Aula 1: Introdução à Probabilidade

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Aula 1: Introdução à Probabilidade"

Transcrição

1 Aula 1: Introdução à Probabilidade Prof. Leandro Chaves Rêgo Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção - UFPE Recife, 07 de Março de 2012

2 Experimento Aleatório Um experimento é qualquer processo de observação. Por exemplo, considere medirmos a corrente elétrica em um fio de cobre ou medirmos o peso de um tijolo. Quando repetimos tal experimento, os resultados podem diferir. Esta variação de resultados é denominada de componente aleatório do nosso experimento. Se as variações forem desprezíveis, estas podem ser ignoradas. Porém, frequentemente nos deparamos com situações onde é importante levar as variações em consideração. O objetivo de se estudar Probabilidade e Estatística é compreender, quantificar e modelar os tipos de variações ou fenômenos aleatórios que encontramos com frequência.

3 Experimento Aleatório Os seguintes traços caracterizam um experimento aleatório: (a) Se for possível repetir as mesmas condições do experimento, os resultados do experimento em diferentes realizações podem ser diferentes, ou seja, existem variáveis ou fatores que não consegue-se controlar. (b) Pode-se descrever o conjunto de todos os possíveis resultados do experimento. (c) Quando o experimento for repetido um grande número de vezes, uma configuração definida ou regularidade surgirá. É esta regularidade que torna possível construir um modelo probabilístico. Os resultados de um experimento aleatório são caracterizados pelos seguintes componentes: 1 o conjunto de resultados possíveis Ω; 2 a coleção de conjuntos de resultados de interesse A; 3 um valor numérico P da verossimilhança ou probabilidade de ocorrência de cada um dos conjuntos de resultados de interesse.

4 Espaço Amostral O conjunto de possíveis resultados de um experimento aleatório é chamado de espaço amostral. Existem quatro pontos que são desejáveis da especificação de um espaço amostral: SS1. listar os possíveis resultados do experimento; SS2. fazê-lo sem duplicação; SS3. fazê-lo em um nível de detalhamento suficiente para os interesses desejados; SS4. especificar essa lista completamente em um sentido prático, embora usualmente não completa no que se refere a todos os resultados logicamente ou fisicamente possíveis. Por exemplo, em uma única jogada de uma moeda poderíamos ter: Ω 1 = {cara, coroa}; Ω 2 = {cara,coroa, borda}; ou Ω 3 = {(x,y) IR 2 }, onde (x, y) são as coordenadas do centro da moeda após parar. Espaços amostrais podem ser enumeráveis ou não enumeráveis; se os elementos do espaço amostral podem ser colocados em uma correspondência 1-1 com um subconjunto dos inteiros, o espaço amostral é enumerável.

5 s Se estivermos interessados no número de chamadas que chega a uma central telefônica em um dado intervalo de tempo, temos que o espaço amostral pode ser o conjunto de inteiros não-negativos IN. Se estivermos medindo o peso de 1 tijolo produzido em uma fábrica, temos que o espaço amostral pode ser o conjunto de reais não-negativos IR +. Se estivermos medindo o peso de 2 tijolos produzidos em uma fábrica, temos que o espaço amostral pode ser o conjunto IR + IR +.

6 Eventos e Coleção de Eventos Um evento é um subconjunto do espaço amostral. Se ao realizarmos um experimento aleatório, o resultado pertence a um dado evento A, dizemos que A ocorreu. Utilizaremos as operações Booleanas de conjuntos (complementar, união, intersecção, diferença) para expressar eventos combinados de interesse. Definição Dado um espaço amostral Ω e um conjunto qualquer I, uma partição Π = {A α,α I} de Ω é uma coleção de eventos que satisfaz: P1. Para todo α β, A α A β = ; P2. α IA α = Ω. Portanto, cada elemento ω Ω pertence a um, e somente um, dos eventos A α de uma partição. Se dois eventos não possuem nenhum resultado em comum, diz-se que são disjuntos ou mutuamente exclusivos.

7 Alguns s Sejam A, B, e C eventos em um mesmo espaço amostral Ω. Expresse os seguintes eventos em função de A, B, e C e operações Booleanas de conjuntos. (a) Pelo menos um deles ocorre. (b) Exatamente um deles ocorre. (c) Pelo menos dois ocorrem. (d) No máximo dois deles ocorrem. (e) Ambos A e B ocorrem, mas C não ocorre. A coleção de intervalos {(n,n+1] : n Z} é uma partição dos números reais IR.

8 Frequências Relativas Resta-nos discutir o terceiro elemento para modelagem do raciocínio probabilístico, a associação de uma medida numérica a eventos que representam a probabilidade com que eles ocorrem. As propriedades desta associação são motivadas em grande parte pelas propriedades de frequência relativas. Ao repetirmos um experimento aleatório n vezes sua frequência relativa nada mais é que a fração de vezes que este evento ocorre, ou seja, Definição A frequência relativa de um evento A determinada por n repetições de um experimento aleatório é r n(a) = Nn(A), n onde N n(a) é o número de vezes que o evento A ocorreu nas n realizações do experimento.

9 Suponha que lança-se um dado 10 vezes e obtém-se a seguinte sequência de resultados: {1, 2, 2,6, 5,4, 4,4, 6,1}. A frequência relativa do evento A = {2, 4} é igual a r 10(A) = 5/10, a frequência relativa do evento B = {3, 5} é igual a r 10(B) = 1/10 e a frequência relativa de A B é igual a r 10(A B) = 6/10.

10 Frequências Relativas Propriedades chaves da frequência relativa são: FR0. r n : A IR. FR1. r n(a) 0. FR2. r n(ω) = 1. FR3. Seja A i,i = 1,2,...,k, uma coleção finita de eventos disjuntos par a par. Então, r n( k i=1a i ) = k i=1 rn(a i). Assumiremos que ao aumentarmos o número de repetições do experimento, a frequência relativa de um evento A tende a se estabilizar ao redor de um número P(A), que chamamos de probabilidade do evento A. Salientamos que o sentido de convergência quando n cresce só pode ser explicado pela Lei dos Grandes Números, que não será discutida em detalhes neste curso. Esta tendência da frequência relativa de estabilizar em um certo valor é conhecida como regularidade estatística. Deste modo, P herdará propriedades da frequência relativa r n.

11 Axiomas de Kolmogorov São um conjunto de propriedades que definem que tipos de funções matemáticas podem ser adotadas para descrever um modelo probabilístico. Os primeiro quatro axiomas podem ser motivados pelas propriedades de frequência relativa. K0. Inicial. O experimento aleatório é descrito pelo espaço de probabilidade (Ω,A, P) que consiste do espaço amostral Ω, de uma coleção A de eventos de Ω, e de uma função de valores reais P : A IR. K1. Não-negatividade. A A, P(A) 0. K2. Normalização Unitária. P(Ω) = 1. K3. Aditividade Finita. Seja A i,i = 1, 2,...,n, uma coleção finita de eventos disjuntos par a par. Então, P( n i=1a i ) = n i=1 P(A i). Um último axioma foi proposto por Kolmogorov para garantir um certo grau de continuidade da medida de probabilidade. K4. σ-aditividade. Se {A i } é uma coleção enumerável de eventos disjuntos dois a dois, então P( i=1a i ) = P(Ai ).

12 Medida de Probabilidade Definição Uma função que satisfaz K0 K4 é chamada de uma medida de probabilidade. Observação Os axiomas de Kolmogorov não descrevem um único modelo probabilístico, eles apenas determinam uma família de modelos probabilísticos, a escolha de um modelo específico satisfazendo os axiomas é feito pelo analista/estatístico familiar com o fenômeno aleatório sendo modelado.

13 s de Medidas de Probabilidade Se Ω for um conjunto finito, então temos que a probabilidade clássica que assume que todos os resultados são igualmente prováveis, é um exemplo de uma medida de probabilidade. Neste caso, temos que P(A) = A Ω, onde A é o número de elementos de A. O fato que 0 A Ω e que A B = A + B A B, permitem que verifiquemos que P satisfaz os axiomas de Kolmogorov. Seja Ω = {ω 1,ω 2,...,ω n} um conjunto finito, e seja P({ω i }) = p i, onde p i 0, n i=1 p i = 1, e P(A) = ω i A P({ω i}). Neste caso, também é fácil verificar que P é uma medida de probabilidade verificando os axiomas. Portanto, no caso de qualquer conjunto finito (ou infinito enumerável), pode-se calcular a probabilidade de qualquer evento somando-se as probabilidades dos eventos que consistem de resultados individuais.

14 Propriedades de Probabilidade Teorema Se P é uma medida de probabilidade, então 1 P(A c ) = 1 P(A). 2 P( ) = 0. 3 P(A) 1. 4 Se A B, então P(A) P(B). 5 P(A B) max(p(a),p(b)) min(p(a),p(b)) P(A B). 6 P(A B) = P(A)+P(B) P(A B). 7 Se {A i } é uma partição enumerável de Ω feita de conjuntos em A, então para todo B A P(B) = P(B A i ). i 8 P( n i=1a i ) n i=1 P(A i). 9 P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1)+P(A 2)+P(A 3) P(A 1 A 2) P(A 1 A 3) P(A 2 A 3)+P(A 1 A 2 A 3).

15 Exercícios Uma peça selecionada para teste é igualmente provável de ser produzida em qualquer uma de seis ferramentas de corte. (a) Qual o espaço amostral? (b) Qual é a probabilidade da peça ser proveniente da ferramenta 3 ou 5? (c) Qual é a probabilidade da peça não ser da ferramenta 4?

16 Exercícios (cont.) Se A, B e C forem eventos mutuamente excludentes, com P(A) = 0,2, P(B) = 0,3 e P(C) = 0,4, determine: (a) P(A B C). (b) P(A c (B C)). (c) P((A B) C). Se A, B e C forem eventos mutuamente excludentes, será possível obter P(A) = 0,3, P(B) = 0,4 e P(C) = 0,5? Justifique.

17 Princípios de Contagem Amostragem com Reposição. Dado um conjunto com n elementos distintos, existem n k sequências distintas de comprimento k escolhida desse conjunto com repetidas seleções do mesmo elemento sendo permitida. Amostragem sem Reposição. Dado um conjunto com n elementos distintos, existem n(n 1)(n 2)(n k + 1) sequências distintas de comprimento k escolhida desse conjunto com repetidas seleções do mesmo elemento não sendo permitida. Permutações. Dado um conjunto com n elementos distintos, existem n(n 1)(n 2) (2)(1) n! maneiras de ordenar sequncialmente estes elementos. n! é chamado de em fatorial de n. Subconjuntos. Dado um conjunto com n elementos distintos, existem n! = ( n k!(n k)! k) diferentes subconjuntos de k elementos. Recorde que em um conjunto a ordem dos elementos não importa, por isso existem menos subconjuntos que sequências de um mesmo tamanho de um dado conjunto. ( n k) é chamado de binomial de n, k a k, e determina o número de maneiras de se escolher k elementos de um conjuntos com n elementos.

18 Exercícios (cont.) Dentre 8 números positivos e 6 negativos, escolhem-se ao acaso 4 números (sem reposição) e multiplicam-se esses números. Qual é a probabilidade que o produto seja um número positivo?

19 Exercícios (cont.) Em um grupo de r pessoas qual a probabilidade de haver pelo menos duas pessoas que façam aniversário no mesmo dia, assumindo que a distribuição de aniversários é uniforme ao longo do ano e desprezando a existência de anos bissextos?

20 Exercícios (cont.) Solução: O número de resultados possíveis para os aniversários de r pessoas é 365 r. O número de casos possíveis onde todas as pessoas fazem aniversário em dias diferentes é dado por (365 (r 1)). Portanto, o número de casos possíveis onde pelo menos duas pessoas fazem aniversário no mesmo dia é a diferença entre o número total de aniversários possíveis e o número de casos onde as pessoas têm aniversários em datas diferentes, ou seja, é igual a 365 r (365 (r 1)). Logo, a probabilidade deste evento é: (365 (r 1)) 365 r. Para r = 23, temos que essa probabilidade é aproximadamente igual a 0,51. E para r = 50, essa probabilidade é igual a 0,97.

21 Exercícios (cont.) Doze pessoas são divididas em três grupos de 4. Qual é a probabilidade de duas determinadas dessas pessoas ficarem no mesmo grupo?

22 Exercícios (cont.) Solução: O número total de divisões de doze pessoas em 3 grupos de 4 é igual a ( )( 4)( 4). Vamos agora contar o número de casos favoráveis ao nosso evento. Existem 3 opções de escolhermos em qual grupo as duas pessoas determinadas podem ficar. Das 10 pessoas restantes, temos que escolher mais duas para estarem neste grupo, o que podemos fazer de ( 10 2) maneiras diferentes. E temos ( 8 4 4)( 4) maneiras diferentes de dividir as outras 8 pessoas nos dois grupos restantes. Portanto, a probabilidade de duas determinadas pessoas ficarem no mesmo grupo é: 3 ( ) 2)( 4)( 4 ( ) = 4)( 4)(

23 Probabilidade Condicional Probabilidade é baseada em informação e conhecimento. Nosso objetivo é saber como atualizar o valor da probabilidade quando esta base de informação ou conhecimento é alterada. Em particular, como alterar a probabilidade de um dado evento A quando sabe-se que um determinado evento B ocorreu? Seja n o número de vezes que repete-se um experimento. Seja N A (resp., N B > 0 e N A B ) o número de vezes que o evento A (resp., B e A B) ocorre nessas n repetições. A probabilidade condicional de A dado que sabe-se que B ocorreu, P(A B), segundo uma interpretação frequentista, sugere que ela deve ser igual ao limite das frequências relativas condicionais do evento A dado o evento B, isto é, deve ser o limite N A B /N B quando n tende ao infinito. Seja r A = N A /n a frequência relativa do evento A. Note que N A B /N B = r A B /r B e que segundo a interpretação frequentista de probabilidade r A B /r B é aproximadamente igual a P(A B)/P(B) para valores grandes de n.

24 Probabilidade Condicional Definição Seja (Ω,A,P) um espaço de probabilidade. Se A,B A e P(B) > 0 a probabilidade condicional de A dado B é definida por P(A B) = P(A B) P(B) Teorema Seja B um evento tal que P(B) > 0, então: 1 P(A B) 0. 2 P(Ω B) = 1. 3 Se A 1,A 2,... é uma coleção enumerável de eventos disjuntos par a par, então P( i A i B) = i P(A i B).

25 Probabilidade Condicional Observação Este teorema implica que para um evento fixo B que satisfaz P(B) > 0, a função P( B) : A IR satisfaz todos os axiomas de Kolmogorov e portanto é uma medida de probabilidade. Logo, todas as propriedades válidas para probabilidade incondicional continuam válidas para probabilidade condicional. A probabilidade condicional também satisfaz as seguintes propriedades: 1 P(B B) = 1; 2 P(A B) = P(A B B); 3 se A B, então P(A B) = 1; 4 P(A B C) = P(A B C)P(B C). 5 P(A 1 A 2) = P(A 1 A 2)P(A 2). 6 P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1 A 2 A 3)P(A 2 A 3) = P(A 1 A 2 A 3)P(A 2 A 3)P(A 3).

26 s Certo experimento consiste em lançar um dado equilibrado duas vezes, independentemente. Dado que os dois números sejam diferentes, qual é a probabilidade condicional de (a) pelo menos um dos números ser 6, (b) a soma dos números ser 8? Solução: Para parte (a), note que existem 30 resultados possíveis para os lançamentos do dado de modo que o mesmo número não se repita, dos quais 10 o número 6 ocorre. Portanto, esta probabilidade é igual a 1/3. Para parte (b), note que existem 4 resultados possíveis que somam 8 dado que os números são diferentes, logo esta probabilidade é igual a 4/30.

27 Um lote contém 15 moldes provenientes de um fornecedor local e 25 de um fornecedor de um estado vizinho. Três moldes são selecionados ao acaso e sem reposição. Seja A i o evento um que o i-ésimo molde selecionado seja proveniente do fornecedor local. Determine: (a) P(A 1). (b) P(A 2 A 1). (c) P(A 1 A 2). (d) P(A 1 A 2). (e) P(A 1 A 2 A 3). (f) P(A 1 A 2 A c 3).

28 Teorema da Probabilidade Total Utilizando este teorema pode-se obter uma probabilidade (incondicional) de uma probabilidade condicional. Teorema Seja a sequência de eventos B 1,B 2,... uma partição de Ω, então para todo A A P(A) = P(A B i )P(B i ) i:p(b i ) 0 Interpretação: B 1,B 2,... são possíveis causas e o evento A é um efeito particular associado a uma causa, P(A B i ) especifica a relação estocástica entre a causa B i e o efeito A.

29 Teorema da Probabilidade Total Por exemplo, seja {D,D c } uma partição do espaço amostral, onde D é o evento que um dado indivíduo possui uma certa doença. Seja A o evento que determinado teste para o diagnóstico da doença deu positivo. Então, P(A D c ) - falso positivo. P(A c D) - falso negativo. Estas probabilidades determinam a qualidade do teste, quanto menores as probabilidades de falso negativo e falso positivo melhor a qualidade do teste. Caso as probabilidades P(D),P(A D),P(A D c ) sejam conhecidas pode-se usando o Teorema da Probabilidade Total obter a probabilidade incondicional de determinado exame dar positivo P(A). Porém geralmente, o que se busca é saber que dado que o resultado de um exame deu positivo qual a probabilidade de que o indivíduo esteja doente.

30 Fórmula de Bayes Pode-se obter esta probabilidade utilizando a famosa fórmula de Bayes: P(A D) P(D A) = P(A D)+P(A D c ) P(A D)P(D) = P(A D)P(D)+P(A D c )P(D c ). Mais geralmente, quando temos uma partição B 1,B 2,..., a fórmula de Bayes é dada por: P(B i A) = P(A B i) j P(A B j) = P(A B i ) j:p(b j ) 0 P(A B j) = P(A B i )P(B i ) j:p(b j ) 0 P(A B j)p(b j ). As probabilidades P(B i ) são usualmente chamadas de probabilidades a priori e as probabilidades condicionais P(B i A) são chamadas de probabilidades a posteriori.

31 s Jogos do campeonato paulista de futebol ocorrem durante a semana e também nos fins de semana. Suponha que exatamente metade dos jogos ocorram nos fins de semana. Suponha ainda que o São Paulo ganhe 50% dos jogos durante o fim de semana, e perca em 20% de seus jogos no fim de semana. Finalmente, suponha que o São Paulo ganhe todos os jogos que ocorrem durante a semana. (a) Determine a probabilidade do São Paulo empatar um jogo qualquer. (b) Dado que o São Paulo ganhou seu último jogo, qual a probabilidade deste jogo ter ocorrido durante a semana?

32 s Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Sacam-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas dessa urna. Determine a probabilidade da primeira bola ser branca sabendo que a segunda bola é branca. Solução: Sejam B 1 e B 2 os eventos a primeira bola é branca e a segunda bola é branca, respectivamente. Queremos calcular P(B 1 B 2). Utilizando a fórmula de Bayes, temos P(B 1 B 2) = P(B 2 B 1)P(B 1) P(B 2 B 1)P(B 1)+P(B 2 B c 1 )P(Bc 1 ). Mas P(B 2 B 1) = 3 9, P(B2 Bc 1) = 4 9, P(B1) = 4 10 e P(Bc 1) = Logo, P(B 1 B 2) = = = 1 3.

33 s Se P(C D) = 0, 4 e P(D C) = 0, 5, que evento é mais provável C ou D?

34 s Uma fábrica tem 3 máquinas que produzem o mesmo ítem. As máquinas A e B são responsáveis, cada uma, por 40% da produção. Quanto à qualidade, as máquinas A e B produzem 10% de ítens defeituosos cada uma, enquanto a máquina C apenas 2%. Um ítem é selecionado ao acaso da produção dessa fábrica. (a) Qual a probabilidade do ítem selecionado ser defeituoso? (b) Se o ítem selecionado for defeituoso, qual a probabilidade que tenha sido produzido pela máquina A?

35 Independência Intuição: dois eventos são independentes se eles não têm nada haver um com o outro, eles são totalmente não relacionados; a ocorrência de um não tem nenhuma influência sobre o outro. Por exemplo, resultados de lançamentos sucessivos de uma moeda. Pode-se usar probabilidades condicionais para formalizar esta intuição da seguinte forma, A é independente de B se P(A B) = P(A). Mas usando a definição de probabilidade condicional, chega-se a seguinte conclusão A é independente de B se P(A B) = P(A)P(B). Como esta última expressão é definida inclusive para o caso de P(B) = 0, ela é a expressão adotada como a definição de independência entre eventos. Definição O evento A é independente do evento B se P(A B) = P(A)P(B).

36 Independência Note que esta definição de independência implica que independência é um conceito simétrico em teoria da probabilidade, isto é, A é independente de B se e somente se B é independente de A. Note que esta definição também implica que eventos A e B são independentes se P(A) = 0 ou P(B) = 0. Teorema A é independente dele mesmo se e somente se P(A) = 0 ou P(A) = 1. Prova: P(A A) = P(A) = P(A)P(A) P(A) = 0 ou P(A) = 1.

37 Independência Intuitivamente, se A é independente de B o fato que B não ocorreu, ou seja que B c ocorreu, não deve alterar a probabilidade de A. Portanto, é de se esperar que se A e B são independentes, então A e B c também são. O seguinte teorema prova que esta intuição é verdadeira. Teorema Se A e B são eventos independentes, A e B c (resp., A c e B, A c e B c ) também o são.

38 Independência O conceito de independência também se aplica a uma coleção arbitrária de eventos {A i } i I, onde I é um conjunto de índices. Neste caso, têm-se duas definições. Definição Uma coleção de eventos {A i } i I é independente par a par se para todo i j I, A i e A j são eventos independentes. Definição Uma coleção qualquer de eventos {A i } i I é mutuamente independente se para todo J I finito, P( i J A i ) = i J P(A i ).

39 s Considere os seguintes exemplos que ilustram o conceito de independência. Se Ω = {1, 2,3, 4} e P({w}) = 1/4, então A = {1, 2}, B = {1, 3}, e C = {2, 3} são eventos independentes par a par. Pode-se verificar isto pelo fato que P(A B) = P({1}) = 1 4 = = P(A)P(B). Similarmente, pode-se provar o mesmo resultado para os outros pares. Contudo, a probabilidade P(A B C) = P( ) = 0 P(A)P(B)P(C) = 1 8. Então, A, B, e C não são mutuamente independentes.

40 s Assuma que A 1,...,A n são eventos mutuamente independentes e que P(A i ) = p i. Nós calculamos as probabilidades dos seguintes eventos: O evento A é o evento que todos estes eventos ocorrem, então P(A) = P( n i=1a i ) = n P(A i ) = O evento B é o evento que nenhum desses eventos ocorre, então P(B) = P( n i=1a c i ) = i=1 n P(A c i ) = i=1 n i=1 p i n (1 p i ) O evento C é o evento que pelo menos um desses eventos ocorre, então C = B c n P(C) = P(B c ) = 1 P(B) = 1 (1 p i ) i=1 i=1

41 s Considere que um dado honesto é lançado duas vezes. Defina os seguintes eventos: A = {O primeiro dado é igual a 1, 2, ou 3.} B = {O primeiro dado é igual a 3, 4, ou 5.} C = {A soma dos resultados das duas jogadas é igual a 9.} (a) Mostre que P(A B C) = P(A)P(B)P(C). (b) Os eventos A, B, e C são mutuamente independentes? Justifique sua resposta.

42 Variável Aleatória Suponha que uma moeda é lançada cinco vezes. Qual é o número de caras? Esta quantidade é o que tradicionalmente tem sido chamada de variável aleatória. Intuitivamente, é uma variável porque seus valores variam, dependendo da sequência de lançamentos da moeda realizada; o adjetivo aleatória é usado para enfatizar que o seu valor é de certo modo incerto. Formalmente, contudo, uma variável aleatória não é nem aleatória nem é uma variável. Quando os possíveis resultados do experimento aleatório não são numéricos é conveniente resumir estes resultados através de um número. Por isto, é importante trabalhar com variáveis aleatórias. Definição Seja (Ω, A, P) um espaço de probabilidade. Uma função X : Ω IR é chamada de variável aleatória se para todo evento de interesse A em IR, X 1 (A) = {w Ω : X(w) A} A.

43 Considere três lançamentos de uma moeda honesta. O espaço amostral para este experimento aleatório consiste de todas as possíveis sequências de tamanho 3 de caras e coroas, isto é: Ω = {(cara, cara, cara),(cara, cara, coroa),(cara, coroa, cara), (cara, coroa, coroa),(coroa, cara, cara),(coroa, cara, coroa), (coroa, coroa, cara),(coroa, coroa, coroa)}. Seja A o conjunto de todos os subconjuntos de Ω. Neste caso qualquer função real de Ω é uma variável aleatória. Por exemplo, seja X a diferença entre o número de caras e o número de coroas obtidos nos três lançamentos. Então, X pode assumir quatro valores, 3, 1, -1, ou -3. Nosso objetivo é estudar a probabilidade de X assumir cada um desses possíveis valores. Para isso veremos, diferentes maneiras de descrever o comportamento probabilístico de X dependendo se X assumir valores discretos ou contínuos. Como a moeda é honesta cada um dos possíveis resultados em Ω tem a mesma probabilidade 1/8. Como poderemos obter então a probabilidade de X ser negativo?

44 Probabilidade Induzida Dada uma variável aleatória X e uma coleção de eventos de interesse B de IR, pode-se definir uma probabilidade induzida P X para todo A B da seguinte maneira: P X (A) = P(X 1 (A)). Por definição de variável aleatória, tem-se que X 1 (A) A, então P X está bem definida. Pode-se provar que P X satisfaz os axiomas de Kolmogorov e portanto satisfaz todas as propriedades de uma medida de probabilidade. No exemplo anterior, temos que se o evento de interesse A são todos os reais negativos, então X 1 (A) são todos os resultados do experimento que nos dão valores negativos para X, ou seja, são os resultados que contém menos caras que coroas: (cara, coroa, coroa), (coroa, cara, coroa), (coroa, coroa, cara) e (coroa, coroa, coroa). Portanto, P X (A) = 4 1/8 = 1/2.

45 Observações Em muitos casos, os possíveis resultados do experimento aleatório já são numéricos e podemos descrevê-lo por (IR,B,P X ), onde X(w) = w, w IR, ou seja, os resultados dos experimento aleatório já são numéricos e descrevem a característica de interesse que queremos analisar. É importante enfatizar que é usual se referir a variáveis aleatórias por letras maiúsculas X, Y, Z,... e aos valores que tais variáveis podem assumir por letras minúsculas x, y, z,... Observação Muitas vezes escreve-se P(X A) para representar P({w Ω : X(w) A}). Por exemplo, P(X 5) = P({w Ω : X(w) 5}).

46 Considere que lançamos 3 vezes uma moeda que tem probabilidade de cair cara igual 2/3. Seja X o número de coroas obtido. Determine: (a) P(X < 3). (b) P(1 < X < 3). (c) P(X > 1 X < 3).

47 Função de Distribuição Acumulada Para uma variável aleatória X, uma maneira simples e básica de descrever a probabilidade induzida P X é utilizando sua função de distribuição acumulada. Definição A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória X, representada por F X, é definida por F X (x) = P(X x), x IR.

48 Propriedades da Função de Distribuição Acumulada A função de distribuição acumulada F X satisfaz as seguintes propriedades: F1. Não-decrescente. Se x y, então F X (x) F X (y). F2. Continua à Direita. Se x n x +, então F X (x n) F X (x). F3. Se x n, então F X (x n) 0, e se x n, então F X (x n) 1. Teorema Uma função real G satisfaz F1 F3 se e somente se G é uma função de distribuição acumulada de alguma variável aleatória X.

49 Propriedades da Função de Distribuição Acumulada Condição F2 significa que toda função de distribuição acumulada F X é continua à direita. Ainda mais, como F X é não-decrescente e possui valores entre 0 e 1, pode-se provar que ela tem um número enumerável de descontinuidades do tipo salto e que o tamanho do salto da função em um dado ponto a é igual a probabilidade da variável aleatória assumir este valor, ou seja, P X (a) = F X (a) F X (a ). Observação F X (a ) = lim x a F X (x) é o limite de F X (x) quando x tende a a por valores menores que a, ou seja, o limite a esquerda F X (x) quando x tende a a.

50 Determinando Probabilidades de Intervalos Suponha que saibamos que a função de distribuição acumulada de uma variável aleatória X é dada por F X. Vamos ver como determinar a probabilidade de X pertencer a um dado intervalo real. Considere números reais a e b, tais que a < b, então: P(X a) = F X (a). P(X > a) = 1 P(X a) = 1 F X (a). P(X < a) = P(X a) P(X = a) = F X (a) (F X (a) F X (a )) = F X (a ). P(X a) = 1 P(X < a) = 1 F X (a ). P(a < X b) = P(X b) P(X a) = F X (b) F X (a). P(a < X < b) = P(X < b) P(X a) = F X (b ) F X (a). P(a X b) = P(X b) P(X < a) = F X (b) F X (a ). P(a X < b) = P(X < b) P(X < a) = F X (b ) F X (a ).

51 Exercícios Determine quais das seguintes funções são funções de distribuição acumuladas, especificando a propriedade que não for satisfeita caso a função não seja uma distribuição acumulada. (a) e x 1+e x (b) e x

52 Exercícios Considere a seguinte função G(x). a 2b se x < 0, ax se 0 x < 1, G(x) = a+b(x 1) se 1 x < 2, 1 se x 2. (a) Determine as restrições que as constantes a e b devem satisfazer para que a função G(x) seja função de distribuição acumulada de alguma variável aleatória X. (b) Determine o valor de P(1/2 X 3/2) em função de a e b.

Probabilidade - aula I

Probabilidade - aula I e 27 de Fevereiro de 2015 e e Experimentos Aleatórios e Objetivos Ao final deste capítulo você deve ser capaz de: Entender e descrever espaços amostrais e eventos para experimentos aleatórios. Interpretar

Leia mais

CAPÍTULO I - ELEMENTOS DE PROBABILIDADE

CAPÍTULO I - ELEMENTOS DE PROBABILIDADE CAPÍTULO I - ELEMENTOS DE PROBABILIDADE 1.1 INTRODUÇÃO Em geral, um experimento ao ser observado e repetido sob um mesmo conjunto especificado de condições, conduz invariavelmente ao mesmo resultado. São

Leia mais

Noções de Probabilidade

Noções de Probabilidade Noções de Probabilidade Bacharelado em Economia - FEA - Noturno 1 o Semestre 2015 Gilberto A. Paula G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre 2015 1 / 59 Objetivos da Aula Sumário

Leia mais

Avaliação e Desempenho Aula 4

Avaliação e Desempenho Aula 4 Avaliação e Desempenho Aula 4 Aulas passadas Motivação para avaliação e desempenho Aula de hoje Revisão de probabilidade Eventos e probabilidade Independência Prob. condicional Experimentos Aleatórios

Leia mais

Eventos independentes

Eventos independentes Eventos independentes Adaptado do artigo de Flávio Wagner Rodrigues Neste artigo são discutidos alguns aspectos ligados à noção de independência de dois eventos na Teoria das Probabilidades. Os objetivos

Leia mais

Tipos de Modelos. Exemplos. Modelo determinístico. Exemplos. Modelo probabilístico. Causas Efeito. Determinístico. Sistema Real.

Tipos de Modelos. Exemplos. Modelo determinístico. Exemplos. Modelo probabilístico. Causas Efeito. Determinístico. Sistema Real. Tipos de Modelos Sistema Real Determinístico Prof. Lorí Viali, Dr. viali@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~viali/ Probabilístico Modelo determinístico Exemplos Gravitação F GM M /r Causas Efeito Aceleração

Leia mais

CONCEITOS. Evento: qualquer subconjunto do espaço amostral. Uma primeira idéia do cálculo de probabilidade. Eventos Teoria de conjuntos

CONCEITOS. Evento: qualquer subconjunto do espaço amostral. Uma primeira idéia do cálculo de probabilidade. Eventos Teoria de conjuntos INTRODUÇÃO À PROAILIDADE Exemplos: O problema da coincidência de datas de aniversário O problema da mega sena A teoria das probabilidade nada mais é do que o bom senso transformado em cálculo A probabilidade

Leia mais

PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA

PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA Ao conjunto de todos os resultados possíveis, de uma eperiência aleatória, chamamos espaço amostral e representamos por S. Define-se acontecimento como sendo um subconjunto

Leia mais

Espaços Amostrais e Eventos. Probabilidade 2.1. Capítulo 2. Espaço Amostral. Espaço Amostral 02/04/2012. Ex. Jogue um dado

Espaços Amostrais e Eventos. Probabilidade 2.1. Capítulo 2. Espaço Amostral. Espaço Amostral 02/04/2012. Ex. Jogue um dado Capítulo 2 Probabilidade 2.1 Espaços Amostrais e Eventos Espaço Amostral Espaço Amostral O espaço amostral de um experimento, denotado S, é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento.

Leia mais

Teoria das Probabilidades

Teoria das Probabilidades Teoria das Probabilidades Qual a probabilidade de eu passar no vestibular? Leandro Augusto Ferreira Centro de Divulgação Científica e Cultural Universidade de São Paulo São Carlos - Abril / 2009 Sumário

Leia mais

Probabilidade - Conceitos Básicos. Anderson Castro Soares de Oliveira

Probabilidade - Conceitos Básicos. Anderson Castro Soares de Oliveira - Conceitos Básicos Castro Soares de Oliveira é o ramo da matemática que estuda fenômenos aleatórios. está associada a estatística, porque sua teoria constitui a base de estatística inferencial. Conceito

Leia mais

Experimentos Aleatórios e Espaços Amostrais

Experimentos Aleatórios e Espaços Amostrais Experimentos Aleatórios e Espaços Amostrais Cláudio Tadeu Cristino 1 1 Universidade Federal Rural de Pernambuco, Recife, Brasil Primeiro Semestre, 2012 C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Experimentos Aleatórios

Leia mais

MODELOS PROBABILÍSTICOS MAIS COMUNS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

MODELOS PROBABILÍSTICOS MAIS COMUNS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS MODELOS PROBABILÍSTICOS MAIS COMUNS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Definições Variáveis Aleatórias Uma variável aleatória representa um valor numérico possível de um evento incerto. Variáveis aleatórias

Leia mais

Unidade 11 - Probabilidade. Probabilidade Empírica Probabilidade Teórica

Unidade 11 - Probabilidade. Probabilidade Empírica Probabilidade Teórica Unidade 11 - Probabilidade Probabilidade Empírica Probabilidade Teórica Probabilidade Empírica Existem probabilidade que são baseadas apenas uma experiência de fatos, sem necessariamente apresentar uma

Leia mais

1 Axiomas de Probabilidade

1 Axiomas de Probabilidade 1 Axiomas de Probabilidade 1.1 Espaço amostral e eventos seja E um experimento aleatório Ω = conjunto de todos os resultados possíveis de E. Exemplos 1. E lançamento de uma moeda Ω = {c, c} 2. E retirada

Leia mais

1. Cinco cartas são extraídas de um baralho comum (52 cartas, 13 de cada naipe) sem reposição. Defina a v.a. X = número de cartas vermelhas sorteadas.

1. Cinco cartas são extraídas de um baralho comum (52 cartas, 13 de cada naipe) sem reposição. Defina a v.a. X = número de cartas vermelhas sorteadas. GET007 Métodos Estatísticos Aplicados à Economia I Lista de Exercícios - variáveis Aleatórias Discretas Profa. Ana Maria Farias. Cinco cartas são extraídas de um baralho comum ( cartas, de cada naipe sem

Leia mais

Probabilidade - aula III

Probabilidade - aula III 27 de Março de 2014 Regra da Probabilidade Total Objetivos Ao final deste capítulo você deve ser capaz de: Usar a regra da multiplicação para calcular probabilidade de eventos Usar a Regra da Probabilidade

Leia mais

NOÇÕES DE PROBABILIDADE

NOÇÕES DE PROBABILIDADE NOÇÕES DE PROBABILIDADE ? CARA? OU? COROA? ? Qual será o rendimento da Caderneta de Poupança até o final deste ano??? E qual será a taxa de inflação acumulada em 011???? Quem será o próximo prefeito de

Leia mais

PROBABILIDADE. Aula 5

PROBABILIDADE. Aula 5 Curso: Psicologia Disciplina: Métodos Quantitativos Profa. Valdinéia Data: 28/10/15 PROBABILIDADE Aula 5 Geralmente a cada experimento aparecem vários resultados possíveis. Por exemplo ao jogar uma moeda,

Leia mais

23/03/2014. Tratamento de Incertezas TIC-00.176. Aula 4. Conteúdo Espaços Amostrais e Probabilidade. O princípio da contagem Métodos de contagem

23/03/2014. Tratamento de Incertezas TIC-00.176. Aula 4. Conteúdo Espaços Amostrais e Probabilidade. O princípio da contagem Métodos de contagem Tratamento de Incertezas TIC-00.176 Aula 4 Conteúdo Espaços Amostrais e Probabilidade Professor Leandro Augusto Frata Fernandes laffernandes@ic.uff.br Material disponível em http://www.ic.uff.br/~laffernandes/teaching/2014.1/tic-00.176

Leia mais

Dois eventos são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não tem elementos em comum. Isto é, A B = Φ

Dois eventos são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não tem elementos em comum. Isto é, A B = Φ Probabilidade Vimos anteriormente como caracterizar uma massa de dados, como o objetivo de organizar e resumir informações. Agora, apresentamos a teoria matemática que dá base teórica para o desenvolvimento

Leia mais

PROBABILIDADE Prof. Adriano Mendonça Souza, Dr.

PROBABILIDADE Prof. Adriano Mendonça Souza, Dr. PROBABILIDADE Prof. Adriano Mendonça Souza, Dr. Departamento de Estatística - PPGEMQ / PPGEP - UFSM - O intelecto faz pouco na estrada que leva à descoberta, acontece um salto na consciência, chameo de

Leia mais

Teoria das Probabilidades I. Ana Maria Lima de Farias Universidade Federal Fluminense

Teoria das Probabilidades I. Ana Maria Lima de Farias Universidade Federal Fluminense Teoria das Probabilidades I Ana Maria Lima de Farias Universidade Federal Fluminense Conteúdo 1 Probabilidade - Conceitos Básicos 1 1.1 Introdução....................................... 1 1.2 Experimento

Leia mais

Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.

Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. VII Probabilidades Em todos os fenômenos estudados pela Estatística, os resultados, mesmo nas mesmas condições de experimentação, variam de uma observação para outra, dificultando a previsão de um resultado

Leia mais

Cálculo das Probabilidades e Estatística I

Cálculo das Probabilidades e Estatística I Cálculo das Probabilidades e Estatística I Prof a. Juliana Freitas Pires Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba - UFPB juliana@de.ufpb.br Introdução a Probabilidade Existem dois tipos

Leia mais

Lista 2 - Probabilidade. Probabilidade. 1. Uma letra é escolhida entre as letras da palavra PROBABILIDADE

Lista 2 - Probabilidade. Probabilidade. 1. Uma letra é escolhida entre as letras da palavra PROBABILIDADE Estatística 2 a LISTA DE EXERCÍCIOS Prof. Ânderson Vieira Probabilidade Espaço Amostral Em cada um dos exercícios a 0. Determine o espaço amostral.. Uma letra é escolhida entre as letras da palavra PROBABILIDADE

Leia mais

I. Experimentos Aleatórios

I. Experimentos Aleatórios A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do mesmo gênero a um certo número de casos igualmente possíveis, ou seja, tais que estejamos igualmente inseguros sobre sua existência, e em

Leia mais

Lógica e Raciocínio. Decisão sob Risco Probabilidade. Universidade da Madeira. http://dme.uma.pt/edu/ler/

Lógica e Raciocínio. Decisão sob Risco Probabilidade. Universidade da Madeira. http://dme.uma.pt/edu/ler/ Lógica e Raciocínio Universidade da Madeira http://dme.uma.pt/edu/ler/ Decisão sob Risco Probabilidade 1 Probabilidade Em decisões sob ignorância a probabilidade dos diferentes resultados e consequências

Leia mais

Lista 05. Devemos calcular a probabilidade de ser homem dado que é loiro, sendo:

Lista 05. Devemos calcular a probabilidade de ser homem dado que é loiro, sendo: Lista 05 Questão 1: Em uma turma escolar 60% dos alunos são homens e 40% são mulheres. Dentre os homens, 25% são loiros, enquanto que 45% das mulheres são loiras. Um aluno desta turma foi sorteado de maneira

Leia mais

Probabilidade. Definições, Notação, Regra da Adição

Probabilidade. Definições, Notação, Regra da Adição Probabilidade Definições, Notação, Regra da Adição Definições básicas de probabilidade Experimento Qualquer processo de observação ou medida que permita ao pesquisador fazer coleta de informações. Evento

Leia mais

Carlos Tenreiro. Apontamentos de Teoria das Probabilidades. tenreiro@mat.uc.pt

Carlos Tenreiro. Apontamentos de Teoria das Probabilidades. tenreiro@mat.uc.pt Carlos Tenreiro Apontamentos de Teoria das Probabilidades Coimbra, 2002 Versão de Dezembro de 2004 Nota prévia Os presentes apontamentos têm por base as notas do curso de Teoria das Probabilidades que

Leia mais

M501 Probabilidade, Estatística e Processos Estocásticos

M501 Probabilidade, Estatística e Processos Estocásticos Notas de aula M501 Probabilidade, Estatística e Processos Estocásticos Dayan Adionel Guimarães Novembro de 007 Agradecimento Aos professores: Dr. José Marcos Câmara Brito Dr. Carlos Alberto Ynoguti M.Sc.

Leia mais

Universidade Federal do Paraná Departamento de Informática. Reconhecimento de Padrões. Revisão de Probabilidade e Estatística

Universidade Federal do Paraná Departamento de Informática. Reconhecimento de Padrões. Revisão de Probabilidade e Estatística Universidade Federal do Paraná Departamento de Informática Reconhecimento de Padrões Revisão de Probabilidade e Estatística Luiz Eduardo S. Oliveira, Ph.D. http://lesoliveira.net Conceitos Básicos Estamos

Leia mais

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante Capítulo 2 Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante 2.1 Introdução Neste capítulo, chamamos atenção para o fato de que o conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, e portanto

Leia mais

INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA (CAp/UERJ) MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - PROF. ILYDIO SÁ CÁLCULO DE PROBABILIDADES PARTE 1

INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA (CAp/UERJ) MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - PROF. ILYDIO SÁ CÁLCULO DE PROBABILIDADES PARTE 1 1 INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA (CAp/UERJ) MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - PROF. ILYDIO SÁ CÁLCULO DE PROBABILIDADES PARTE 1 1. Origem histórica É possível quantificar o acaso? Para iniciar,

Leia mais

O comportamento conjunto de duas variáveis quantitativas pode ser observado por meio de um gráfico, denominado diagrama de dispersão.

O comportamento conjunto de duas variáveis quantitativas pode ser observado por meio de um gráfico, denominado diagrama de dispersão. ESTATÍSTICA INDUTIVA 1. CORRELAÇÃO LINEAR 1.1 Diagrama de dispersão O comportamento conjunto de duas variáveis quantitativas pode ser observado por meio de um gráfico, denominado diagrama de dispersão.

Leia mais

UNITAU APOSTILA PROBABILIDADES PROF. CARLINHOS

UNITAU APOSTILA PROBABILIDADES PROF. CARLINHOS ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ ALI UNITAU APOSTILA PROAILIDADES ibliografia: Curso de Matemática Volume Único Autores: ianchini&paccola Ed. Moderna Matemática Fundamental - Volume Único Autores:

Leia mais

Estatística e Probabilidade. Aula 4 Cap 03. Probabilidade

Estatística e Probabilidade. Aula 4 Cap 03. Probabilidade Estatística e Probabilidade Aula 4 Cap 03 Probabilidade Estatística e Probabilidade Método Estatístico Estatística Descritiva Estatística Inferencial Nesta aula... aprenderemos como usar informações para

Leia mais

A probabilidade representa o resultado obtido através do cálculo da intensidade de ocorrência de um determinado evento.

A probabilidade representa o resultado obtido através do cálculo da intensidade de ocorrência de um determinado evento. Probabilidade A probabilidade estuda o risco e a ocorrência de eventos futuros determinando se existe condição de acontecimento ou não. O olhar da probabilidade iniciou-se em jogos de azar (dados, moedas,

Leia mais

Probabilidade Condicional

Probabilidade Condicional PROBABILIDADES Probabilidade Condicional BERTOLO Exemplo Introdutório Vamos introduzir a noção de probabilidade condicional através de um exemplo. Consideremos 250 estudantes que cursam o 4º ano de Ciências

Leia mais

QUESTÕES COMENTADAS E RESOLVIDAS

QUESTÕES COMENTADAS E RESOLVIDAS LENIMAR NUNES DE ANDRADE INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA: QUESTÕES COMENTADAS E RESOLVIDAS 1 a edição ISBN 978-85-917238-0-5 João Pessoa Edição do Autor 2014 Prefácio Este texto foi elaborado para a disciplina Introdução

Leia mais

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES de variável discreta BERNOULLI E BINOMIAL

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES de variável discreta BERNOULLI E BINOMIAL DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES de variável discreta BERNOULLI E BINOMIAL Introdução Variável aleatória Discreta: assume um número finito ou infinito numerável de valores Contínua: assume todos os valores

Leia mais

Probabilidade: Teoria e Exercícios. Élcio Lebensztayn. Cristian Favio Coletti

Probabilidade: Teoria e Exercícios. Élcio Lebensztayn. Cristian Favio Coletti Probabilidade: Teoria e Exercícios Élcio Lebensztayn Cristian Favio Coletti IMEUSP 2008 Sumário Prefácio iii Capítulo 1: Análise Combinatória 1 Exercícios............................... 3 Respostas...............................

Leia mais

Probabilidade. Distribuições Uniforme, Geométrica, Hipergeométrica e Multinomial

Probabilidade. Distribuições Uniforme, Geométrica, Hipergeométrica e Multinomial Probabilidade Distribuições Uniforme, Geométrica, Hipergeométrica e Multinomial Distribuição Uniforme Usada comumente nas situações em que não há razão para atribuir probabilidades diferentes a um conjunto

Leia mais

ANÁLISE NUMÉRICA DEC - 1996/97

ANÁLISE NUMÉRICA DEC - 1996/97 ANÁLISE NUMÉRICA DEC - 996/97 Teoria de Erros A Teoria de Erros fornece técnicas para quantificar erros nos dados e nos resultados de cálculos com números aproximados. Nos cálculos aproximados deve-se

Leia mais

Aula 2 - Cálculo Numérico

Aula 2 - Cálculo Numérico Aula 2 - Cálculo Numérico Erros Prof. Phelipe Fabres Anhanguera Prof. Phelipe Fabres (Anhanguera) Aula 2 - Cálculo Numérico 1 / 41 Sumário Sumário 1 Sumário 2 Erros Modelagem Truncamento Representação

Leia mais

QUANTIFICADORES. Existem frases declarativas que não há como decidir se são verdadeiras ou falsas. Por exemplo: (a) Ele é um campeão da Fórmula 1.

QUANTIFICADORES. Existem frases declarativas que não há como decidir se são verdadeiras ou falsas. Por exemplo: (a) Ele é um campeão da Fórmula 1. LIÇÃO 4 QUANTIFICADORES Existem frases declarativas que não há como decidir se são verdadeiras ou falsas. Por exemplo: (a) Ele é um campeão da Fórmula 1. (b) x 2 2x + 1 = 0. (c) x é um país. (d) Ele e

Leia mais

Aula 2: Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas e suas Principais Distribuições.

Aula 2: Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas e suas Principais Distribuições. Aula 2: Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas e suas Principais Distribuições. Prof. Leandro Chaves Rêgo Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção - UFPE Recife, 14 de Março de 2012 Tipos

Leia mais

Distribuição Binomial

Distribuição Binomial Distribuição Binomial Exemplo Na manufatura de certo artigo, é sabido que um entre dez artigos é defeituoso. Qual a probabilidade de que uma amostra casual de tamanho quatro contenha: (a) Nenhum defeituoso?

Leia mais

MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 3: Resumo de Probabilidade

MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 3: Resumo de Probabilidade MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 3: Resumo de Probabilidade Edson de Faria Departamento de Matemática IME-USP 19 de Agosto, 2013 Probabilidade: uma Introdução / Aula 3 1 Probabilidade Discreta: Exemplos

Leia mais

Resoluções comentadas de Raciocínio Lógico e Estatística - SEPLAG-2010 - APO

Resoluções comentadas de Raciocínio Lógico e Estatística - SEPLAG-2010 - APO Resoluções comentadas de Raciocínio Lógico e Estatística - SEPLAG-010 - APO 11. O Dia do Trabalho, dia 1º de maio, é o 11º dia do ano quando o ano não é bissexto. No ano de 1958, ano em que o Brasil ganhou,

Leia mais

Processos Estocásticos

Processos Estocásticos Processos Estocásticos Terceira Lista de Exercícios 22 de julho de 20 Seja X uma VA contínua com função densidade de probabilidade f dada por Calcule P ( < X < 2. f(x = 2 e x x R. A fdp dada tem o seguinte

Leia mais

CAPÍTULO 5 - Exercícios

CAPÍTULO 5 - Exercícios CAPÍTULO 5 - Exercícios Distibuições de variáveis aleatórias discretas: Binomial 1. Se 20% dos parafusos produzidos por uma máquina são defeituosos, determinar a probabilidade de, entre 4 parafusos escolhidos

Leia mais

Probabilidade 1. José Carlos Fogo

Probabilidade 1. José Carlos Fogo Probabilidade 1 José Carlos Fogo Junho 2014 Sumário Sumário 1 Conceitos Básicos e Definições 3 1.1 Relações entre conjuntos............................. 3 1.2 Algumas definições em probabilidade:.....................

Leia mais

ESTATÍSTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO

ESTATÍSTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO ESTATÍSTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO Thiago Marzagão 1 1 marzagao.1@osu.edu PROBABILIDADE Thiago Marzagão (IDP) ESTATÍSTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO 1/2016 1 / 51 o que é probabilidade? Thiago Marzagão

Leia mais

Capítulo 3 Modelos Estatísticos

Capítulo 3 Modelos Estatísticos Capítulo 3 Modelos Estatísticos Slide 1 Resenha Variáveis Aleatórias Distribuição Binomial Distribuição de Poisson Distribuição Normal Distribuição t de Student Distribuição Qui-quadrado Resenha Slide

Leia mais

Bioestatística Aula 3

Bioestatística Aula 3 Aula 3 Castro Soares de Oliveira Probabilidade Probabilidade é o ramo da matemática que estuda fenômenos aleatórios. Probabilidade é uma medida que quantifica a sua incerteza frente a um possível acontecimento

Leia mais

Primeira Lista de Exercícios de Estatística

Primeira Lista de Exercícios de Estatística Primeira Lista de Exercícios de Estatística Professor Marcelo Fernandes Monitor: Márcio Salvato 1. Suponha que o universo seja formado pelos naturais de 1 a 10. Sejam A = {2, 3, 4}, B = {3, 4, 5}, C =

Leia mais

PROBABILIDADE ESTATÍSTICA

PROBABILIDADE ESTATÍSTICA PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA (1000 ton) 2500 Gráfico 4.1. Produção de Arroz do Município X - 1984-1994 2000 1500 1000 500 0 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 M. Bastos 2005 SUMÁRIO 1 TEORIA DOS CONJUNTOS

Leia mais

PROBABILIDADE PROFESSOR: ANDRÉ LUIS

PROBABILIDADE PROFESSOR: ANDRÉ LUIS PROBABILIDADE PROFESSOR: ANDRÉ LUIS 1. Experimentos Experimento determinístico: são aqueles em que o resultados são os mesmos, qualquer que seja o número de ocorrência dos mesmos. Exemplo: Um determinado

Leia mais

CAP5: Amostragem e Distribuição Amostral

CAP5: Amostragem e Distribuição Amostral CAP5: Amostragem e Distribuição Amostral O que é uma amostra? É um subconjunto de um universo (população). Ex: Amostra de sangue; amostra de pessoas, amostra de objetos, etc O que se espera de uma amostra?

Leia mais

Elementos de Matemática Discreta

Elementos de Matemática Discreta Elementos de Matemática Discreta Prof. Marcus Vinícius Midena Ramos Universidade Federal do Vale do São Francisco 9 de junho de 2013 marcus.ramos@univasf.edu.br www.univasf.edu.br/~marcus.ramos Marcus

Leia mais

1 Um pouco de história. 2 Análise Combinatória. 2.1 Princípio básico da contagem:

1 Um pouco de história. 2 Análise Combinatória. 2.1 Princípio básico da contagem: 1 Um pouco de história Início da Probabilidade: 1654 com a troca de cartas entre Pascal e Fermat sobre o Problema dos Pontos colocado para Pascal por Chevalier de Méré. A e B jogam dados, vamos supor que

Leia mais

ANALISE COMBINATORIA Um pouco de probabilidade

ANALISE COMBINATORIA Um pouco de probabilidade ANALISE COMBINATORIA Um pouco de probabilidade Programa Pró-Ciência Fapesp/IME-USP-setembro de 1999 Antônio L. Pereira -IME USP (s. 234A) tel 818 6214 email:alpereir@ime.usp.br 1 Um carro e dois bodes

Leia mais

IA344 - Dinâmica Caótica em Sistemas de Engenharia

IA344 - Dinâmica Caótica em Sistemas de Engenharia IA344 - Dinâmica Caótica em Sistemas de Engenharia (FEEC/Unicamp - Primeiro Semestre de 2005) 1 Transformações (Mapas) de Poincaré Um sistema dinâmico é usualmente definido como um fluxo contínuo, que

Leia mais

Departmento de Matemática, Faculdade de Ciências e Tecnologia, Universidade Nova de Lisboa, 2829-516, Caparica, Portugal

Departmento de Matemática, Faculdade de Ciências e Tecnologia, Universidade Nova de Lisboa, 2829-516, Caparica, Portugal PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA ISABEL NATÁRIO Departmento de Matemática, Faculdade de Ciências e Tecnologia, Universidade Nova de Lisboa, 89-516, Caparica, Portugal Especial agradecimento à Prof a Fátima

Leia mais

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 7

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 7 RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 7 TEORIA DAS PROBABILIDADES Vamos considerar os seguintes experimentos: Um corpo de massa m, definida sendo arrastado horizontalmente por uma força qualquer, em um espaço definido.

Leia mais

MÓDULO 6 INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE

MÓDULO 6 INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE MÓDULO 6 INTRODUÇÃO À PROBBILIDDE Quando estudamos algum fenômeno através do método estatístico, na maior parte das vezes é preciso estabelecer uma distinção entre o modelo matemático que construímos para

Leia mais

MATEMÁTICA IV PROBABILIDADE DISCURSIVAS SÉRIE AULA AULA 03

MATEMÁTICA IV PROBABILIDADE DISCURSIVAS SÉRIE AULA AULA 03 MATEMÁTICA IV PROBABILIDADE DISCURSIVAS SÉRIE AULA AULA 03 1 1) (FGV-SP 2008) Há apenas dois modos de Cláudia ir para o trabalho: de ônibus ou de moto. A probabilidade de ela ir de ônibus é 30% e, de moto,

Leia mais

Espaço Amostral ( ): conjunto de todos os

Espaço Amostral ( ): conjunto de todos os PROBABILIDADE Espaço Amostral (): conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Exemplos: 1. Lançamento de um dado. = {1,, 3, 4,, 6}. Doador de sangue (tipo sangüíneo). = {A, B,

Leia mais

Variabilidade do processo

Variabilidade do processo Variabilidade do processo Em todo processo é natural encontrar certa quantidade de variabilidade. Processo sob controle estatístico: variabilidade natural por causas aleatórias Processo fora de controle:

Leia mais

Exercícios Teóricos Resolvidos

Exercícios Teóricos Resolvidos Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Exercícios Teóricos Resolvidos O propósito deste texto é tentar mostrar aos alunos várias maneiras de raciocinar

Leia mais

Distribuição Gaussiana. Modelo Probabilístico para Variáveis Contínuas

Distribuição Gaussiana. Modelo Probabilístico para Variáveis Contínuas Distribuição Gaussiana Modelo Probabilístico para Variáveis Contínuas Distribuição de Frequências do Peso, em gramas, de 10000 recém-nascidos Frequencia 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 1000 2000 3000

Leia mais

ESTATÍSTICA. Prof. Ari Antonio, Me. Ciências Econômicas. Unemat Sinop 2012

ESTATÍSTICA. Prof. Ari Antonio, Me. Ciências Econômicas. Unemat Sinop 2012 ESTATÍSTICA Prof. Ari Antonio, Me Ciências Econômicas Unemat Sinop 2012 1. Introdução Concepções de Estatística: 1. Estatísticas qualquer coleção consistente de dados numéricos reunidos a fim de fornecer

Leia mais

Princípio da contagem e Probabilidade: conceito

Princípio da contagem e Probabilidade: conceito Princípio da contagem e Probabilidade: conceito característica do que é provável perspectiva favorável de que algo venha a ocorrer; possibilidade, chance. Ex.: há pouca possibilidade de chuva grau de segurança

Leia mais

Probabilidades: Função massa de probabilidades ou função distribuição de probabilidade ou modelo de probabilidade:

Probabilidades: Função massa de probabilidades ou função distribuição de probabilidade ou modelo de probabilidade: Exame MACS- Probabilidades Probabilidades: Função massa de probabilidades ou função distribuição de probabilidade ou modelo de probabilidade: Nos modelos de probabilidade: há uma primeira fase em que colocamos

Leia mais

Representação de números em máquinas

Representação de números em máquinas Capítulo 1 Representação de números em máquinas 1.1. Sistema de numeração Um sistema de numeração é formado por uma coleção de símbolos e regras para representar conjuntos de números de maneira consistente.

Leia mais

Texto SII: ELEMENTOS DE PROBABILIDADE 3.1. INTRODUÇÃO...9

Texto SII: ELEMENTOS DE PROBABILIDADE 3.1. INTRODUÇÃO...9 SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO...2 1.1. MODELOS...2 1.2. EXPERIMENTO ALEATÓRIO (NÃO-DETERMINÍSTICO)...2 1.3. O ESPAÇO AMOSTRAL...3 1.4. EVENTOS...4 1.5. COMBINAÇÃO DE EVENTOS...4 1.6. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES...5

Leia mais

INSTITUTO TECNOLÓGICO

INSTITUTO TECNOLÓGICO PAC - PROGRAMA DE APRIMORAMENTO DE CONTEÚDOS. ATIVIDADES DE NIVELAMENTO BÁSICO. DISCIPLINAS: MATEMÁTICA & ESTATÍSTICA. PROFº.: PROF. DR. AUSTER RUZANTE 1ª SEMANA DE ATIVIDADES DOS CURSOS DE TECNOLOGIA

Leia mais

UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA PROBABILISTICA NA TERCEIRA SÉRIE DO ENSINO MÉDIO COM APOIO DE DISPOSITIVOS MÓVEIS

UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA PROBABILISTICA NA TERCEIRA SÉRIE DO ENSINO MÉDIO COM APOIO DE DISPOSITIVOS MÓVEIS UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu Mestrado Profissional em Educação Matemática ROGÉRIO DELFINO DE SOUZA UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA PROBABILISTICA

Leia mais

Distribuição de probabilidades

Distribuição de probabilidades Luiz Carlos Terra Para que você possa compreender a parte da estatística que trata de estimação de valores, é necessário que tenha uma boa noção sobre o conceito de distribuição de probabilidades e curva

Leia mais

VI SEMANA DE MATEMÁTICA DA UESC

VI SEMANA DE MATEMÁTICA DA UESC VI SEMANA DE MATEMÁTICA DA UESC Introdução à Cadeias de Markov: Processos Markovianos de parâmetro discreto Autores: Msc. Cláudia Ribeiro Santana Phd. Enio G. Jelihovschi Msc. Pedro Carlos Elias Ribeiro

Leia mais

Instruções para a Prova de MATEMÁTICA APLICADA:

Instruções para a Prova de MATEMÁTICA APLICADA: Instruções para a Prova de : Confira se seu nome e RG estão corretos. Não se esqueça de assinar a capa deste caderno, no local indicado, com caneta azul ou preta. A duração total do Módulo Discursivo é

Leia mais

CPV O Cursinho que Mais Aprova na GV

CPV O Cursinho que Mais Aprova na GV CPV O Cursinho que Mais Aprova na GV FGV Economia 1 a Fase /nov/014 MATEMÁTICA 01. Observe o diagrama com 5 organizações intergovernamentais de integração sul-americana: Dos 1 países que compõem esse diagrama,

Leia mais

INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA

INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA PARA A COMPUTAÇÃO PROF. DANIEL S. FREITAS UFSC - CTC - INE Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.1/59 2 - FUNDAMENTOS 2.1) Teoria dos Conjuntos 2.2) Números

Leia mais

Estatística II Antonio Roque Aula 9. Testes de Hipóteses

Estatística II Antonio Roque Aula 9. Testes de Hipóteses Testes de Hipóteses Os problemas de inferência estatística tratados nas aulas anteriores podem ser enfocados de um ponto de vista um pouco diferente: ao invés de se construir intervalos de confiança para

Leia mais

Faculdade Tecnológica de Carapicuíba Tecnologia em Logística Ênfase em Transportes Notas da Disciplina de Estatística (versão 8.

Faculdade Tecnológica de Carapicuíba Tecnologia em Logística Ênfase em Transportes Notas da Disciplina de Estatística (versão 8. Faculdade Tecnológica de Carapicuíba Tecnologia em Logística Ênfase em Transportes Notas da Disciplina de Estatística (versão 8.) PROBABILIDADE Dizemos que a probabilidade é uma medida da quantidade de

Leia mais

2 T Probabilidade: Definições básicas. 3 T Probabilidade: Definições básicas

2 T Probabilidade: Definições básicas. 3 T Probabilidade: Definições básicas Programa do Curso Métodos Estatísticos sticos de Apoio à Decisão Aula 4 Mônica Barros, D.Sc. Julho de 2008 Disciplina Métodos Estatísticos de Apoio à Decisão - BI MASTER 2008 Responsável Mônica Barros

Leia mais

Conceitos Básicos de Estatística Aula 2

Conceitos Básicos de Estatística Aula 2 Conceitos Básicos de Estatística Aula 2 ISCTE - IUL, Mestrados de Continuidade Diana Aldea Mendes diana.mendes@iscte.pt 13 de Setembro de 2011 DMQ, ISCTE-IUL (diana.mendes@iscte.pt) Estatística 13 de Setembro

Leia mais

Álgebra Linear. André Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa

Álgebra Linear. André Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa Álgebra Linear André Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa Janeiro/2006 Índice 1 Sistemas Lineares 1 11 Corpos 1 12 Sistemas de Equações Lineares 3 13 Sistemas equivalentes 4 14 Operações elementares

Leia mais

Lista de Exercícios Tratamento de Incerteza baseado em Probabilidade

Lista de Exercícios Tratamento de Incerteza baseado em Probabilidade Lista de Exercícios Tratamento de Incerteza baseado em Probabilidade 1) Explique o termo probabilidade subjetiva no contexto de um agente que raciocina sobre incerteza baseando em probabilidade. 2) Explique

Leia mais

Processos Estocásticos

Processos Estocásticos Processos Estocásticos Segunda Lista de Exercícios 01 de julho de 2013 1 Uma indústria fabrica peças, das quais 1 5 são defeituosas. Dois compradores, A e B, classificam os lotes de peças adquiridos em

Leia mais

Distribuição Uniforme Discreta. Modelos de distribuições discretas. Distribuição de Bernoulli. Distribuição Uniforme Discreta

Distribuição Uniforme Discreta. Modelos de distribuições discretas. Distribuição de Bernoulli. Distribuição Uniforme Discreta Distribuição Uniforme Discreta Modelos de distribuições discretas Notas de Aula da Profa. Verónica González-López e do Prof. Jesús Enrique García, digitadas por Beatriz Cuyabano. Acréscimos e modicações:

Leia mais

PROFMAT - UNIRIO COORDENADOR GLADSON ANTUNES ALUNO JOÃO CARLOS CATALDO ANÁLISE COMBINATÓRIA

PROFMAT - UNIRIO COORDENADOR GLADSON ANTUNES ALUNO JOÃO CARLOS CATALDO ANÁLISE COMBINATÓRIA PROFMAT - UNIRIO COORDENADOR GLADSON ANTUNES ALUNO JOÃO CARLOS CATALDO ANÁLISE COMBINATÓRIA Questão 1: Entre duas cidades A e B existem três empresas de avião e cinco de ônibus. Uma pessoa precisa fazer

Leia mais

CAPÍTULO 04 NOÇÕES DE PROBABILIDADE

CAPÍTULO 04 NOÇÕES DE PROBABILIDADE CAPÍTULO 0 NOÇÕES DE PROBABILIDADE. ESPAÇO AMOSTRAL É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. No lançamento de uma moeda perfeita (não viciada) o espaço amostral é S =

Leia mais

Introdução à Probabilidade e Estatística

Introdução à Probabilidade e Estatística Professor Cristian F. Coletti Introdução à Probabilidade e Estatística (1 Para cada um dos casos abaixo, escreva o espaço amostral correspondente e conte seus elementos. a Uma moeda é lançada duas vezes

Leia mais

utilizando o software geogebra no ensino de certos conteúdos matemáticos

utilizando o software geogebra no ensino de certos conteúdos matemáticos V Bienal da SBM Sociedade Brasileira de Matemática UFPB - Universidade Federal da Paraíba 18 a 22 de outubro de 2010 utilizando o software geogebra no ensino de certos conteúdos matemáticos ermínia de

Leia mais

3ª lista de exercícios sobre cálculo de probabilidades, axiomas, propriedades, teorema da probabilidade total e teorema de Bayes

3ª lista de exercícios sobre cálculo de probabilidades, axiomas, propriedades, teorema da probabilidade total e teorema de Bayes 3ª lista de exercícios sobre cálculo de probabilidades, axiomas, propriedades, teorema da probabilidade total e teorema de Bayes 1) Quatro moedas são lançadas e observa-se a seqüência de caras e coroas

Leia mais

Estatística Aplicada às Ciências Sociais e Ambientais. Organização da Disciplina. Conteúdo da Aula. Contextualização. Farmácia Industrial UFPR

Estatística Aplicada às Ciências Sociais e Ambientais. Organização da Disciplina. Conteúdo da Aula. Contextualização. Farmácia Industrial UFPR Estatística Aplicada às Ciências Sociais e Ambientais Apresentação Aula 1 Prof. Daniel de Christo Farmácia Industrial UFPR Mestrado em Genética UFPR Lecionando no Ensino Superior desde 2003 Organização

Leia mais