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1 CPV 8% de aprovação na ESPM ESPM NOVEMBRO/009 Prova E matemática x + y y x 1. O valor da expressão + 6 : x + y para x 4 e y 0,15 é: a) 0 b) 1 c) d) e) 4 Temos x + y y x + 6 : x + y. Uma costureira pagou R$ 15,00 por uma certa quantidade de metros de um tecido. Ao passar pela loja vizinha, notou que o metro desse mesmo tecido estava R$,00 mais barato que na anterior. Comprou, então, um metro a mais do que na primeira compra, gastando R$ 10,00. Considerando as duas compras, o total de metros de tecido que ela comprou foi: a) 15 b) 17 c) 19 d) 1 e) x + y ( x y). ( y x) x y.. x y 6 ( ) + ( ) ( + ) 4xy x - y. xy x - y 6 Chamando de x a quantidade de metros de tecido e de p o preço do metro, do enunciado, temos: Como x 4 e y 0,15 1 8, x. p 15 (I) (x + 1) (p ) 10 (II) Þ x p (III) resulta: 4 1 xy.. 8 Alternativa C Substituindo (III) em (I) resulta: x x 15 0 x 9 x 15 (não convém) O total comprado foi x + (x + 1) m Alternativa C 1

2 espm 15/11/009 cpv especializado na espm. Uma prova era composta de testes. O primeiro valia 1 ponto, o segundo valia pontos e o terceiro 4 pontos, não sendo considerados acertos parciais. A tabela abaixo mostra a quantidade de alunos que obtiveram cada uma das notas possíveis: Nota obtida N o de aluno O número de alunos que acertaram o segundo teste foi: a) 10 b) 11 c) 1 d) 1 e) 14 Nota obtida N o de alunos c/ a nota Acertaram só o o teste: 1 Acertaram o 1 o e o o testes: 5 Acertaram o o e o o testes: 6 Acertaram todos os testes: 7 1 Total: No sistema linear abaixo, a maior das incógnitas vale: x y + z 4 x + y 4z 1 + z 1 a) b) 1 c) 4 d) e) Do sistema: x y + z 4 (I) x + y 4z 1 (II) x y + z 1 (III) Fazendo (I) + (II) (III) temos: 5z 15 Þ z Fazendo. (II) (I) temos: 7y 9z 0 Þ 7y 0 + (9. ( )) Þ y 1 Substituindo z e y em (II), temos: x + y 4z 1 Þ x + ( 1) 4 ( ) 1 \ x A maior das incógnitas vale. 5. Um caminhão parte da cidade A ao meio dia e dirige-se à cidade B com velocidade constante de 40 km/h, devendo chegar às 6h da tarde desse mesmo dia. Um outro caminhão que saiu às h da tarde da cidade B, dirigindo-se à cidade A com velocidade constante de 60 km/h, deverá encontrar-se com o primeiro, nessa mesma tarde, às: a) h50min b) h c) h0min d) h6min e) h4min Seja d a distância entre A e B. O caminhão que sai de A andará por 6 horas até B a uma velocidade constante: D S V m Dt 40km/h x 60km/h P A B d Þ 40 d 6 Þ d 40 km P é o ponto de encontro dos caminhões, de modo que: AP x PB y Se t é o tempo decorrido até os caminhões se encontrarem, temos: x 40 x 40t ( I) t y 60 y 60t 10 ( II) t x + y 40 ( III) Substituindo (I) e (II) em (III), temos: 40t + 60t Þ 100t 60 Þ Þ t,6 horas h6min

3 cpv especializado na espm espm 15/11/ Seja f uma função tal que f (x, y) x se x y e f (x, y) y se x < y, onde x e y são reais. Seja g uma função dada por g (x) f (x + 1, x). O valor mínimo que g pode assumir é igual a: a) / b) 5/ c) 1/ d) /4 e) 1/ Temos que g(x) f (x + 1; x) Pelo enunciado 8. O gráfico abaixo mostra o número de pessoas comprovadamente infectadas pelo vírus H1N1 numa certa cidade do Brasil, entre os meses de maio e setembro de 009. Na hipótese de um crescimento linear desse surto, representado pela reta r, pode-se prever que o número de pessoas infectadas em dezembro de 009 será igual a: a) 0 b) 6 c) 40 d) 44 e) 48 Se x + 1 x, isto é, x 1 então g(x) x + 1 Se x + 1 < x, isto é, x < 1 Construindo o gráfico temos: 1 então g(x) x O valor mínimo ocorre para x 1 e é igual a. 7. Considere o conjunto A {x Î N* x 51}. Retirando-se um número desse conjunto, a média aritmética entre seus elementos não se altera. Esse número é: a) ímpar b) primo c) quadrado perfeito d) maior que 0 e) múltiplo de 1 Temos A {1; ; ;... ; 51} A média aritmética dos elementos de A é ( ) Dos pontos que estão sobre a reta, podemos perceber que seu crescimento varia conforme uma PA, portanto de forma linear. Então para prever os valores futuros podemos associar os valores a termos de uma PA. Maio: a 1 8 Junho:. a 1 \ r Dezembro: a 8 a 1 + (8 1). 4 Þ a 8 6 Alternativa B 9. Em relação ao teste anterior, sabendo-se que, em maio de 009, o número de pessoas infectadas correspondia a 0,016 % da população da cidade e de acordo com a tabela de classificação das cidades brasileiras, do IBGE, podemos concluir que a cidade em questão pode ser considerada como: a) Cidade pequena: 500 a habitantes b) Cidade média: a habitantes c) Cidade grande: acima de habitantes d) Metrópole: acima de de habitantes e) Megacidade: acima de de habitantes Sabendo que em maio o número de pessoas infectadas era 8 (ver gráfico da questão 8), temos: 8 0,016% P, onde P é a população da cidade, assim: Temos, ainda, que a média aritmética não se altera quando retiramos do conjunto um elemento cujo valor é igual à média. Desta forma, o número retirado é 6, que é múltiplo de 1. Alternativa E Þ 8, P Þ P habitantes 100

4 4 espm 15/11/009 cpv especializado na espm 0. Do ano 000 (x 0) até o ano 006 (x 6), o número de automóveis numa certa cidade variou conforme a função V (x) 9x + 100, enquanto a população variou, nesse mesmo período, segundo o polinômio P (x) 1,8x² + 47x + 00, sendo V (x) e P (x) dados em milhares de unidades. Podemos afirmar que, nesse período, o número de habitantes por automóvel variou segundo a função: a) y 0,x +,4 b) y 0,x + 1,8 c) y x + 0,6 d) y 0,x + e) y 1,x + 1,6 Para x 0, temos que o número de habitantes por automóvel era P 0 00 H( 0) ( ) V( 0) 100 P 6 Para x 6, tal número é dado por H( 6) ( ) V( 6) 1, \ H( 6) ( ) + ( ) + 4, 9( 6) Considerando H(x) linear, temos H(x) a. x + b e o sistema: a. 0 + b a 0, a. 6 + b 4, b Desta forma, H(x) 0,. x + 1. Um sitiante quer construir, ao lado de um muro retilíneo, dois viveiros retangulares para criação de galinhas e patos, sendo que a área destinada aos patos (P) tem que ter 40 m a mais que a destinada às galinhas (G). Para isso ele dispõe de 60 metros lineares de uma tela apropriada, que deverá ser usada para as cercas AB, CD, EF e BF, conforme a figura abaixo: Podemos supor BD DX então A área total dos viveiros é S T x (60 x) \ S T x + 60x b 60 S máx para x V a ( ) \ x V 10 Se x 10 então XF 4m e BD + DX x Þ Þ BD DX 1 Portanto DF 17 metros Alternatica C. O produto da média aritmética pela média harmônica entre dois números reais positivos é igual ao produto desses números. Dessa forma podemos dizer que a média harmônica entre as raízes da equação x 15x + 0 é igual a: a) 0,4 b) 1, c) 0,7 d) 1,5 e) 0,6 x G 40m 60 x Seja M H, a média harmônica entre a e b. Do enunciado temos a seguinte relação: a + b a. b. M H a. b Þ M H a + b Sejam a e b as raízes da equação x 15x + 0 Y X x Temos: a + b 15 ( ) 15 (: ) α + β 15 4 Para conseguir a maior área possível para os viveiros, a medida DF deverá ser de: a) 15 metros b) 16 metros c) 17 metros d) 18 metros e) 19 metros α. β \ M H (a, b) α. β. α + β ,4 4

5 cpv especializado na espm espm 15/11/ Considerando-se log 0,, o valor do determinante abaixo é igual a a) 0,6 b) 0 c) d) 0,74 e) 0,4 log 4 log16 log 400 log log 4 log 0 : 4. No plano cartesiano, uma reta de coeficiente angular 1 intercepta a parábola de equação y x x + 4 nos pontos A e V, sendo V o vértice da mesma. O comprimento do segmento AV é igual a: a) 1 b) c) 5 d) e) log 4 log16 log 400 log log 4 log 0 log log 4 log 0 log log 4 log 0 y x x + 4 ( ) x V log log 4 log 0 log log 4 log 0 Regra de Chió y V Þ y V \ V (1; ) m r 1 r: y 1. (x 1) Þ y x + r passa por V (1; ).. log 4 log log 0 log log 4 log log 0 log ( ) ( ) ( ) ( ) log log10. ( ) +. 0, 1,, log log ,4 Alternativa E O ponto A é intersecção da reta com a parábola, portanto: y x x + 4 (I) y x + (II) Substituindo (II) em (I), resulta: x x + 4 x + x x + 0 x 1 ou x Para x 1, y 1 + V (1; ) Para x, y + 4 A (; 4) AV 1 4 ( ) + ( ) Alternativa E

6 6 espm 15/11/009 cpv especializado na espm 5. Uma folha de papel retangular foi dobrada como mostra a figura abaixo. De acordo com as medidas fornecidas, a região sombreada, que é a parte visível do verso da folha, tem área igual a: a) 4 cm b) 5 cm c) 8 cm d) 5 cm e) 6 cm Dias em que o oráculo poderia responder sim : Dom a F a F 4 a F 5 a F 6 a F Sáb V M M M V V V segunda (mente) terça (mente) quarta (mente) domingo (fala a verdade) 4 dias mente 1 fala a verdade Portanto, a probabilidade de o oráculo ter mentido, sabendo-se que a resposta foi sim, é: P 4 Alternativa C Observe a figura a seguir: B a b a A M C Aplicando Pitágoras no DDCM, temos DC 8 cm Como DDCM ~ DMAB, resulta: DM DC BM AM 10 BM 8 Þ BM 5 cm 4 A área do DBMD é dada por BM. DM cm Alternativa B b D 7. Três números naturais de algarismos formam uma PG de razão. Os 6 algarismos usados para escrever os termos dessa PG são todos distintos entre si. O valor máximo que a soma dos termos dessa PG poderá ter é igual a: a) 16 b) 1 c) 161 d) 147 e) 168 Dos termos da PG AB AB 4AB Como o último termo deve ser múltiplo de 4, temos as seguintes possibilidades: 4, 48, 96 não convém, 46, 9 não convém, 44, 88 não convém 1, 4, 84 não convém 0, 40, 80 não convém 19, 8, 76 válida 6. Um oráculo mente sempre às segundas, terças e quartas feiras, mas fala sempre a verdade nos outros dias. Num certo dia, ao ser perguntado se hoje é domingo, ele respondeu sim. A probabilidade de ele estar mentindo é: a) /7 b) 4/7 c) /4 d) 1/4 e) 1/7 Assim, o valor máximo da soma vale: Alternativa B

7 cpv especializado na espm espm 15/11/ Numa empresa multinacional, sabe-se que 60% dos funcionários falam inglês, 45% falam espanhol e 0% deles não falam nenhuma daquelas línguas. Se exatamente 49 funcionários falam inglês e espanhol, podemos concluir que o número de funcionários dessa empresa é igual a: a) 180 b) 140 c) 10 d) 165 e) 17 Observe o diagrama a seguir: Total Inglês 60%F x x 45%F x Espanhol Como DOQP é isósceles então OQ QT 80m h No DQPT temos que sen 60 h m Então H 4 + 1, 8 \ 71m Alternativa E 40. Um vidro de perfume tem a forma e as medidas indicadas na figura abaixo e sua embalagem tem a forma de um paralelepípedo cujas dimensões internas são as mínimas necessárias para contê-lo. Pode-se afirmar que o volume da embalagem não ocupado pelo vidro de perfume vale aproximadamente: a) 14 cm b) 154 cm c) 168 cm d) 176 cm e) 18 cm Assim, 60%F x + x + 45%F x + 0%F 100%F Þ x 5%F Logo, sendo F o total de funcionários dessa empresa, temos 5%. F 49 Þ F 140 Alternativa B 9. Uma pessoa cujos olhos estão a 1,80 m de altura em relação ao chão avista o topo de um edifício segundo um ângulo de 0 com a horizontal. Percorrendo 80 m no sentido de aproximação do edifício, esse ângulo passa a medir 60. Usando o valor 1,7 para a raiz quadrada de, podemos concluir que a altura desse edifício é de aproximadamente: a) 59 m b) 6 m c) 65 m d) 69 m e) 71 m 0%F 0 80m O 0 Q 60 P 1,8m 1,8m 80m T h H Embalagem 1 cm 6 cm 6 cm V emb A b. h cm V vidro V tampa + V copo p p p V não ocupado V emb V vidro p com V ,14 176cm COMENTÁRIO DE MATEMÁTICA DA ESPM A prova de Matemática da ESPM novembro/009 recompensou o aluno mais bem preparado com questões bem elaboradas e abrangentes. Observamos que os examinadores tiveram o cuidado de propor questões clássicas, que figuram entre aquelas de melhor índice de discriminação, dosando o nível de dificuldade de forma equilibrada do fácil ao difícil. Esperamos que a Banca Examinadora da ESPM continue a elaborar provas nestes moldes para os próximos vestibulares.

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