MATEMÁTICA ENEM 2009 PROF. MARCELO CÓSER

Transcrição

1 MATEMÁTICA ENEM 09 PROF. MARCELO CÓSER

2 Funções Lineares: problemas com variação constante. f(x) = ax + b VARIAÇÃO CONSTANTE VALOR INICIAL a > 0 a < 0 a y x

3 0) (UFRJ) Uma operadora de celular oferece dois planos no sistema póspago. No plano A, paga-se uma assinatura de R$ 50,00 e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,25. No plano B, paga-se um valor fixo de R$ 40,00 para até 50 minutos em ligações locais e, a partir de 50 minutos, o custo de cada minuto em ligações locais é de R$,50. Determine a partir de quantos minutos, em ligações locais, o plano B deixa de ser mais vantajoso do que o plano A. A(x) = 0,25x + 50 B(x) = 40 para x 50. E para x > 50? (50; 40) Para x > 50, a função B(x) tem sua lei na forma B(x) = ax + b. Do enunciado, a B =,5. Assim, B(x) =,5x + b. Parâmetros desconhecidos Pontos conhecidos,5x - 35 = 0,25x + 50,25x = 85 x = 68 minutos. (50, 40) B(x). Logo, 40 =,5 50 +b. Assim, b = = -35.

4 02) A lei de resfriamento de Newton diz que a temperatura de um corpo após x horas é dada por T(x) = T AMBIENTE + a b x. Uma chaleira com água é colocada em uma sala a º C imediatamente após a água ferver. Uma hora mais tarde, sua temperatura era de 80º C. Qual será a temperatura ao final da segunda hora? Parâmetros desconhecidos Pontos conhecidos Se a chaleira foi colocada na sala logo após a água ferver, o ponto (0, 00) pertence à função. Ainda, temos o ponto (, 80). 0,, Logo, 80 b T a b 80 80b 3 4 x a 80 x 60 b o T C

5 03) Uma pessoa tomou 60 mg de uma certa medicação. A bula do remédio informava que sua meia-vida era de 6 horas. Como o paciente não sabia o significado da palavra, foi a um dicionário e encontrou a seguinte definição: Meia-vida: tempo necessário para que uma grandeza (física, biológica) atinja metade de seu valor inicial. Após 8 horas da ingestão do remédio, qual será a quantidade de remédio ainda presente no organismo? E após 3 horas? Aplicando a definição de meia-vida, a cada 6 horas temos uma redução de 50%. Ou seja, em 8 horas teremos três reduções de 50%: Q = 60 0,5 0,5 0,5 = 7,5 mg Para o cálculo da quantidade após 3 horas, é preciso descobrir o fator de redução correspondente a esse intervalo de tempo. Sabe-se que para 6 horas a redução é de 50% e em que 6 horas temos dois intervalos de 3 horas. Assim, é preciso descobrir o fator de variação f que aplicado duas vezes equivale ao fator de variação 0,5: f. f 0,5 f 2 0,5 f Q 0, ,707,443 42,42mg 0,707

6 04) (UFG) As curvas de logística são usadas na definição de modelos de crescimento populacional quando fatores ambientais impõem restrições ao tamanho possível da população, na propagação de epidemias e boatos em comunidades. Por exemplo, estima-se que decorridas t semanas, a partir da constatação da existência de uma forma de gripe, o número N de pessoas contaminadas (em milhares) é aproximadamente De acordo com essa estimativa, pode-se afirmar corretamente que: F N 9.0 ( ) menos de 500 pessoas haviam contraído a doença quando foi constatada a existência da gripe. ( F ) menos de 6 mil pessoas haviam contraído a doença, decorridas duas semanas da constatação da existência da gripe. ( ) são necessárias mais de quatro semanas para que 8 mil pessoas sejam infectadas. ( ) o número de pessoas infectadas atingirá mil. V F 0,5t N t = N 9. N 0,5.0 N N N t = ,5.2 6,89 N,9 2,9 t = 4 N 9.0 N 9.0 0, ,8 0,9,9 N = ,5t 0,5t 0,5t 9.0 0,5t ,5t 0 0 Um número positivo elevado a qualquer expoente real é sempre positivo.

7 N 9.0 0,5t

8 Escalas Logarítmicas: problemas com valores muito grandes. Escala em PG x log 2 x Escala em PA

9 05) (FFFCMPA) A unidade de medida do som é o bel. Na prática, costuma-se utilizar o decibel, que corresponde a um décimo do bel. As sonoridades, medidas em bel, constituem uma escala de progressão aritmética, mas a intensidade do som cresce segundo uma progressão geométrica. Quando o som, na escala bel, cresce uma unidade, a intensidade do som (em watts por metro quadrado) aumenta 0 vezes. A sonoridade, medida em decibéis, de uma determinada banda de rock é de 90 decibéis, ao passo que a da conversação normal corresponde a 60 decibéis. Assim sendo, pergunta-se: quantas vezes a intensidade do som, em watts por metro quadrado, da banda de rock é maior do que a intensidade do som de uma conversação normal? a) 3 vezes b) 0 vezes c) 30 vezes Xd).000 vezes e) mais de.000 vezes A diferença entre o som da banda e o da conversação é de 30 decibéis = 3 béis. Como a cada variação unitária em béis a intensidade do som aumenta 0 vezes, a intensidade do som da banda corresponde a =.000 vezes a intensidade do som da conversação. Observe que na escala em decibéis constata-se que a medida da banda de rock é 50% maior que a da conversação. No entanto, tal interpretação é incorreta pois a escala em questão não é linear, mas sim logarítmica.

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13 PROBABILIDADE São duas as questões pertinentes na resolução de um problema envolvendo probabilidades. Primeiro, é preciso quantificar o conjunto de todos os resultados possíveis, que será chamado de espaço amostral. Segundo, é preciso quantificar o conjunto de todos os resultados desejados, que será chamado de evento. Com tais dados obtidos, pode-se definir a probabilidade de um determinado evento X ocorrer como sendo a razão entre as quantidades de elementos dos conjuntos acima. Assim, ADIÇÃO DE PROBABILIDADES Sendo A e B dois eventos independentes em um mesmo espaço amostral E, temos: MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES Sendo A e B dois eventos independentes em um mesmo espaço amostral E, temos: Se A e B são eventos mutuamente exclusivos: Importante: O evento A ocorre e o evento B ocorre. Importante: O evento A ocorre ou o evento B ocorre.

14 06) (ENEM) Em um concurso de televisão, apresentam-se ao participante 3 fichas voltadas para baixo, estando representada em cada uma delas as letras T, V e E. As fichas encontram-se alinhadas em uma ordem qualquer. O participante deve ordenar as fichas ao seu gosto, mantendo as letras voltadas para baixo, tentando obter a sigla TVE. Ao desvirá-las, para cada letra que esteja na posição correta ganhará um prêmio de R$ 0,00. A probabilidade de o concorrente ganhar exatamente o valor de R$400,00 é igual a: Xa) 0 b) /3 c) /2 d) 2/3 e) /6 R$ 400 equivalem a dois acertos. Seria possível acertar as duas primeiras, as duas últimas ou a primeira e a terceira. No entanto, é impossível: se errar a primeira, por exemplo (com V ou E ), automaticamente outra estará errada também, pois uma das letras já foi usada; ainda, se acertar as duas primeiras, então a última estará certa também. Logo, P = 0.

15 07) (ENEM) Uma empresa de alimentos imprimiu em suas embalagens um cartão de apostas conforme a figura. Cada cartão de apostas possui 7 figuras de bolas de futebol e 8 sinais de X distribuídos entre os 5 espaços possíveis, de tal forma que a probabilidade de um cliente ganhar o prêmio nunca seja igual a zero. Em determinado cartão existem duas bolas na linha 4 e duas bolas na linha 5. Com esse cartão, a probabilidade de o cliente ganhar o prêmio é: a) /27 b) /36 Xc) /54 d) /72 e) /08 Como são 7 bolas e quatro estarão nas linhas 4 e 5, restarão uma bola por cada uma das três primeiras linhas. Logo, P

16 08) (ENEM) A escrita Braile para cegos é um sistema de símbolos no qual cada caractere é um conjunto de 6 pontos dispostos em forma retangular, dos quais pelo menos um se destaca em relação aos demais. Ao lado, a representação da letra A. O número total de caracteres que podem ser representados é: a) 2 b) 3 c) 36 Xd) 63 e) Grande Grande Grande Grande Grande Grande Pequena Pequena Pequena Pequena Pequena Pequena 64 = 64-2 = 62 Contam como um caractere! 62 + = 63 Todas grandes ou todas pequenas