotar se chama gráfico de dispersão, e possui o mesmo nome quando usamos o Microsoft Excel para realizarmos esta plotagem.

115 5. Regressão Linear Exemplo Problema do Agricultor Este é o passo a passo para o uso do Microsoft Excel (versão 2007 ou superior) na construção do gráfico de dispersão (ou diagrama de dispersão). Informar em 2 colunas os valores do uso de fertilizantes e a produção da região correspondente, i.e, copiar a tabela anterior no Excel; Selecionar ambas as colunas (Fertilizantes e Produção) no Excel; Usar o menu Inserir Dispersão (1ª opção); e Configurar o gráfico (eixos, título, cores, etc).

116 5. Regressão Linear Exemplo Problema do Agricultor Informar em 2 colunas os valores do uso de fertilizantes e a produção da região correspondente, i.e, copiar a tabela anterior no Excel;

117 5. Regressão Linear Exemplo Problema do Agricultor Selecionar ambas as colunas (Fertilizantes e Produção) no Excel; Usar o menu Inserir Dispersão (1ª opção); e

118 5. Regressão Linear Exemplo Problema do Agricultor Configurar o gráfico (eixos, título, cores, etc). 240 Produção por Região (kg/m 2 )

119 5. Regressão Linear Exemplo Problema do Agricultor a produção melhora de acordo com a quantidade de fertilizantes usada? existe alguma relação direta entre a quantidade de fertilizantes usada e a produção na região correspondente? e vale a pena investir em fertilizantes? Produção por Região (kg/m 2 )

120 5. Regressão Linear Exemplo Problema do Agricultor a produção melhora de acordo com a quantidade de fertilizantes usada? existe alguma relação direta entre a quantidade de fertilizantes usada e a produção na região correspondente? e vale a pena investir em fertilizantes? Produção por Região (kg/m 2 )

121 5. Regressão Linear Exemplo Problema do Agricultor Podemos tentar responder à segunda pergunta do slide anterior olhando para o gráfico, mas às vezes é mais interessante se ter uma resposta analítica. Neste exemplo, podemos ver que há uma relação direta entre a quantidade de fertilizante utilizado e a produção da fazenda, mas não sabemos exatamente como mensurar esta influência. É interessante, neste caso, saber a resposta na forma: para cada quilo a mais de fertilizante utilizado, tem-se um aumento de x quilos na produção média. Através da regressão linear teremos acesso a estes valores.

122 5. Regressão Linear Ajuste da Melhor Reta De um modo geral, uma regressão linear vai ter como resultado dois coeficientes, de forma que podemos escrever uma equação do tipo: i.e, uma variável y pode ser calculada (ou estimada) como um valor constante b mais o valor de uma outra variável x, multiplicado por a. Para o exemplo do agricultor,

123 5. Regressão Linear Ajuste da Melhor Reta De um modo geral, uma regressão linear vai ter como resultado dois coeficientes, de forma que podemos escrever uma equação do tipo: i.e, uma variável y pode ser calculada (ou estimada) como um valor constante b mais o valor de uma outra variável x, multiplicado por a. Para o exemplo do agricultor, x: quantidade de fertilizantes; y: produção da região; b: produção na região sem o uso de fertilizantes; e a: ganho na produção para cada kg de fertilizante usado.

124 5. Regressão Linear Ajuste da Melhor Reta O que esta equação representa? Como a equação é linear, i.e, descreve uma reta, podemos interpretá-la como: o valor de y varia linearmente de acordo com x. Assim, temos uma resposta do tipo: caso aumentemos 1 kg na quantidade usada de fertilizantes, temos um ganho de, e.g., 10 kg na produção. Se aumentarmos 2 kg na quantidade de fertilizantes, teremos um ganho de 20 kg na produção, e assim por diante. Porém, retornando ao gráfico apresentado anteriormente... os pontos, se ligados, formam uma reta mesmo?

125 5. Regressão Linear Ajuste da Melhor Reta A resposta à pergunta é: não. 240 Produção por Região (kg/m 2 )

126 5. Regressão Linear Ajuste da Melhor Reta Então, o que fazer? A resposta para esta pergunta é: usamos a melhor reta possível. A definição para a melhor reta possível é: a reta tal que a soma das distâncias dos pontos em relação à reta seja a menor possível.

127 5. Regressão Linear Ajuste da Melhor Reta Então, o que fazer? A resposta para esta pergunta é: usamos a melhor reta possível. A definição para a melhor reta possível é: a reta tal que a soma das distâncias dos pontos em relação à reta seja a menor possível.

128 5. Regressão Linear Ajuste da Melhor Reta Os seguintes passos são necessários para descobrirmos a equação da reta (os seus coeficientes) no Microsoft Excel. Para isto, usaremos os dados do problema do agricultor. Construir o gráfico de dispersão como apresentado anteriormente; Clicar com o botão direito do mouse em cima de algum item do gráfico de dispersão e selecionar Adicionar Linha de Tendência... ; e Configurar as opções da janela que aparecerá.

129 5. Regressão Linear Ajuste da Melhor Reta Clicar com o botão direito do mouse em cima de algum item do gráfico de dispersão e selecionar Adicionar Linha de Tendência... ;

130 5. Regressão Linear Ajuste da Melhor Reta Configurar as opções da janela que aparecerá. Deixar a opção Linear selecionada. Marcar as opções Exibir Equação no gráfico e Exibir valor de R- quadrado no gráfico.

131 5. Regressão Linear Ajuste da Melhor Reta Como resultado, aparecerá a melhor reta juntamente com os pontos (no mesmo gráfico): Produção por Região (kg/m 2 ) y = 11,312x + 109,59 R² = 0,

132 5. Regressão Linear Ajuste da Melhor Reta Além do apelo gráfico, ao ajustarmos uma reta aos dados, duas informações são também fornecidas pelo Excel: Veremos o que cada uma destas equações significa.

133 5. Regressão Linear Equação Descritiva Os termos da equação descritiva já foram explicados, mas vamos analisá-los novamente agora, que já temos os coeficientes numéricos definidos para o exemplo. Inicialmente, vamos fazer x = 0. Neste caso, como x representa a quantidade de fertilizante usado pelo agricultor, estamos simulando o caso onde o mesmo não usa fertilizante na fazenda. Usando este valor na equação, vemos que y = 109,59. Assim, este número (que chamamos anteriormente de coeficiente b) representa a produção da fazenda caso o agricultor não utilize fertilizante. E o coeficiente 11,132? O que ele representa?

134 5. Regressão Linear Equação Descritiva Através de análise da equação da melhor reta, vemos que, para cada unidade somada a x, i.e, para cada novo quilo de fertilizante utilizado, há um aumento de 11,312 kg em y, i.e, na quantidade produzida. Assim, o coeficiente 11,312 pode ser lido como o ganho na produção da fazenda para cada quilo de fertilizante utilizado. Esta informação é útil?

135 5. Regressão Linear Equação Descritiva Através de análise da equação da melhor reta, vemos que, para cada unidade somada a x, i.e, para cada novo quilo de fertilizante utilizado, há um aumento de 11,312 kg em y, i.e, na quantidade produzida. Assim, o coeficiente 11,312 pode ser lido como o ganho na produção da fazenda para cada quilo de fertilizante utilizado. Esta informação é útil? Vamos supor que o agricultor deseje saber se vale a pena investir em fertilizantes para a sua fazenda. Ele sabe que cada saco de 5kg de fertilizante custa R$50; e cada quilo de produto vendido rende a ele R$2. Ele deve comprar fertilizante para usar em sua fazenda?

136 5. Regressão Linear Equação Descritiva Exemplo Inicialmente, podemos calcular o custo por quilo de fertilizante. Para cada saco de 5 kg tem-se um custo de R$50, logo, o custo unitário do fertilizante é

137 5. Regressão Linear Equação Descritiva Exemplo Inicialmente, podemos calcular o custo por quilo de fertilizante. Para cada saco de 5 kg tem-se um custo de R$50, logo, o custo unitário do fertilizante é R$10/kg. Porém, para cada 1 kg de fertilizante usado, o produtor tem um ganho de 11,312 kg em sua produção. Como cada quilo de produto rende ao produtor R$2/kg, sua receita aumenta em

138 5. Regressão Linear Equação Descritiva Exemplo Inicialmente, podemos calcular o custo por quilo de fertilizante. Para cada saco de 5 kg tem-se um custo de R$50, logo, o custo unitário do fertilizante é R$10/kg. Porém, para cada 1 kg de fertilizante usado, o produtor tem um ganho de 11,312 kg em sua produção. Como cada quilo de produto rende ao produtor R$2/kg, sua receita aumenta em 11,312 x 2 = R$22,624. Assim, para cada kg de fertilizante usado na plantação, o produtor tem um lucro líquido de

139 5. Regressão Linear Equação Descritiva Exemplo Inicialmente, podemos calcular o custo por quilo de fertilizante. Para cada saco de 5 kg tem-se um custo de R$50, logo, o custo unitário do fertilizante é R$10/kg. Porém, para cada 1 kg de fertilizante usado, o produtor tem um ganho de 11,312 kg em sua produção. Como cada quilo de produto rende ao produtor R$2/kg, sua receita aumenta em 11,312 x 2 = R$22,624. Assim, para cada kg de fertilizante usado na plantação, o produtor tem um lucro líquido de o que sinaliza que ele deve usar fertilizante. R$22,624 R$10 = R$12,624, Disciplina: Aplicações Estatísticas no Processo Gerencial

140 5. Regressão Linear Equação Descritiva Exemplo E se cada quilo de produto rendesse ao produtor R$0,80?

141 5. Regressão Linear Equação Descritiva Exemplo E se cada quilo de produto rendesse ao produtor R$0,80? R: Neste caso, não compensaria o uso de fertilizantes, já que a receita extra para cada quilo de fertilizante utilizado na plantação é de R$9,05 o que não paga o custo unitário do fertilizante (R$10). Esta é apenas uma das aplicações da regressão linear. Informações como o preço máximo que pode se pagar por fertilizante para a sua fazenda, ou valores que norteiem uma futura negociação da produção extra podem ser retirados da simples análise dos coeficientes da reta ajustada.

142 5. Regressão Linear Coeficiente R 2 Uma outra informação disponibilizada pelo Excel é o valor do coeficiente R 2 (R quadrado, ou R2). Este valor pode variar entre 0 e 1 e, quanto mais próximo ele for de 1, melhor a aproximação da reta ajustada com os pontos originais. No nosso exemplo, o valor de R 2 é 0,9841, ou 98,41%, o que significa um bom ajuste da melhor reta aos pontos.

143 5. Regressão Linear Coeficiente R 2 Exemplos R² = 0, R² = 0, Ajuste Ruim Ajuste Bom

144 5. Regressão Linear Coeficiente R 2 Porém, o que significa um bom ajuste da melhor reta aos pontos? Termos um bom ajuste de uma reta aos pontos originais significa que a variável y realmente varia de forma linear em relação à variável x. No nosso exemplo, isto significa que 98,4% da variação na produção estão relacionados com a variação no uso de fertilizantes, e apenas 1,6% desta variação não é explicado pelo uso de fertilizantes.

145 5. Regressão Linear Exemplo de Uso da Regressão Linear no Ambiente Corporativo A cada ano, um gerente de uma grande empresa estabelece uma meta de ganhos para a sua própria gerência. Ao final de cada ano, este mesmo gerente avalia os seus funcionários, dando-lhes uma nota que representa o quão próximo da meta este funcionário ficou. Por ser uma meta extremamente agressiva, nos 2 últimos anos nenhum funcionário conseguiu obter 100% na avaliação. A seguinte tabela apresenta as avaliações para 2011 e 2012: Ano/Func % 84% 86% 83% 88% 87% 85% 83% 86% 85% % 91% 90% 92% 87% 86% 89% 90% 92% 90%

146 5. Regressão Linear Exemplo de Uso da Regressão Linear no Ambiente Corporativo Este gerente, devido a seus conhecimentos de Estatística, decidiu que faria o gráfico de dispersão do desempenho dos funcionários em 2012 em relação a seus desempenhos correspondentes em O resultado foi: R² = 0,

147 5. Regressão Linear Exemplo de Uso da Regressão Linear no Ambiente Corporativo A que conclusão o gerente deve ter chegado? Ele pode explicar o desempenho dos funcionários em 2012 pelo desempenho dos funcionários em 2011, i.e, um bom desempenho em 2011 pode prever um bom desempenho em 2012? Por não achar que conseguiu explicar o desempenho dos funcionários em 2012, o mesmo gerente decidiu verificar se há alguma relação entre o número médio de horas trabalhadas por semana e o desempenho de seus funcionários. Levantou, então, a seguinte tabela: Dado/Func Horas (sem) Nota (2012) 92% 91% 90% 92% 87% 86% 89% 90% 92% 90%

148 5. Regressão Linear Exemplo de Uso da Regressão Linear no Ambiente Corporativo Com esta nova tabela, o gerente plotou o seguinte gráfico: R² = 0,

149 5. Regressão Linear Exemplo de Uso da Regressão Linear no Ambiente Corporativo A que conclusão o gerente deve ter chegado? Ele pode explicar o desempenho dos funcionários em 2012 pela quantidade de horas trabalhadas por semana, i.e, uma maior dedicação ao trabalho pode significar um melhor desempenho?

150 5. Regressão Linear Exemplo de Uso da Regressão Linear no Ambiente Corporativo A que conclusão o gerente deve ter chegado? Ele pode explicar o desempenho dos funcionários em 2012 pela quantidade de horas trabalhadas por semana, i.e, uma maior dedicação ao trabalho pode significar um melhor desempenho? Depois deste estudo, o gerente decidiu solicitar ao diretor um aumento do preço pago pela hora extra na sua gerência.

151 5. Regressão Linear Regressão Linear Aplicações De maneira geral, a análise de regressão pode ser utilizada com vários objetivos, dentre os quais é possível destacar: descrição; predição; controle; e estimação.

152 5. Regressão Linear Regressão Linear Aplicações (Descrição) Em muitas situações será desejável utilizar uma equação para sumarizar ou descrever um conjunto de dados. A análise de regressão pode ser empregada para ajustar uma equação deste tipo. Como exemplo, considere uma empresa de autopeças que vende seus produtos em várias regiões de um estado. Para cada uma destas regiões são registrados o volume de vendas, a idade média e o tamanho da frota de veículos da região juntamente com a renda anual média dos habitantes. Pode-se observar que neste caso uma equação que relacione o volume de vendas às demais variáveis provavelmente será um sumário bem mais conveniente e útil destes dados do que uma tabela ou mesmo um gráfico. Além disto, analisando-se o coeficiente R 2, pode-se estimar o quanto a variação das vendas da empresa pode ser descrito como consequência da variação do valor de outra variável.

153 5. Regressão Linear Regressão Linear Aplicações (Predição) Muitas aplicações da análise de regressão envolvem a predição de valores da variável de interesse. O exemplo da empresa de autopeças, também ilustra este tipo de aplicação. Neste caso, a empresa poderá estar interessada em prever o volume de vendas em uma nova região do estado onde ela pretende atuar e então a equação obtida poderá ser utilizada com esta finalidade.

154 5. Regressão Linear Regressão Linear Aplicações (Controle) A análise de regressão também é muito utilizada com o objetivo de controlar a variável de interesse em faixas de valores pré-fixados. Como exemplo desta forma de utilização da análise de regressão, considere um engenheiro que está interessado em obter uma equação que relacione o rendimento de um processo químico à temperatura e ao tempo de reação, para que o rendimento possa ser mantido em intervalos de valores pré-estabelecidos.

155 5. Regressão Linear Regressão Linear Aplicações (Estimação) A análise de regressão algumas vezes também é utilizada para estimar os parâmetros desconhecidos de equações teóricas que representam o relacionamento entre variáveis de interesse. Um exemplo simples desta utilização da análise de regressão ocorre na estimação da resistência de um circuito elétrico. Sabe-se que a tensão e a corrente em um circuito variam linearmente (e o coeficiente de variação é a resistência). Assim, passando-se distintas correntes em um circuito, e medindo-se a tensão para cada uma destas, pode-se usar a regressão linear para se fazer a estimação da resistência.

156 5. Regressão Linear Regressão Linear Aplicação para Ativo de Renda Variável O próximo exemplo de regressão linear se refere a seu uso como estimador de valor no tempo. Para isto, usaremos os preços de uma determinada ação negociada na BOVESPA a ALPA 4 (Alpargatas).

157 5. Regressão Linear Regressão Linear Aplicação para Ativo de Renda Variável

158 5. Regressão Linear Regressão Linear Aplicação para Ativo de Renda Variável Para este exemplo, vamos usar os valores (reais) das ações da Alpargatas nos 40 primeiros pregões do ano de Estes valores estão apresentados no gráfico a seguir: R$16,00 R$15,00 R$14,00 R$13,00 R$12,00 R$11,00 R$10,

159 5. Regressão Linear Regressão Linear Aplicação para Ativo de Renda Variável Analisando-se o gráfico, parece haver uma tendência de crescimento no valor das ações, e este crescimento parece ser linear, ou próximo disto. Como verificar se esta intuição está correta, antes dos próximos pregões? E, por que seria importante verificar esta tendência antes dos pregões?

160 5. Regressão Linear Regressão Linear Aplicação para Ativo de Renda Variável Analisando-se o gráfico, parece haver uma tendência de crescimento no valor das ações, e este crescimento parece ser linear, ou próximo disto. Como verificar se esta intuição está correta, antes dos próximos pregões? E, por que seria importante verificar esta tendência antes dos pregões? A segunda pergunta pode ser respondida com: caso possamos estimar bem o valor das ações da Alpargatas nos próximos dias (úteis), podemos analisar se vale a pena investirmos nesta ação.

161 5. Regressão Linear Regressão Linear Aplicação para Ativo de Renda Variável Analisando-se o gráfico, parece haver uma tendência de crescimento no valor das ações, e este crescimento parece ser linear, ou próximo disto. Como verificar se esta intuição está correta, antes dos próximos pregões? E, por que seria importante verificar esta tendência antes dos pregões? A segunda pergunta pode ser respondida com: caso possamos estimar bem o valor das ações da Alpargatas nos próximos dias (úteis), podemos analisar se vale a pena investirmos nesta ação. Já a primeira pergunta não pode ser respondida com certeza, mas podemos ver o quão bem uma reta se ajusta a estes valores, usando-se regressão linear.

162 5. Regressão Linear Regressão Linear Aplicação para Ativo de Renda Variável Usando-se o método de regressão linear através do Microsoft Excel, como descrito alguns slides atrás, encontramos: R$16,00 R$15,00 R$14,00 R$13,00 y = 0,0738x + 12,296 R² = 0,9128 R$12,00 R$11,00 R$10,

163 5. Regressão Linear Regressão Linear Aplicação para Ativo de Renda Variável Excel: Duas importantes informações podem ser extraídas do ajuste feito pelo como a equação que descreve o preço das ações é y = 0,0738x + 12,296, e como x representa os dias e y o preço da ação, isto significa que espera-se um aumento de R$ no valor da ação, a cada dia; e

164 5. Regressão Linear Regressão Linear Aplicação para Ativo de Renda Variável Excel: Duas importantes informações podem ser extraídas do ajuste feito pelo como a equação que descreve o preço das ações é y = 0,0738x + 12,296, e como x representa os dias e y o preço da ação, isto significa que espera-se um aumento de R$ 0,0738 no valor da ação, a cada dia; e

165 5. Regressão Linear Regressão Linear Aplicação para Ativo de Renda Variável Excel: Duas importantes informações podem ser extraídas do ajuste feito pelo como a equação que descreve o preço das ações é y = 0,0738x + 12,296, e como x representa os dias e y o preço da ação, isto significa que espera-se um aumento de R$ 0,0738 no valor da ação, a cada dia; e como R 2 = 0,9128, isto indica que 91,28% da variação do preço das ações (y) pode ser explicado pela variação de x, que representa os dias (úteis). Assim, 91,28% da variação no preço desta ação se deve ao passar do tempo.

166 5. Regressão Linear Regressão Linear Aplicação para Ativo de Renda Variável A escolha de ações para nosso investimento, na verdade, leva muitos outros fatores em consideração, e não apenas uma regressão linear. Porém, se no 40º dia deste ano houvéssemos utilizado a regressão linear para decidirmos o nosso investimento em ALPA4, qual teria sido o resultado?

167 5. Regressão Linear Regressão Linear Aplicação para Ativo de Renda Variável A escolha de ações para nosso investimento, na verdade, leva muitos outros fatores em consideração, e não apenas uma regressão linear. Porém, se no 40º dia deste ano houvéssemos utilizado a regressão linear para decidirmos o nosso investimento em ALPA4, qual teria sido o resultado? R$ 17,00 R$ 16,00 R$ 15,00 R$ 14,00 R$ 13,00 R$ 12,00 R$ 11,00 R$ 10,

168 6. Modelagem de Problemas O Problema do Café Um comerciante de café da cidade mineira de Varginha tem o seguinte problema: compra grãos a partir de 2 fazendas, uma na cidade de Alfenas e a outra em Machado. Cada uma das fazendas produz grãos com uma certa especificação. A partir dos grãos comprados dos fornecedores, o comerciante os submete aos processos de separação e torra, resultando em 3 tipos de café: Arábica, Robusta, e Prima Qualità (exportação). Como as qualidades iniciais dos grãos são diferentes, o rendimento dos mesmos depende da fazenda de onde são provenientes, i.e, para cada 1000kg de grãos comprados, tem-se a produção: Fazenda/Café Arábica Robusta P.Qualità Alfenas 300 kg 400 kg 200 kg Machado 400 kg 200 kg 300 kg Obs.: 100 kg são perdidos no processo, para cada tonelada.

169 6. Modelagem de Problemas O Problema do Café Arábica Alfenas Robusta Machado Prima Qualità Disciplina: Aplicações Estatísticas no Processo Gerencial

170 6. Modelagem de Problemas O Problema do Café A comercializadora de cafés já possui contratos previamente fechados de fornecimento de 2000 kg de café Arábica, 1500 kg de café Robusta, e 500 kg de café Prima Qualità, i.e, deve produzir (ao menos) estas quantidades mensais. O custo de compra dos cafés é de R$15/kg para a fazenda de Alfenas e R$20/kg para a fazenda de Machado. A capacidade de fornecimento destas fazendas é de kg e kg, respectivamente. O comerciante precisa, então, decidir quantos quilos de grãos comprar de cada um de seus fornecedores, de modo que produza café suficiente para suprir seus contratos de fornecimento ao menor custo possível.

171 6. Modelagem de Problemas O Problema do Café A comercializadora de cafés já possui contratos previamente fechados de fornecimento de 2000 kg de café Arábica, 1500 kg de café Robusta, e 500 kg de café Prima Qualità, i.e, deve produzir (ao menos) estas quantidades mensais. O custo de compra dos cafés é de R$15/kg para a fazenda de Alfenas e R$20/kg para a fazenda de Machado. A capacidade de fornecimento destas fazendas é de kg e kg, respectivamente. O comerciante precisa, então, decidir quantos quilos de grãos comprar de cada um de seus fornecedores, de modo que produza café suficiente para suprir seus contratos de fornecimento ao menor custo possível. Sugestões? O que dizer ao comerciante?

172 6. Modelagem de Problemas O Problema do Café Diversas tentativas podem ser feitas para resolver o problema: baseadas somente em intuição ou em algum método (dependente do tomador de decisão). Porém, algumas perguntas podem ser feitas: Todas as tentativas podem ser colocadas em prática, i.e, são viáveis? Qual é a melhorconfiguração sugerida? Pode-se garantir que esta é a melhor solução, ou continuando-se o processo uma melhor pode ser encontrada?

173 6. Modelagem de Problemas O Problema do Café Diversas tentativas podem ser feitas para resolver o problema: baseadas somente em intuição ou em algum método (dependente do tomador de decisão). Porém, algumas perguntas podem ser feitas: Todas as tentativas podem ser colocadas em prática, i.e, são viáveis? Qual é a melhorconfiguração sugerida? Pode-se garantir que esta é a melhor solução, ou continuando-se o processo uma melhor pode ser encontrada? Contribuição da Programação Linear: Há garantia de se encontra a melhor solução dentre todas as viáveis possíveis.

174 6. Modelagem de Problemas Programação Linear Por que utilizá-la? O que exatamente a Programação Linear (PL) faz? Através da PL, traduz-se um problema do mundo real para a Matemática. Este problema é, então, matematicamente resolvido e deve-se traduzir de volta a resposta (matemática) para a prática.

175 6. Modelagem de Problemas Programação Linear Por que utilizá-la? O que exatamente a Programação Linear (PL) faz? Através da PL, traduz-se um problema do mundo real para a Matemática. Este problema é, então, matematicamente resolvido e deve-se traduzir de volta a resposta (matemática) para a prática. Por que resolver o problema matematicamente? Porque existem programas comerciais (e.g. o solver do MS Excel) que resolvem de maneira eficiente os problemas escritos no formato da PL. Além disto, diversos problemas, dos mais distintos ramos, podem ser agrupados em classes parecidas ao resolver-se eficientemente um destes problemas, todos os outros da mesma classe também o podem ser.

176 6. Modelagem de Problemas Programação Linear Por que utilizá-la?

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