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1 CPV O Cursinho que Mais Aprova na GV FGV ADM /dezembro/20 MATEMÁTICA APLICADA 0. A Espaço Inteligente Empreendimentos Imobiliários fez o lançamento de um edifício, com conjuntos comerciais a R$.800,00 o metro quadrado. Um grupo de médicos comprou um conjunto comercial. Sua representação plana é dada abaixo. a) As medidas, em graus, dos ângulos da representação plana: A^, B^, C^ e D^ são diretamente proporcionais aos números 0, 20, 5 e 5, respectivamente. Podemos afirmar que a representação plana dada é um trapézio retângulo? b) Os médicos pagaram R$ ,00 pelo conjunto comercial. Em que escala foi feita a representação plana? Uma escala, por exemplo :.000, expressa que centímetro na representação plana corresponde a.000 centímetros na realidade. a) Sejam (0k; 20k; 5k; 5k), k Î * + as medidas dos ângulos A^, B^, C^ e D^, respectivamente. Como a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360, tem-se: 0k + 20k + 5k + 5k = 360 Û k = 6 Assim: A^ = 60, B^ = 20, C^ = 90 e D^ = 90 : com isso, pode-se formar a seguinte figura: C 4 cm B 30º 6 cm 6 cm D 4 cm E 6 cm 60º A Da figura, no triângulo retângulo ABE, tem-se: tg 60º = 6 6 = (absurdo!) Portanto, nas condições propostas, não existe tal representação plana para o loteamento. CPV b) Não tem solução: vide item anterior. FGVDEZADM

2 2 FGV /2/20 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV 02. Uma pesquisa mostra como a transformação demográfica do país, com o aumento da expectativa de vida, vai aumentar o gasto público na área social em centenas de bilhões de reais. Considere que os gráficos dos aumentos com aposentadoria e pensões, educação e saúde sejam, aproximadamente, linhas retas de 200 a Um médico atende diariamente, de segunda-feira a sextafeira, os postos de saúde de quatro pequenos povoados próximos: A, B, C e D, indo de A a D e de volta a A. Em determinado dia, ele decide sortear o percurso que vai seguir. Qual é a probabilidade de ele ir e voltar pelo mesmo caminho assinalado na figura? a) Faça uma estimativa de qual será o gasto com aposentadorias e pensões em b) Calcule o gasto público com educação em c) Considerando que os gráficos dos aumentos com aposentadoria e pensões, educação e saúde continuem crescendo mediante linhas retas, existirá algum momento, depois de 200, em que os gráficos se interceptarão? Obtendo as funções das retas: Aposentadorias e Pensões A (x) = 0,7x + 2,2 Educação E (x) = 0, x + 2 Saúde S (x) = 0,09x +,8 a) Em 2050, temos x = 40 A (40) = 0,7. (40) + 2,2 = 9, portanto 900 bilhões Em 2050, o gasto com aposentadorias e pensões será de 900 bilhões de reais. b) E (40) = 0,. (40) + 2 = 6, portanto 600 bilhões Em 2050, o gasto público com educação será de 600 bilhões de reais. Número de caminhos existentes: há 4 caminhos distintos de A até B; há 2 caminhos distintos de B para C; há 5 caminhos distintos de C até D; há 5 caminhos distintos de D para C; há 2 caminhos distintos de C até B; e há 4 caminhos distintos de B para A, num total de = 600 possibilidades. A probabilidade pedida é P = 600 = 0,0625% A probabilidade de o médico ir e voltar pelo caminho assinalado é de 0,0625%. c) Como m A > m E > m S e n A > n E > n S, podemos concluir que os gráficos não se interceptarão depois de 200. CPV FGVDEZADM

3 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV FGV /2/ Oito garotas chegam de férias a uma pequena cidade do litoral norte. Dirigem-se a um hotel onde somente estão disponíveis dois quartos triplos e um quarto duplo. a) De quantos modos diferentes elas podem alojar-se no hotel? b) As ruas da cidade interceptam-se em ângulos retos, como mostra a figura. Certo dia, elas decidem almoçar no único restaurante da cidade. Quantos caminhos diferentes elas podem escolher para ir do hotel ao restaurante? Elas caminham somente para o norte ou para o leste. A figura indica um possível caminho. 2 i 05. É dada a matriz A = (a ij ) 3x3 tal que A = + i i i 0 sendo i a unidade imaginária: i 2 =. a) Escreva a matriz B = (b ij ) 3x3, substituindo os elementos da matriz A pelos seus números complexos conjugados, ou seja, b ij é o complexo conjugado do elemento a ij. b) Determine a área do triângulo cujos vértices são os afixos dos elementos b 23 e b 32 e o afixo do determinante da matriz B. a) A matriz B = (b ij ) 3x3, em que cada b ij é obtido pelo conjugado de cada a ij, é dada por: a) Há 8 3 = 56 maneiras de escolher 3 das 8 garotas para ocupar um quarto triplo. Há 5 = 0 maneiras de escolher outras 3 garotas 3 dentre as 8 3 = 5 garotas restantes para ocupar o outro quarto triplo. Como as = 2 garotas que sobraram se alojarão obrigatoriamente no quarto duplo, o número pedido é = 560. Elas podem alojar-se no hotel de 560 modos diferentes. b) O caminho descrito no exemplo pode ser considerado uma sequência de L s (lestes) e N s (nortes) dada por: N L L N L L L N N L. O total de caminhos do hotel ao restaurante é o número de permutações de uma sequência de 6 L s e 4 N s. 6,4 0! Logo, o número de caminhos é P 0 = 64!! = i B = i i i 0 b) det B = 2 + i i i 0 = 4i 2 = 4 = 5 = ( 5,0) Assim, o triângulo tem vértices: i = i + i 2 i + i 2 + 2i 2 = b 23 = (0,); b 32 = (0, ) e det B = ( 5,0) Portanto, a área é dada por A área do triângulo é =. 0 = Elas podem escolher 20 caminhos diferentes para ir do hotel ao restaurante. FGVDEZADM CPV

4 4 FGV /2/20 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV 06. A figura mostra o gráfico da função f(x) = 2x 3 3x 2 36x + 8. a) Resolva a equação 2x 3 3x 2 36x + 8 = 0. b) Para que valores de x tem-se f (x) 0? 07. O diretor de uma editora estima que, se x exemplares de um novo livro de Cálculo para o Ensino Superior forem entregues aos professores para análise, as vendas do livro no primeiro ano serão de aproximadamente f(x) = 000(5 24e 0,003x ) exemplares. Use a aproximação ln 2 = 0,69 para responder às questões. a) Quantos exemplares a editora deverá distribuir para análise, para vender cerca de exemplares no primeiro ano? b) O diretor afirmou que, no primeiro ano, não conseguirão vender mais de exemplares, qualquer que seja a quantidade de exemplares entregues aos professores para análise. É correta a sua afirmação? Justifique. a) Do gráfico, temos que a função possui x = 3 como raiz dupla. Assim: Obtendo a última raiz: 2x + 9 = 0 Þ x = A solução da equação é dada pelo conjunto S = ;3 b) Analisando o gráfico, temos que f(x) 0 para: x ou x = 3. a) Fazendo f(x) = 9000, vem: 000. (5 24. e 0,003. x ) = 9000 Þ e 0,003. x = 4 Aplicando "logaritmo na base e" em ambos os lados, temos: ln e 0,003. x = ln 4 Þ 0,003. x. ln e = ln ln 22 Þ 0,003. x = 0 2. ln 2 Þ 0,003. x =,38 Portanto, x = 460 A editora deverá distribuir 460 exemplares. b) A questão solicita os conceitos de "limite no infinito" e de convergência assintótica. Para x muito "grande e positivo", a expressão e 0,003. x tende ao valor 0. Ou seja, à medida que aumenta a quantidade de livros distribuídos, as vendas convergem para o patamar de unidades. Sem, entretanto, jamais chegar a essa cifra. Portanto, a afirmativa do diretor é correta. CPV FGVDEZADM

5 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV FGV /2/ a) Determine o perímetro do triângulo na forma decimal aproximada, até os décimos. Se quiser, use algum destes dados: 35 2 =225; 36 2 = 296 ; 37 2 = Um poço de petróleo que produz 00 barris de petróleo bruto por mês se esgotará em ano. Em cada mês, o preço se mantém constante e é dado por f ( x ) = 69,8 + 0,2x dólares por barril, em que x = representa o o mês, x = 2 o 2 o mês, e assim por diante. Qual será a receita total proporcionada pelo poço, até se esgotar? Pelo enunciado, temos que a receita mensal será R(x) = 00. f (x) R(x) = x b) Um aluno tinha de fazer um cartaz triangular, em cartolina. Decidiu construir o triângulo com as seguintes medidas dos lados: 6 cm, 8 cm e 6 cm. Ele conseguirá fazer o cartaz? Por quê? a) Aplicando a lei dos cossenos, temos: x 2 = cos 60 x 2 = / x 2 = = 52 R() = 7000 R(2) = 7020 R(3) = R(2) = 7220 a sequência forma uma P.A. Logo, a receita total será a soma da P.A.: ( ). 2 R T = = A receita total proporcionada pelo poço será de dólares. x 2 = 52 portanto x = 2 3 cm Observando os dados, temos 3,6 2 = 3. Portanto, 2. 3,6 Þ 7,2 cm O perímetro do triângulo é aproximadamente ,2 = 2,2 cm. b) Sabemos que existe triângulo somente se o maior de seus lados for menor que a soma dos outros dois. Portanto, como 6 > 6 + 8, não existe triângulo. FGVDEZADM CPV

6 6 FGV /2/20 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV 0. Resolva este antigo problema chinês: Qual é a profundidade de uma lagoa com a forma de um círculo, de área 49,6 pés quadrados, se um caniço que cresce no centro e se estende pé para fora da água atinge exatamente a superfície, se puxado pela ponta para a margem da lagoa, sem arrancá-lo? Use a aproximação π = 3,. A A área do círculo é 49,6 = pr 2 Þ 49,6 = 3, R 2 Þ R = 4 pés A R B 4 C B pé h COMENTÁRIO DO CPV A equipe de Matemática do CPV Vestibulares elogia a proposta equilibrada e abrangente das duas provas que compuseram o exame da disciplina, na edição de Dezembro de 20. As questões apresentadas seguiram a tendência consolidada nos semestres recentes e confirmaram nossas previsões ao longo do curso: ênfase em Geometria Analítica, Funções, Porcentagem e Matemática Financeira Elementar, mais aplicações de Teoria das Probabilidades, Análise Combinatória, Logaritmos e Exponenciais e Geometria Plana, além de algumas questões mais abstratas sobre Polinômios e Números Complexos. Avaliando a evolução das provas de Matemática da FGV-ADM em perspectiva histórica, acreditamos que a proposta atual da Banca é muito mais adequada que alguns anos atrás, no sentido de privilegiar situações de dificuldade moderada, permitindo maior discriminação dos desempenhos dos candidatos, sem abrir mão completamente de algumas questões mais exigentes e/ou específicas (caso das questões 2, 5, 7, 0, e 5 da prova objetiva e das questões 5 e 7 da prova discursiva). Notamos também a consolidação da prática de cobrar questões contextualizadas, não raro vinculadas a situações recorrentes em Administração, na tentativa de captar candidatos com habilidades de modelagem essenciais a um aluno de graduação nessa área. Destacamos ainda o cuidado com os enunciados, bem escritos e claros, e com os dados fornecidos em cada questão. A exceção repousa sobre a Questão, que, apesar de apresentar uma questão com estrutura clássica e aparentemente solúvel por meios algébricos, dependia de uma construção plana geometricamente impossível. Cremos que a Banca optará pela anulação da questão, fato que não comprometerá, certamente, a excelente qualidade geral da prova. h + h C No DABC, temos: (h + ) 2 = h Þ h = 5 2 = 7,5 pés A profundidade da lagoa é de 7,5 pés. CPV FGVDEZADM

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