CPV O Cursinho que Mais Aprova na GV

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1 PV O ursinho que Mais Aprova na GV FGV ADM 1/dez/01 MATEMÁTIA APLIADA 01. Um mapa de um pequeno parque é uma região em forma de quadrilátero, limitado pelas retas y = x, y = x +, y = x + e y = x, sendo que as unidades estão em quilômetros. A altitude em relação ao nível do mar em cada ponto (x, y do parque é dada pela expressão. (0,75x + y quilômetros. a Demonstre que o quadrilátero do parque é um quadrado. b Qual é a altitude do centro do parque, ponto de encontro das diagonais, em relação ao nível do mar? a onsidere a repreasentação gráfica das retas 0. erto município pode ser representado em um mapa como uma malha retangular, 0 x 5 e 0 y 5 com uma cidade na origem. Uma construtora estimou que o valor do metro quadrado no ponto (x, y do mapa, x e y números naturais, é dado pela relação: x ln V = ln 5 ln 10 + y (, sendo V expresso em milhares de reais. a Expresse V em termos de x e y. b Quais são o maior e o menor valor, em reais, do metro quadrado no município? Se necessário, use as aproximações: ln = 0,7; ln = 1,1. Observe que o número e é igual a, e que y = ln x se e somente se e y = x, com x > 0. y = x (r y = x + (s y = x + (t y = x (u D (-, (0, M (0, r // s e t // u r t e s u B (, a Temos que 0 x 5 e 0 y 5 ln V = ln 5 ln 10 ( x + y ln V ln 5 + ln 10 = ( x + y ln V. 10 = 5 ( x + y Þ ln V. 9 = ( x + y - (s A (0,0 - (t V. 9 = e x + y Þ V = 9 (x + y e b x = 0 e y = 0 Þ V máx Observando que no quadrilátero da figura as diagonais são perpendiculares e congruentes, portanto, o quadrilátero é quadrado. b onsiderando o ponto M (0,, temos: (r. (0, = (u. 8 = cm V máx = 9 e0 = 500 reais por m x = 5 e y = 5 Þ V min V min = 9 e 1/ ln V min = ln 9 1 Þ ln V min =, 0,7 0,5 V min = e 1 =,718 = 718 reais por m PV FGVADMDEZ01 1

2 FGV-ADM 1/1/01 PV o ursinho que Mais Aprova na GV 0. Atenda ao que se pede: a Determine o produto das raízes da equação cúbica x + 6 = 0 que não são números reais. b Para resolver uma equação cúbica expressa na forma x + ax = b, o matemático francês François Viète ( substituiu a variável x por x = a y y e obteve a equação: y 6 + by a = 0. Obteve os valores de y e depois, os de x. Use esse método para determinar uma raiz da seguinte equação (considere x e y números reais e positivos: x + x. 5 =. 0. A figura mostra o gráfico da função f (x = x x 0x + 8. a Se julgar conveniente, utilize-o para resolver a x inequação: x 0x + 8 (x + x + 1 > 0. b Resolva a inequação: x x 0x + 8 > 8. a x + 6 = 0 fatorando temos que (x + (x x + 16 = 0 portanto, a raiz real é, logo x x + 16 = 0 contém as raízes imaginárias. O produto das raízes imaginárias é dado por c a = 16. Resposta: o produto das raízes imaginárias é 16. b Segundo François Vièle a equação x + ax = b resolve substituindo x = a y y, a De acordo com o gráfico dado, é uma raiz dupla de f(x, a outra raiz pode ser obtida por Biot-Ruffini. x + 7 = 0 Þ x = 7. omo x + x + 1 > 0 para todo x Î, devemos ter: x x 0x + 8 > 0 Û (x (x + 7 > 0 isto é f(x > 0. Pelo gráfico: obtendo a equação y 6 + by a = 0. Assim, a equação x + x 5 = pode ser resolvida fazendo a = 5 e b =, resultando na equação y 6 y ( 5 = 0, isto é, y 6 y 5 = 0. Substituindo y = t temos t t 5 = 0 cujas raíses são: t = 5 (não convém t = 1 Se t = 1 então y = 1 Þ y = 1 (real positivo omo x = temos x = S = ] 7, + [ { }. b Temos: x x 0x + 8 > 8 Û x (x x 0 > 0. As raízes de x x 0 = 0 são x = 1 ± 161 Estudo de sinal: S = ] 1 161, 0 [ È ] , + [. PV FGVADMDEZ01

3 PV o ursinho que Mais Aprova na GV FGV-ADM 1/1/ Uma fábrica constrói dados com a forma de um tetraedro regular. A área de uma face do dado é igual a 9 cm. a Qual é a soma das medidas das arestas de um dado? b As faces do dado são numeradas de 1 a. Lançamos dois desses dados. Qual é a probabilidade, expressa em porcentagem, da soma dos números das faces visíveis ser um múltiplo de 5? a a Devemos ter: = 9 Þ a = 6 que é a medida de uma aresta do tetraedo. O tetraedo possui. arestas, então a soma de todas elas é igual a 6. 6 = 6 cm. b O número de elementos do espaço amostral é N (E =. = 16. Os resultados possíveis cuja soma dos números das faces é múltiplo de 5 são: dado 1 dado soma (1,, (,, 15 (,, (1,, 15 (1,, (1,, 15 (1,, (1,, 15 Portanto: P = 16 = 5% 06. Uma padaria entrega mensalmente certo tipo de pão, cobrando R$ 1,50 pelo pacote simples, que contém 1 unidade, e R$,50 pelo pacote duplo, que contém unidades. Na primeira semana, ela entrega a um restaurante pacotes simples e 0 pacotes Na segunda semana, 00 pacotes simples e 80 pacotes Na terceira semana, 00 pacotes simples e 60 pacotes Na quarta semana, 00 pacotes simples e 80 pacotes a Escreva um produto de matrizes que expresse o total de pães entregues pela padaria mensalmente ao restaurante e o valor total, em reais, recebido mensalmente pela padaria. b Usando a matriz produto do item A, calcule o total de pães entregues mensalmente ao restaurante e o valor total, em reais, recebido mensalmente pela padaria. a Seja P a matriz produto pedida. Do enunciado, P é do tipo (p ij x, sendo: número de pães p 11 p 1 p 1 p 1 = P valor total em reais p 1 p p p Seja Q a matriz que indica a quantidade de pacotes de pães vendidos no mês. Q é do tipo (q ij x, sendo: 1 a semana a semana a semana a semana pacote simples pacote duplo = Q Seja R a matriz que indica a quantidade de pães por pacote e o preço de cada pacote, tal que R seja do tipo (r ij x, com R = R. Q = P 1 1,50,50, temos o produto de matrizes: = P 1,50, número de pães valor total em reais = P b Usando o resultado do item A, o total de pães entregues mensalmente ao restaurante e o valor total, em reais, recebido mensalmente pela padaria pode ser obtido, respectivamente, pela soma dos elementos da 1 a e da a linhas da matriz produto. Temos: total de pães = = 10 valor total (em reais = = 1850 A matriz produto deve ter esta forma: Número de pães Valor total em reais As colunas representam a primeira, segunda, terceira e quarta semanas, respectivamente. FGVADMDEZ01 PV

4 FGV-ADM 1/1/01 PV o ursinho que Mais Aprova na GV 07. a Braille é um sistema de leitura para cegos inventado pelo francês Louis Braille no ano de 187, em Paris. Os caracteres são indicados por pontos de alto-relevo que podem representar letras, pontuações, números, sinais matemáticos, notas musicais. ada célula Braille possui 6 pontos, arrumados num padrão três linhas por duas colunas. Observe como são representadas, por exemplo, as letras A e B. 08. Atenda ao que se pede. a onsiderando que uma geração corresponde a 5 anos, determine o número de ancestrais (pais, avós, bisavós, etc. que determinada pessoa pode ter em um período de 00 anos. b A figura mostra os quatro primeiros termos da sequência dos números piramidais de base quadrada. Determine o quinto, o sexto e o sétimo termos da sequência. onsidere que quando não há pontos de alto-relevo, não há representação de nenhum caractere: a 5 anos 5 anos Pai... Pai Mãe... Quantos caracteres podem ser representados no sistema Braille? b Nove cobaias numeradas de 1 a 9 são distribuídas igualmente em três grupos: um grupo de controle e dois grupos experimentais. De quantos modos diferentes as cobaias podem ser distribuídas nos grupos, se os três grupos têm tratamentos diferenciados? a onsiderando que pelo menos um ponto precisa de altorelevo, temos: 1 ponto pontos pontos pontos 5 pontos 6 pontos 6,1 + 6, + 6, + 6, + 6,5 + 6,6 = 6 1 = 6 Resposta: Podem ser representados no sistema Braille 6 caracteres. b Escolhendo as pessoas dentro dos grupos, temos: 1 o Grupo o Grupo o Grupo 9,. 6,., = 1680 Mãe Pai... Mãe... Montando uma sequência de ancestrais, temos (,, 8,... P.G. de razão e a 1 =. O total de ancestrais em 00 anos é dado por S 00 5 = S 1 = a 1 (qn 1 q 1 = (1 1 1 = 8190 b 1 o termo = 1 o termo = 1 + = 1 + = 5 o termo = = = 1 o termo = = = 0 Assim, 5 o termo = = 55 6 o termo = = 91 7 o termo = = 10 Resposta: As cobaias podem ser distribuídas nos grupos de 1680 modos diferentes. PV FGVADMDEZ01

5 PV o ursinho que Mais Aprova na GV FGV-ADM 1/1/ Um retângulo em que a razão entre as medidas do maior e do menor lado é é chamado retângulo de ouro. 10. onsidere um triângulo AB de área 1 cm, cujos lados medem A = 8 cm e B = 6 cm. a alcule a medida do ângulo ^. Faça um esboço de todos os triângulos possíveis. b alcule a soma dos quadrados das possíveis medidas do lado AB. Do retângulo de ouro da figura, retiramos um quadrado de lado. α 8 6 A x B Demonstre que o retângulo resultante é um retângulo de ouro. a A AB = 1. A. B. sen ^ Þ 1 = sen α Þ sen α = 1 Þ α = 0º ou α = 150º A partir do desenho, temos: (1 + 5 a Assim, os possíveis triângulos são: 0º º 6 Assim, a razão é dada por: ( 5 1 = = a 5 1 ( 5 1 a Logo, o retângulo resultante é um retângulo de ouro. A x B A x figura 1 figura b Na figura 1, temos: x 1 = cos 0º Na figura, temos: x = cos 150º B Assim, x 1 + x = cos 0º cos 150º e como cos 150º = cos 0º, temos: x 1 + x = + = 00 OMENTÁRIO do PV A prova de Matemática Aplicada da FGV de 015 foi uma prova abrangente no seu conteúdo, dentro da proposta de selecionar os melhores alunos. Fica claro a preocupação da banca em beneficiar o aluno conceitual e bem preparado. FGVADMDEZ01 PV

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