ESPAÇOS MUNIDOS DE PRODUTO INTERNO

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1 ESPAÇOS MUNIDOS DE PRODUTO INTERNO Angelo Fernando Fiori 1 Bruna Larissa Cecco 2 Grazielli Vassoler 3 Resumo: O presente trabalho apresenta um estudo sobre os espaços vetoriais munidos de produto interno. A partir de pesquisas e apresentações de seminários define-se que os espaços com esta característica possuem uma série de propriedades e características muito importantes que podem ser aplicadas a espaços vetoriais quaisquer, sendo este trabalho, porém, restrito ao espaço. Tem-se como objetivo mostrar a importância da pesquisa na área da matemática bem como verificar que alguns espaços vetoriais são munidos de produto interno. Estes servem como importante ferramenta em vários ramos da Matemática como estatística e problemas de aproximação de funções, por exemplo. O método utilizado foi a pesquisa bibliográfica, através da qual se fez um estudo aprofundado do tema e posterior definição e seleção dos principais elementos a serem abordados. Antes de apresentar o tema, fora primeiramente definido alguns elementos de modo dar um melhor embasamento ao estudo de espaços munidos de produto interno. Foram reescritas, de forma detalhada, algumas demonstrações que constam nas bibliografias e outras que não constam nas bibliografias pesquisadas foram demonstradas. Observou-se que o produto interno no espaço das funções contínuas é uma ferramenta importante utilizada no caso contínuo do método de mínimos quadrados. Este fato foi discutido a partir de um exemplo que trata de aproximação de duas famílias de funções para o problema da voltagem periódica de um resistor em um circuito elétrico. Para as considerações aborda-se a necessidade da continuidade das pesquisas no âmbito universitário, especificamente na área da matemática, pois serve como incentivo para compreensão e construção de muitos conceitos. Palavras-chave: Espaços munidos de produto interno. Norma. Valor absoluto. Funções contínuas. 1. Introdução Sabe-se que a Álgebra Linear é um ramo da Matemática com ampla aplicabilidade. Assim constituiu-se um grupo com o intuito de aprofundar questões relacionadas a este ramo através de encontros e apresentações de seminários 1 Acadêmico da UNOCHAPECÓ, 5º período de Matemática. an@unochapeco.edu.br 2 Co-autora, acadêmica da UNOCHAPECÓ, 5º período de Matemática. brunacecco@unochapeco.edu.br 3 Orientadora, docente da ACEA UNOCHAPECÓ. gra1985@unochapeco.edu.br

2 semanalmente. Destes seminários sob o tema de Álgebra Linear foi escolhido o tema espaços vetoriais munidos de produto interno para um estudo mais aprofundado. Fora realizada uma pesquisa bibliográfica com o objetivo de se estudar a importância de espaços munidos de produto interno e da sua aplicação nas diversas áreas do conhecimento. Espaços que possuem estas propriedades são utilizados em vários campos da Matemática como estatística e problemas de aproximação de funções, por exemplo, além das engenharias, física e química. Estes espaços generalizam e definem noções de comprimento, distância e ângulo em espaços vetoriais arbitrários. No tópico de Materiais e Métodos são apresentadas definições, propriedades e demonstrações sendo estas posteriormente utilizadas para as discussões da aplicação. 2. Materiais e Métodos O estudo de espaços munidos de produto interno requer alguns conhecimentos prévios de Álgebra Linear que serão definidos a seguir Dependência linear Definição: Um conjunto de vetores linearmente dependente (LD) se existirem escalares que: em um espaço vetorial V, é não nulos, tais E ainda: Teorema I: Um conjunto de vetores é linearmente dependente, em um espaço vetorial V, se, e somente se, pelo menos um dos vetores pode ser expresso como uma combinação linear dos demais Independência linear

3 Definição: Um conjunto de vetores em um espaço vetorial W, é linearmente independente (LI) se, e somente se, existem escalares e são nulos, tais que: E ainda: Teorema II: Um conjunto de vetores é linearmente independente, em um espaço vetorial W, se, e somente se, nenhum deles for uma combinação linear dos outros Espaços munidos de produto interno Definição: Chama-se produto interno em um espaço vetorial V, denota-se por (V ), as operações que associam a cada par de vetores V um número real ( ) de modo que sejam satisfeitas os seguintes axiomas para e V sendo eles linearmente independentes e constante pertencendo aos reais: 1. Simétrica: 2. Distributiva: 3. Homogeneidade (ou Bilinear): 4. Positiva Definida: e 5. Linear: Um espaço vetorial com estas propriedades é chamado de Espaço com Produto Interno Real ou Espaço Munido de Produto Interno ou apenas Espaço Euclidiano. A partir da definição de espaços munidos de produto interno, decorre para V, com LI e as seguintes propriedades: i) e ; ii) ; iii) ; iv) Desigualdade de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz: ; v) Desigualdade Triangular: ;

4 vi). As demonstrações das propriedades i), ii), iii) e vi) decorrem facilmente dos axiomas dos espaços munidos de produto interno. Demonstra-se a seguir as propriedades iv) e v), muito importantes para o estudo de espaços munidos de produto interno: iv) Precisa-se mostrar que: Para V e ainda (para, vale a igualdade ). Tomando, por definição: Observa-se uma inequação do segundo grau com variável. Esta equação não possui raízes reais, logo o discriminante é. Observa-se ainda que o coeficiente de é sempre positivo pois. Assim o discriminante equivale a: (1) Reescrevendo (1) da seguinte forma: Portanto a Desigualdade de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz é válida. v) Precisa-se mostrar que:

5 Para V. Por definição: Logo, Pela propriedade do valor absoluto: Pela Desigualdade de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz: Desta forma a Desigualdade Triangular é válida. É possível provar que alguns espaços importantes e que serão utilizados no decorre deste trabalho são espaços munidos de produto interno Espaço das funções contínuas forma: Prova-se que o espaço C[a, b] é um espaço munido de produto interno. Sejam f = e g = duas funções contínuas em C[a, b] e definidas da Mostra-se que estas funções definem produto interno no espaço C[a, b] através da verificação dos cinco axiomas de produto interno. Desta forma tomando f, g e s C[a, b] sendo f, g e s e ainda com. 1. Simétrica:

6 <f, g> <g, f> 2. Distributiva: <f + g, s> = <f + g, s> = <f + g, s> = <f, s> + <g, s> 3. Homogeneidade (ou Bilinear): < f, g> = = <f, g> 4. Positiva Definida: Se f é qualquer função em C[a, b], então para cada em [a,b], de modo que: <f, f> = Além disso, como e f é contínua no intervalo [a, b], segue que, para cada em [a, b]. Assim <f, f> = f = Linear: < > = < > = < > = < > =

7 Os cinco axiomas ficam provados para o espaço C[a, b], portanto este espaço é munido de produto interno Espaço dos polinômios de grau dois Em P 2 seja e. Mostre que: define um produto interno em P 2. Se e são dois vetores quaisquer em P 2, então segue que, define o produto interno em P 2. Assim precisa-se mostrar que valem os cinco axiomas que definem espaços munidos de produto interno para, sendo, e e ainda com. 1. Simétrica: 2. Distributiva: 3. Homogeneidade (ou Bilinear):

8 4. Positiva Definida: Como os coeficientes dos polinômios de grau dois devem ser positivos sua multiplicação e respectiva soma, resultarão sempre em valores reais maiores que zero, só podendo ser zero quando pelo menos um do polinômios tiver todos os seus coeficientes iguais a zero. 5. Linear: + Pelos cinco axiomas que provam-se verdadeiros para o espaço P 2, temos que este espaço é munido de produto interno. Para provar que o espaço das matrizes quadradas é um espaço munido de produto interno é preciso definir ângulo entre dois vetores e ortogonalidade, que serão apresentados a seguir Ângulo entre dois vetores Howard e Rorres (2001) definem ângulo entre dois vetores da seguinte forma: seja um Espaço Vetorial Munido de Produto Interno. Para quaisquer com e não-nulo, define-se o ângulo entre e um ângulo tal que e ainda, pela desigualdade de Cauchy Bunyakovsky Schwarz, temos que: dividindo ambos os ambos os lados da inequação por obtemos:

9 que equivale a: Como é um ângulo cuja medida em radianos varia de a, tem-se que toma todos os valores entre e (incluindo e ) uma única vez, logo: com, define como o ângulo entre e Ortogonalidade Quando define-se ângulos entre dois vetores não-nulos em um espaço munido de produto interno é importante investigar se o ângulo entre os dois vetores tomados é reto, ou seja,. Isso ocorre somente quando que por sua vez só acontece quando o produto interno entre os vetores é igual a zero ( ). Sendo assim dois vetores não-nulos e, que pertencem a um espaço vetorial munido de produto interno, são chamados ortogonais quando. A ortogonalidade nos polinômios de grau dois está definida da forma: Em, onde e com temos, analogamente que: 2.5. Produto interno em

10 Definição: Sejam matrizes, quaisquer, com e, então equação que segue define um produto interno em : ou em outras palavras: Seja V um espaço arbitrário munido de produto interno e uma base qualquer de V. A matriz a seguir é chamada representação matricial do produto interno em V em relação à base S: Isto é,, onde. Percebe-se que é simétrica, pois o produto interno é simétrico, ou seja,. Assim, depende tanto do produto interno em como da base de. Uma matriz simétrica é positiva definida se, e somente se, os elementos diagonais e são positivos e o determinante Então é positivo. Aplica-se o seguinte teorema: Teorema III: Seja uma matriz real positiva definida. Então a função é um produto interno sobre. Reciprocamente tem-se: Teorema III: Seja a representação matricial de um produto interno em. é a matriz positiva definida. A seguir será apresentada a definição de espaços vetoriais normados que são muito importantes no estudo de espaços munidos de produto interno, pois especificam algumas propriedades para a função distância e serão utilizados na aplicação que segue deste trabalho.

11 2.6. Espaços vetoriais normados Definição: Uma norma em um espaço vetorial é uma aplicação que associa a cada vetor um número real, chamado norma de, de modo que as seguintes propriedades sejam satisfeitas para todos os vetores e e os : 1. e ; 2. ; 3.. Um espaço vetorial com uma norma é chamado de espaço vetorial normado. Para Poole (2001), existem ainda três importantes normas em : 1. Norma do máximo: ; 2. Norma da soma: ; 3. Norma euclidiana:. As normas, e são chamadas norma infinito, (escolhe o maior dos valores absolutos das componentes), norma-um (soma os valores absolutos dos componentes) e norma-dois (extrai a raiz quadrada da soma dos quadrados o componentes). Note-se que é a norma em induzida pelo produto interno usual em. 3. Resultados e Discussões 3.1. Aplicações Os espaços euclidianos tem ampla aplicabilidade na Matemática e em diversas áreas da engenharia e outras ciências: problemas de acústica, deformações causadas por energia, para aproximar ciclos comerciais, curvas de crescimento populacional, curvas de vendas,.... A seguir será apresentada uma aplicação dentre muitas dos espaços munidos de produto interno para funções contínuas.

12 Aproximação de funções utilizando espaços munidos de produto interno Seja uma voltagem periódica através de um resistor em um circuito elétrico conforme Figura 1. A energia elétrica transferida ao resistor durante um período é proporcional a: Qual é a função que melhor se ajusta a? Figura 1: Voltagem periódica através de um resistor em um circuito elétrico. Fonte: (HOWARD e RORRES, p. 492) Resolução: Sejam contínuas em um intervalo e tendo o mesmo período que se quer que seja uma aproximação a, então o critério de proximidade pode ser tomado como sendo a energia da diferença da voltagem. Isto é proporcional a tomar duas funções e também contínuas no intervalo, sendo agora necessário, encontrar duas constantes reais e tais que sejam a melhor aproximação de. Utilizando o método dos mínimos quadrados para o conceito de proximidade entre e, os coeficientes e a serem obtidos deverão ser tais que o valor de interno de funções: seja o menor possível. Assim, pela definição de produto

13 Logo: Precisa-se agora determinar os pontos críticos de F, ou seja, calcular de forma que: Assim: Se,,, e, Pode-se escrever o sistema linear como:, ou, onde, e. Desta forma se as funções escolhidas e forem linearmente independentes, o determinante da matriz é diferente de zero, o que implica que o sistema linear acima admite única solução. Assim a solução será o ponto em que a função atinge seu valor mínimo.

14 4. Considerações Ao estudar espaços munidos de produto interno percebe-se o quanto são úteis enquanto ferramentas dentro da Matemática e das diversas ciências. Sendo assim, seu estudo é indispensável para melhor compreensão de conteúdos decorrentes. Constituí-se enquanto utensílio indispensável a partir das aplicações a eles dadas. Este trabalho buscou aprofundar este tema com o objetivo de conhecer os espaços munidos de produto interno e perceber sua aplicabilidade, sendo assim, foram atingidos os objetivos propostos e verificado, desta forma, a importância destes espaços para a pesquisa na área da Matemática e outras áreas do saber. A partir deste estudo, pretende-se continuar os estudos semanais para incentivar e mostra a importância da pesquisa para a construção e entendimento de muitos conceitos matemáticos. 5. Referências BOLDRINI, José Luiz et al. Álgebra Linear. 3. ed. São Paulo: Harbra, CALLIOLLI, Carlos A.; COSTA, Roberto C. F.; DOMINGUES, Higyno H. Álgebra Linear e Aplicações. 6. ed. São Paulo: Atual, HOWARD, Anton; RORRES, Chris. Álgebra Linear com Aplicações. 8. ed. Porto Alegre:: Bookman, LIPSCHUTZ, Seymour. Álgebra Linear: teoria e problemas. 3. ed. São Paulo: Makron Books, LOPES, Vera Lúcia da Rocha; RUGGIERO, Márcia A. Gomes. Cálculo Numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, POOLE, David. Álgebra Linear. 1. ed. São Paulo: Cengage Learnig, STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.