d) 2 e) 3 d) 5 22 e) 15

Transcrição

1 PROBABILIDADE E MÉTODOS DE CONTAGEM 1) Nove cartões, com os números de 11 a 19 escritos em um de seus versos, foram embaralhados e postos um sobre o outro de forma que as faces numeradas ficaram para baixo. A probabilidade de, na disposição final, os cartões ficarem alternados entre pares e ímpares é de? a) b) c) d) e) Francisco deve elaborar uma pesquisa sobre dois artrópodes distintos. Eles serão selecionados, ao acaso, da seguinte relação: aranha, besouro, barata, lagosta, camarão, formiga, ácaro, caranguejo, abelha, carrapato, escorpião e gafanhoto. Qual é a probabilidade de que ambos os artrópodes escolhidos para a pesquisa de Francisco não sejam insetos? a) b) d) 5 22 e) c) 7 22 PROBABILIDADE CONDICIONAL 1) A distribuição dos alunos nas 3 turmas de um curso é mostrada na tabela abaixo. A B C Homens Mulheres Escolhendo-se uma aluna desse curso, a probabilidade de ela ser da turma A é: a) 1 2 d) 2 5 b) 1 3 e) 2 7 c) 1 4 2) Numa escola com 1200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas linguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos fala inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas. Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol? 3) Numa empresa, 60% são homens, dos quais 10% são fumantes. Sabe-se que 5% das mulheres são fumantes. Escolhendo-se ao acaso um dos fumantes dessa empresa, a probabilidade de ser uma mulher é igual a: a) 25% d) 30% b) 15% e) 20% c) 10%

2 PRODUTO DE PROBABILIDADES 1) Em um escritório, há dois porta-lápis: o porta-lápis A, com 10 lápis, dentre os quais 3 estão apontados, e o porta-lápis B com 9 lápis, dentre os quais 4 estão apontados. Um funcionário retira um lápis qualquer ao acaso do porta-lápis A e o coloca no porta-lápis B. Novamente ao acaso, ele retira um lápis qualquer do porta-lápis B. A probabilidade de que este último lápis retirado não tenha ponta é igual a: a) 0,64 b) 0,57 c) 0,52 d) 0,42 2) Em uma escola, 20% dos alunos de uma turma marcaram a opc a o correta de uma questa o de mu ltipla escolha que possui quatro alternativas de resposta. Os demais marcaram uma das quatro opc o es ao acaso. Verificando-se as respostas de dois alunos quaisquer dessa turma, a probabilidade de que exatamente um tenha marcado a opc a o correta equivale a: a) 0,48 c) 0,36 b) 0,40 d) 0,25 3) Em um concurso de televisão, apresentam-se ao participante 3 fichas voltadas para baixo, estando representada em cada uma delas as letras T, V e E. As fichas encontram-se alinhadas em uma ordem qualquer. O participante deve ordenar as fichas ao seu gosto, mantendo as letras voltadas para baixo, tentando obter a sigla TVE. Ao desvirá-las, para cada letra que esteja na posição correta ganhará um prêmio de R$ 200,00. A probabilidade de o participante não ganhar qualquer prêmio é igual a: a) 0 d) 1 2 b) 1 3 e) 1 6 c) 1 4 BINÔMIO DE NEWTON 1) Desenvolvendo-se o binômio P(x) = (x + 1) 5, podemos dizer que a soma de seus coeficientes é: a) 16 d) 40 b) 24 e) 48 c) 32 2) Obter o termo independente de x no desenvolvimento de (x x 5)8 : a) 80 b) 10 c) 70 d) 40 e) 32

3 PROBABILIDADE E MÉTODOS DE CONTAGEM Como são cartões escritos de 11 a 19, temos 9 cartões escritos. Assim, temos 9! maneiras de embaralhar esses cartões e 5!.4! maneiras de embaralhar para que fiquem alternados em pares e ímpares, ou seja ímpar par ímpar par ímpar par ímpara par ímpar Portanto P = 5!4! 9! 5! ! = = Entre os 12 artrópodes apresentados, 7 não são insetos: aranha, lagosta, camarão, ácaro, caranguejo, carrapato e escorpião. Assim, a probabilidade de os dois escolhidos não serem insetos é dada por = 7 22 PROBABILIDADE CONDICIONAL A probabilidade é a razão entre o números de mulheres da turma A e o total de mulheres. P = P = 7 21 P = 1 3 Dos 1200 alunos, 300 não falam nenhum idioma, logo, apenas =900 alunos, falam pelo menos um idioma. Desses, 600 falam inglês, 500 espanhol e certa quantidade (x) falam os dois idiomas. A soma de quem fala inglês, espanhol e os dois idionas juntos tem que ser 900. Por isso, temos: (600-x)+(500-x)+x= x=900 -x= x=-200 (-1) x=200 Sendo assim, a probabilidade pedida é: P = = 3 6 = 1 2 = 50% 3) Solução: Homens Mulheres Total Fumante 10% de 60%=6% 5% de 40%=2% 8% Não fumante 60%-6%=54% 40%-2%=38% 92% Total 60% 40% 100% P = 2 8 = 1 4 = 25%

4 PRODUTO DE PROBABILIDADES Considere SP (sem ponta) e CP (com ponta) as designações dos lápis. De acordo com as informações, temos duas situações: I) Foi retirado um lápis sem ponta de A e posto em B. A caixa em B ficou com 10 lápis, sendo 6 sem pontas continuando com os 4 apontados. Nesse caso, temos P = (SP B /SP A ) = = 42 II) Foi retirado um lápis com ponta de A e posto em B. A caixa em B ficou com 10 lápis, sendo 5 sem pontas passando a ter 5 apontados. Nesse caso, temos P(SP B /SP A ) = = A probabilidade então será P(SP B /SP A ) + P(SP B /SP A ) = = = 0,57 Podemos observar que a probabilidade de um aluno acertar a questão marcando uma alternativa ao acaso é 1 4 consequentemente a de errar é = 3 4. Tomando as respostas de dois alunos quaisquer da turma, observaremos as seguintes possibilidades de casos 100 favoráveis: 1º - Um aluno pode estar entre os 20% que marcaram a opção correta e o outro estar entre os 80% que marcaram a resposta errada ao acaso; com isso teremos: 0,2 0, ,8 3 0,2 = 0, º - Podemos ter os dois alunos entre os 80% que marcaram a resposta ao acaso, tendo um deles acertado a questão e o outro errado, nesse caso teremos: 0, , , ,8 1 4 = 0,24 Logo encontraremos a probabilidade igual a 0,24 + 0,24 = 0,48. 3) Solução: As possibilidades são: TVE=600 reais TEV=200 reais ETV=0 reais EVT=200 reais VET=0 reais VTE=200 reais. A probabilidade de o participante não ganhar qualquer prêmio é igual a: P = 2 6 = 1 3 BINÔMIO DE NEWTON A soma dos coeficientes do desenvolvimento de P(x) = (x + 1) 5 é obtida substituindo-se a variável x por um. Assim S coef = P(1) = (1 + 1) 5 = 32

5 Baseado em T k+1 = ( n k ) xn k. y k temos: (x x 5)8 T k+1 = ( 8 k ) (x5 ) 8 k ( 1 x 5)k T k+1 = ( 8 k ) x40 5k. x 5k T k+1 = ( 8 k ) x40 10k 40 10k = 0 40 = 10k 40 = k 4 = k 10 Logo: T 7 = ( 8 4 ) = 8! 4! (8 4)! = 8! 4! 4! = ! 4! = = = 70