Estatística e Probabilidade. Aula 4 Cap 03. Probabilidade

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1 Estatística e Probabilidade Aula 4 Cap 03 Probabilidade

2 Estatística e Probabilidade Método Estatístico Estatística Descritiva Estatística Inferencial

3 Nesta aula... aprenderemos como usar informações para determinar a probabilidade de um evento ocorrer.

4 Probabilidade é um número entre 0 e 1 utilizado para exprimir o grau de certeza acerca da ocorrência de um evento associado a um experimento probabilístico.

5 Experimentos Probabilísticos Se um metereologista diz que há 90% de chances de chover Você levaria o carro para lavar? Se um médico diz que há 35% de chance de sucesso em uma cirurgia Você deveria submeter-se a cirurgia?

6 Um experimento probabilístico satisfaz as seguintes condições: São experimentos probabilísticos:

7 Experimento Probabilístico é uma ação ou ensaio por meio do qual os resultados específicos (contagens, medidas ou respostas) são obtidos. Ex: Jogar um dado de seis faces O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento probabilístico é o espaço amostral. Ex: Para um dados de 6 faces, o espaço amostral é {1,2,3,4,5,6} Um evento consiste em um ou mais resultados e é subconjunto do espaço amostral. Ex: Obter um número par {2,4,6} A conseqüência de um único ensaio em um exp. probabilístico é um resultado (ponto amostral). Ex: Obter o número 6

8 Tipos de Probabilidade Probabilidade clássica (ou Teórica) Usada quando cada resultado no espaço amostral tem mesmas probabilidade de ocorrer P(E)=Probabilidade do evento E ocorrer P(E)= Número de resultados em E Numero total de resultados no espaço amostral Exemplo: Um dado de 6 faces jogado. Obtenha a probabilidade dos seguintes eventos: 1- Evento A: obter um 3: 2- Evento B: obter um 7: 3- Evento C: obter um número menor que 5

9 Probabilidade Empírica (ou estatística) Baseia-se em observações obtidas de experimentos probabilísticos. A probabilidade empírica de um evento E é a freqüência relativa deste evento. P(E)= Freqüência do evento E Freqüência total = f n Lei dos grandes números: A medida em que se repete um experimento probabilístico, a probabilidade empírica de determinado evento aproxima-se da probabilidade teórica deste evento.

10 Probabilidade Subjetiva Resulta em intuição, estimativa ou de um palpite bem fundamentado. Exemplo: Dado o estado de saúde de um paciente e a extensão dos ferimentos, um médico pode sentir que este paciente tem 90% de chances de se recuperar completamente

11 O mapa de dispersão abaixo mostra o resultado de simular a jogada da moeda 3000 vezes. Observe que, à medida que o número de jogadas cresce, a probabilidade de obter cara fica cada vez mais perto da probabilidade teórica, que é de 0, Probabilidade Números de Vezes Jogado

12 Espaço amostral Ex: Determine o espaço amostral para o lançamento de dois dados 1 a jogada Você pode obter 36 resultados 2 a jogada

13 Dois dados são jogados e sua soma é anotada. 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 Detemine a probabilidade de que a soma seja 4. 3/36 = 1/12 = 0,083 Determine a probabilidade de que a soma seja 11. Determine a probabilidade de que a soma seja 4 ou 11. 2/36 = 1/18 = 0,056 5/36 = 0,139

14 Propriedades da Probabilidade A soma das probabilidade do todos os resultados de um espaço amostral é 1 (100%). Se você conhece a probabilidade de um evento E ocorrer, poderá obter a probabilidade do complemento do evento E Complemento do Evento é o conjunto de todos os resultados em um espaço amostral que não estão incluídos no evento E. O complemento é denotado por E (E linha) E E P(E ) = 1 - P(E)

15 Complemento do Evento Exemplo: A produção diária é de 12 carros, 5 dos quais são defeituosos. Se um carro for selecionado ao acaso, determine a probabilidade de que ele não seja defeituoso. Solução: P(defeituoso) = 5/12 P(não defeituoso) = 1 5/12 = 7/12 = 0,583

16 Exemplo: Uma pesquisa feito com uma amostra de 1000 funcionários de uma companhia registra a idade de cada um. Os resultados estão mostrados abaixo. Idade ou mais freqüência Se for selecionado um outro funcionário ao acaso, qual é a probabilidade dele ter entre 25 e 34 anos? 2-Qual a probabilidade de escolher um funcionário que não tenha idade entre entre 25 e 34 anos?

17 Probabilidade Condicional e Regra da Multiplicação

18 Probabilidade Condicional Como obter a probabilidade de um evento ocorrer, dado que um outro ocorreu. Como distinguir eventos dependentes e independentes. Usar a regra da multiplicação para determinar a probabilidade de dois eventos ocorrerem em seqüência. Usar a regra da multiplicação para determinar probabilidades condicionais.

19 Probabilidade Condicional é a probabilidade de ocorrer um evento, dado que um outro já ocorreu. A probabilidade condicional de o evento B ocorrer, dado que o evento A já ocorreu, é denotada por: P(B A) que significa Probabilidade de B, dado A

20 Probabilidade Condicional Exemplo: Dois carros são selecionados em uma linha de produção com 12 carros, 5 deles defeituosos. Qual é a probabilidade de o segundo carro ser defeituoso, dado que o primeiro carro era defeituoso? Dado que um carro defeituoso já foi selecionado, o espaço amostral condicional possui 4 carros defeituosos entre 11. Logo, P(B A) = 4/11.

21 Eventos Independentes e Dependentes Dois eventos são independentes se a ocorrência de um deles não afeta a probabilidade de ocorrência do outro. Dois eventos A e B são independentes se: P(B A)=P(B) ou se P(A B)=P(A) Os eventos que não são independentes, são dependentes.

22 Eventos Independentes e Dependentes Exemplo: Dois dados são lançados. Determine a probabilidade de sair 4 no segundo, dado que no primeiro já saiu 4. Espaço amostral original: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Dado que no primeiro dado saiu 4, o espaço amostral condicional é: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Logo, a probabilidade condicional, P(B A) = 1/6

23 Eventos Independentes e Dependentes Exemplo: Classifique os eventos abaixo como independentes ou dependentes: Selecionar um rei de um baralho comum (A), não recolocando-o, e então selecionar uma dama (B) Jogar uma moeda, obter uma cara (A) e jogar um dado e obter um 6 (B) Praticar piano (A) e ser um pianista de sucesso (B)

24 A Regra da Multiplicação Para determinar a probabilidade de que dois eventos, A e B, ocorram em seqüência, multiplique a probabilidade de A ocorrer pela probabilidade condicional de B ocorrer, dado que A já ocorreu. P(A e B) = P(A). P(B A) Se os eventos A e B são independentes, a regra pode ser simplificada para: P(A e B) = P(A). P(B)

25 A Regra da Multiplicação Exemplo: De volta à nossa linha de produção. Dois carros são selecionados em uma linha de produção com 12 unidades, 5 delas defeituosas. Determine a probabilidade de ambos os carros serem defeituosos. A = o 1 o carro é defeituoso. B = o 2 o carro é defeituoso. P(A) = 5/12 P(B A) = 4/11 P(A e B) = 5/12. 4/11 = 5/33 = 0,1515

26 Próxima Aula: Regra da Adição Eventos mutuamente exclusivos Princípios de contagem Fim do cap