Seu pé direito nas melhores faculdades

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1 Seu pé direito nas melhores faculdades IBMEC 0/junho/007 NÁLISE QUNTITTIV E LÓGIC OBJETIV. Numa lanchonete, um salgado e um refrigerante custam, respectivamente, X e Y reais. Pedro, que comprou X salgados e Y refrigerantes nessa lanchonete, gastou o mesmo que Luana, que comprou Y salgados e Y refrigerantes. Então, pode-se concluir que a) Y = X b) Y = X c) X = Y d) Y = X e) X = Y Considerando os dados do enunciado, temos: X + Y = XY + Y X XY Y = 0. Resolvendo a equação na variável X, temos: = ( Y).. ( Y ) = 9Y X = Y ± Y X = Y ou X = Y (não convém) portanto X = Y lternativa C. Define-se aproveitamento de uma equipe de futebol num determinado campeonato como o número de pontos efetivamente conquistados por essa equipe dividido pelo número de pontos que ela teria obtido se tivesse vencido todos os jogos que disputou, sendo essa fração escrita na forma de porcentagem. Em cada partida, uma equipe ganha pontos em caso de vitória, ponto em caso de empate e 0 ponto em caso de derrota. Nos dez primeiros jogos de um campeonato, a equipe rrancatoco obteve 8 pontos, tendo, portanto, um aproveitamento de 60%. O número mínimo de jogos que o rrancatoco ainda deverá disputar nesse campeonato para que seu aproveitamento final possa superar 70% é igual a a) b) c) d) e) 5 ibmecjun007 Considerando um total de n jogos a mais, temos: 8 + n n 70% = = 0 + n n n = n 0 = n n =, Note que esse cálculo pressupõe que o time ganharia todos os próximos jogos. ssim, o número mínimo de jogos é. lternativa D π π π π nπ. Dado o conjunto =,,,,...,,..., considere a função f: IR dada pela lei f(x) = sen x + cos x. Se I é o conjunto imagem da função f, então I possui a) elementos b) elementos c) 5 elementos d) 8 elementos e) infinitos elementos π π π π nπ Considerando o conjunto =,,,,...,,..., temos as seguintes imagens: x y = sen x + cos x π y = π y = π y = 0 π y = 5π y = π y = 7π y = 0 π y =.. Observamos na tabela acima que há 5 valores distintos de y, portanto I possui 5 elementos. lternativa C

2 IBMEC 0/06/007 Seu pé direito nas melhores Faculdades. Júlia construiu um losango, mostrado na figura abaixo, usando 6 peças com a forma de triângulos equiláteros. s peças claras têm todas o mesmo tamanho, o mesmo ocorrendo com as peças escuras. a > a 0 a x + ax a = 0 a x = ax + a ( a) a x = x + Sejam f(x) = a x e g(x) = x + y f(x) x Se a área do losango montado por Júlia é 6, então as áreas de uma peça clara e de uma peça escura valem, respectivamente, a) e 9 b) e c) e 6 d) e 8 e) e 5 g(x) a x = x + f(x) = g(x) ( pontos) equação ax + ax a = 0 tem apenas duas soluções, independente do valor de a. lternativa E 6. Na figura abaixo estão representados infinitos hexágonos regulares, construídos a partir das seguintes informações: cada lado do maior deles mede, cada vértice do segundo maior hexágono está sobre o ponto médio de um lado do maior hexágono, cada vértice do terceiro maior está sobre o ponto médio de um lado do segundo maior, cada vértice do quarto maior hexágono está sobre o ponto médio de um lado do terceiro maior, e assim por diante. Como a figura pode ser fracionada em triângulos de mesma área (sendo brancos e 8 pretos), temos: branco = 6 = branco = Logo, preto = 9. = 8 5. Se a >, então a equação a x + ax a = 0 tem lternativa D a) nenhuma solução, independente do valor de a. b) nenhuma ou apenas uma solução, dependendo do valor de a. c) nenhuma, apenas uma ou apenas duas soluções, dependendo do valor de a. d) apenas uma solução, independente do valor de a. e) apenas duas soluções, independente do valor de a. O limite da soma das áreas das regiões sombreadas é igual a a) b) 8 c) d) 6 e) 0 ibmecjun007

3 Seu pé direito nas melhores Faculdades IBMEC 0/06/007 a) ( + 6) cm S b) (6 + 0) cm S c) (0 + ) cm d) ( + 8) cm S e) (8 + ) cm S S / S / H G M F S =... sen 0º = 6 C D S = S =..... sen 0º =. sen 0º = 9 6 B 6 6 E (S ; S ; S,...) é uma PG de razão q = Portanto, a soma S pedida é: S =. S +. S +. S +... =. (S + S + S +...) soma da PG infinita S =. a q =. = 8 Outra maneira de resolver a questão 6: área hachurada corresponde a da área do hexágono, portanto 6 S = S equil. S = S = 8 lternativa B 7. Considere uma pirâmide reta cuja base é um quadrado de lado 6 cm e cujas faces laterais são triângulos equiláteros. Uma formiga posicionada inicialmente num dos vértices do quadrado da base vai escalar a pirâmide. Ela inicia sua trajetória de maneira retilínea sobre uma das faces triangulares adjacentes ao vértice em que está, indo diretamente ao ponto médio do lado oposto, subindo assim metade da altura total a que irá se elevar. Como está cansada, caminha até o ponto médio do outro lado (não pertencente à base) sobre o triângulo adjacente ao que acabou de percorrer, mantendo-se no mesmo nível de altura. No triângulo seguinte, ela caminha de maneira retilínea até o ponto da outra aresta (não pertencente à base) cuja altura é três quartos da altura da pirâmide. Mantém-se nesse nível de altura durante sua caminhada no triângulo seguinte e chega a um ponto sobre a mesma aresta do ponto onde começou, pela qual sobe diretamente até o vértice superior da pirâmide. Em toda sua caminhada, a formiga andou B F G M C o movimento o movimento (BC) = (BM) + (MC) MF = 8 BM = 8 D E E B o movimento o movimento (F) = (G) + (FG) G = = + (FG) 5 o movimento FG = H = Total do percurso = = ( + 6) cm lternativa 8. Quando aumentamos em 60% um número real positivo b, seu logaritmo decimal aumenta em 0%. Considerando log = 0,0, podemos concluir que a) b = b) b = c) b = d) b = 8 e) b = 0 C M G H F D ibmecjun007

4 IBMEC 0/06/007 Seu pé direito nas melhores Faculdades log (,6 b) =, log b log,6 + log b =, log b log 6 0 = 0, log b log log 0 = 0, log b. log = 0, log b. 0, = 0, log b 0, = 0, log b log b = b = 0 lternativa E 9. Euler e Gauss, os dois professores de Matemática de uma escola, usam um dado de seis faces não viciado para definir o elaborador de cada prova. Pelas regras estabelecidas, cada um deles lança o dado uma vez e calcula o cosseno do arco cuja medida, em radianos, é igual ao número de pontos por ele obtido. quele que obtém o menor resultado prepara a prova, sendo que, em caso de empate, cada um faz metade das questões. Se numa certa disputa Euler obtiver em seu lançamento o número, então a probabilidade de que Gauss tenha de preparar todas as questões dessa prova será igual a a) b) c) d) e) Inicialmente, temos: cos < cos < cos < cos 5 < cos < cos 6. Desta forma, como Euler obteve o número no dado, Gauss deve tirar ou para obter menor resultado e, assim, ter de preparar todas as questões da prova. Portanto, a probabilidade pedida é 6 =. 50. Uma operadora de contact afirma que pelo menos 90% das ligações que seus atendentes recebem, para atendimento dos clientes das empresas para as quais presta serviço, são concluídas. Declara também que, das ligações que caem, em apenas metade dos casos, o cliente não consegue fazer a sua solicitação. Nessas condições, a probabilidade de um cliente ligar para a operadora vezes e em todas elas sua ligação cair antes de ele conseguir fazer sua solicitação é no máximo igual a a) 0,05. b) 0,005. c) 0,0005. d) 0, e) 0, Como pelo menos 90% das ligações são concluídas, no máximo 0% não são, ou seja, caem. Temos ainda que em 0% = 5% das ligações o cliente não consegue fazer sua solicitação. Desta forma, a probabilidade pedida é (5%) = 0,0005 lternativa C 5. Considere, no plano cartesiano da figura, o triângulo de vértices, B e C. Se r é a reta suporte da bissetriz do ângulo ^BC, então o coeficiente angular de r é igual a rad rad a) rad 6 rad b) c) d) rad 5 rad lternativa e) ibmecjun007

5 Seu pé direito nas melhores Faculdades IBMEC 0/06/007 5 O y C á B θ α B m B = =. = m BC = =. = γ = 0º θ = 60º α x P T m(b)» = πr OQ OQ = (OB) OT = m(pq)» = πr α OT α No OTQ: cos = = = 60º OQ Portanto α = 0º lternativa B 5. Num conhecido programa de entrevistas, o convidado senta-se no centro de duas circunferências concêntricas, ao longo das quais são distribuídas as cadeiras dos entrevistadores. Q γ = 0º m r = tg (5º + 0º) = lternativa B 5. s figuras, fora de escala, mostram a cúpula de um abajur com a forma da superfície lateral de um tronco de cone circular reto, cujo raio da base maior mede o dobro do raio da base menor, e o recorte de tecido que foi utilizado na sua confecção. Sabendo que a linha decorativa que aparece na cúpula foi obtida traçando-se, no tecido, a corda PQ da circunferência maior, sendo PQ tangente à circunferência menor, podese concluir que a medida do ângulo central α é igual a a) 90. b) 0. c) 5. d) 50. e) 65. Cada círculo pequeno sombreado representa uma cadeira. Os 7 assentos da circunferência menor serão ocupados por entrevistadores acadêmicos e os 8 assentos da circunferência maior serão ocupados por jornalistas. Considerando as posições dos entrevistadores de cada circunferência como relativas apenas às demais posições sobre a mesma circunferência, independentemente das posições na outra circunferência ou das cadeiras em que se sentam, o número de possibilidades para acomodar os 5 entrevistadores é a) 5!. b) 7!. 9!. c) 6!. 8!. d) 7!. 8!. e) 6!. 7!. permutação circular de n pessoas é dada por (n )! Na circunferência externa, temos (8 )! = 7! permutações. Na circunferência interna, temos (7 )! = 6! permutações. O total de permutação é dado por: 7!. 6! lternativa E ibmecjun007

6 6 IBMEC 0/06/007 Seu pé direito nas melhores Faculdades 5. Considere as retas dadas pelas equações abaixo: r : y 5 = 0 r : x = 0 r : y = 0 e r 5 : x 5 = 0 r : x + y = 0 r 6 : x + y + = 0 É correto afirmar que a figura delimitada pelas retas: a) r, r, r e r 6 é um losango. b) r, r, r e r 6 é um retângulo. c) r, r, r e r 6 é um paralelogramo. d) r, r, r e r 6 é um trapézio. e) r, r, r 5 e r 6 é um losango. r :y = 5 r :y = r : y = x r :x = r 5 :x = 5 r 6 : y = x r r r r r 5 r 55. No meio de uma prova de matemática, a calculadora de um estudante apresentou o seguinte defeito: a tecla referente à operação de multiplicação parou subitamente de funcionar. Entretanto, tal calculadora dispunha das teclas apresentadas abaixo, com os respectivos significados. x substitui o número x que estiver no visor da calculadora por elevado a x; log x substitui o número x que estiver no visor da calculadora pelo logarítmo de x na base, caso x seja positivo; caso contrário, exibe uma mensagem de erro. O estudante precisava fazer a multiplicação entre dois números positivos e B. Como os números eram muito grandes, ele precisava fazer a conta na calculadora. Supondo que as teclas dos números e as teclas +,, e = estavam funcionando normalmente, para obter o resultado de que precisava, bastava: a) inserir o número, pressionar log x, pressionar +, inserir o número B, pressionar log x ; pressionar = e pressionar x. b) inserir o número, pressionar x, pressionar +, inserir o número B, pressionar log x, pressionar = e pressionar log x. c) inserir o número, pressionar x, pressionar +, inserir o número B, pressionar x, pressionar = e pressionar log x. d) inserir o número, pressionar log x, pressionar +, inserir o número B, pressionar x, pressionar = e pressionar log x. e) inserir o número, pressionar +, inserir o número B, pressionar =, pressionar x e pressionar log x. log + log B = log. B figura delimitada pelas retas r, r, r e r 6 é um trapézio. lternativa D B log. =. B lternativa ibmecjun007

7 Seu pé direito nas melhores Faculdades IBMEC 0/06/ Sejam a, b, x, y números reais positivos. Considere a seguinte relação entre números complexos: (x + yi) (a + bi) se e somente se 0 < x < a e 0 < y < b. Das figuras abaixo, a que melhor representa, no plano rgand-gauss, o conjunto das imagens dos números complexos x + yi tais que (x + yi) ( + i) é a) d) 57. Um banco opera em 0 estados brasileiros, com pelo menos 0 agências em cada estado, cada uma com pelo menos.000 clientes. Cada cliente deve ter uma senha de acesso. composta por seis dígitos numéricos. É correto afirmar que a) é possível que todos os clientes tenham senhas de acesso distintas. b) pelo menos três clientes têm senhas iguais. c) no máximo dois clientes têm senhas iguais. d) todas as possíveis senhas já foram usadas por pelo menos um cliente. e) num mesmo estado, não podem existir clientes com a mesma senha. Das estatísticas apresentadas, o número mínimo de clientes do banco em questão pode ser calculado pelo produto: b) e) MIN = = clientes Por outro lado, o total de diferentes senhas de acesso disponíveis é dado por: n = 0 6 senhas = senhas. c) Numa primeira aproximação, maximizando a diversidade de senhas usadas, é possível associar cada uma das senhas a um cliente, cobrindo os primeiros de clientes. Numa segunda aproximação, associamos o mesmo conjunto de senhas aos próximos de clientes. Finalmente, cada um dos próximos clientes terá, obrigatoriamente, senhas já usadas em pelo menos duas ocasiões anteriores. Portanto, pelo menos três clientes têm senhas iguais. lternativa B 58. Para que a afirmação Segundo a relação dada, se (x + yi) ( + i), então 0 < x < e 0 < y < e portanto o gráfico que melhor representa o conjunto das imagens é: y x lternativa Em todo vestibular para ingresso no Ibmec São Paulo há pelo menos uma questão de Lógica. seja falsa a) é necessário que não haja qualquer questão de Lógica em todo vestibular do Ibmec São Paulo. b) é necessário que não haja qualquer questão de Lógica no vestibular de junho de 007 do Ibmec São Paulo. c) é necessário que não haja qualquer questão de Lógica nos vestibulares do Ibmec São Paulo de junho de 007 para frente. d) é suficiente que haja somente uma questão de Lógica no vestibular de junho de 007 do Ibmec São Paulo. e) é suficiente que haja pelo menos um vestibular do Ibmec São Paulo em que não haja qualquer questão de Lógica. ibmecjun007

8 8 IBMEC 0/06/007 Seu pé direito nas melhores Faculdades Nessa questão, há um condicional lógico do tipo B. Para que esse condicional seja falso, é necessário que a condição ocorra, ao mesmo tempo em que o efeito B não ocorra. Em outras palavras, para que a previsão seja falsa, é necessário e suficiente que, em ao menos uma prova aplicada, não figure nenhuma questão de Lógica. À exceção da alternativa E, que é correta, as demais deveriam ser corrigidas para versões a seguir, para que satisfizessem às condições previstas no enunciado: a) é suficiente que não haja qualquer questão de Lógica em todo vestibular do Ibmec São Paulo; b) é suficiente que não haja qualquer questão de Lógica no vestibular de junho de 007 do Ibmec São Paulo; c) é suficiente que não haja qualquer questão de Lógica nos vestibulares do Ibmec São Paulo de junho de 007 para a frente; d) é insuficiente que haja somente uma questão de Lógica no vestibular de junho de 007 do Ibmec São Paulo. lternativa E 59. Observe o slogan de uma cervejaria, utilizado em uma campanha publicitária: Se o bar é bom, então o chopp é Tathurana. Os bares Matriz e utêntico oferecem a seus clientes chopp das marcas Tathurana e Karakol, respectivamente. Então, de acordo com o slogan acima, pode-se concluir que a) os dois bares são necessariamente bons. b) o bar Matriz é necessariamente bom, e o bar utêntico pode ser bom ou não. c) o bar Matriz é necessariamente bom, e o bar utêntico, necessariamente, não é bom. d) o bar Matriz pode ser bom ou não, e o bar utêntico, necessariamente, não é bom. e) os dois bares, necessariamente, não são bons. Pareando as situações apresentadas no slogan (um condicional lógico do tipo B) com suas complementares, temos o diagrama: (se) o bar é bom (então) o chopp é Tathurana 60. Considere as duas afirmações seguintes, feitas a respeito do três conjuntos de números inteiros, B e C: () Se x é elemento de, então x é elemento de B. () x é um número par pertencente a B se, e somente se, x é elemento de C. Para que as duas afirmações sejam verdadeiras para todo x inteiro, os conjuntos, B e C podem ser dados por a) = {,, 5, 0}, B = {,, 5,0} e C = {,, 5,0}. b) = {,, 5, 0}, B = {,, 0} e C = {, 0}. c) = {, 0}, B = {,, 5, 0} e C = {, 0}. d) = {, 0}, B = {, 0} e C = {, 0}. e) = {, 0}, B = {,, 0} e C = {, 5,0}. s situações apresentadas no enunciado podem ser reescritas como: ( ) B ( ) (x B) (x = par ) x C Note que a segunda situação representa uma bi-implicação, que deve ser validada duplamente, nos dois sentidos. única alternativa que satisfaz às três condições é a C: todos elementos que fazem parte de fazem parte simultaneamente de B; todos elementos pares de B fazem parte de C; e todos elementos de C fazem parte da porção par de elementos de B. lternativa C DISTRIBUIÇÃO DS QUESTÕES Probabilidade 7,5% nálise Combinatória 5% Porcentagem 5% Trigonometria 7,5% Geometria Espacial 0% Geometria Plana 7,5% Geometria nalítica 0% o bar não é bom o chopp não é Tathurana Observe que as associações corretas são duas: Se o bar é bom, então o chopp é Tathurana e Se o chopp não é Tathurana, então o bar não é bom. Por outro lado, as condições se o chopp é Tathurana e se o bar não é bom não têm implicações lógicas definitivas, pois podem associar-se a mais que um box acima. Logaritmos 0% Números Complexos Equação 5% de o Grau 5% Funções 5% Progressão Geométrica,5% Lógica 0% ssim, o Bar utêntico, que não serve Tathurana, é seguramente um bar que não é bom, enquanto o Bar Matriz, que serve Tathurana, pode ser um bar bom ou não-bom. lternativa D ibmecjun007