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1 PROBABILIDADE Prof. Adriano Mendonça Souza, Dr. Departamento de Estatística - PPGEMQ / PPGEP - UFSM - O intelecto faz pouco na estrada que leva à descoberta, acontece um salto na consciência, chameo de INTUIÇÃO ou do que quiser; e a solução lhe ocorre, ê você não sabe como, nem por quê. Albert Einstein

2 O problema fundamental da probabilidade consiste em atribuir um número a cada evento E, o qual avaliará as chances de ocorrência de E. Origem Correspondência entre dois matemáticos franceses, Blaise Pascal ( ) e Pierre Fermat ( ), em 1654, a respeito de dois problemas formulados por um jogador compulsivo, Chevalier de Méré.

3 Usos Previsão da demanda; safras agrícolas; avaliação dos impactos dos aumentos dos impostos sobre a inflação; Avaliar as chances de alunos serem aprovados; Médicos determinam se (e quando) determinado doente deveria estar recuperado; Estabelecer as chances de determinada categoria entrar em greve; O governo determine até quando será capaz de manter os preços congelados ou tabelados; Avaliação de estratégias de ação;

4 Experimento, espaço amostral e eventos Experimento(E): É todo o fenômeno que acontece ou toda ação que será feita. Da análise dos experimentos verifica-se o seguinte: Cada experimento poderá ser repetido sob as mesmas condições indefinidamente; O resultado particular de cada experimento aparecerá ao acaso, mas pode-se descrever todas os possíveis resultados; Quando o experimento se repetir um grande número de vezes aparece uma regularidade;

5 Espaço amostral (S): É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento (E); E = jogar um dado e observar a face de cima S = {1,2,3,4,5,6} Cada resultado do espaço amostral é considerado um ponto amostral.

6 Evento: É qualquer subconjunto do espaço amostral (S), é o acontecimento ou realização do espaço amostral e deve ser sempre representado por letras maiúsculas do alfabeto (A,B,C,...). E: lançar um dado e observar o número de pontos na face voltada para cima. S: { 1,2,3,4,5,6 }, espaço amostral finito. A: ocorrer resultado maior do que 4 A: { 5,6 }

7 Tipos de eventos Evento simples: É aquele formado por um único elemento do espaço amostral. No lançamento de uma moeda, temos 2 eventos simples: E 1 = {k} E 2 = {c} Evento Composto: É aquele formado por dois ou mais elementos do espaço o amostral. No lançamento de um dado podemos considerar, entre outros, os seguintes eventos: E 1 = {2, 4} E 2 = {1, 3, 5} E 3 = {2, 4, 6, 5}

8 Evento certo: É aquele que ocorre sempre, isto é, em todas as realizações da experiência. O evento representado pelo próprio conjunto que define o espaço amostral. E = Lançamento de um dado S = {1,2,3,4,5,6} A = sair qualquer das faces de 1 a 6 no lançamento de um dado A = S P(A) = 1

9 Evento impossível: São os eventos que não possuem elementos no espaço amostral, ou seja, nunca ocorrem. A = Ocorrer o número 7 na face de um dado. Este evento é impossível pois o número 7 não figura no espaço amostral dos números possíveis na face de um dado, logo evento A = e P( ) = 0. A probabilidade de ocorrer um evento impossível é sempre nula, mas, sendo a probabilidade de ocorrer um evento igual a zero, nem sempre o evento será impossível

10 Evento soma (ou união): É o evento que consiste na realização de pelo menos um dos eventos. E 1 e E 2 (E 1 + E 2 ) = (E 1 E 2 ) Retirada uma carta de um baralho, quer-se que ocorra uma carta de ouro ou uma carta de Ás. O evento soma é um evento composto, e se constitui de elementos comuns aos dois eventos e de elementos não comuns a ambos.

11 Evento Produto (ou intersecção): É o evento que consiste na realização de ambos (um e outro) os eventos E 1 e E 2, isto é, eles devem ocorrer simultaneamente. (E 1. E 2 ) = (E 1 E 2 ) Na retirada de uma carta de um baralho, quer-se que ocorra uma carta Ás de ouro.

12 Evento condicionado: É o evento que consiste na realização do evento E 1 sob a condições de ter-se realizado o evento E 2, isto é, com a informação adicional de que o evento E 2 já ocorreu (E 1 /E 2 ). São aqueles em que o acontecimento de um está condicionado ao acontecimento de outro (acontece um se o outro já aconteceu). Retirar um Ás de um baralho completo e um REI sem reposição. Neste caso não poderei retirar a carta REI se já houve retirado do baralho a carta de ÁS.

13 Evento mutuamente exclusivos: Dois eventos E 1 e E 2 são mutuamente exclusivos, se eles não puderem ocorrer simultaneamente (é um ou o outro), ou seja a ocorrência de um exclui a ocorrência do outro. E1 E2 = ; logo P(E1 E2) = 0 E = jogar um dado e observar o resultado S = {1,2,3,4,5,6} Eventos: A = Ocorrer o número par B = Ocorrer o número ímpar A = {2,4,6} e B = {1,3,5} logo A B =

14 Evento complementar: São os eventos que se completam em relação ao espaço amostral. O evento complementar A, associado a uma experiência aleatória e denotado por, só ocorre se A deixar de ocorrer, isto é, é o evento formado por todos os elementos do espaço amostral que não pertencem a A. A e ( é o complementar, lê-se não A) A A A = S P(A ) = P(S) = 1 Seja S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} A = números maiores ou igual a 4 A = números menores que 4 A = {4,5,6,7} e = {1,2,3} A A = S P(S) = 1

15 Evento independente: São aqueles que podem ocorrer ao mesmo tempo, acontece um e acontece o outro simultaneamente (um e o outro), a ocorrência de um não depende da ocorrência do outro P(E 1 /E 2 ) = P(E 1 ) e P(E 1 /E 2 ) = P(E 2 ) logo E 1 E 2 ; P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ). P(E 2 ) Supomos que duas pessoas atiram numa caça; os eventos que consistem em que cada uma das pessoas acerte são independentes, pois o fato da primeira pessoa acertar em nada influencia no fato da outra também acertar.

16 representa a soma, sendo representado pelo sinal +, ou pela palavra ou representa a multiplicação, sendo representado pelo sinal x, ou pela palavra e A B é o evento que ocorre se A ocorrer ou B ocorrer ou ambos ocorrerem A B É evento que ocorre se A e B ocorrerem; A É evento que ocorre se A não ocorrer N n Fornece o número total de eventos do S N é o número de casos favoráveis n é o número de elementos

17 Conceitos e definições de probabilidade A probabilidade raciocina da população (supostamente conhecida) para a amostra (desconhecida), enquanto que a estatística atua de modo inverso Quando as condições físicas (ambientais, trajetórias, emoções) não são possíveis de serem mantidas teremos um experimento aleatório.

18 Espaços amostrais equiprovávies A probabilidade que ocorra um evento é igual ao quociente de um numero favorável de casos sobre o numero total de casos possíveis do experimento, desde que as chances de ocorrência de cada elemento do espaço amostral sejam iguais.

19 Definição Freqüêncial Definição Clássica Definição Axiomática O enfoque dado ao estudo das probabilidades depende da área em que ele será aplicado. O estatístico puro prefere tratar o assunto a partir do ponto de vista axiomático, no qual algumas demonstrações são aceitas sem demonstração.

20 Seja E um experimento e S um espaço amostral associado a E. A cada evento A associamos um número real representado por P(A) e denominado probabilidade de A, que satisfaça aos seguintes axiomas: A probabilidade P(E) é freqüentemente enunciado por: P(E) número de casos favoráveisde E número de casospossíveis sendo válida para os espaços amostrais finitos, seguindo os axiomas A 1, A 2, A 3.

21 Axiomas A 1 ) 0 P(E) 1 A 2 ) P(S) = 1 A 3 ) P (E 1 E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ); Se E 1 e E 2 forem eventos mutuamente excludentes (A B = ) P(E) = P(E 1 ) + P(E 2 ) P(E n ); Se E 1, E 2,..., E n, forem dois a dois eventos mutuamente excludentes

22 Exemplos Um dado é lançado e todos os eventos se supõem igualmente prováveis. O evento A ocorre se, e somente se, um número maior do que 4 apareça. Escolhendo-se uma carta ao acaso de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de correr: a) um Às ou um Rei. b) Ouros ou Espadas. c) carta vermelha ou preta

23 Alguns teoremas fundamentais T. 1) Se é conjunto vazio, então P( ) = 0. T. 2) Se é o complemento do evento A, P(A) = 1 - P( A). T. 3)Se A B, então P(A) P(B). T.4) Se A e B são dois eventos quaisquer, então: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

24 Se A, B, C, forem eventos quaisquer então: P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) - P(A C) - P(B C) + P(A B C) Se A e B forem eventos independentes, teremos que: P(A B) = P(A). P(B) De 15 fichas numeradas. Retirando-se uma ficha ao acaso, qual a probabilidade de que seu número seja múltiplo de 2 ou 3.

25 Retiradas com reposição Retira-se o primeiro elemento examina-se, recoloca-se na urna, retira-se o segundo elemento examina-se e recoloca-se na urna e assim sucessivamente, desta maneira o numero de elementos do espaço amostral será conservado. Retiradas sem reposição Retira-se um elemento após o outro ou juntamente da urna sem que este retorne a urna, ficando o espaço amostral reduzido do numero de elementos subtraídos dele.

26 Probabilidade condicional e independência de eventos Dados dois eventos A e B, denotaremos P(A/B) a probabilidade condicionada do evento A, quando B tiver ocorrido, esta definição pode ser entendida a partir do seguinte diagrama: A partir da definição de probabilidade condicional, obtemos a chamada regra do produto de probabilidades de larga utilização P( A B) PA/ B) ; P( B) 0 P( B) P(A B) = P(B). P(A/B)

27 Dois eventos A e B são denominados independentes, se a ocorrência de um deles não interfere na ocorrência do outro. Neste caso: P(A B) = P(B). P(A/ B) = P(A). P(B/A) = P(A). P(B) É freqüente, aqui, adotar-mos P(A B) = P(AB) Se E l, E 2,... E n, são eventos de um espaço amostral S, então tais eventos são mutuamente independentes se: P(E 1 E 2, E 3... E n ) = P(E 1 ). P(E 2 ). P(E 3 ). P(E n )

28 Teorema de Bayes Sejam os eventos B 1, B 2, B 3,,Bn eventos mutuamente exclusivos dos quais conhecemos as probabilidades P(B i ) e sendo A um evento para o qual também conhecemos todas as probabilidades P(A/B i ). então teremos: n i i i i i i B A P B P B A P B P A B P 1 ) / ( ). ( ) / ( ). (

29 O denominador da fórmula de Bayes é conhecida por probabilidade total do condicionate, ou seja: P(A) = P(B 1 ).P(A/B 1 ) + P(B 2 ).P(A/B 2 ) P(B i ).P(A/B i ) Essa fórmula pode ser utilizada para um número qualquer de eventos, desde que estejam todos condicionados a uma característica

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