Princípio da contagem e Probabilidade: conceito

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1 Princípio da contagem e Probabilidade: conceito característica do que é provável perspectiva favorável de que algo venha a ocorrer; possibilidade, chance. Ex.: há pouca possibilidade de chuva grau de segurança com que se pode esperar a realização de um evento, determinado pela freqüência relativa dos eventos do mesmo tipo numa série de tentativas. número positivo entre zero e um, associado a um evento aleatório, que se mede pela freqüência relativa da sua ocorrência numa longa sucessão de eventos. 1) No lançamento simultâneo de dois dados, um branco e um vermelho, vamos determinar: a) espaço amostral. É o conjunto formado por todos os resultados possíveis. Os eventos: É o subconjunto do espaço amostral. b) evento A: sair o mesmo número em ambos os dados. c) evento B: sair soma 7. d) evento : sair soma menor que 5. e) evento D: sair soma maior que 12. Espaço Amostral 6 x 6 = 36. Evento A: n(a) = 6 possibilidades. Evento B: n(b) = 6 possibilidades.

2 Evento : n() = 5 possibilidades. Evento D: n(d) = 0 possibilidades. 2) No lançamento simultâneo de uma moeda e um dado, determine: a) o espaço amostral; Espaço amostral (,1) (,1) b) o evento A: ocorrência de cara e um número par c) o evento B: ocorrência de coroa e múltiplo de 3 d) o evento : ocorrência de coroa e um número ímpar (,2) (,3) (,4) (,5) (,6) (,2) (,3) (,4) (,5) (,5) Espaço Amostral 2 x 6 = 12 possibilidades. ocorrência de cara e um número par ocorrência de coroa e múltiplo de 3 (,2) (,4) Subconjunto do espaço amostral: Evento A A = {(,2),(,4),(,6)} (,3) Subconjunto do espaço amostral: Evento B B = {(,3),(,6)} (,6) (,6) Evento A: 1 x 3 = 3 possibilidades. Evento B: 1 x 2 = 2 possibilidades.

3 ocorrência de coroa e um número ímpar (,1) (,3) Subconjunto do espaço amostral: Evento = {(,1),(,3),(,5)} Probabilidade: cálculo (,5) Evento : 1 x 3 = 3 possibilidades. Na teoria da Probabilidade quantificamos a chance de ocorrência de determinado acontecimento. Uma das primeiras publicações em que se falou em probabilidade matemática tratava de jogos de azar: um folheto intitulado Sobre o raciocínio em jogos de dados, em Um francês, conhecido como hevalier de Merê, teria ganhado dinheiro apostando que, em quatro lançamentos de dado, pelo menos uma vez ocorre o resultado seis pontos. Os jogos forneceram boas questões e discussões, que propiciaram o desenvolvimento dessa teoria. A Estatística, importantíssima nos mais diversos ramos de atividade, apoia-se fortemente na Teoria da Probabilidade. Ao tomar uma decisão baseada em resultados de uma amostra(espaço amostral), é por meio da Teoria da Probabilidade que se estabelece, por exemplo, o risco da decisão tomada. Quando num dado fenômeno(ou experimento) aleatório, com espaço amostral finito, considerando que o evento elementar tem a mesma chance de ocorrer, a probabilidade de ocorrer um evento A, indicada por p(a), é um número que mede essa chance e é dado por: 3) No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de sair número maior do que 4? Espaço amostral U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(u) = 6 possibilidades. Evento A = {5, 6} n(a) = 2 possibilidades(chances) 4) No lançamento simultâneo de 3 moedas perfeitas distinguíveis, qual é a probabilidade de serem obtidas: Espaço amostral (U) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) n(u): 8

4 a) pelo menos duas caras? Evento A {(,,),(,,),(,,),(,,)} = n( A) = 4 a) exatamente duas caras? Evento B ={(,,),(,,),(,,)} n( B) = 4 5) Num grupo de 75 jovens, 16 gostam de música, esporte e leitura; 24 gostam de música e esporte; 30 gostam de música e leitura; 22 gostam de esporte e leitura; 6 gostam somente de música; 9 gostam somente de esporte; e 5 jovens gostam somente de leitura. Qual a probabilidade de, ao apontar, ao acaso, um desses jovens: Espaço amostral (U) = 75 jovens Representação por diagrama Música (A) Esporte (B) a) ele gostar de música? Evento A = = b) ele não gostar de nenhuma dessas atividades? Evento B = 75 ( ) = = 11 Leitura () 75 ( ) = = 11 (não gostam de nenhuma atividade) Informações técnicas a) Princípio fundamental da contagem: Sejam A e B dois conjuntos disjuntos e não vazios. Se para a escolha de um elemento de A existem m possibilidades e para a escolha de um elemento de B existem k possibilidades, então para a escolha, nessa ordem, de um elemento de A e de um elemento de B existem m k possibilidades. b) A probabilidade de ocorrência de um evento A, com n(a) amostras, em um espaço amostral E, com n(e) amostras igualmente prováveis, é dada por: c) A probabilidade de ocorrência, numa certa ordem, de dois eventos A e B é dada por:

5 d) Dois eventos A e B são independentes quando Nesse caso: 6) O logotipo dos jogos Pan-Americanos de 2007 é formado por 5 pássaros, cujas formas fazem lembrar paisagens da cidade do Rio de Janeiro. Na sua produção, cada um dos pássaros deveria ser pintado com uma cor diferente, escolhida entre as seguintes: verde, amarelo, laranja, azul-claro, azul-escuro. Havia quantas opções diferentes de pintura desses pássaros, para a escolha do logotipo final? a) 20 b) 32 c) 60 d) 120 e) a) 20 b) 32 c) 60 d) 120 e) Para a escolha da cor do 1º pássaro, temos 5 possibilidades; para a do 2º, 4; para a do 3º, 3; para a do 4º, 2; e para a do 5º, apenas uma possibilidade. Pelo Princípio Fundamental da ontagem, temos: 7) A tabela mostra quantos minutos por hora os três refrigeradores R1, R2 e R3 de uma cozinha industrial permanecem com o motor funcionando. Admitindo-se a total independência dos eventos (o que equivale a dizer que o funcionamento de um motor não interferirá no funcionamento dos outros), a probabilidade de os motores dos três refrigeradores, em um instante qualquer, estarem funcionando é igual a: Resolução 1 hora tem 60 minutos (espaço amostral) n(r1) = 20 n(r2) = 30 n(r3) = 12 omo os eventos são independentes, a probabilidade pedida é Alternativa A

6 Escolhido aluno ao acaso, a probabilidade de sua idade ser no máximo 18 anos é: 8) Numa sala aula de um curso noturno, a distribuição das idades dos alunos é dada pelo gráfico seguinte. Resolução = 20 (Espaço amostral) Evento A = = 12 Escolhido um aluno ao acaso, a probabilidade de sua idade ser no máximo 18 anos é: Alternativa 9) Observe a figura a seguir: Resolução Observando os percursos possíveis, temos: XY e YZ = 1 x 3 = 3 XA e AZ = 2 x 1 = 2 XA e AY e YZ = 2 x 3 x 3 = 18 O número de caminhos diferentes que nos levam de X até Z é igual a: XA e AY e YB e BZ = 2 x 3 x 2 x 2 = 24 XY e YB e BZ = 1 x 2 x 2 = 4 SOMA: = 51 ALTERNATIVA E

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